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标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
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作者:
杨利霞
时间:
2019-3-5 16:34
标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
1-3、常用概率分布与随机数生成
本文首先介绍了概率论里在数学建模中的常用分布，包括连续型分布中的均匀分布、指数分布、正态分布以及离散型分布中的二项分布、泊松分布，并针对各种分布列举了一些对应的遵循该分布的例子。然后列举了十多种Matlab里按照各种要求生成随机数、随机序列的方法，并简要介绍了excel里生成随机数的方法。最后列举了一个需要用到生成随机数知识的例子。
4 @7 K8 d+ z' P2 v5 j+ {( T/ h, p& t$ w
% u8 X$ X- G. e$ m, r$ E
一、常用概率分布与服从该分布的事件举例
3 ]9 S1 x; O' |) y
( Q- i; s# I& v/ ?9 F7 o9 G h
在实际生活中，有一些事情的发生遵循某些概率分布。因此可以用某些概率分布模型来刻画某些事件。本节简单介绍了一些概率论基础里的概率分布，与可用其刻画的一些事件。数学理论部分不详述，建议参考概率论教科书。
6 R2 @7 ~2 Q4 e! I8 w
* W/ {' G `7 v8 }7 }. D
1、连续型分布
9 K& S. D3 @ A
# R' f$ ]: }4 L1 f, m' [) e+ ^
（1）、均匀分布(Uniform)
0 Y, e: i4 F, y- N l; u* y4 F& n) n
; u/ @+ g1 d1 o- H! A U
均匀分布是概率统计中的重要分布之一。顾名思义，均匀，表示可能性相等的含义。在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。
( q& @/ Y8 x# A3 w# M- o8 G
% |$ ?1 I: J. H' u/ }* G1 P
概率密度函数：
; d) L5 y8 ^/ M. G: {9 W+ W4 | [
f(x)={1b−a,0,a<x<botherwise
# x: ~! q( K! ^8 e! o8 E! v
f(x)={1b−a,a<x<b0,otherwise
( n8 t0 B# r+ @" \% j0 g
; w6 H( s) V8 g
4 U6 a$ Z1 g1 w9 }/ U. X# m# @% v' T
分布函数：
; m H) \! O6 T
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x≤aa<x≤bx>b
0 W' U( P5 [, \+ G! E$ d
F(x)={0,x≤ax−ab−a,a<x≤b1,x>b
8 J# K- Q/ s7 X+ N! [4 H& q& \6 b
* J$ G9 m% s6 b0 ^
; W& V4 p2 @) t/ x* }) ?' y7 o
适用模型：
- E3 n8 Y7 J" q3 ]* b0 q
! j$ }# E2 K! S' \5 d9 V; w) n2 l% u
在某区间内某事件发生的概率相等的问题。
6 X+ z5 a8 M5 w# T: l" \
1
) V, Z% Y; d) G( h/ b
（2）、指数分布
- A1 R& v+ B) g2 u2 X
5 E2 ~1 T) X: R) L
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
9 i4 t, ?; ?) t( h6 s3 \
* D# |! ^1 b: H7 T+ V8 V7 H
概率密度函数：
: X& _ H+ l |& i. F8 R+ \
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
0 _& n0 T0 a5 w% P" L% p: }
f(x)={λe−λx,x>00,x≤0
; ]$ M5 U9 I# D l3 w9 c, C
; r. @2 e2 G0 ^/ n7 |
# m# K: E% z0 p/ @% L
分布函数：
( R. l$ ^0 [, O+ C$ M& }0 @
9 W4 O2 W7 ?, a1 G5 Y; h6 L4 o
F(x)={1−e−λx,0,x≥0x<0
! e. Y5 c2 L9 m
F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0
( z, U8 u2 N' n. F
1 @$ E5 X5 X$ L
2 A/ @* h8 ~: Z% j+ Z( K, K5 l* U0 r
适用模型：
) D0 T! m- d9 ~5 I# m' }' m
- Q3 ~' T/ h! C' c; l, g& n
在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。可以近似地作为
7 `, u$ B' L e) M7 U$ e
高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
0 M! s( N+ W& L% v- c3 I1 l
1
& D% ^& d( g3 I. g6 ]$ a6 b9 v
2
3 g' A, }' f u3 W; K! P
（3）、正态分布(Normal)（又称高斯分布）
) ]! C# U7 Z5 x ^; l0 T
7 c) o% r0 i1 l% J) S# X6 P
正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
