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标题:
数学建模
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作者:
佛自业障
时间:
2018-11-1 11:52
标题:
数学建模
数学模型的分类
7 h# G1 @+ d- s. |3 ?
1. 按模型的数学方法分：
# i! O4 U9 p8 z, t8 h
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
" o3 w5 C5 _- M
型、马氏链模型等。
( M6 ?/ c2 O1 P6 q+ ?
2. 按模型的特征分：
( K4 G3 I. K6 P6 l5 j: p
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
/ M2 n. G' Y! w, _ a- }2 h
性模型和非线性模型等。
# g; V7 ^5 N/ k2 B+ U
3. 按模型的应用领域分：
2 \9 \8 B9 K; k* |. x1 j
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
7 V2 Y9 X) O; W$ o) a& n6 F
4. 按建模的目的分： ：
7 o2 V/ @' w2 j0 u3 m a7 G
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
d7 l5 F1 U* G) {
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
) Y5 W5 E9 _% |8 _8 F6 U4 d* L' t/ b
往也和建模的目的对应
0 m# {' P3 S* Q' c. p% [
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
! `4 A( Y! F. z! \/ }3 i: u
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
& f- l4 S( Y; E" u# t
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
- B% w+ q- k0 P2 V% x8 M
6. 按比赛命题方向分：
7 U$ S8 \# z9 ?9 h
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
5 W! }8 G k) U1 c# i# v/ j
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
# { G2 k- g& t" \" G: o
数学建模十大算法
$ H" m7 K% n: V z: u( D3 ^
1 、蒙特卡罗算法
# @- e/ G/ i( e& ~ h' p2 _ }
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
- [% g8 r Z8 t/ i
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
' w. Z3 ?' M' Z" M! O
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
6 N# b! l- ]' \6 X+ Q& ]
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
5 k) B9 F' V, |5 z+ {$ P( r( r
通常使用 Matlab 作为工具
' k: }/ I5 {! x+ v0 B7 J4 `# G4 z
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 i/ i2 F1 i& w4 j- o
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
$ H; Z% C, g3 }1 w6 ~
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
. F% b8 b9 B" p1 x
4 、图论算法
; N0 }' y0 L4 i' R4 x4 q
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
* d" c6 f& R, z4 |
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
/ I+ t5 I- {5 J* U; y
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
0 W4 c/ d, L2 G. R
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
|* ^7 T& t, e8 m
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
) p& S& C5 O& A' t) l) p8 v7 _+ ?
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
% U, x" u* E" v( u4 ?1 d
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
' L2 ~5 A1 C2 E) V1 U
7 、网格算法和穷举法
3 ? F% |9 I1 n
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
* G* a* }$ X+ C
一些高级语言作为编程工具
`4 Z5 p- k' K/ ]
8 、一些连续离散化方法
# ?$ C5 ]1 x. b3 E( b" N. b, i m
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
! n1 Q8 r0 l. H! _* ]& N1 u. Z) y
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
R. N/ |/ G* v: Q
9 、数值分析算法
8 f4 ^4 e( O9 T( h$ ^* [: O5 w
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
& a- W. t# ?4 y! K g
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
1 }2 q7 F# U4 K* S( L3 i
10 、图象处理算法
* k; B3 A5 N7 U' C* M# o; t
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
R7 Y' y `: e% I K: |8 E
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
4 \ @- w7 j" n. Y
行处理
1 w, q8 B6 ^- X. h0 s
算法简介
, b7 l9 I1 J+ ?$ S) L8 G
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
1 m3 F# b% c" v5 p R# G5 v1 _
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
' Q6 ^( p& B# o+ E
个条件可用：
! _) Z9 a- i8 U+ u' y0 r2 `1 m
①数据样本点个数 6 个以上
) \9 o) V1 k- F1 m
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
- b/ T! Q$ w+ D0 \3 W1 x+ o
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
6 K9 _, f. b; P1 [
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
; [- U4 ^2 o( g' O" _
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
+ z: j8 s" }& ^# Q- `2 y3 J
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
, k% f' ?1 v- p( R+ a
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
5 e. H8 k6 A3 X8 T) L
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
0 P9 k/ X6 }1 s6 h& p. \0 X( S
化； 样本点的个数有要求：
) y8 {6 b2 s5 q) I+ K& D5 l; b
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
5 B9 X( z+ y1 K/ [0 x
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
# J2 G$ s$ Y8 ^! a& B
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
1 S( J5 ^! Y) }; `) P# O) P8 K6 @4 n
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
; y$ O+ u; z: z" ]/ J
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
; k E0 ^9 D! ~( B1 S% t& q
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
6 U1 ^$ q! Z5 F- g
5、 、 时间序列预测
, N5 z' A2 ^5 g" S
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
x8 l! ?' O! {+ k. f* I# C1 d
（较好）。
! o, I# S0 R @! q9 \- M |5 n
6、 、 小波分析预测（高大上）
* v3 J5 _7 p) j' w
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
6 h& `& M( H& N' d
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
" M" ]3 b/ l4 d1 h% |, |+ J7 g
预测波动数据的函数。
1 C( H, \' Q8 ?1 V3 A
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
8 \5 e& @( C* B' L
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
% f4 K1 t: N0 F% q& W- m
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
2 i! T- u: K2 T( n, S7 ^1 G% u
8、 、 混沌序列预测（高大上）
- n7 R* E2 u: u7 p& ?. h0 k- k
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
: V0 W- y1 C h6 v1 {# T
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
, V8 F4 [. q7 H& r( n! i
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
]4 x8 y- U+ K) ^* K
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
# Y* s2 B, s9 }" T2 l
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
\2 Y! n4 k0 `* n
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
5 B0 j2 r" f; y# ?7 ?$ V
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
- u& s% z5 m7 n' `/ K( W( G( u! U
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
& u( X' [8 e! E. v+ Q2 c P/ p0 z
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
$ C. L1 G; V. [
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
4 p7 O* r6 l( }0 T& d4 ?
