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标题:
数学建模
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作者:
佛自业障
时间:
2018-11-1 11:52
标题:
数学建模
数学模型的分类
$ C5 N3 c! P9 k7 |( ]1 _ u8 d
1. 按模型的数学方法分：
! I1 b; `7 c: Q0 I
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
. Q# N2 r+ x: A* _
型、马氏链模型等。
R: B$ B' \5 A O! C; G t7 O
2. 按模型的特征分：
0 T' @4 Z5 S) J4 w
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
1 C# C- Y1 X% C. b+ c" v
性模型和非线性模型等。
w. g( u# u S& B
3. 按模型的应用领域分：
* P& H; T5 l, J: t8 r
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
+ m; @/ a- z+ l# `& s( a+ O
4. 按建模的目的分： ：
+ N) ]1 d" o% n; Y4 g
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
; f0 G0 |9 z& f( b
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
4 g! o* @' O/ ?
往也和建模的目的对应
. w+ G+ T% S0 B1 ~3 r5 R
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
l, A2 x* G% D* Q4 J
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
9 Q. C0 g) \3 ?5 |5 W F- l& J. ^4 H
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
- g- ]# }. d! @
6. 按比赛命题方向分：
5 }/ L. d: Y; `
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
1 I+ ~9 k8 \7 [9 F: f$ \$ b6 _9 w* d
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
4 O1 o& ^( {+ D$ D7 L8 }% n( h* e2 q
数学建模十大算法
9 r# K3 p* v2 h. d! e
1 、蒙特卡罗算法
' Q5 N9 a3 G" l( J
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
. b: K# R6 I2 M( g6 g" _* g6 ?! r9 [
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
6 R/ I5 J) q. t9 N# L; v
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
; m n( h& @. P% _9 d$ f
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
! P( O* S1 W! [& n$ J$ _
通常使用 Matlab 作为工具
8 p6 M2 D1 h6 T, {2 D* \
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
& U F6 g9 K$ ^5 R" n
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
6 @4 ~4 Y M; H, i. M
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
' c5 u: h( Z4 p, T9 ^% y4 H
4 、图论算法
4 d# v5 { b8 D d
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
! S5 v3 x: `; t3 V) f! y+ c$ I
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
2 i5 r: h' W" m, [
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
6 h: J6 G J; y4 u7 x$ d5 Q
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
( ^, G `3 `% d4 R' e2 O
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
, X& t: D' \' Q2 H
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
9 u* R# o8 b5 a3 q: J8 J1 a* \( k
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
% y7 d/ O Y3 n1 A! `
7 、网格算法和穷举法
; h. {* }. n" Z* o/ \8 E7 W7 H2 Z
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
) W! }; R' p9 O* }' ?6 A
一些高级语言作为编程工具
& r5 ^- i+ p" v5 r* [* b& R
8 、一些连续离散化方法
2 X' I( m$ y7 N0 p
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
8 B0 }0 B. ^7 O9 N2 j% ^( {; F9 c
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
, z7 q1 ]8 X' y; K1 x* X
9 、数值分析算法
2 U6 m/ G5 y( ]/ }8 z# R' {
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
! \# S. _1 v5 o0 R, t0 k y0 I
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
( C, b% c# ]; ]3 B9 J1 U
10 、图象处理算法
+ O) |7 Y9 s. F( O9 _! |
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
3 z7 ]* e6 o- H
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
$ D$ X2 @" b: S) | o7 \
行处理
3 ~: w2 h* a+ ^6 G0 k) h
算法简介
2 X9 b' t+ q3 ? j/ s% U
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
/ R3 D1 i L) r% P# l6 M( \
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
$ _$ i7 `" K# J6 l+ N( J6 ]# \1 o% @6 w
个条件可用：
9 H" ?2 ?( a2 T6 S7 P
①数据样本点个数 6 个以上
) d2 L0 h- u2 W# `5 w
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
0 s) ~; ]. z! c3 e5 K# Q% v, x6 B; Y
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
$ C+ ^$ b2 Y3 Z G% w