6 X; d% A8 [9 O9 G$ @9 Z4 Q
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)
\9 S" b5 P+ b. s- d% T4 I
。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
0 d N# O( j: U6 e. [
4 a$ k: @% K3 l$ W+ w. O( e
概率密度函数：
- i# m+ Q6 I# O- w( y8 g% G1 O
f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
+ K: W" i. C( H# y0 p/ [# g
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2
+ a* j0 @ D3 i" v" L
8 V, ^/ H5 d3 m5 Z& ]
% ^( t+ i7 n% m( M
分布函数：
) O7 ]" P( z# W! Z& L) |
F(x)=12π−−√σ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dt
% h+ m& N' x8 w; Z5 p& a
F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt
4 P" I. u1 ` e |6 M/ P
! K( O+ @9 _; |- E( x( T
/ e0 J/ |% ]; f5 }3 |+ ~+ N
适用模型：
# y4 ~. a; E8 m# \% T. s
+ v# Z) G* U. U4 [$ B
社会人群生活水平
& ]4 k. ?- \- }* Z: [8 B4 i2 e, s
人群身高分布
% @0 U, y, E7 H1 J3 n# M
通货膨胀率和能源价格
0 p) D7 i( y' n) ]* M
考试成绩及学生综合素质研究（教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布）
6 r& W d0 H- s
医学参考值（某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理）
l$ Y& k# P3 w, ?
1
3 A8 s3 G: F$ O) |9 F
2
2 Z6 E$ ^: F$ I7 q) D
3
( A+ D8 H1 o- D
4
0 K3 j8 b% E% p% ]$ u2 M; D" I& C( l
5
. Y4 f- E, p1 a! _& }0 t
2、离散型分布
8 G T! f# G' W2 ^
8 S& C/ s; r/ o& p: m1 ]
（1）、二项分布（伯努利概型）
T6 u2 b+ u! O+ X/ d* ~
$ |3 y' P- ?( s6 S5 \: }) H5 j
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
" S U* h+ V# B
在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p，事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2，…，n
1 l2 m- V; g& g/ u' g- Y
( z R% L% H" ^0 M7 O$ O9 m
分布律：
. T: p* |$ g+ n0 W- w2 X0 h& s: A$ u' J
P{X=k}=Cknpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
+ z5 i X* K, E' w2 O3 ]
P{X=k}=Cnkpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
) Z1 d* @8 A3 I( }. j) K& Y. b4 c
n=20，p=0.7时分布图像如下：
% e7 h2 q3 V8 J7 r( f* Y
0 b6 {& R3 k# W. g( S- k5 j1 w
适用模型：
9 o; t# ?0 M# f2 |
$ Z9 O6 V* L: q
打枪、投篮问题（实验n次发生k次）
$ m( a% Z- o* Y6 b! ^# `9 X
设备使用设备故障等确定基数下发生或不发生问题
6 N0 G" V6 p& G, Q
1
6 p- Z; |4 B3 s, ]: H
2
* a# }% p4 |8 b; t0 o
（2）、泊松分布（n趋于无穷时二项分布的近似）
/ B, B+ x. L! c# K) q8 x+ p
6 H; j; c* D) y! ~, R% @# X
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。可参考《随机过程》中的泊松过程进一步学习。
/ V7 m5 j2 J& O+ a. L' e2 r. N
}1 E; d- `, f9 G& j" h
分布律：
% @2 d( O; I0 ^" u4 b
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
( e9 w. _+ o! d+ Y" z
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
) |* {4 I( R& A$ U5 h0 b
' m8 y6 ^- O1 z( v3 H N/ o: z
/ t7 ^5 Q$ j7 @: F
9 p! j6 g( Z4 @+ N/ s$ p6 Q/ q
常用概率分布与随机数生成.docx
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