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标题:
经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程
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作者:
佛自业障
时间:
2018-11-1 10:46
标题:
经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程
题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
7 t$ Q" P _& z" q
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
( ]1 B* F2 A) Q: H
3 X5 W- q/ n0 o1 \% Z4 W
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
, m9 P5 |0 F/ p! z: W1 E# n: K
1 Y |, I) |; }/ s1 ^' n* x
: e' J9 T% E: I; T( J4 Q) _5 e
8 F2 w2 f G4 X$ Z' U; l- q& t
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
* E9 V# S6 h& j% ]- V, F$ W I$ q
' W' M1 V* i2 v/ `) o
第n新出生的兔子 f(newN)
" ]& ^/ \5 Z# _+ r4 K. ^: U
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
! f2 x2 L" W/ n& f# l, p
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
8 ~ T# l4 L/ H# p; Z( {7 e
4 R# Z( v) e' w% E. J
= f(newN) + f(n-1)
8 ?/ z9 S$ b; c# S: n7 r* A
) `% D7 A' X4 Q% |8 e: u
% B- f$ I4 o) n u3 v
- L# Q! J+ {$ i8 Z* X
在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
( O3 C L# H; `4 G; H
( ]2 {* l: |. K1 ]$ y* f
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
$ J$ |4 p! a( \% u
! J) K- c/ y% x$ [7 u; d- ^! X
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
9 P* {3 J6 p0 t9 |% U8 h, M
! g. O: B; N, ] ~; }: A8 V
化简得 f(n+1) = f(n) + f(n-1)
- c! w1 l/ e/ K' m- z: W1 Z
2 d P2 A1 s2 h; {. Q. p% l3 Y: h
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5,…)
4 [) A- H- a# E" |; {: t" n+ J: e) n
" k3 w; V: N; ^# Y
2 f% M- x( H: T" {
- w; z+ b; O9 T) p0 e4 J4 R
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
- k7 F8 c0 q3 T& g) H& G
0 E9 d$ `$ w( t) i
f(n) = 1 (n=1,2)
4 b3 N, R8 j7 y2 H% O2 L$ h p
c j+ s) u5 K7 S
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
$ B" |6 F8 o) p# S$ M1 ^$ Z' E+ f
5 M, v" I& e2 `) L" A+ ]: [
接着编程为递归函数即可解决问题。
- z, G3 j7 h' t0 k- P x5 p$ S! ]2 ]/ m
- P$ z- U% f. d1 x2 w
; D9 T, m7 w# h( C- Y- X
6 ~* [$ L! L( U! P* X! R% ]. p
- H4 `# v& L) \( z, O! K
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