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标题:
数学建模
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作者:
佛自业障
时间:
2018-11-1 11:52
标题:
数学建模
数学模型的分类
3 d/ ~6 y u+ U, }- D
1. 按模型的数学方法分：
J( c# o* C/ ~+ e, d- g7 k
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
4 R2 t, f& U* o
型、马氏链模型等。
- Z: T0 O3 R6 W, p5 F' d& r) E
2. 按模型的特征分：
9 d7 B! j0 \8 H( \: b+ g+ e7 z
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
7 B9 `, p1 D& I' P+ T& h* b; m
性模型和非线性模型等。
7 g Y8 X$ y3 u4 y; v% p# s0 Y
3. 按模型的应用领域分：
$ _% Q- d; C3 L
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
, |4 e4 t$ u, L" @/ s9 ~# D2 j
4. 按建模的目的分： ：
, J/ k; x/ I8 H* p! u5 S- d
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
0 e* l2 B# y# B& S/ r& n6 c
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
7 q( I9 r# r! u ^6 ^8 \4 l7 f
往也和建模的目的对应
& t: f% j7 S0 t
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
: V+ A& F' z7 O7 \* L- o
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
7 b7 ?5 ?3 ?) U
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
8 v1 z$ t4 s/ J% w3 p
6. 按比赛命题方向分：
% o# z- r/ C* T% d
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
) Y* E( N# F& g6 Q6 Z) n+ E4 l. }
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
" U8 s y m- O1 b) _' J' Z1 Y
数学建模十大算法
, f7 \. E6 T" j9 C" k2 R
1 、蒙特卡罗算法
# X" [! I$ \, F5 S! E" r; X+ n
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
9 ]- S( A$ Z: d* c: V
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
4 {0 x) j: P9 G& ]; H) ~
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
0 b. t$ I4 g0 I. Z2 _4 [
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
9 ]+ n$ U9 i7 Q9 Z& V( J1 U( m) M& F
通常使用 Matlab 作为工具
/ ~3 G& q" M# t; q' I! y
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
' ^3 y# f, c) J& w, A4 D9 X K0 ~) Z
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
% K. b3 o( @0 h3 O/ W
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
+ p9 M/ ^8 K, U3 M7 ~
4 、图论算法
9 [( P4 ?0 B; Y0 _% [
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
" X8 G1 j. V% u/ Z
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
% w. ^' J; Y4 ^7 W |
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
/ [9 j- k+ ^+ x- Z! W) v
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
1 M+ {. |4 O& ?
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
; N! \. n1 [" {) K- T$ r; O) ~
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
. Q5 X" X$ R( F; D
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 _# @+ `6 ]. S7 D9 g5 y
7 、网格算法和穷举法
, I& Y7 {" r. p9 R2 n5 y# B7 `7 F
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
0 R- F. w& H: F+ Y. `
一些高级语言作为编程工具
- r) x1 _7 J; I$ `
8 、一些连续离散化方法
9 [+ ~) O: I& Q, U5 T( \4 u m
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
. h+ Q4 O/ h* G% N" p: f5 a. O7 R
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 r+ P+ X( n, A9 l
9 、数值分析算法
% w% F- e+ @) k1 H5 w# v* \, v% n
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
0 Y% p1 r. J/ Y$ }" D: z
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
: g" m' p1 i' L0 G
10 、图象处理算法
5 i( p1 G1 _( W( R# @& N+ R3 R
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
: U. i2 T( o$ c% W" m3 P2 p1 n
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
4 a1 `. f4 q# _' j
行处理
3 @, i$ i( `# y1 H5 U5 z6 N. M7 @7 U
算法简介
- P \' h" F" s; [
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
' h/ h; b N8 u5 W! Y. b+ [
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
: m5 I" {4 v3 m. h ^
个条件可用：
& Y, r2 Z/ k c- y
①数据样本点个数 6 个以上
' M9 l# Z$ S+ i
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
. o3 }: b! N1 M) l
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
7 S& _1 v7 i+ `6 h
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
9 B7 `$ B+ e+ r M: ~) D
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
! K9 @! y( d4 c. {6 k
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
5 T: X$ `7 b: n. W. k
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
3 _3 T1 ^1 u5 C6 Q/ `: K/ e% R
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
6 V- ?- l" }" @5 a
化； 样本点的个数有要求：
$ w/ b. _3 S" A. D& w
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
" V! J& y$ z: ]( L0 E7 \1 @
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
/ w, {1 I# c1 a) T% u
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
" h p6 R7 S0 g! T. c6 G0 |
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
% a/ T+ l. Z! @
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
$ d8 c1 X; B( K! B8 K. @3 V: @+ |
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
% t! U, c' S; E3 B# a$ W. d' s
5、 、 时间序列预测
9 d" k' X+ _1 l! `/ n/ H
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
- `3 I6 N! F% I
（较好）。
( Q) V4 v2 d' {( T
6、 、 小波分析预测（高大上）
; P; o2 w: N/ w' ]9 r9 n5 P! z0 C* I
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
: W/ S; O( j$ F4 R h2 ^
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
0 m$ M/ r" D. Z/ A
预测波动数据的函数。
' S2 F* N6 h1 b1 j- P Q- n
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
5 b7 d1 e1 D9 q' G9 i1 [9 Z8 p
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
5 X% K! R9 A# w8 \
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
/ y D. m% t k; K( S; J. H
8、 、 混沌序列预测（高大上）
! H1 [; s6 c4 o
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
8 W! G1 U9 a: Q
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
: h4 o/ |0 U+ ^3 r
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
8 m. ?+ |8 b% |' B
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
" O6 n" _! |9 J: w( l. t. G& |
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
5 j/ R5 Y7 I4 u) g
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 U7 v" R4 _" h" V; I
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
! @& _( z( B/ l
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 a0 V9 H* r0 ?
