数学建模社区-数学中国
标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
[打印本页]
作者:
杨利霞
时间:
2019-3-5 16:34
标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
1-3、常用概率分布与随机数生成
本文首先介绍了概率论里在数学建模中的常用分布，包括连续型分布中的均匀分布、指数分布、正态分布以及离散型分布中的二项分布、泊松分布，并针对各种分布列举了一些对应的遵循该分布的例子。然后列举了十多种Matlab里按照各种要求生成随机数、随机序列的方法，并简要介绍了excel里生成随机数的方法。最后列举了一个需要用到生成随机数知识的例子。
3 K) P/ k8 y1 O. N9 ]& e
" S# a2 w' k4 Z8 }9 b' F5 [4 T
一、常用概率分布与服从该分布的事件举例
0 V- k6 g$ t$ O% `
6 E# y+ g3 e8 I: W7 H
在实际生活中，有一些事情的发生遵循某些概率分布。因此可以用某些概率分布模型来刻画某些事件。本节简单介绍了一些概率论基础里的概率分布，与可用其刻画的一些事件。数学理论部分不详述，建议参考概率论教科书。
- w# m( ~ t6 }* C% p1 `
$ i7 K! O" j$ u6 P! z, C8 a
1、连续型分布
) B3 m4 V+ U2 n; x! u* ?% x
/ h" `8 z9 T9 j- N. X. B
（1）、均匀分布(Uniform)
m3 A& g5 g* q! b
+ V1 U* t) s# _1 U `$ \9 Z
均匀分布是概率统计中的重要分布之一。顾名思义，均匀，表示可能性相等的含义。在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。
2 j6 m' \9 d1 q& e7 |2 w
1 B. a; B W- X5 u$ |' A7 q( [
概率密度函数：
0 _* g$ D) H8 k) i' w
f(x)={1b−a,0,a<x<botherwise
0 _7 I8 X/ o4 Q/ n
f(x)={1b−a,a<x<b0,otherwise
' F- z8 [2 ]+ G9 U1 A. C
% X% r) V2 [, j+ L1 H B
% \) a; f# H1 Q6 d x% Y
分布函数：
3 H# e! D1 b" \( l2 R
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x≤aa<x≤bx>b
/ ?& L. |/ t) L
F(x)={0,x≤ax−ab−a,a<x≤b1,x>b
% ^1 E! D/ G) ?$ U P4 {
& y) w; G+ C- d6 J
; z6 y; C& k- }
适用模型：
9 G' D: Y! h- M
2 u! Y) U3 k; j4 }) q+ B
在某区间内某事件发生的概率相等的问题。
}5 s" a9 h& _( y; z& w& N
1
2 o" O; r& [$ P' r$ @: x
（2）、指数分布
6 t9 m# k+ C1 N% F/ |
2 S1 u* Q( I m8 C: {: }* i
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
% ?3 \, {) _" C& N
' U, ?6 d$ F E3 x' Q N# v$ B
概率密度函数：
1 a/ v' }# }% D
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
) Z" l3 [' P4 u2 m! b; _% _
f(x)={λe−λx,x>00,x≤0
$ S* s) H/ L4 u" Y4 j& s: O
; ]" w! O0 s6 p0 x3 y- C4 F
) H4 \( e8 u* s$ \. y
分布函数：
/ F5 u. Z/ k( I/ J+ U( T
6 x9 ~+ H9 C. K* E2 S/ j" l
F(x)={1−e−λx,0,x≥0x<0
d- D3 Y- p6 G" B
F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0
9 N# E+ X8 [, c0 y% y
8 s% |% G7 p% K0 ~# e$ c8 a5 K
7 N: Z# W- i0 T, e9 G1 Z
适用模型：
* b& ^; }5 D; k
' ^- i6 q2 F. Q Z: f5 S9 X; E
在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。可以近似地作为
+ y8 P0 R# @% y& B1 ^
高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
4 \3 r" K+ N/ e* m. D. D
1
* ?+ X; G) t- v. m: x
2
3 u& n6 b0 f. A$ m" H1 q
（3）、正态分布(Normal)（又称高斯分布）
, |6 ^, R/ {. }5 K3 @
* @9 m) [ r( \+ D( K/ ?
