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标题:
经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程
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作者:
佛自业障
时间:
2018-11-1 10:46
标题:
经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程
题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
0 x1 j6 }+ _; h" d
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
9 b5 P! B6 {. |2 p! i
0 J8 z" [3 a) a0 k* q$ R
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
6 {. l9 s) c0 b' ]
* L. r7 s+ D5 w- h, y
2 ] @$ o9 y% ^# e# @' R8 @1 V4 P
, p# H! v1 b- ?: D" H# a0 \
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
0 ~# f, C1 c% D# _1 J
t7 D( v5 p7 z9 }- \; [+ q% v9 `
第n新出生的兔子 f(newN)
" K# l7 B6 d! c5 Q: w$ h4 r) _6 V- s: x
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
- a6 u- b/ [6 \& x0 o) Z8 }" _" Y) e
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
$ w* ^1 K7 A3 N( z- Y
8 A: C, i k7 s
= f(newN) + f(n-1)
- P T! D6 e( N. U0 [
1 G# Q, ^- X5 T9 t: y
: a( {% U% I" r+ J' j
) P% f" j2 c5 e5 n
在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
: C7 M& H& q0 B M
% `' v8 H, P! v7 ]0 D2 B# z0 E
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
! G( c I$ t4 ^' Y; W2 V/ X) b. g. d. I
( d Y. |3 k* a* L- _. ?! f
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
6 _" W H, Y. f: l/ N* h
5 J! E& V+ Q9 Z9 c: o3 U q( ~& f
化简得 f(n+1) = f(n) + f(n-1)
; x/ N q3 }7 g
4 H' m/ {* A0 l# k
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5,…)
# H3 x3 P- ], D9 u) m u
5 N! K% k* g& r+ V3 ]' j
8 m, f6 [* A1 q* d. N
/ T+ x! S$ ]4 D! G5 q* F
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
F' }% d* W! y; \. i2 K- A# t& C
3 F/ w( W4 U3 q# O. `& K Q
f(n) = 1 (n=1,2)
3 D, p4 ~& c' @: A: a
p0 S3 R2 b" F8 I3 i; b- E: ]
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
# e( b, _* q. n: T% J) ]0 C
- o1 P2 z# D* q+ P; N( b! g2 w
接着编程为递归函数即可解决问题。
$ ^+ `! w4 H- s4 Z! Y; {4 Y& i
4 c" \" H. q8 S' R% x0 U
/ h' F& J6 j; z a0 [+ P
/ f! o& I2 D) ~1 n8 \- |) H
9 [9 ]- Y5 O/ Q( Y4 [) u" K
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