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标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
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作者:
杨利霞
时间:
2019-3-5 16:34
标题:
1-3、常用概率分布与随机数生成
1-3、常用概率分布与随机数生成
本文首先介绍了概率论里在数学建模中的常用分布，包括连续型分布中的均匀分布、指数分布、正态分布以及离散型分布中的二项分布、泊松分布，并针对各种分布列举了一些对应的遵循该分布的例子。然后列举了十多种Matlab里按照各种要求生成随机数、随机序列的方法，并简要介绍了excel里生成随机数的方法。最后列举了一个需要用到生成随机数知识的例子。
. F; }( H' _3 u. |' u! i
2 M0 c3 m$ o( V' R: ?, h
一、常用概率分布与服从该分布的事件举例
* a8 w$ o+ @( N
- q% ]. V( W7 L
在实际生活中，有一些事情的发生遵循某些概率分布。因此可以用某些概率分布模型来刻画某些事件。本节简单介绍了一些概率论基础里的概率分布，与可用其刻画的一些事件。数学理论部分不详述，建议参考概率论教科书。
9 h( c) z V8 r
: R6 n7 p7 u2 A. V4 `
1、连续型分布
, g( @5 h8 s% z& I! T2 }
8 r, [8 F+ E9 A- s( Q
（1）、均匀分布(Uniform)
" \. |4 U: `7 {
/ u k: }0 e8 O8 {' u1 q
均匀分布是概率统计中的重要分布之一。顾名思义，均匀，表示可能性相等的含义。在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。
2 _3 u" o( u+ o g; B
8 B/ Y% U# U( `) J- n
概率密度函数：
* M0 I% e9 q+ L" `3 P! W, e5 [
f(x)={1b−a,0,a<x<botherwise
2 R, z/ P' }5 @- s+ u- ?( }3 O
f(x)={1b−a,a<x<b0,otherwise
& z R- z: V& A X* T
; A8 j& z% Q0 C) D I
; X0 s3 { |0 f: T
分布函数：
2 w4 F. I" A. d9 V! r
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x≤aa<x≤bx>b
9 w! h. o5 P/ C, x: `
F(x)={0,x≤ax−ab−a,a<x≤b1,x>b
" n3 h8 U2 ?; ?2 j3 e
' p3 [' R' j6 l* |0 g' j
0 J2 @7 }3 _) \" ]
适用模型：
# u% h W5 e9 w( g: l
: e2 W0 |1 i& }2 y5 b- c
在某区间内某事件发生的概率相等的问题。
" u/ b' T5 G. R
1
& ]* A# z7 j" z
（2）、指数分布
( e3 R6 T7 H* ~ O p' p- E3 u
# W4 n9 Q5 c6 [. s2 N6 }+ G
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
u9 q7 P9 z* x
" f6 [) r# d- Y! O; X
概率密度函数：
# @, h. j( d# m. C
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
- E8 h; t, Q$ }& I9 o
f(x)={λe−λx,x>00,x≤0
& \5 ]% m3 }" O8 d
! I9 F: W* h1 V& j* \: w
$ {. o- k+ E% Y' i( H0 v
分布函数：
n3 G* a& ]! X* O% s5 j; `
0 ^; G* j Y" H) v
F(x)={1−e−λx,0,x≥0x<0
! ^! T' G% v% r$ W7 ^9 C
F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0
' Q5 k& ?) V, A: z
! k* k. u+ T2 C) }+ E1 B) S4 P
; ~; V2 v6 L8 |* b' a/ o
适用模型：
' o9 ]" m# A7 q" X8 i) A8 J
7 {; r: @# }+ M; w
在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。可以近似地作为
2 R% J0 U$ k9 N) Z5 p3 C: [/ c. k
高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
9 K2 ]- d7 I8 F! T
1
2 P: h' s, u; P3 n
2
$ n7 P/ G3 ?- P
（3）、正态分布(Normal)（又称高斯分布）
/ n5 ]9 m7 P+ m+ I0 H6 b
; q" w- f! N( m+ L- t, J
正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
* Z$ {" ^" v% k# ~1 r
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)
' O8 q6 x# R0 O* R' N$ V2 p% B
。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
8 @! }8 J2 w/ z+ I! G
- m" n; w3 e6 m2 w
概率密度函数：
6 \; G' a" P+ y" C, i
f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
" v" B4 ?9 z5 I+ L3 d
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2
) C5 x4 B( S6 Y4 Q
( j' _' R( ?9 K
* p3 i4 _+ q/ k4 k; D- H' u; v& \4 G
分布函数：
' O2 g# |- v# X9 h, Q+ h: ~
F(x)=12π−−√σ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dt
( o! _2 r; X$ _+ U/ u
F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt
! N6 S6 G F( |" ^$ T
# J# j2 n1 P+ N1 N ]5 W( P- E0 y) X
( {6 j$ ^, H' W
适用模型：
8 G* _$ B" G0 o' x4 c6 @- W5 ~5 Q
m7 N- a4 l! D3 R W
社会人群生活水平
4 K% S5 [7 Y" z9 n, |) ], b; `
人群身高分布
( W7 e t: \9 K' ]- t
通货膨胀率和能源价格
1 Y8 z) f( U0 W
考试成绩及学生综合素质研究（教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布）
& n: M, Q* h3 |% Y3 }" T8 Q O7 y) f
医学参考值（某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理）
2 C& x) Q1 ?, ~
1
4 c% W: z' N! Q- R( _
2
0 F# f8 d7 n" n) f& n! X$ ?% [- J
3
( Q2 e) L* `# L& }* r x" a+ u
4
# _ S1 Q7 q- v1 b# s! s
5
' r2 @+ A6 ~8 f6 v( E
2、离散型分布
) ?" f$ n, I. \6 V' ^
( R; ^* \7 w. @1 t
（1）、二项分布（伯努利概型）
! Z/ J. y) M2 l: e( f: W8 I: N8 l
( G1 R+ g2 u- b4 U; r
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
6 _ X/ S2 h" L" k
在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p，事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2，…，n
6 M. ]9 X6 o: B3 p0 k
+ z$ x7 S# h9 N, h8 A. k3 G0 S
分布律：
5 g- R' c% ?7 b8 W* T3 q- i& W
P{X=k}=Cknpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
. h O- I' t% P! j1 z
P{X=k}=Cnkpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
" z( _9 H; J f# a! W7 K% \5 k
n=20，p=0.7时分布图像如下：
) s* O) J; Z& A8 \; t
" c+ T; z' v/ V6 j( X3 G' G
适用模型：
, A- [* c6 {! ]0 P7 `
3 [+ o% x. s7 s! |. ?# Q
打枪、投篮问题（实验n次发生k次）
2 z9 w% X8 l$ z6 L
设备使用设备故障等确定基数下发生或不发生问题
" d1 K( u0 U$ n# N
1
% `7 k3 ]9 |7 j5 E% W
2
, H5 [4 c* R t( r9 v2 K6 s) t
（2）、泊松分布（n趋于无穷时二项分布的近似）
6 {2 V e( n9 e$ b+ L; }
8 g8 I+ O* \5 c9 y5 [9 D
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。可参考《随机过程》中的泊松过程进一步学习。
. f+ q! n! d0 ~; g3 I T
% h# S7 b5 r! d. v' p8 b
分布律：
3 y l+ O: I# T$ f2 M
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
" w2 t1 D- w2 \0 @0 J0 [* V
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
. A+ i# e6 l- i6 ^
/ `$ A6 g/ ^6 D& ]
' {; d5 S" [9 L; j. r
. z4 n. c/ G% o
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