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标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
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作者:
杨利霞
时间:
2019-3-5 16:34
标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
1-3、常用概率分布与随机数生成
本文首先介绍了概率论里在数学建模中的常用分布，包括连续型分布中的均匀分布、指数分布、正态分布以及离散型分布中的二项分布、泊松分布，并针对各种分布列举了一些对应的遵循该分布的例子。然后列举了十多种Matlab里按照各种要求生成随机数、随机序列的方法，并简要介绍了excel里生成随机数的方法。最后列举了一个需要用到生成随机数知识的例子。
! W* u; d4 O% q0 u
& P# b: c. y5 e; f: {
一、常用概率分布与服从该分布的事件举例
4 N4 i7 b6 O& Z7 I
1 e+ q9 w! D5 O' a0 p
在实际生活中，有一些事情的发生遵循某些概率分布。因此可以用某些概率分布模型来刻画某些事件。本节简单介绍了一些概率论基础里的概率分布，与可用其刻画的一些事件。数学理论部分不详述，建议参考概率论教科书。
+ C8 v2 ]& R! {6 x9 t
3 z2 r; a# |3 A+ H; H% i, x
1、连续型分布
3 v {( G/ S- B) D
[( {& ?7 o6 `7 M
（1）、均匀分布(Uniform)
$ t$ N! ?4 f5 [# \/ l
- j) M4 `# I. Z# a8 j& q6 D( g
均匀分布是概率统计中的重要分布之一。顾名思义，均匀，表示可能性相等的含义。在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。
3 d/ p' e; \$ I- X0 t4 n
1 K1 Y+ ]4 p' F2 f
概率密度函数：
; @% L; Z j! k/ s$ J0 M0 K
f(x)={1b−a,0,a<x<botherwise
W/ @# b- c' ?& i- B
f(x)={1b−a,a<x<b0,otherwise
, t" C4 ^/ ]) j; s; j7 l( g
1 n& N) f R, M- k0 b: F1 H9 M
2 x& [/ ~2 q4 F: }; M( Y) u( T
分布函数：
+ s/ b$ V0 C2 u: A; V% N1 e
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x≤aa<x≤bx>b
. O& w- w0 x) v( `
F(x)={0,x≤ax−ab−a,a<x≤b1,x>b
: F- n( {% V p+ f* [
( f6 F. p6 K4 d6 }
+ y! i- g( L! U* R" `! |) S& \9 r
适用模型：
1 H: ]: t8 q7 e
0 C! f3 A2 `! A5 H, h4 |% }) ~7 A+ Z
在某区间内某事件发生的概率相等的问题。
6 u' l" J! S" L3 O1 s( Q" c& L
1
4 L% P8 I+ P0 |/ p/ ^4 H! u! f
（2）、指数分布
2 R4 [; B: k- | `& v! C
5 n9 U4 S+ w) V) X* C2 V. l" N
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
3 H$ C% H: p0 X+ F
1 J k6 Q! M' f. k: V1 D9 ~
概率密度函数：
8 m1 o6 p1 o) g8 L% h0 h# o4 Q
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
# `$ U; i7 j) x6 x R. ?/ Z
f(x)={λe−λx,x>00,x≤0
' i8 Q4 R, v8 G5 m5 D) `# u
* ] M! ~. \8 I
& |/ [% s5 ?+ u9 |, w% O* L, o
分布函数：
! D3 B t8 ^2 a+ T: }1 E0 g
, m6 q, H- Q7 \, v1 g% G& z% S
F(x)={1−e−λx,0,x≥0x<0
, V. E+ ~. H$ X7 R, I. N
F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0
+ P3 j+ D6 y$ ?; Q& I8 C7 P$ M
3 U. m/ u3 ]# c- M% W& L
) d7 n+ H# Z; a& s& A4 V* s! O7 ~
适用模型：
, o6 U2 Y- \* \7 ]( k7 j% G- K
; U3 G2 f6 A+ a1 {* x3 Q6 Y" T/ R3 w
在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。可以近似地作为
. N' G T1 L0 `/ k% c* C
高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
& Q* _9 L5 e! h: N/ ]+ D; H' e
1
% ~5 v1 m1 g9 A& @# C
2
1 T7 Z2 C. s* n+ p/ }8 [. ]
（3）、正态分布(Normal)（又称高斯分布）
. D; {# l9 l! i6 Q9 ]2 u
( E8 h- A+ X4 K0 ~: R( u- g
