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标题: 数学建模 [打印本页]

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作者: 佛自业障    时间: 2018-11-1 11:52
标题: 数学建模
数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
0 R9 v  \3 U7 ~$ T& F2. 按模型的特征分：
: a2 C  L# A  Z, c2 n6 t静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
7 l2 _, @2 R  j: t性模型和非线性模型等。
9 y6 M+ l. E' [! g: M7 x3 u3. 按模型的应用领域分：
* h, ~% f( Q& N- H- r6 W人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
5 V7 V! V! A5 R% D  d4 b) u3 s" F预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
; }/ ^9 _) r# I7 Z往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
* j1 q( z- l2 q2 v国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
8 x, r0 T# [! P! @$ `. j* ^1 、蒙特卡罗算法
" `0 r* t* X6 S& I$ O- h该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
7 _0 h' `* _) w7 a5 G5 z1 E2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
& s. o4 z' d2 }3 d2 y( N- K比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
3 L8 m/ Y& _! w  v6 Z2 s通常使用 Matlab 作为工具
! e( ?" P& n2 |& Z1 C5 |4 `3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
8 {9 S; Q4 N: H/ e建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
0 k; T+ J' J: i4 、图论算法
% m+ e( T+ d1 T5 v2 j* x这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
. `1 q2 e" p4 k$ ?6 _4 b7 _5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
  r7 Y& `3 S. y' I; C当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
  L/ E8 P9 ]- ?- C( z$ l9 f一些高级语言作为编程工具
' o% j4 u  v9 B& E( j( o8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
8 F2 w- l! ?: h$ A7 J/ q& s- _据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
. V) G  Y  `* E5 y- R; Z& k$ l9 、数值分析算法
/ I' y* m  Y7 S如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
6 ], m, ^7 \4 }* f赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
* d, c5 _: o! l4 o的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
+ b: C& Q, Y/ C" ?+ n5 @行处理
算法简介
: t  I3 z5 i! v# e2 d9 ~1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
8 ?# R0 H5 A  X6 _+ @4 D) ^解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
" t9 W. \7 f- c, Q" q9 a个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
0 S) ]# y2 z. c$ o# [0 a, J- p  F②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
! g0 S1 k+ ?  n( W2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
& K4 `- G  u6 N6 I7 ^( J6 w- w+ F( d+ ?微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
  ?) a# c8 M" ~% L# Z其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
  C) R6 S9 W$ F# C  A2 k# W求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
9 [0 g9 t4 Z" \  a  ~( S$ a& I: Q( C化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
; X& T% }5 W6 R! c  F7 t: F互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
& I, D! B( a- J- x9 u( ^& J' }/ |概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
; {+ `5 M: y, Y$ Q7 ]! |* b0 q, t5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
" a+ o# D3 }% M9 i（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
* n" ^: w4 h) E6 f7 C# a5 P9 H预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
6 Y2 V) P5 ~& K$ q+ c( F预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
( W' R, a4 {- W2 ?+ _2 s5 ^适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
  a, u: {, D2 D4 }" |% L逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
  Y( O6 J# e( G  s* P7 t评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
$ B" z5 E3 x$ |, K# m/ @+ p11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 ]" o: [- l/ K; _$ `4 V; _/ V7 C作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
5 z& n' R3 S2 c7 E" Z; S优化问题，对各省发展状况进行评判
3 w3 h; J! C- a! D5 p7 ?4 c0 L% D13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
  S  P3 f5 N: v" [秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
1 G4 x+ ~) Z  ?' M7 Y/ T14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
% y( @6 V% n' S4 n) N; x15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
4 w" A* O" F1 O9 n0 Q可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
" r( z0 H5 }3 s该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
) [4 ]+ Z" G: e* D3 n0 X0 E& v. m: R9 N量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
" S( {! H2 ?" N. q  ?素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
7 s& `* c7 X% {1 n' ~17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
+ j' t! J8 b- F' ^/ W# T* K. C$ `模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
8 s3 ]. }! i8 e, ^18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
0 x- I+ a  i5 H, C5 `5 I% v0 B其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
3 h. W' p( T6 a* o4 p19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
% o+ A2 }% L6 h9 s, p9 S- C, u离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
# r: D! v' t6 E排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
+ ]4 L0 ^& \; F  t/ s7 K0 t) ]般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
( o( {: U" |9 _. @. s4 S21 、图像处理 （ 较好） ）
: L; Z4 @9 v* RMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
$ g, n8 _4 N) n& r" T支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
) e" @) t! M% F9 F3 t& Y* Z射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
  v/ q1 b( V2 H, o- @* j23、 、 多元分析
1、聚类分析、
  O# P4 V+ i5 U" b& ]2、因子分析
6 B# R7 @) _! Y- d5 W7 s7 h. d3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
/ e) y5 \" t( \. Q7 R各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
  f" R: ]& L% s1 X! y' I6、对应分析
7、多维标度法（一般）
1 U0 g5 @: R" \& P; }8、偏最小二乘回归分析（较好）
; p% T1 k2 x# B24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4 _; v! e  D! E4、密度聚类
2 q; {! I$ D; D  E  W4 Z6 W0 a5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
3 S7 C2 J# N# `( j! O  m25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
$ a2 E2 Q* z0 |6 p' X1 C' g2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
: s0 r9 X" J8 ^0 j, `- J* E7 v5 h3、Person 相关（样本点的个数比较多）
1 h% m, I7 |" x2 y4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
4 [( R$ U* [- q$ y( z* y一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
( [4 ^9 Q5 d. l- ~, H0 R( A* u5 O1 v数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
8 y; P. x( c& t( ?26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

$ _. J2 ~0 H6 ]/ B+ m

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