正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
/ }3 h% ?, M# k7 c4 G1 z" K1 m9 |
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)
0 b% M0 a3 F" x8 j% f/ ]
。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
4 U+ ?! T$ k( G, A! q
2 B$ l& g; }" ?" q3 _
概率密度函数：
8 y6 @+ q% T S! n2 v( ~9 w2 @$ S
f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
; @- N& }) _5 s) A4 X( J4 J
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2
( l8 S/ `# f1 k7 ?0 ]5 G* i
* ]) I1 I, n/ Z g
7 ]; w: t o2 p( w( c
分布函数：
8 g* n0 v0 v3 C. L9 F
F(x)=12π−−√σ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dt
. c/ V. a" N3 V# N0 ^
F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt
1 y3 ^, m# _* m2 j
7 \' u; \2 `2 _
8 C7 T- M. Q) S/ {+ K: s
适用模型：
- [$ f3 t( i7 D% q$ ?0 Z- w2 ]$ V
! N# I! z2 p# X6 T9 K" Y: A! Y
社会人群生活水平
3 N3 w2 q5 h3 ?9 _
人群身高分布
; h/ u+ F4 K( F* q( ] F; s [
通货膨胀率和能源价格
6 U- F8 o8 W; c' _" M6 Y
考试成绩及学生综合素质研究（教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布）
0 M' O) `- |! }) e6 ?3 `
医学参考值（某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理）
' F( q/ G: ?- j* u
1
( k( q$ o! M4 d6 e$ R4 ~' J
2
2 I2 V$ B7 M2 p6 O3 s+ q( V# ~
3
' P" R; p3 R0 J& V; y( S( }% f/ O1 M
4
. @* [- W3 M0 d2 }( _9 G
5
6 [% }$ a) @3 D( _+ F- @
2、离散型分布
; h/ F6 A, {6 j9 G# e' [2 o
, n/ s% G! E$ P1 ~# `* ?
（1）、二项分布（伯努利概型）
2 Y' q4 L% M; q2 ?
! Z8 n4 U8 H# T7 A# J4 q8 E4 S
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
/ ]% }4 n" ~8 E
在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p，事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2，…，n
. D- r$ p: O, U; N B1 f- z5 G
+ H2 C! h0 k9 T* [% `
分布律：
/ z; q Z5 ~# {3 X4 `7 U) k- j
P{X=k}=Cknpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
' w# K. T/ D. Z3 D$ v$ h4 f7 c
P{X=k}=Cnkpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
. T1 [, w' y1 C7 |" p5 b, F' t7 | |. h1 R
n=20，p=0.7时分布图像如下：
5 X0 h+ i0 P# t, P6 d# v" A- S
" d; q) f1 f+ u8 B7 O6 i2 w4 {+ G
适用模型：
: p4 o0 `) U( [) i2 {7 \& f
$ L, w; O# t+ O; g6 X" t
打枪、投篮问题（实验n次发生k次）
6 ^0 T* f) f5 V# G
设备使用设备故障等确定基数下发生或不发生问题
" D9 Y, {2 {; t3 {! l. r
1
4 Q4 q0 Z% P* l2 n: {: l
2
9 U0 Z8 A+ A: X4 [. A. i
（2）、泊松分布（n趋于无穷时二项分布的近似）
) i" x# g/ j3 d% T0 G
! T1 L# i. o/ t) i. E; a
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。可参考《随机过程》中的泊松过程进一步学习。
; S. u# F3 b0 ?8 {. J. T9 f
, o: J5 t! D3 s; s
分布律：
( K, r- |' _6 p: _
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
: i% ?% j" N6 U# r! {2 a6 z2 k3 i
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
, ^7 t3 V" s9 G
W! B% \) o+ v6 u6 {
\5 i/ V' b' h; j4 G
. h* a- Y# Y/ u" Y) ~5 J) I
常用概率分布与随机数生成.docx
2019-3-5 16:34 上传
点击文件名下载附件
下载积分: 体力 -2 点
21.11 KB, 下载次数: 8, 下载积分: 体力 -2 点
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5
