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标题: 数学建模--转移矩阵 [打印本页]
作者: 佛自业障 时间: 2018-11-2 09:15
标题: 数学建模--转移矩阵
首先来简单介绍一下矩阵的乘法，两个矩阵能进行矩阵乘法运算的前提是：第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数。A = （aij）是一个m*s矩阵，B = （bij）是一个s*n矩阵，则矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C = （cij），其中：cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ··· +ais*bsj(i = 1,2,···，m；j = 1,2,···,n)，记作 C = AB。
* q* t. U6 e6 E8 }用文字来描述就是矩阵A的第i行分别乘以矩阵B的第j列对应位置再求和得到的结果作为矩阵C第i行第j列的数字。
; A/ U) ]% U0 Q1 q) S由于没有真正学习过转移矩阵，所以百度了一部分内容粘贴上来 8 i' f6 y# ~& m5 Q3 z' a% Q2 _
*什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix) # F# y8 F" {$ T8 Y
转移概率矩阵：矩阵各元素都是非负的，并且各行元素之和等于1，各元素用概率表示，在一定条件下是互相转移的，故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时，矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。
V0 T4 ~& Y q6 D转移概率矩阵的特征 ) `- W* Z9 o& C1 k+ k3 V8 i
转移概率矩阵有以下特征：
* v9 a( ]$ |, D* W) [" F; i; f ①,0≤Pij≤1 7 L# {4 i# J: X p
②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1，即矩阵中每一行转移概率之和等于1。 + [; d( f5 [9 `& r- d
转移概率矩阵的分析 # A [. J% u$ p. ?9 m# S
所谓矩阵，是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来，以表示它是一个整体。如Ａ就是一个矩阵。
: |* E3 W# {- k/ pA=
$ N3 W$ ?5 O8 C% p! Y1 T: X: U7 R! {+ a& Y' l! r
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]⎢⎢⎢⎢⎢a11,a12⋯∙∙∙∙∙∙a21,a22⋯am1,am2⋯a1n∙∙∙a2namn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
! z- t% z0 G ?) T) q4 {* Z2 a
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]这是一个由m行n列的数构成的矩阵， 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素， 矩阵中的行数与列数可以相等，也可以不等。当它们相等时，矩阵就是一个方阵。
$ J. F- K/ j" v4 s2 B& J+ ][color=rgba(0, 0, 0, 0.75)] 由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率R=; v2 c# U/ l5 U$ s" U
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
- ~% C, N3 b5 t& |: N下面通过一个例子来解释转移矩阵的应用
" v3 Y) [3 i0 |. n' K1 w有R和S两家公司经营同类产品，这两家公司相互竞争。每年R公司保持有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保持有2/3的顾客，而1/3转向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额，而S公司占有2/5的市场份额。
' h& W/ P& ]- w m+ d2 e3 o- I试问两年以后，两家公司所占有的市场份额变化怎样？5年以后会怎样？
& x* G1 b- a+ ^$ Z3 ~* }第一问比较简单，通过高中的知识就可以接出来，& l4 }& x! }1 s7 X V) M5 j- u+ r/ m/ o. K
R0 = 3/5,S0 = 2/5,R1 = R0*1/4+S0*1/3,S1 = S0*2/3+R0*3/4,同理R2 = R1*1/4+S1*1/3,S2 = S1*2/3+R1*3/4,
- X8 C+ m7 b" [& B# ?+ J
: g% i8 {: _# W# B这样稍加运算就可以算出结果，但是当计算5年以后时就会比较吃力了，下面通过转移矩阵的知识进行求解。 ) |( Y. ~! L9 U( y6 k2 h: h
先建立一个R和S公司的初始分配矩阵8 Q( n. |5 R: F0 i- d
RS0 = [3/5 2/5]$ c6 l$ c0 q6 U' d+ E
再建立一个转移矩阵* K' K9 i/ K' L) [1 x' h6 D6 J) E
A = [1/4 1/3; 3/4 2/3]
3 M+ h2 \8 J5 P$ T; x" {一年以后的分配为8 c& F/ S, L( ?6 d d; O7 g
RS1 = A*RS0/ m; } T- s4 }8 Q9 k6 T
两年以后的分配为
' |3 p0 X1 V0 K. l( Z6 ^RS2 = A^2*RS0
& h! q( b6 S6 J& ?5年以后的分配为7 c& h$ ]1 y* F2 h3 m2 E* \, n6 y8 d
RS5 = A^5*RS0
% {5 z% T2 V6 k0 E8 F6 @* ^; P转移矩阵的第一行第一列为第一家公司保持的份额，第二行第一列是第一家公司向第二家公司转移的份额，第一行第二列是第二家公司向第一家公司转移的份额，第二行第二列是第二家公司保持的份额。
8 r5 X" q, `) i, d/ u! U
$ L& X+ g" O# R T+ B. L; ?+ Q9 f! g% ?
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