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标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
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作者:
杨利霞
时间:
2019-3-5 16:34
标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
1-3、常用概率分布与随机数生成
本文首先介绍了概率论里在数学建模中的常用分布，包括连续型分布中的均匀分布、指数分布、正态分布以及离散型分布中的二项分布、泊松分布，并针对各种分布列举了一些对应的遵循该分布的例子。然后列举了十多种Matlab里按照各种要求生成随机数、随机序列的方法，并简要介绍了excel里生成随机数的方法。最后列举了一个需要用到生成随机数知识的例子。
4 y2 A0 u! u, U1 p( k
& ^3 M5 N* f3 B7 v5 H
一、常用概率分布与服从该分布的事件举例
' i5 u6 D) ]2 B4 w& l, v6 u6 j" y
) q; ]5 _+ F9 z- w- k7 J
在实际生活中，有一些事情的发生遵循某些概率分布。因此可以用某些概率分布模型来刻画某些事件。本节简单介绍了一些概率论基础里的概率分布，与可用其刻画的一些事件。数学理论部分不详述，建议参考概率论教科书。
# k# {. D+ g' j; h) B
4 @6 Z. Q2 a' d$ j- a2 M' g. K
1、连续型分布
+ I& |3 ?( [" |$ Y9 [/ Y
* { P0 i8 Q4 Q) ^- Z* P
（1）、均匀分布(Uniform)
) N" q3 D& o4 g0 \* B) C, i5 l
. w* n! [7 I% G7 M+ ~
均匀分布是概率统计中的重要分布之一。顾名思义，均匀，表示可能性相等的含义。在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。
& z" c: z% H5 Y( @$ p4 e+ N
# n- Y0 M9 E2 G1 S) l* }
概率密度函数：
- | o! r$ Y! d, n J
f(x)={1b−a,0,a<x<botherwise
) O( M: w+ Y/ g# a6 J% x! k
f(x)={1b−a,a<x<b0,otherwise
# Q5 t3 d8 j! E6 }) l# e1 n( c
0 ?0 q# v# g; V4 g3 Y
) h/ F8 p/ J) F4 O/ e
分布函数：
" F. A0 {$ K5 H3 t$ M
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x≤aa<x≤bx>b
1 O6 A- G* y$ A( x( j
F(x)={0,x≤ax−ab−a,a<x≤b1,x>b
/ M+ P! \6 H: m L% U& P; \
+ [( R$ S% R5 n+ R
5 D. Y. a# l1 c0 e* A Y3 p. R
适用模型：
' ]* A& _5 t4 E& Z
6 Q% T9 m' h# {! M3 l# h- ?
在某区间内某事件发生的概率相等的问题。
5 S" S" x }$ i) Y
1
! u" \7 S) V) o0 r; l
（2）、指数分布
4 B* l! G% I0 ]- j7 U" ]
# o5 L* d7 U( s
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
; q1 C" H5 W; p/ j& C' N
9 o% ]1 F+ y/ X, f- I
概率密度函数：
: g) c' p% z' Q9 g/ i' o+ K$ }
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
8 X0 B, a/ N# }% [8 g. q& s" w
f(x)={λe−λx,x>00,x≤0
* c# {/ K7 f. J
3 T8 X3 ?. Q* s2 \8 l! u
% Y/ H/ ]; Y8 B! x
分布函数：
& W ], I) @! ]
3 y% b3 U/ r6 Z
F(x)={1−e−λx,0,x≥0x<0
+ u" h1 k1 r! g& Y
F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0
- F4 `# c4 b8 o. T2 X& L
# n+ W& O) F& |; s/ a
/ W; o) ^; E4 E! g6 r& g' j! e8 g
适用模型：
8 C6 F( a( f( I3 _' F6 R
9 _3 C; d {$ q+ i; l
在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。可以近似地作为
# B3 A2 p# \' g
高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
! j! t8 A) j0 o* G
1
/ |" O3 o% ]3 B4 K# }! l I
2
1 j, i# \1 ]$ @0 ^1 V
（3）、正态分布(Normal)（又称高斯分布）
, P3 M) W0 J+ N
' f8 [& r7 `9 A) x
正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
9 C7 ^9 D3 K6 P
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)
% S; G; `* ^; R* b" W# d0 l7 t
。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
% s* T) h1 |6 Z6 ^. ~
- v9 N' D H( U1 z7 }
概率密度函数：
, e$ {" ^/ d. {) h
f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
@' K* e! D/ l( k
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2
+ T+ b1 M' t% q( M" I
& @' ~3 z5 S K4 z+ w
' U7 ~6 F( j) E! S6 w
分布函数：
2 H. O' q# t" D! |, Y; {4 A
F(x)=12π−−√σ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dt
! k3 e6 g2 N% p/ W
F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt
% \1 i& @1 {! l% `
: ]* U N' z8 y& v
- v0 a, i( q8 v( u: o: T4 c" x
适用模型：
r* w3 G" K9 u( s" j
# l( O& ]* M/ r- g' T% H; E: k8 d
社会人群生活水平
) P- F; b/ h9 t6 V: o% H
人群身高分布
/ m* L& B+ [8 D8 k' g
通货膨胀率和能源价格
2 O$ A) q0 T, q Y+ n' D% o4 k
考试成绩及学生综合素质研究（教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布）
1 i8 }4 G0 [+ Y$ b( A
医学参考值（某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理）
* ^' r8 R/ k5 I
1
) r5 m6 s3 ?1 ^& _/ ^* i& n. U& c
2
1 [' b6 v1 d. [1 m/ B! p8 ]6 X
3
4 [( [; @' L& b1 D
4
& a8 u& J- i1 A- A8 C. M
5
+ @1 d0 ~; Q6 b9 ~0 \
2、离散型分布
( U$ V( l6 j" \$ F
# t, b- C& L; {. k; c: M
（1）、二项分布（伯努利概型）
& [0 w; y1 _* L5 B. q# G
3 d/ ?0 j7 t% c0 g
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
$ x- W) e) \6 l! r* D
在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p，事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2，…，n
8 X! H( p% E$ Y
3 ?0 k) u. p* u) h6 d; b, }
分布律：
% P+ [/ t8 T* n3 s5 w; g
P{X=k}=Cknpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
. v, R1 z4 r# S8 W
P{X=k}=Cnkpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
% S1 z2 `1 C; K8 }8 Y5 v
n=20，p=0.7时分布图像如下：
1 z3 m- y% v; l1 P. }* h
# N0 j* W1 A5 u
适用模型：
7 s A& u4 g, E' j5 _
4 H% Q t* ?- W/ |1 g
打枪、投篮问题（实验n次发生k次）
! o% j3 O2 B1 \9 j- O& l0 a
设备使用设备故障等确定基数下发生或不发生问题
9 b# ~1 F: l. ~ J1 C( u
1
/ v* V2 X9 d* ?. W
2
; M: w C1 a: O$ a
（2）、泊松分布（n趋于无穷时二项分布的近似）
3 f$ M @) u2 p! w: t! E
* l0 }8 S' w$ t5 ^# e* y" t6 p ^
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。可参考《随机过程》中的泊松过程进一步学习。
2 U. ]5 }% S7 e; S, Z) c6 f
* u( y, ^2 B% D/ f9 H
分布律：
) _+ Z! ~/ H; h3 ?
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
( G+ k& ]+ Y" I2 G- P' ]
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
; v' a$ q7 ~) x; U- p* `
% X1 ^1 V+ z+ [. n
! p" Y5 o) N- h' A
% }" M0 Q6 w! D
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