优化问题，对各省发展状况进行评判
+ g* r% U( I; e+ q; G
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
3 V- I. A- L+ q( a1 V. N/ v( \
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
O, ?$ `4 q* H( f; W
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
' O: t$ A, I$ f5 x T
似。
Q: T+ O& j4 G) Z, z
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
& i5 r& w1 ]; U3 F
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
1 ]& }5 J& {9 g) i
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
3 G+ v3 J6 d+ x, N7 }
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
( q. t( U7 l* L
的最差值。
8 D# a' |! Q2 h' n, q6 r, x( ^% U. j) X+ J
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
H, r. i2 X$ N3 `( ^/ \
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
! a3 t" ^) h9 {3 V
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
h, E3 ~& l$ `6 P% f4 Y( W" d$ ^
该方法做评价比一般的方法好。
! D/ i- Y) a5 T
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
+ y/ v" ~5 i' W& p4 t) E- ~+ G9 @
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
, X0 \4 \! C7 E+ q' t
量有无影响，差异量的多少
- h5 `4 W5 D) N/ B
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
; C& T5 [& Q; `% o' b$ Y0 l/ ^
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
2 ]5 p% C4 s# x
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
2 F: B3 j% f7 A* e
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
% Z" v* C9 o2 [' q( R+ W4 h( M
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
, _- Z3 }8 Z4 {2 s8 R3 Z
优解。
/ G/ g: m" K: Y# L
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
5 g4 g% p0 |+ X) k% |" ~
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
( Z1 u3 Q2 s. `% J
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
5 }; k$ h9 l* [( u9 l( d$ r
算法、神经网络、粒子群等
# j V! f7 d( U/ s r5 o4 y
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
( n+ L5 _2 k5 U2 {" o3 K ^
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
( C' r+ y1 U& ]& o
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
) @( D* E( Q5 E% M
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
/ r! b, r8 H: @+ [) B8 M2 i6 K7 Z0 Y
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
. R8 _: ~/ O* K$ _' L! ]9 f. S$ J
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
0 `! G& k, `) z5 T! ?
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
+ D( }0 k5 Q9 N5 t# g; F
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
8 A7 S8 |7 j4 L! Q+ n) |* H+ ?
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
* B( `! @' g1 q" |1 v4 U5 F( V% T
21 、图像处理 （ 较好） ）
9 z1 S" F, e$ S3 ~
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
! A; ~9 @, c8 U0 W
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
6 f2 S* b1 W- S$ ?% g4 z+ a2 z
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
* L9 l `: A1 G3 F9 m/ j2 a. _
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
8 x, ^1 Y; y3 _. e# z* l. _( R
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
# ^3 c" @1 e1 A
23、 、 多元分析
: ~2 p; z, o' O: M. Y8 ?
1、聚类分析、
8 K! l. B# ?+ g5 V: H0 N4 Z; b# Z
2、因子分析
`1 h, u% c/ b) p
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
5 g g! Q) t0 y4 n' n
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
' E( s, M& l" k# [& X
从而达到降维的目的。
& `2 t k- ~) c; v9 ?; O* }
4、判别分析
. R8 `$ f5 b! B" D u
5、典型相关分析
. s9 W1 l7 C9 A: i$ T' n$ P
6、对应分析
& O3 E; K+ [% k
7、多维标度法（一般）
; O ?7 V% p( }
8、偏最小二乘回归分析（较好）
! n6 a5 Q2 J) a# Z# V W' z* Y
24 、分类与判别
- t/ ]- V: v+ u
主要包括以下几种方法，
4 U. f$ T8 h. r8 @
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
; }, }3 x; ?) O% f; [/ O% T
2、关联性聚类
- q7 K( I* F. |5 _0 c
3、层次聚类
6 K. n) N8 z: K
4、密度聚类
! r/ b- d* F7 M5 @' j2 J
5、其他聚类
6 `- d3 G; k: }6 Z6 ~+ U
6、贝叶斯判别（较好）
5 L8 m( H, W% {) ^. x: {
7、费舍尔判别（较好）
2 q! n, O* p" u: U# k$ K: D; N
8、模糊识别
/ C7 o* C" H9 `6 U& s3 B6 o
25 、关联与因果
+ h* G L4 C! z2 g: [
1、灰色关联分析方法
$ \! L$ o) c; N
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
% ^; R1 }1 s' U& c$ D/ g
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
$ J' y$ ^* ?1 y" Z+ H( d5 M
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
$ j; d8 |! i' P, W
5、典型相关分析
; g3 @4 r- X5 M8 Y5 i7 S3 ^( N* O
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
) }+ r/ Q F( T4 u7 J/ o
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
# H3 q) Q* U' r% X" p- U# U( c5 N- R
6、标准化回归分析
' n! i6 g$ z8 w- F- n
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
. X! o0 y ]) p3 i7 v9 o% |3 Q: l
7、生存分析（事件史分析）（较好）
/ }9 w, B* f3 X7 v+ _+ b* q
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
Z T N0 W" v! L( T
8、格兰杰因果检验
& X7 N. p& e' n) h
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
: U& T% u# }+ M- i5 A
9、优势分析
( k8 R9 V4 Y* u( } |& j! M. x
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
; s& D( o8 ^/ @) s0 v
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
& T$ Y1 E4 F6 X! S
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
R, `& r" _$ [) o/ r0 k; |
$ M/ i; ?# F7 r) q0 t
* h- t- A0 p3 U; l# T
9 L. d2 G8 [* J5 }0 J* W0 i" V+ ?( a
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