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
9 w5 j9 m: U0 I* U. o9 u2 y
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
f/ R- c5 \" d" R
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
& s5 U# }) d* Q6 d: F+ p" A* r
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
$ \9 u% Y7 d$ k
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
7 I1 V! O9 t: V: ?! A
化； 样本点的个数有要求：
" v" o! B9 y m
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
y+ P: K% _9 z6 _$ I0 K( W( N
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
9 P& h' Q. j+ ^. n, o& T$ P$ ~
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
. a4 b4 t- p5 K q1 o7 O6 [. m6 {. s
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
5 `, u0 g, t% b3 p2 [+ Q
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
) T/ v' W# L8 }$ ^' D5 Y: k9 _
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
1 N9 ?, Q% f) D1 z5 f1 I
5、 、 时间序列预测
! E+ [, n( k, L2 W8 z- m
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
' e7 v) q; a0 k( Y
（较好）。
# l( R5 l. f+ K! A
6、 、 小波分析预测（高大上）
9 L( Y5 ~" ?; l' t' U' J0 x# R
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
6 X% f0 a6 Q* d$ ?" x+ E. j4 V% b
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
1 i2 A- V: s0 E' p+ t3 g3 I
预测波动数据的函数。
. b% m+ ?9 L' C e m# V
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
) C9 i% P5 n1 i: @( a
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
& L3 w& W0 k2 h
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
$ R4 u! [# x' \2 z. F/ q9 z
8、 、 混沌序列预测（高大上）
8 h; F# I( k% |9 i
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
2 i0 g/ K3 X& j1 t- \
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
: J9 @5 a# v! J) q5 X: Q U0 R
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
& @- F3 K. t( G: [5 Q' C( Y
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
, j3 _% u. t% K7 [
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
9 o* A; k& C) `3 C2 B
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 G6 i" s2 T- \. B$ n
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
& _5 P3 ^4 c3 `7 W
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
) b6 x! U- S* M) c" l& {1 f8 S
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
) v; i: N+ G( k, o# h
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
& v& z, [- y& {8 L6 b: \& H
优化问题，对各省发展状况进行评判
4 q3 w6 o" V4 x( b# i" ]: E$ T& L. M
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
. S/ A. X. {- `
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
' r8 c* b3 c' w* z
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
" L K' O1 \$ E
似。
. E* ~2 v# Y% o8 c
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
$ g- X3 z' p2 E0 m2 W
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
& Z3 D$ w. |6 s* H# B/ y
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
( k, A9 ]8 o5 g
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
9 {2 ^* Z' [2 A6 t: l, u
的最差值。
- K) d" O$ ~. i& s
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
! G2 h# J D9 T* X( k" | Z
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
5 D0 S5 K. h# M3 I; z; J8 }; [8 t1 Y% \
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
# d/ z3 M" M' {* \- ]/ z
该方法做评价比一般的方法好。
! d, m& R+ {" A( k
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
& D; E, }8 @ |4 K
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
; r0 D! i3 T% \9 f# k+ Z& {' i& L
量有无影响，差异量的多少
5 V3 l! [% \% A+ b/ [9 c; E
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
: z+ J1 L/ v+ v# y
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
2 N i' ^3 _/ s# X n
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
8 J$ f) P: \- i9 A7 M& a
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
