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标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
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作者:
杨利霞
时间:
2019-3-5 16:34
标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
1-3、常用概率分布与随机数生成
本文首先介绍了概率论里在数学建模中的常用分布，包括连续型分布中的均匀分布、指数分布、正态分布以及离散型分布中的二项分布、泊松分布，并针对各种分布列举了一些对应的遵循该分布的例子。然后列举了十多种Matlab里按照各种要求生成随机数、随机序列的方法，并简要介绍了excel里生成随机数的方法。最后列举了一个需要用到生成随机数知识的例子。
4 \+ g# w+ H' t' X
; Z1 d% x8 @5 F4 ]; Z! V" [
一、常用概率分布与服从该分布的事件举例
+ t0 y2 \7 u4 P" w7 b/ Z
) w M) Z( V. h" k( N
在实际生活中，有一些事情的发生遵循某些概率分布。因此可以用某些概率分布模型来刻画某些事件。本节简单介绍了一些概率论基础里的概率分布，与可用其刻画的一些事件。数学理论部分不详述，建议参考概率论教科书。
7 \2 s" C8 Q; z& q" |+ C
8 g* n" r8 a8 l8 P: N
1、连续型分布
, P# G; K! T; ]: |8 u& X
" T2 Z! J9 W7 J3 e
（1）、均匀分布(Uniform)
2 b3 Q# I, L$ ~# d( v
' D: `8 ^% n; g% }
均匀分布是概率统计中的重要分布之一。顾名思义，均匀，表示可能性相等的含义。在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。
, a' B5 O4 i: f3 Q7 {: H
+ Z4 `1 {6 l! x1 g4 I4 X, d; a
概率密度函数：
$ ~" F0 O& z5 i ~/ x" t
f(x)={1b−a,0,a<x<botherwise
; s. t* y* w+ i' i2 K7 e1 R# H
f(x)={1b−a,a<x<b0,otherwise
+ ~3 B+ E; E, ]# X
$ Z4 p9 U2 Y( ?; e, w
" ~- Y" |0 T+ T2 |2 D; M3 {
分布函数：
( w/ P9 [! O; b0 z0 U( x
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x≤aa<x≤bx>b
- E. O$ b8 m+ x. W" o) G
F(x)={0,x≤ax−ab−a,a<x≤b1,x>b
3 C# Z3 l7 d9 |" I3 ]8 x
1 h% J! P+ H, j/ Z2 N- I7 ^5 A8 [! V
& H) R4 K! M& p& s+ y1 u7 X! H
适用模型：
1 L4 g3 P1 y# ]& g& F% x6 y1 {
0 b/ W8 }, W% x$ _4 ~
在某区间内某事件发生的概率相等的问题。
) U+ _/ N- k5 I# Y
1
9 h* {0 H7 H% c- h
（2）、指数分布
& a8 [) |' h! }8 g8 T
, n6 s4 r# d- i& a
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
m a6 a5 L9 o- f8 a
- I0 V- A$ W) M% m
概率密度函数：
2 m) C6 r2 v. s. j; L) [+ L
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
2 ~2 _ N7 V7 u
f(x)={λe−λx,x>00,x≤0
2 l% N$ z# Z4 z+ {9 m
1 @4 |' l7 _8 _1 i
6 h% d/ m9 J Y+ c
分布函数：
9 k4 ]: G U/ o' g" q$ T/ U$ s3 x
9 O) ?2 T& l- _+ U- c. N. n
F(x)={1−e−λx,0,x≥0x<0
4 F7 i' X# `, ~2 P
F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0
2 D; k8 h7 S# z
- ~: v, }+ ^+ m, ]8 Y1 ?. S0 N' z
3 ^4 |. a6 ?8 v1 r
适用模型：
[- @% ]3 s0 v- B0 Z
# k& C4 a2 y% h; F& X
在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。可以近似地作为
- |8 q1 V. ?8 K( B: b
高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
* F1 z! w4 C1 B4 o, ~% h, A
1
# E; e& T5 R$ X0 ]+ v1 o
2
% Y9 \/ Q6 o; W
（3）、正态分布(Normal)（又称高斯分布）
* W0 C4 m5 O5 b8 C
7 F7 d0 x/ Y& \, h
正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
5 q( {/ V3 ?9 c" @' ~# g4 H
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)