正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
# l' U+ B; _0 x y
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)
% [# K; j- F7 ]2 \7 v( `6 x' u
。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
* i: e) z8 [2 t3 C3 |( {: ^9 C. G
( P9 \& T$ z1 c8 E& G( t
概率密度函数：
1 }( X# V- k, F3 S0 Z5 }
f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
/ R2 F. F" D! y: j
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2
# X: L& s8 K% m; W3 G
& @( x% C$ V3 x; J
: Y( @. A- U. s5 n8 v7 Z, Y3 \0 i
分布函数：
' i) P/ Q4 I: P; Q
F(x)=12π−−√σ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dt
) D6 z3 {8 b1 g9 }. C- j% G" B
F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt
( s2 z3 b/ d/ }- V
! F: J$ s6 ` k! v8 d
$ b6 |, T* U0 N/ }) @+ f1 n- G( s! ~
适用模型：
& Q4 Z9 J: \; p( O( ~& ?0 M
# _' ]+ Q# A. I8 l' E
社会人群生活水平
; P% M( [8 @; e0 h) ?, Z: v. l
人群身高分布
" _" S4 _) C F
通货膨胀率和能源价格
/ U( H$ Q! p" y, M0 Y
考试成绩及学生综合素质研究（教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布）
' n7 }6 r: T; \. }
医学参考值（某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理）
" j, ^0 Z! U% Q2 p9 r
1
( @' x a1 W3 N4 N0 t9 m7 P
2
$ B7 T% `6 Q2 f; Z
3
: B( h% M# i; b0 g/ `6 y
4
* m3 F7 h. K6 g/ I0 D1 I; d/ Z& c& \+ g
5
2 L/ ~9 q$ G4 c7 I
2、离散型分布
6 d& ? }! H5 ]3 N7 a+ @
& T# K, |3 Q8 A9 H
（1）、二项分布（伯努利概型）
k5 [1 d( r6 ^6 O2 B
2 N. h% i* |% V
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
6 m8 }% Z4 e( n! c# b
在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p，事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2，…，n
7 ?$ `# h7 I. P8 x/ \6 q# m
* u" b) n2 r( U: s2 t R
分布律：
" U5 ]5 L- o2 I4 x+ V
P{X=k}=Cknpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
4 H. i( v- ?8 |3 N8 M z
P{X=k}=Cnkpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
4 j- V8 d* W9 R" W s
n=20，p=0.7时分布图像如下：
! I0 q4 y3 Q* S! O" ?5 l
- S7 w9 N7 \" Z" l
适用模型：
B4 A5 p7 s* {4 T
- v' a G u* J' A
打枪、投篮问题（实验n次发生k次）
( j' w% B0 S- s' P) I
设备使用设备故障等确定基数下发生或不发生问题
0 z/ c8 v' b, u, w {
1
2 N' D X: }& W. \
2
" j8 O. g, q6 h( u! i
（2）、泊松分布（n趋于无穷时二项分布的近似）
( V5 ~! Z( `" F
9 e% l5 R& L+ V1 \# A& s
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。可参考《随机过程》中的泊松过程进一步学习。
( D% ]; a7 n o# |# O, J5 _
" G+ N1 w2 @$ ~2 C a7 U$ [5 g
分布律：
2 u- d" x) v+ ^5 h" J( k5 R
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
1 A6 u; X7 j, \4 ^# z v8 u8 j
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
# E$ H; e0 _% {" ~8 E
; \, v, f; l& k+ M; ^! `
% M8 l: E; c" C
! k, G$ b b' K! j* p
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