* f. O5 C. v' f: ~! S1 v
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
" ^% `' T- [! L7 v' T, _
优解。
% j% e8 t- p' i% Y
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
! ?" D2 O. N% D1 V& R, M5 X
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
) v/ c# T3 P9 J3 w1 X
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
( [* R2 e B7 l1 t' _
算法、神经网络、粒子群等
+ b% G' W9 R- A8 j
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
$ v* m5 w* d, ]9 G' _/ Q: G1 S$ t0 |
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
0 k' J% M7 ?# f; J% [8 T* g4 }
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
, E) B% e( e- L2 p: L$ R
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
+ z1 b, g/ C& U: A0 M7 ^3 V1 W) o3 ~
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
i* Q) K6 T3 U4 T+ M9 z" n
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
3 H" R8 K+ e' O) M( Y9 }
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
. H1 L( l8 Q: y7 U
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
6 x' f; n. G! w+ e+ ]5 ^
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
1 R! d1 ~. Q0 q! j& y p
21 、图像处理 （ 较好） ）
+ T3 `; K# ]& ?9 i2 k+ J& q
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
! _ f: t* p+ f$ Z
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
( V/ l4 B$ i" X' e
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
: J: x3 \/ U, S. X2 ], c4 `
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
3 ?( l( Q& @) P) ~5 Y5 Y! H
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
. c% e Q' @8 c0 M
23、 、 多元分析
) u* D9 J3 ^$ Z C8 I4 l! W1 i
1、聚类分析、
5 u3 j& A6 C% l' q2 c8 q. m
2、因子分析
' K$ g* c* e0 M4 e8 H
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
( Q2 m; l7 D) Z2 |# \" F% j5 a
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
! E6 ?( t: R0 {+ e$ \5 b/ s6 ~! t* ^
从而达到降维的目的。
$ L5 q. h: H4 M9 w, M/ z) p4 r
4、判别分析
/ r/ b6 F# ~0 w
5、典型相关分析
; p+ s) x$ Q1 u4 s
6、对应分析
/ z: w D# {" T) `
7、多维标度法（一般）
4 F& J8 X: l9 N$ W6 H+ [1 V# B( C
8、偏最小二乘回归分析（较好）
3 y1 W; p6 Z2 o8 }/ ]1 R2 ^, S
24 、分类与判别
# x9 b( H. o% r$ x7 Y. _
主要包括以下几种方法，
6 o0 e# R1 u) o+ N1 t! R* K, i
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
. C7 R- r: Q4 K/ O( s7 v K* s
2、关联性聚类
8 [8 J& ^5 Z1 b; M: z4 n
3、层次聚类
0 n+ s, Y& N& k( B
4、密度聚类
- Q/ O. l3 s) P: i
5、其他聚类
8 I' S" J8 D5 U1 G5 `7 b( z' @: d* i
6、贝叶斯判别（较好）
2 R4 P; C: v2 I8 x' ~" D' A
7、费舍尔判别（较好）
9 y. e/ K/ E$ k) f5 ^8 Q, U; M
8、模糊识别
: [# _2 D* d. V3 F% c9 N+ A
25 、关联与因果
' I# H8 c0 ]( Z0 g6 W
1、灰色关联分析方法
, x/ K: ?) V" _: N
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
; T1 d0 s/ a; @/ S
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
5 @5 X! c1 c& i1 u* Y
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
* Y% z7 ~8 L- b" O" |* \) i! I, W
5、典型相关分析
2 Z& G% U! V( k* d- w5 P' c7 o
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
; [) X( t$ ?" n+ n3 ]3 G* `) x
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
9 z' P( \% S2 ]
6、标准化回归分析
/ @4 w6 C- z% O* s' E+ \2 }* @
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
6 E# J6 W1 U- z+ P% s- J
7、生存分析（事件史分析）（较好）
& X( X" l$ f& C7 u
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
& a$ t. g. H6 q4 `6 S3 S9 e
8、格兰杰因果检验
- g, u7 j: |3 ~7 \2 N, f. I7 h9 H
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
# }+ h; t0 q p8 r! @* q
9、优势分析
- \/ u: q% u1 k3 K9 `: D7 B! k
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
( U6 |) G. s h( k
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
& {# P. u7 G" C( a% d
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
N8 V1 n5 R1 B/ C# m5 s
9 N& {" X( I: J0 k" v ?0 o" ^5 M
) l+ e. W- \4 T0 l
. G# P7 x; n; w. g/ w3 G" B
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