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标题: 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-3-7 11:26
标题: 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件
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2-8、蒙特卡洛模拟

; k. ]3 G* Z( R; V% `: ~4 ?& n一、背景
  ^/ c) ~3 v0 f5 X- M& W4 P) l$ A' ?
$ O6 N3 u# @; V9 Z) B  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”，名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言，就是一种赌博算法。 # I, j/ }" f. D5 p
  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法，也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。. m' m/ X' m( v$ ~: F9 \
5 J. c: V9 ~6 d$ ~
二、算法引入
' w) R! Y. U3 h' z1 `% S& O5 B; [. M) D' Z# C% \
  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段，而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S，落在正方形内的豆子总数为 MM，其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
* L( t3 q4 j& ^6 ]7 d8 L- s6 a+ L
; e9 ]* R8 R, q' T
. X) ^: ^$ N! f- \8 o: T) G$ p9 B, S! q' E$ T4 s
  根据概率论中的大数定律可知，当随机事件发生的次数足够多的时候（趋向于正无穷），其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题，当抛洒的豆子足够多的时候，落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。
& \6 t6 v( @1 |  这种算法需要承担一定的风险，但是比起这种算法带给我们的收益，风险其实不足为惧，同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
; C: y7 \, H9 f8 v! m  在建模和仿真中，应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，产生所需要的各种概率分布的随机变量；用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到问题的数值解，即仿真结果。
% x, s8 P% G- ~3 o1 S! V- t
* n7 f0 K) M1 C9 \; o7 q  p解题步骤如下：
! f: u0 a$ Q& S8 B5 _  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
1 f: O6 W$ @9 t' Z# n- W7 x  2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
  M$ I) I+ b2 [3 k( e# ]  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 + [& n0 I, g; ]& S- S4 C6 j9 E" z) Z9 A5 Q
  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 4 z# I6 L4 ]( ^' B
  5、统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。1 m. p/ F$ l! d8 @: m

( m* |' r# Z. h# w$ w8 `三、算法应用
& ~5 E' e' F* R9 f0 J. A9 o6 s1 ~" ^3 s$ c- u
  蒙特卡罗算法的应用领域很多，这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题，比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率，如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题，即判定某个命题是否为真，例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
* R, U: j# p9 y3 U9 T  对于第一类算法所涉及到的问题，最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积，当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时，由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中，y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解，最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。) C, B8 s6 Q7 F, Q
/ P! ^$ F; C3 d7 q. p$ T  b
  对于蒙特卡罗算法，其优缺点也是比较明显的: & q" Y! k: P% z. l- \
优点：
2 D' ~, E2 i- U  1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
" O7 @8 l5 K/ J6 w: a) s/ N) O( A; ?  2、受几何条件限制小 ( W6 F0 w& ?/ Y
  3、收敛速度与问题的维数无关
6 {% Z, E# R) U* e2 ?2 @  4、误差容易确定
( {7 D! U) E( m% }. P4 d- E  5、程序结构简单，易于实现 ( q1 v# H/ m5 y! ^7 W( r
缺点： $ u: D* h8 `7 l
  1、收敛速度慢
8 |8 g: ?: f! r. Z* u, r! K, Q5 v  2、误差具有概率性
! O; N" N2 O+ R( c+ }  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的
0 q4 q6 j# c* ^6 V+ Z$ w, b( w! n6 |+ u  C+ x+ F+ v6 F7 f
四、算法实例
4 R; A: v6 M, v* l  K, s" n  r- h6 Y9 b& Z
例1: # m! Q6 T3 U6 c0 P: B
# H7 ~8 N. a9 R
6 ~& [$ ^9 n; E( t
  在不知道求解圆面积的公式的情况下，试用蒙特卡罗法求出圆面积。; v2 }: u4 H7 }+ L  k6 g- W7 V2 m

) Y& W2 v; r1 @  W* V, P, X( i* T解答： . T0 a) i" R" J" u
  由上文介绍可知，可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数，从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数，就可算出圆与正方形面积之比。) u% b( e/ r) G3 n+ x" X, k

, a( M3 ~# d/ i. _& q

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