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标题:
经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程
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作者:
佛自业障
时间:
2018-11-1 10:46
标题:
经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程
题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
. U2 q6 K/ m+ U# I- d3 \" F ~* {
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
: Y1 x6 U0 o2 \' Y' w a3 _
5 e1 D* c$ l5 x5 D! c& E4 B
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
% n7 u% V* ~2 x4 z, ]! m' m8 v
4 K+ s( d$ Q' e3 o
/ ^* t+ {( V. V2 G8 V, p. B
) h5 ^) |; `+ R2 |, W3 e& V
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
) ?8 P2 J! D+ m
' v( y1 B2 a9 l) Z! y/ a, N6 B0 l
第n新出生的兔子 f(newN)
1 \8 z" q! _: k8 [
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
: g5 U, w9 T J, s3 B1 X3 Q9 V
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
! k1 w. P7 m' L8 E- m9 z
' Z5 c' ?( ?8 v6 L! N- k
= f(newN) + f(n-1)
9 @, _! q7 }1 p
) v& A( n) P/ W+ z' h/ B
1 h: t4 d& C% J0 n8 o: T- T" r
; I# F" f/ O* y) t* n" [0 N
在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
3 i9 h, o8 s) K
# _$ |' [" y- _. ~% z, T
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
4 T- m7 B$ t* P, g, _7 x" m
4 a: @6 _ u5 g" r; B* i. d9 V
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
8 H$ d' f! j- N; B
7 g# s7 o, V7 `* n
化简得 f(n+1) = f(n) + f(n-1)
9 B) g% [, P0 [) t/ i! O
0 O# x6 a7 X- W: h- @$ V
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5,…)
- C9 ~; y, N7 \3 J2 _& L
$ T" U- p; \! }
+ [- I7 h9 b" V* [% t& x1 L
4 W. Q; d& h% m- r& K; ^
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
( M; {3 Q+ E" a
$ i$ b3 S4 f1 S: t
f(n) = 1 (n=1,2)
0 J7 W- z) o( s! l2 c
. l" ^; V R. B. f* e
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
; G. [( }; f9 Q- q" }
. @7 P. {; u* H: j1 H
接着编程为递归函数即可解决问题。
4 V( X7 G. z- e/ F9 C) I
- t4 d5 ^5 K+ ~ o2 P- u, E
, l% S" T: {9 E6 p3 }
5 k% F% U9 T+ D0 V" y
1 S" L0 e$ s+ N$ T& E& V/ }
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