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标题: 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-3-7 11:26
标题: 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件
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2-8、蒙特卡洛模拟

- S# q2 \! C: |一、背景
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  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”，名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言，就是一种赌博算法。
$ X3 M9 Z' A' _$ ^1 G  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法，也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。
( d+ \9 a1 G- {: _( p' i
0 `( }  `5 O- X2 Z( {1 w/ @二、算法引入
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/ Z+ S1 \* E$ v* b9 ^  j0 H$ L  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段，而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S，落在正方形内的豆子总数为 MM，其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
: S% ^1 ]$ ^# T4 v0 Y$ h/ u7 P  l1 u" n5 D7 N+ M/ C! v% j

1 O0 S, C. v# e- Z2 q0 B6 C
! T3 W4 T' p1 ^* \  K  根据概率论中的大数定律可知，当随机事件发生的次数足够多的时候（趋向于正无穷），其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题，当抛洒的豆子足够多的时候，落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。
$ ]; s' |( u0 A, Y" [1 w' K3 I  这种算法需要承担一定的风险，但是比起这种算法带给我们的收益，风险其实不足为惧，同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。 , r0 U5 }2 C6 i  c# m! Z* F
  在建模和仿真中，应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，产生所需要的各种概率分布的随机变量；用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到问题的数值解，即仿真结果。
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解题步骤如下：
7 G* E8 k& A9 {7 j" {, J8 |) H  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
2 o, Z; b& Q0 K" d+ n  L0 `  2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。 % q& v. F- Q( c. q8 ?2 O- D1 X) g4 B
  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
7 w" q) h4 H- k! D; b* a  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
% Z* G& [: r: M8 ^  r# F* Q  5、统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。
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三、算法应用
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* B1 d8 M# n, E1 s  @  蒙特卡罗算法的应用领域很多，这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题，比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率，如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题，即判定某个命题是否为真，例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
) l/ B8 ?6 f$ Z3 N& i* H& T  对于第一类算法所涉及到的问题，最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积，当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时，由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中，y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解，最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。
) w$ m/ A3 t6 D  i* P' L6 i
9 B* n0 c) m5 o( @  对于蒙特卡罗算法，其优缺点也是比较明显的:
+ D+ k, h' U2 _) m1 L0 g6 H优点：
+ D+ j9 {. r. F2 o8 g  1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
1 l( a9 H9 D- g: o7 I3 b; J. N3 ]  x  2、受几何条件限制小
  ?5 y( K/ x, h# v8 S) q  3、收敛速度与问题的维数无关 / a3 F9 k$ H& C8 V8 a
  4、误差容易确定
  {2 G6 u- r+ j, d( g+ J8 o  5、程序结构简单，易于实现 5 Y' ^) g$ y/ `; g
缺点： % ~, m4 C- [) [
  1、收敛速度慢 6 I7 M* \0 ~& L
  2、误差具有概率性 8 i1 T. v/ y0 g
  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的8 V8 N- H  o  j: k) \

( Y+ h1 J' g2 h4 o: B四、算法实例- y: s; h* M9 _$ D) ~. ?7 m
( y- Y' q- u2 k; Q  {
例1: $ Q, r+ h- V+ c- D+ M) q

* ^) U) j) G9 d9 D( S
: u: V4 Z! O( R: H  E  在不知道求解圆面积的公式的情况下，试用蒙特卡罗法求出圆面积。* g9 U" u; m( x/ C

+ }1 o+ J& n( G, [6 P解答： " U: d. y# x5 B/ _& z2 d; ], \
  由上文介绍可知，可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数，从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数，就可算出圆与正方形面积之比。
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