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标题:
2-8、蒙特卡洛模拟 含附件
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作者:
杨利霞
时间:
2019-3-7 11:26
标题:
2-8、蒙特卡洛模拟 含附件
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2-8、蒙特卡洛模拟
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一、背景
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$ O6 N3 u# @; V9 Z) B
蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”,名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言,就是一种赌博算法。
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它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法,也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。
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5 J. c: V9 ~6 d$ ~
二、算法引入
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& O5 B; [. M) D' Z# C% \
最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段,而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S,落在正方形内的豆子总数为 MM,其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
* L( t3 q4 j& ^6 ]7 d8 L- s6 a+ L
; e9 ]* R8 R, q' T
. X) ^: ^$ N! f- \8 o: T
) G$ p9 B, S! q' E$ T4 s
根据概率论中的大数定律可知,当随机事件发生的次数足够多的时候(趋向于正无穷),其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题,当抛洒的豆子足够多的时候,落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。
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这种算法需要承担一定的风险,但是比起这种算法带给我们的收益,风险其实不足为惧,同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
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在建模和仿真中,应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作:用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,产生所需要的各种概率分布的随机变量;用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到问题的数值解,即仿真结果。
% x, s8 P% G- ~3 o1 S! V- t
* n7 f0 K) M1 C9 \; o7 q p
解题步骤如下:
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1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
1 f: O6 W$ @9 t' Z# n- W7 x
2、根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。
M$ I) I+ b2 [3 k( e# ]
3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。
+ [& n0 I, g; ]& S- S4 C6 j9 E" z) Z9 A5 Q
4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。
4 z# I6 L4 ]( ^' B
5、统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。
1 m. p/ F$ l! d8 @: m
( m* |' r# Z. h# w$ w8 `
三、算法应用
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. A9 o6 s1 ~" ^3 s$ c- u
蒙特卡罗算法的应用领域很多,这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题,比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率,如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题,即判定某个命题是否为真,例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
* R, U: j# p9 y3 U9 T
对于第一类算法所涉及到的问题,最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积,当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时,由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中,y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解,最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。
) C, B8 s6 Q7 F, Q
/ P! ^$ F; C3 d7 q. p$ T b
对于蒙特卡罗算法,其优缺点也是比较明显的:
& q" Y! k: P% z. l- \
优点:
2 D' ~, E2 i- U
1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
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2、受几何条件限制小
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3、收敛速度与问题的维数无关
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4、误差容易确定
( {7 D! U) E( m% }. P4 d- E
5、程序结构简单,易于实现
( q1 v# H/ m5 y! ^7 W( r
缺点:
$ u: D* h8 `7 l
1、收敛速度慢
8 |8 g: ?: f! r. Z* u, r! K, Q5 v
2、误差具有概率性
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3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的
0 q4 q6 j# c* ^6 V+ Z$ w, b( w
! n6 |+ u C+ x+ F+ v6 F7 f
四、算法实例
4 R; A: v6 M, v
* l K, s" n r- h6 Y9 b& Z
例1:
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# H7 ~8 N. a9 R
6 ~& [$ ^9 n; E( t
在不知道求解圆面积的公式的情况下,试用蒙特卡罗法求出圆面积。
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) Y& W2 v; r1 @ W* V, P, X( i* T
解答:
. T0 a) i" R" J" u
由上文介绍可知,可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数,从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数,就可算出圆与正方形面积之比。
) u% b( e/ r) G3 n+ x" X, k
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