: y: {3 q/ k' e1 N2 d Q4 {
。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
9 F( {) J: K( r0 A
' E% i- e8 Z, B; x* g
概率密度函数：
3 f0 E& e0 d) X) @; f
f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
. V) w" u5 ]! ~7 {
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2
( U) I! I' k9 K$ F2 Z# Y4 ~
$ P5 q6 E2 \ F0 F, Y
6 O+ U+ A3 z B& n5 Q
分布函数：
, ~5 ^+ N# \* S
F(x)=12π−−√σ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dt
- G1 X: D5 |) [$ R% m
F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt
( l! i) A) } B; V% s2 J2 Z
; N( U1 S1 \( y: G- S3 U
5 Q7 X) D- _. I# Q4 E3 Q# Y
适用模型：
3 A7 X. I* f. i' K4 A9 S: [
N0 g% x' S7 r0 l( ]) d
社会人群生活水平
) ?0 a, A1 N' Z$ l$ N) o1 u
人群身高分布
4 f O5 ^. ^0 Z1 ~; U
通货膨胀率和能源价格
" X0 @/ O$ d( t4 J( h
考试成绩及学生综合素质研究（教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布）
, v* e; E. g" H; `
医学参考值（某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理）
2 l3 ?% @5 {1 T; a
1
9 d0 O0 Z" B' Y' U9 {9 d
2
0 q* m; @6 z( x0 E
3
( e, S6 l6 K$ [2 u0 h" d
4
3 _8 E2 K. V# q0 B8 \' |
5
9 h) E- w$ k3 `8 P
2、离散型分布
4 O* x/ k( Z" B/ \2 V* w
) G( j+ `. d- ~8 c; k5 b! P
（1）、二项分布（伯努利概型）
9 _5 K9 Q& s: Y u) I: o, w& n
5 O- I+ J1 J7 n- O V0 [& @
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
9 f% O& {0 \8 `( X: K
在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p，事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2，…，n
$ W8 B: @4 N) g! N# B8 T/ m$ m
: a# [, n9 p6 r1 o$ W. C2 m
分布律：
3 j# |" c6 C6 l" H5 t) D, u5 Q
P{X=k}=Cknpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
X' |* J$ c* B i! N
P{X=k}=Cnkpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
, h; X2 C- [0 v! e; |' z+ b5 d
n=20，p=0.7时分布图像如下：
# o9 F" \1 E$ e- W( r0 z9 ^
( ^+ e3 ?1 j8 g. x* E& ?9 ~! p
适用模型：
& [" P$ M' _* A! _
# m/ _& r/ Y) o" Z& j' `8 s3 r1 X) V
打枪、投篮问题（实验n次发生k次）
/ l4 Q2 B& n. z
设备使用设备故障等确定基数下发生或不发生问题
$ R9 m/ @* b. p# `6 s
1
' M: u1 ]8 Q! s) t9 b4 V6 A9 h
2
+ n' N% @) v( S& Z% w5 P: f- m
（2）、泊松分布（n趋于无穷时二项分布的近似）
5 u3 A7 m1 N O: M* w
) v8 `5 q. Y, f d* q0 l7 y( a
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。可参考《随机过程》中的泊松过程进一步学习。
7 V( x5 F* ~/ g: g: i4 s
8 N9 F" H1 l. B6 Z7 q. `1 X! K+ ~
分布律：
1 X' }6 Q) V+ v+ X; l5 y5 @
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
! N/ Z7 ~' u0 I. f+ q' y$ l& l8 Q# G
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
/ o& }9 A6 S* X4 E Q. [
" |9 y) A: w8 S" H2 D" s# }+ Q
3 x8 \1 r8 q; n6 N/ i! {1 ?) y
8 b/ h W* V2 K2 m
常用概率分布与随机数生成.docx
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