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标题:
数学建模
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作者:
佛自业障
时间:
2018-11-1 11:52
标题:
数学建模
数学模型的分类
( v4 u! L T8 C& q: E# g$ ?
1. 按模型的数学方法分：
7 D# [( Y" ?8 U' }+ t$ Y4 v0 t9 P
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
. X1 Q* d5 a, Q2 p X
型、马氏链模型等。
9 n5 @0 U+ q9 x
2. 按模型的特征分：
1 q3 `$ q* r/ u; B" S
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
0 `! U8 k+ ]: [" w7 g( |8 m
性模型和非线性模型等。
+ u# V+ m/ e0 N; n
3. 按模型的应用领域分：
7 i' J1 o( ^$ w% x0 s% ^/ ]
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
* ]" S( W: J* r; D/ ]! P
4. 按建模的目的分： ：
& U( p/ y+ }- N$ U( I }
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
$ Y) S' x" A k2 N* Y8 t
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
4 `" y$ b- \( C. x& @6 v5 G2 Q% U+ P
往也和建模的目的对应
, w" q' k( i* s X! v+ e
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
% k. A6 A: S. p& p; V
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
a/ m' v+ l: U0 Q6 c
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
( b4 u( s5 f' ?3 {
6. 按比赛命题方向分：
1 T* I. g. l6 }# r) k1 H6 }
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
4 V: J( u& ]- c6 i* s) S$ O* I w
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
* r6 N: M8 l, ]$ M. T; z4 ~, |
数学建模十大算法
6 t( s& w! `7 H+ j, W" D" S* z0 n
1 、蒙特卡罗算法
7 ?% L; u* s+ _; V& K
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
6 ?" ^4 D# d4 N5 G5 m# _. G; d
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
1 y0 b' G2 x' e: J) k
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
2 w% w% u( J' L" m- m; x
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
2 d7 e0 I4 f- P g" V4 X
通常使用 Matlab 作为工具
6 t) A% ~6 c/ M$ M2 y& P t1 E
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
3 \& @8 p( L5 z
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
6 O+ ^6 \0 }. [3 d1 t2 o5 m! [
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
" P- n4 t% M( M9 C: w. D
4 、图论算法
: m0 x. B O& S( I' N a- J
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
! k$ o; n+ b7 Q0 E6 f
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 N$ s/ r$ e# z) ~
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 U3 F' i7 w: o! h* | a
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
: O/ R/ w4 C% E6 H
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
& M, z, ` f5 E/ j1 y
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
/ x# ~$ v! [/ M! E2 Q
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
# ~6 v( X5 Z- t% z" v. F
7 、网格算法和穷举法
0 y* D# ~, ~; j3 I4 C; J9 Z# B4 |
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
0 s) q0 I& n, d: [, V, F" B' y% H
一些高级语言作为编程工具
9 H2 f [' Z0 {" j
8 、一些连续离散化方法
8 O; {. _2 |4 q# I4 }" I
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
0 Z( Z5 `: b) D C
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
7 I' H: ^; b) e/ l1 _4 b& r1 ~; x
9 、数值分析算法
* J3 l) h0 O5 l; {8 `: i
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
( d" c2 W- ]% [' C& K
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
1 r( }. R8 i! ?! H5 |
10 、图象处理算法
$ M3 K q& r0 Q, n# Z4 f
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
; N$ m# {4 ]% F( v; g; {: K
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
/ W6 Q' S3 M5 A4 z5 w
行处理
6 w! ?0 u% G S- b" P$ S+ G
算法简介
/ U5 U, x" [% _; |; O
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
% q8 D2 R1 G0 ]1 J2 z2 J. k
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
. m9 ~9 o( D, \) _
个条件可用：
g# r) I& q; f8 V9 x2 D9 y
①数据样本点个数 6 个以上
% a" t6 D& w; S X: p
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
3 G% O3 n6 j) V
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
9 b# x9 { i0 o+ N6 _* `8 n) z
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
( Q: g2 H$ }( U( w
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
7 P' P0 M7 C; h# R& S! P7 U
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
) F6 h" |+ a& S6 J' U
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
- j9 ^6 D! k4 T$ o
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
1 v8 }" V- M) { S3 `7 m' o e/ x5 _" R
化； 样本点的个数有要求：
, z. X# k3 r, O1 T5 K" U- d; M+ [
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
& P% F( i l) l& [
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
' y# c- I4 J- T
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
( B# I3 A. v8 z
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
j/ R# w7 e8 s
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
$ C+ y4 C/ o7 D$ ?* a
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
( E- u$ s6 W9 I7 c3 ?+ _0 ~6 N# j
5、 、 时间序列预测
8 Y5 T6 K: y7 y9 y% V( Q5 D4 v) K
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
- L3 t; q+ a- g C. [1 K% x2 Y+ X8 L
（较好）。
, v x& c& P, ~: `% D
6、 、 小波分析预测（高大上）
, x7 ^5 n( k' r' x9 v- x" R
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
$ v: N* x& z8 L
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
5 O, T: O4 L# S
预测波动数据的函数。
. R D8 d1 i) x3 S# _& ]8 \( o4 t
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
, W8 O) o0 u( j8 G' K
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
& r- D9 p: w, o
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
- Q, C3 H4 E' ?* [7 l0 b1 [
8、 、 混沌序列预测（高大上）
4 R z4 V9 D6 g$ v
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
5 T- T. G# t& n' |: X8 S4 l9 u
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
& {: m, e1 {2 x2 x% _! I
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
- k& P- n: \- k7 ?
