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标题:
7个入门建模实例讲解
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作者:
浅夏110
时间:
2018-11-18 09:19
标题:
7个入门建模实例讲解
第二章：初等模型（初等数学方法建模）
: m e+ {: \7 g- k% b
% \ x! q9 n9 q Y3 ]' a# q
1. 席位分配：
E! W' { t% L7 z6 b8 s+ M. N
! u( L b- o% f
a) 问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
) N/ R. [' [ J0 b
. g! u! X0 X' m5 M
b) 问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
- R$ J" ^, ]1 S' G; |
/ ?9 v1 O r$ P3 l
c) 解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
; E* X c( _; t
0 t4 O+ e$ @* K# A: x$ w( g
( r L! b7 g- W# H, I1 `) j) E2 p
% t! K* M2 \0 n/ G" L: D
2. 双层玻璃窗的功效：
: {. M# a8 Y6 U2 x# L
9 C3 k4 @& r, d/ L8 r+ I& n
a) 问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
- y4 O' ]. H1 W' s9 [# m
4 @0 f* G$ z" Y
b) 问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
4 {3 W8 G4 W! n1 k; r
/ T% P1 p9 j. f; T0 \5 V
c) 建模：热传导定律模型。（有公式）
1 _, u3 j; c: U' w/ U: a8 Q d2 ^
( N5 R+ H( g+ W
d) 分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
) D4 q9 c1 U' n, C0 m
/ U8 o( N$ G8 j1 \7 t7 F
e) 延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
9 `. E* f( g/ N
6 e0 v, I" b9 U4 s2 V
% P- o* O/ g. _0 m9 h) p1 Y
/ m8 L- W/ s8 `' A) A# Z/ z
3. 划艇比赛的成绩：
. _5 F" Z# `& ^. M+ z, w/ r
6 ~" d( Y3 l: K
a) 问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
; C/ y# i! H) A% k
- N# v8 U) w6 \' g# _
b) 属于统计，数学模型拟合类型；
2 f/ ]6 H+ G9 |2 l( b& ?
5 w- a# }5 `7 S
c) 问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
6 q+ v6 V0 N1 J
7 ?. W- a! d7 J6 j
d) 问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
6 N$ W4 G2 B* T: p# Z! I. B
5 e: {8 @8 M2 D1 k! O- e
e) 模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！
. M2 S" Y, z |$ p: ^) I
1 |. O3 Y: \5 D- x1 I a a
/ d. {1 Q' _" T3 ]" s1 ]2 H
2 I, k! O/ Q1 s) O
4. 录像机计数器的用途：机理分析
$ C9 E. R3 |" E3 A, u; H9 W
6 i$ c- r5 h# k" j
a) 问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
d5 a/ U& [( H( P8 O2 J5 v
8 D6 p0 B6 _; ~- M- V
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
S1 c% ~5 j8 t+ x
: q5 t8 V) h) [3 j0 C. }
b) 要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
, F6 J6 R6 `9 E& C# y; Q
3 e9 N3 y. m3 X: J8 i y
c) 思考：计数器读数是均匀增长的吗？
$ x- E7 M( U* E8 @/ [$ W+ K
- I' n9 E+ s. D ?0 A
d) 问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
) f: V! n+ G: k5 b9 x2 |$ t) z; }
$ v6 q! ?1 N' g9 D2 \; x* x
' N. Y2 o0 [, X7 o2 K+ ~1 j
9 z) o, f7 k D W8 a/ e! ]
5. 实物交换：
( M4 r3 V+ g$ @% G! D% G8 h* j
6 P$ Y' U, E3 G, c( t" q$ z, j$ V
a) 问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
: i1 e4 P$ R& j5 I5 s
- f7 x8 N+ `+ S/ S W$ V
b) 根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
+ O6 f9 c0 n q' c
1 _# @& |! Z4 Z4 h ^, n+ f
c) 根据不同假设，进行不同建模处理。
+ U8 ]- p- [ q& e
) } t$ k \; `
+ K z' V# \2 n
1 ]/ j& t2 H7 y( r
6. 传送带的效率：物理实际模型
. V+ X. r& m2 a$ g
3 }3 R% a6 X: J- b! e, I3 Z7 ~
a) 问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
! V( y5 M5 A, ?9 n
; n3 ~2 j/ i- P+ l+ ]
b) 问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
( i: n* C1 I( ^9 d" {7 q
# r$ {8 h9 y/ R! B, N& t
c) 模型建立，提出提高效率的途径。
7 q8 r( \6 J' |8 |. e9 l" e
" I5 s& r4 j0 y0 L$ V
3 P* F/ O- |+ B; f, e
4 |$ w* ?0 `1 J( J0 ^- I& }% d
7. 起帆远航：
' H/ [, i7 c- q! U% _9 u: d
5 w2 |+ P( s4 E0 _) I0 j
a) 问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
" i W, [- q% d* l( |. B- X
3 k1 A2 H/ c( Y f0 o6 x. R3 O
b) 简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
5 \# X: E& E0 f' Q7 c
( Q" G8 H4 e7 m* ~! \
c) 问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
5 m' R; h/ h3 c2 c' e' z" I9 d
% ?$ P5 k/ Y% R, Y* F; h
# ~5 C* g; N& x4 K' Z8 F/ T/ M
总结：
8 W- |1 a6 C# S. F' P+ e$ D% G
1 [5 Y/ M4 C/ ~1 K1 J" g, K1 b
1. 席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
8 D3 _4 t3 o+ e
- E5 L" t; Y0 e5 P! {
2. 双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
* ?, s7 ]. m4 G! Q( z- W
. B7 }! F8 S2 o$ l6 y( ~2 \5 q: K+ f
3. 划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
6 T/ q* B/ L% l9 Q& Z- v1 `
8 |, W4 d/ u3 h) m2 C' @
4. 录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
" E; C, H" i; k8 x3 H# A' x
4 `' k+ x7 z1 ^+ s z7 r
5. 实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
8 c- R( |. x) ~) } W; p
- `7 [: e; r& O' G( a2 Y
6. 传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
0 t. f" E) Z( p/ l3 b
9 A/ L' r3 ~0 G
7. 起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
- d' a5 W6 w0 b4 p8 c1 f9 n# z
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Z/ y. {" ?3 o
) Y& g( [" U* \% n) W, w% g7 y0 v
4 C1 I. A d6 H8 G; T
$ d! _1 |' J' n
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