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标题:
7个入门建模实例讲解
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作者:
浅夏110
时间:
2018-11-18 09:19
标题:
7个入门建模实例讲解
第二章：初等模型（初等数学方法建模）
) k5 q: C5 h8 T( ]3 ?' H- `
0 Q$ c( L5 q. ?9 u
1. 席位分配：
' C& q1 H0 o5 W/ Y
1 [" h. c3 m/ @$ } J
a) 问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
3 x# a2 ]( f( ` f
T+ k- Z8 k0 Z0 L6 ~! p
b) 问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
4 V: g: k s; \. Z
2 k5 ^0 f* f4 E$ f' Z
c) 解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
% C5 q; f9 n# H& k M
; s$ \$ b ~; d4 w
o/ V+ s$ S! k+ q- S
) H* x, m" j. A) w% `
2. 双层玻璃窗的功效：
" \8 K3 ?8 A4 Z
) m# X* Z5 Y5 V, r5 r& E( l
a) 问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
2 b( h2 H/ O ?( j4 N
% Q% ?) S0 |6 W, B, H- |1 }
b) 问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
- m. u6 ]3 L' p" \
; O' s1 P: f# l9 e2 O) W
c) 建模：热传导定律模型。（有公式）
* u5 z" x2 }- a1 t, O) a1 y! v! }" `
" r' ~2 x9 J9 g/ r7 }6 h) }6 u7 h
d) 分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
6 Q$ [; m- r5 q* H2 ~" m
( F* {4 O1 K6 R E: B7 q8 F
e) 延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
' a$ v; B( o1 R- c
" G8 P$ R3 \' H4 I4 G0 M3 E
5 t5 Z6 B! f+ g; H' [$ n& [5 r
$ \; W) f, `9 V& K
3. 划艇比赛的成绩：
9 C7 b7 n: \3 b. C! n
4 x& X' S# g- d0 q: U0 Z
a) 问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
8 s6 l8 W& t* \+ k4 g
( `& U9 I l- j, o7 W2 s% [, I4 m
b) 属于统计，数学模型拟合类型；
% Z6 d9 b+ M+ [- F! \6 ~+ Z% C
R+ x+ u# L! V6 q' \7 v! B) S
c) 问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
2 F+ T# y! y* J' h7 d
. X `- T' V6 P1 _6 c4 g
d) 问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
w' b" S8 Q q% g/ W4 F
$ B" z; ~# K( q- n
e) 模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！
+ c: |# v/ M, o p" r5 t
# L2 n# }& L1 `7 c
4 L) U! i B" M; U" p
: H: Z1 q; J n/ b* s
4. 录像机计数器的用途：机理分析
% {4 f/ Q( K# g1 q M
3 Y. N- h% R8 i m; e2 C
a) 问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
4 @' L L; i, k5 U' n. L
) S3 U; ], U5 ^2 [) }2 r, x! ]8 P
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
( Z) z& F; Y4 `- D+ S
- Y7 q5 B2 R% g# t9 W/ R! F5 K
b) 要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
; j/ s0 _: L1 L
: |$ l- ]3 H$ g: R- A. t, a/ `
c) 思考：计数器读数是均匀增长的吗？
3 S7 N& l4 R, J8 }% Y; J
V& ]) o. f: l7 ~3 h3 |; K' ]
d) 问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
, a' Y) _- c. H
# X U! ~( J+ j* W" ~1 \
6 _" m4 m+ p* P
: j) H$ j& K2 L% u( J7 B# d2 U5 P
5. 实物交换：
3 Z, S* ^( v, g0 c/ y ], l
, {6 b7 J; A' J: `2 b
a) 问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
# s8 g/ M" C5 L% P, Y8 ^
: E7 g: t9 Q0 }8 Z& I& _
b) 根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
. V9 \/ @) W3 s9 T; X
/ |4 t; ?1 ]& ^, T/ a9 i. {& y
c) 根据不同假设，进行不同建模处理。
: ]1 V P4 ] ]4 |. c6 Q, G
: f' z5 Z) Y0 z, c* W
$ ]! s6 Z2 f# @2 W7 z. W
. P3 I& S. r$ X; r/ o9 x3 y% v
6. 传送带的效率：物理实际模型
( F3 j+ m/ ]8 Z3 K0 m' h( c6 }
5 q K- C# F( \/ u# X# S0 ~' j
a) 问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
3 E' R6 H0 L$ ~5 h/ J6 p2 K
3 v, e; \9 e: n: l' u6 {
b) 问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
+ O% _1 W9 D1 E& w |+ D. |% o
% `4 u4 r" O) \+ w
c) 模型建立，提出提高效率的途径。
* s' W4 i- z* g5 e
+ B; b$ M7 \" t$ G) A6 x! W; n0 d
' m- u, V7 S' {4 B. E' ^ F7 Z
1 Q& {: L) H' p' c# P
7. 起帆远航：
: p1 r- v. C4 I" V
7 \4 S' c3 i! p0 U
a) 问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
+ m! g1 A; h- X0 H5 ]: u- a$ M8 b
, ]0 \3 |# |' }9 J
b) 简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
, Z+ B) u% s0 n* \7 z, g
M; g, Q8 R( K2 q( j7 e8 `
c) 问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
# L# V: Y. \( W9 q- g+ z
, M m' H1 G1 f( f8 b, F
6 Y# a# X, B, ^* y3 v8 O
总结：
2 u( y+ q" }$ u! N6 Y0 I1 i* ]
+ P" }4 p7 P8 ^, N5 n
1. 席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
0 E; {3 W2 A# n R+ g `! T
: P$ {% F6 h$ s7 f* p0 ~
2. 双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
* D& |. V: q* z' a6 U/ M# V% c1 v
$ {! N# {/ ?( q \: y1 Q
3. 划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
- Q/ N- b! F" Z+ Y% c: e- `
$ g, \' U. U! }
4. 录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
3 q/ h. @& J; v, w
) S# w/ B3 C9 {# a: `
5. 实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
( C7 w3 V' t. W9 Z
) v% O6 Y, Q8 t, j
6. 传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
2 D Z# ~4 _' O& S! ^
& u" [& }& A$ m
7. 起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
8 c1 D ?& E9 z
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) X1 `7 A" W& z- n
+ V1 v8 d, W: F- [) Z+ I; {
9 M, a$ ]' G% R' C- F
) g0 u" n; |' `6 W6 E$ l2 D
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