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
8 x" o* Q6 G v' @' ~4 a
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
* Z: n- X; ?6 Y! Q! S
优化问题，对各省发展状况进行评判
3 F, v- e! ~" d
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
2 k! o5 s* Z$ b+ M' s' j* u" O
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
4 h5 G6 H. N) k4 \1 A" p0 |. Y
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
; {* Q$ h, F( `0 w3 K/ z
似。
% y2 B# F! U- }3 S4 R+ U
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
2 q8 |1 |7 }1 u6 @- i$ `7 K
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
' B. S) H* a2 T' O' E* D
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
- ?1 }( O, \! G& V4 N8 J
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
F/ | q: P! |5 S4 \
的最差值。
+ x& H! h1 D3 c+ J7 R3 I$ H8 O5 V
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
; ^8 u, P. d5 r) V5 w
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
3 c- k, N+ c1 D1 f" @8 j9 I; \
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
: \" g6 S# C/ z7 H1 A
该方法做评价比一般的方法好。
! r) v- E; d# j8 U
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
0 H* I0 v8 t; X1 Y! h' U' s
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
1 C. |( v, x" |- w- p9 @) i
量有无影响，差异量的多少
5 v: D; A5 q/ A8 `- l, D
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
' [) f) G% F5 M
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
! F. X( F' p+ y( w, n( X
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
( i* R6 U% Z6 H1 w! h$ f8 j h
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
4 v$ a, a; C/ E4 f: w6 B! c
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
# A% K$ t. D }
优解。
+ y$ n4 f/ e& X* B/ L& L& ^0 z
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
5 p `# \7 }7 r/ C
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
) s/ S- j: f' c( R" e( k+ p) `
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 ?5 L$ F9 U* ~; k3 l
算法、神经网络、粒子群等
8 w2 O3 K) L9 m/ b9 _' H
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
; P, |( z" O* J: M8 C; U
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
. l0 M- J. u5 _/ k# h# [0 {
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
4 @+ h8 }: a5 T! ~5 C2 y
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
, P* t8 |0 x J5 E
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
2 E2 g! k- w* t) A
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
$ O r: ?) C& k6 j& v" J
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
8 Q. G% M: n0 g0 j
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
* W' N! H- j# B/ S0 B6 R$ l
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
) @' T6 I! w- {
21 、图像处理 （ 较好） ）
* V. G, f7 r, \8 A/ _- P
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
; ^1 s! B4 S$ v& [, L0 A
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
/ P* `+ ?6 M# b' Q& @. i
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
. n, \+ U! ]& o
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
- o3 F t9 D e& M9 X# S
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
, G" {( J% k: @) |6 O
23、 、 多元分析
1 R9 S# t: J& k& ^; F' Y
1、聚类分析、
- j, l# B# D+ ]) {7 S# q4 \; b
2、因子分析
7 q) {/ b+ t2 j6 s; _
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
, e! e4 A9 s# m) w( |/ i e
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
# L5 S( P; j( x0 Z
从而达到降维的目的。
s p2 K) l( Z$ ?$ x" Y
4、判别分析
: \7 L0 q) p6 J7 B& T( p5 r/ m
5、典型相关分析
0 ~4 v2 ?. O" G) E" E% M
6、对应分析
1 a! [$ e, W+ T/ D" A h# h. C
7、多维标度法（一般）
* p. z. Q( r& f8 m
8、偏最小二乘回归分析（较好）
3 q' W% \; L- f9 ^/ i
24 、分类与判别
! c3 a3 y# a& w) K7 @
主要包括以下几种方法，
/ S7 `' a7 I) W. d0 i! G s
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
% [1 V" e! j+ U& J9 l/ V$ k4 N0 T
2、关联性聚类
2 }. Z6 g0 \0 e \+ h3 Q; @- J+ X
3、层次聚类
5 k8 ]8 C- h4 i8 m4 f
4、密度聚类
: z# Q: K- _7 p" f2 \ m6 m
5、其他聚类
4 B& e% @+ H* n8 h% D
6、贝叶斯判别（较好）
7 X9 c1 a! {8 E8 S$ V. @' j
7、费舍尔判别（较好）
, l3 y4 L3 r! {2 y; V
8、模糊识别
- ]8 t3 Q2 E0 g! G+ P6 u. t7 ^& z1 A
25 、关联与因果
* x/ q- |8 I5 \, ^
1、灰色关联分析方法
2 b" t" z& U9 ?; m
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
% w) D8 _6 l& F+ R+ f0 F
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
+ S5 b5 V& e: p2 o: H# t
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
% ?; O0 h$ H8 ~. e
5、典型相关分析
& a! C5 i# L' B" H0 d6 d3 i, ~% K. j
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
7 k0 ~0 w' S C8 q: H
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
( x. G+ O, X+ Y0 k, D
6、标准化回归分析
) }, |* _0 V6 L+ r% L
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
1 h5 y" ^' C c" K1 J: k0 \
7、生存分析（事件史分析）（较好）
/ B% I# y# ?0 O
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
: y$ N4 |" ]3 u6 ~9 I/ H
8、格兰杰因果检验
) Z2 p6 Q* i, d1 R8 E( |
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
: A3 ?: t: B, t* X
9、优势分析
' G- T: [# A7 z+ C- t' R$ D. n
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
# D" c6 [( H- j! }
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
8 ]& N1 K+ C3 S6 d" G6 N% p
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
x; x! M" D) g5 `3 L5 G+ _1 m, f
M* F& f- v4 b
' ? ?' R' H$ p
! e9 A- Z. F9 m4 }, J
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