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标题:
经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程
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作者:
佛自业障
时间:
2018-11-1 10:46
标题:
经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程
题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
) M8 h! _0 k2 S# y P% x. O5 N
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
& I- j" L( v( z
& @1 V6 o/ S1 U9 k6 E0 M" P' h5 H
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
) x; N Y3 U1 S" B: N
8 d& X- e U3 Y" K
) g a& r8 n+ Z8 ] k
. ?% A9 f5 r( r+ R( J0 \7 n# w. O
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
# y X8 f7 m) X/ M8 _" L! N) x+ O: h
9 s) i- w3 W. ^% J q9 _, Y
第n新出生的兔子 f(newN)
7 i |$ z/ O% u2 d) N
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
& z3 g2 j" ^$ c+ }- t: K! r! A
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
5 B9 j1 g, A' x' |3 ]5 F# c$ C
( o6 x& k6 l$ j0 ?( v' \( Q; J
= f(newN) + f(n-1)
# k& k R+ C. |' @3 K
. a* j& h- k! A4 E2 _
( p2 @0 N/ i& T# {. R. n2 R9 R
8 }. Y8 f) ?! _
在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
, X; D6 n5 l+ n0 I
. [% E9 v4 P, Y+ w
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
' d( Y3 e9 W( a5 ~
( u0 t: x3 [ _9 C% x( Y# u5 S/ c
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
! \% z( k7 r$ s
8 i" E7 ]1 X# ~
化简得 f(n+1) = f(n) + f(n-1)
. C8 S/ i$ G2 E1 u" {# g
( V, u& z# }' y0 N
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5,…)
w* I; g: @ [( z1 O
: }5 [+ a9 Z2 j8 K9 i! Y5 J
9 o& ?) X9 I+ `
" b0 V$ A# H0 y0 L9 ` J( _
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
( J8 G" K. m: D* d: Z! @2 e
1 B7 [+ C) T0 Y. j1 T
f(n) = 1 (n=1,2)
; H* |0 k" Y+ e# H3 G m, R% G3 j
& ` s; I8 \* U! E9 s& P5 T
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
2 F+ g- l9 ^' _% W8 P
3 ^8 [. V7 m' _8 B+ H1 a' g3 u# z
接着编程为递归函数即可解决问题。
: t% z0 D% E0 a8 W- y1 g
; N' E' `! s" n2 g
: a, U+ P, \3 P/ \& K
4 E0 t2 i7 u$ ~ c
: j0 l$ q% f1 R8 B# R u, q/ s! r
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