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标题: 数学建模--转移矩阵 [打印本页]
作者: 佛自业障 时间: 2018-11-2 09:15
标题: 数学建模--转移矩阵
首先来简单介绍一下矩阵的乘法，两个矩阵能进行矩阵乘法运算的前提是：第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数。A = （aij）是一个m*s矩阵，B = （bij）是一个s*n矩阵，则矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C = （cij），其中：cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ··· +ais*bsj(i = 1,2,···，m；j = 1,2,···,n)，记作 C = AB。
X5 h! G; r' ]1 e用文字来描述就是矩阵A的第i行分别乘以矩阵B的第j列对应位置再求和得到的结果作为矩阵C第i行第j列的数字。 & D, W! P5 G0 s/ [; a; g/ T; `8 B
由于没有真正学习过转移矩阵，所以百度了一部分内容粘贴上来
. e, O I4 s6 J( j$ ^! u*什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)
( u9 \$ e7 x% m6 N; x+ p1 N 转移概率矩阵：矩阵各元素都是非负的，并且各行元素之和等于1，各元素用概率表示，在一定条件下是互相转移的，故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时，矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。 * j4 ]0 k5 {9 M, j2 \' u Q5 c
转移概率矩阵的特征
( K" f0 J! A" | 转移概率矩阵有以下特征：
~7 j( l! @% H# I% b) z2 A5 C ①,0≤Pij≤1 $ e( q' z0 j) `( ?+ a
②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1，即矩阵中每一行转移概率之和等于1。
/ j% c' \) E3 J7 t( a转移概率矩阵的分析 ! L3 X( f4 b. v9 P
所谓矩阵，是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来，以表示它是一个整体。如Ａ就是一个矩阵。 1 n7 U0 ]/ ~. {/ ?. m: ^
A=0 _6 L2 H0 p2 B! F1 G
5 z0 |' X+ W1 y( q( |- _
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]⎢⎢⎢⎢⎢a11,a12⋯∙∙∙∙∙∙a21,a22⋯am1,am2⋯a1n∙∙∙a2namn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
6 d2 a2 y- `; f[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]这是一个由m行n列的数构成的矩阵， 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素， 矩阵中的行数与列数可以相等，也可以不等。当它们相等时，矩阵就是一个方阵。 1 l1 ^% c* ^' I$ e
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)] 由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率R=
7 `+ X( K+ l% q# h1 H[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
* Z% y! h+ Y1 _3 F
下面通过一个例子来解释转移矩阵的应用
% R8 O& m! s7 O( k. `/ S有R和S两家公司经营同类产品，这两家公司相互竞争。每年R公司保持有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保持有2/3的顾客，而1/3转向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额，而S公司占有2/5的市场份额。
4 a1 i2 U2 X" E+ D9 \# C试问两年以后，两家公司所占有的市场份额变化怎样？5年以后会怎样？
8 \& j7 B) Y/ |( r第一问比较简单，通过高中的知识就可以接出来，" M% ]( I# K" B
R0 = 3/5,S0 = 2/5,R1 = R0*1/4+S0*1/3,S1 = S0*2/3+R0*3/4,同理R2 = R1*1/4+S1*1/3,S2 = S1*2/3+R1*3/4,
) v. B. ?5 u& }
6 u \. }! V/ w. d# _0 a( f+ B5 U( a这样稍加运算就可以算出结果，但是当计算5年以后时就会比较吃力了，下面通过转移矩阵的知识进行求解。 5 H! ?7 ]. f$ z8 x7 @" A
先建立一个R和S公司的初始分配矩阵
! x3 Q E8 F* a2 k4 ?RS0 = [3/5 2/5]* B$ m. N+ Q! \/ j" c. b2 ~7 _6 }
再建立一个转移矩阵: p2 g$ K* j/ n- s7 ^/ Y, c/ a
A = [1/4 1/3; 3/4 2/3]% I+ [. }# {" i: f- M( W
一年以后的分配为
; W9 q* V6 J" rRS1 = A*RS06 _* [* `* O4 D1 h
两年以后的分配为
E! X1 j$ M' n& Z1 F, YRS2 = A^2*RS0# h- O" r: E, c. h0 R
5年以后的分配为
- ]) E" V, a3 G" C+ hRS5 = A^5*RS0( ]- V0 R0 l2 K1 f7 ^
转移矩阵的第一行第一列为第一家公司保持的份额，第二行第一列是第一家公司向第二家公司转移的份额，第一行第二列是第二家公司向第一家公司转移的份额，第二行第二列是第二家公司保持的份额。
% ]+ f* `$ U0 d$ h
' E" L |- C6 T7 N8 g5 _
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