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
$ {. o5 X8 O, g
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
0 c2 C/ h1 A; A1 R( Y8 y' h, f
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
& f6 _, P9 i2 R! L
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
$ ^) O6 Y5 k: y7 O2 S- M$ p0 N1 O
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
: t# V0 h x {. p2 c2 ?
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
% F( a" w5 Z H
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
: R8 O) c! e* c" j
优化问题，对各省发展状况进行评判
$ E7 z, z5 Y$ p) r
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
8 I* l6 _7 {0 d/ F
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
' H6 Y5 @8 k% W% x' x' h# J
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
* Q% l" ~5 X" W6 Y% V) Y
似。
6 u* F" ^+ y( [* E6 w% n
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
" b2 ?" | w, f2 }' F
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
8 q' w% J* A; Q! @9 G
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
2 i+ w; T F5 c4 D
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
5 p/ i1 t; [1 z% B8 L
的最差值。
; S2 Q+ L8 [0 L
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
2 X) r9 `9 n; l2 b2 l: A
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
. h8 J2 W' s. Y. p8 I: M% A
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
3 y8 K" n+ `5 s
该方法做评价比一般的方法好。
6 z- L; {. j3 z# r* e
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
, V9 ^$ y( I3 g& I6 Z
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
) G$ |! g# L+ W/ t; j
量有无影响，差异量的多少
; y2 \2 q0 g4 {6 i/ n$ Y
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
, `$ M7 |9 R- d: m f3 C4 P
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
7 t3 o/ E( K5 K& z& \, N
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
* @3 y2 `& O. j
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
# v& {/ o6 e$ Q$ v; V9 _* ?+ q
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
. |! @' b- Q3 I( g1 s
优解。
% x3 y& K8 B0 ^$ P. x( X a' [
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
2 {% S) M5 X- Q6 {& d& X* j
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
" w/ _2 O9 g' P8 a, B0 Z3 Y
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
6 O# Q- J3 f5 O/ b
算法、神经网络、粒子群等
5 {' w3 F" T! {" @+ K2 h4 s
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
9 T8 P' W; `( R5 a2 }
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
) A+ Q2 o# \8 \! p x
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
, h6 [2 [' v$ H5 E# w. U* |
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
, {4 i( I9 b6 F5 x6 t" }
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
1 {3 k/ D5 e8 c6 `. K; ?6 Y
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
" \8 H. e( X# k0 f/ N5 N
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
& O( n- Y9 P4 |; `3 k
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
' \& ~( K' Y$ f& w7 m" d! o7 Z2 A
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
% u) x) Y2 h; ~2 a4 y/ p
21 、图像处理 （ 较好） ）
3 m; ^: @- l' V; k4 Y# Q- D
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
5 B+ |- B+ U0 C, b
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
0 F; H8 T5 [7 w9 J m/ T
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
; J- H' B2 I3 L$ Z: F" j3 A, z
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
3 K- W/ ]& b. D$ h
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
1 x: K* l. S% Q* _" u* F: z
23、 、 多元分析
5 p4 P g1 Z# y8 G- t; X; h
1、聚类分析、
) g" S) l s! B. Y5 S |! }
2、因子分析
9 j* ]4 e) y' S5 C* }. k$ F
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
0 \) K8 y* e5 j8 R: Q
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
; P4 [" f7 d- |0 m
从而达到降维的目的。
2 s. l& x- b. Q4 [
4、判别分析
$ G9 A+ E; e# z! h# K; c! Y
5、典型相关分析
& R$ A1 `& Q$ \. k+ J
6、对应分析
2 L0 P5 u e; w2 X5 d
7、多维标度法（一般）
, w7 f; e8 }, [5 N! c" f p
8、偏最小二乘回归分析（较好）
& l" G9 c4 x* x: P" l
24 、分类与判别
, M/ i$ D" {6 X
主要包括以下几种方法，
, Y+ g& A! e/ `
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
7 \3 ?: v. m6 n6 M/ E# g0 C$ D$ a
2、关联性聚类
7 \4 e7 u: H) ]" n
3、层次聚类
0 P0 s9 d5 l2 B; z$ K1 ? I- }
4、密度聚类
H7 H1 H0 k* i% ?- L, I' K
5、其他聚类
1 V9 X8 U q- O
6、贝叶斯判别（较好）
& [; n' w1 |; `( p( P
7、费舍尔判别（较好）
/ [' i4 `2 t3 _
8、模糊识别
- ?- q' j5 x3 r4 n
25 、关联与因果
# z% `- t! Z5 m5 _5 m
1、灰色关联分析方法
& l3 ?( O( f _" K, x# [0 m4 B
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
: b7 I' L+ D% ?, I/ t; o, x+ p
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
1 R. s) {5 l0 s6 `' P
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
( n5 L+ `. H7 U6 Z
5、典型相关分析
! y" t% i+ U: w J! l/ x: ]9 n
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
( t% k) k+ W1 d
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6 c! w V/ p K! [! |8 R& o7 ?
6、标准化回归分析
- |' M8 b# Q! V! e( C+ V) c
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
( k/ h6 u3 ~/ {( }4 g. t4 V9 E7 R
7、生存分析（事件史分析）（较好）
2 h7 E8 H* _+ Q
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
7 Y" X! K5 |- K: S7 `) r
8、格兰杰因果检验
5 T0 V" G2 n6 U0 X$ k" R6 p
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
- ^) o9 X$ p0 u) }6 |; @" _- L; ^
9、优势分析
* }( _" p% G2 e7 L
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
) P+ E! ?: I" x e
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
8 ]# m1 X; z' [
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 v% U$ Z: d" _& E( ?. ^" l4 c
' N7 |7 h; y# N3 k) \, t
2 Y2 ~# t. C- O; _
, z/ | r c$ {8 e( G7 E
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