数学建模社区-数学中国

标题: 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-3-7 11:26
标题: 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件
详细资源下载附件
0 C+ a" s  w8 j# R
4 [/ G, H: k2 B0 n$ Z- g6 z" k
2-8、蒙特卡洛模拟
8 @: S# w2 j% a* j: x  d4 |  W
一、背景1 N! ]$ r+ V" Y, }3 N

$ N" i( O$ O- {( Q9 J/ c9 u: {+ [  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”，名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言，就是一种赌博算法。 $ k% `8 f8 r- S2 ]# R3 E# R" t
  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法，也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。% ?3 e2 p, w* l# p' V
9 {* O8 j8 u* `) _, Q5 Z1 g
二、算法引入
$ r3 {/ R: l1 w7 y% W
4 r# L: r, ^5 F" x  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段，而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S，落在正方形内的豆子总数为 MM，其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
* Z6 G- c1 v8 ~1 q: g' L6 w
; K! z$ ^, Q) Z* c' N6 G, w
4 M8 E; u3 e1 x8 t: I: ~
7 g1 O( |. e5 M, g3 Q' l0 c" `  根据概率论中的大数定律可知，当随机事件发生的次数足够多的时候（趋向于正无穷），其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题，当抛洒的豆子足够多的时候，落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。 4 x* j7 c# t) |
  这种算法需要承担一定的风险，但是比起这种算法带给我们的收益，风险其实不足为惧，同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。 : G$ k4 d7 t; R* W1 X: l, [
  在建模和仿真中，应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，产生所需要的各种概率分布的随机变量；用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到问题的数值解，即仿真结果。5 T8 J6 d/ r3 a
$ t4 Z' E2 h0 i; `
解题步骤如下：
( _& m' l( N: s8 G& w8 C  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
5 O4 b& O8 M  V: a: b' Z1 ~7 b  2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
/ K4 V$ c" m4 E5 ^& X  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
+ d  x8 _2 p0 b! w0 n. I, n) p  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
. [, R. l  a9 S  5、统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。& ~, i9 r$ |* {& h0 f+ I" H, H" M

1 r: Q8 s7 M, P三、算法应用
3 d. t: a) E# W. K2 r8 a/ [
& J7 Z: O: w# M8 R  蒙特卡罗算法的应用领域很多，这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题，比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率，如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题，即判定某个命题是否为真，例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
6 n0 S( J( |/ u2 a  f0 f  对于第一类算法所涉及到的问题，最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积，当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时，由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中，y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解，最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。
0 H; M! @6 A5 H$ }, |* l. ^
7 N6 a8 c: }- \+ F* I  对于蒙特卡罗算法，其优缺点也是比较明显的:
! I! @. @/ q2 U8 ^& z- i" l优点：
, R1 I; r! P; C5 I* M/ c0 u  1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程 0 U4 K) T9 S! b
  2、受几何条件限制小 " R5 n- r" ~2 ^- q" D
  3、收敛速度与问题的维数无关 , v* I* M7 p4 t/ D6 E7 ?( r
  4、误差容易确定 5 ]3 {" J- A, m
  5、程序结构简单，易于实现 6 `9 p1 V" [, e- a, V$ e6 E1 |' x' A) z
缺点：
* K  o$ V* N$ K" q( u$ T7 e- S# i  1、收敛速度慢 8 K4 d  a$ y# i2 R* I
  2、误差具有概率性 % I; _0 }/ ?( c0 \
  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的4 Q" v- n+ f9 M1 `- s, z

% U% f# C" V7 e" y2 Q. h四、算法实例. X) M/ y4 C9 A; v

+ @/ h6 v7 [7 z- |( e+ l例1: 1 ^7 ~$ m2 \  ?. U

5 v5 l  W' F7 L& F$ @  y$ X6 R2 m, Z- l8 J
  在不知道求解圆面积的公式的情况下，试用蒙特卡罗法求出圆面积。% y) ]. L5 l5 s5 t! p+ Y, `) y

9 _* ~/ Z# ?8 [1 W. {' V解答：
$ Y) ~7 d- `' M% X4 H8 S  由上文介绍可知，可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数，从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数，就可算出圆与正方形面积之比。
+ O2 T* K# F$ z) `. j
) h- [+ o! X7 w$ w9 _7 u

2-8、蒙特卡洛模拟.docx

16.8 KB, 下载次数: 7, 下载积分: 体力 -2 点



欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5