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标题: 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-3-7 11:26
标题: 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件
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2-8、蒙特卡洛模拟
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一、背景0 U. j. Y  K# ~" K% j
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  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”，名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言，就是一种赌博算法。
: F) L" n% M) n* {3 T5 T  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法，也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。* |2 B* g  E8 j2 t( p$ e6 C
' n3 ^2 o, O  ?# @2 A9 E8 v
二、算法引入' z6 K. {5 D% g$ J

3 [  C3 Y* v! E) \; I4 E: C- }  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段，而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S，落在正方形内的豆子总数为 MM，其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
) K' F" z& a' h" C- V$ o/ e# I$ _0 K" H# Y( C8 R

- ^! y7 j/ [6 i% r; K/ j) m1 g) n4 R
  根据概率论中的大数定律可知，当随机事件发生的次数足够多的时候（趋向于正无穷），其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题，当抛洒的豆子足够多的时候，落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。 / n& {5 y! Q: F& B* i
  这种算法需要承担一定的风险，但是比起这种算法带给我们的收益，风险其实不足为惧，同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
9 W# T$ b% E  C. K$ o9 m) d3 g  在建模和仿真中，应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，产生所需要的各种概率分布的随机变量；用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到问题的数值解，即仿真结果。
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" g+ Y: ^9 d: ^) M* s9 P解题步骤如下： : Z, M* U' |9 q0 t
  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。 0 J/ B0 g. Y  \- ?' T' R, ^+ ~
  2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
8 F; Q$ i1 a0 e8 _  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 . F; K% Z+ _; A1 E: C3 o- T
  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 0 R4 r# V; J( T, L# _4 a
  5、统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。
7 i# y5 Z( X' C6 ]7 J( Q* s
! M+ \7 }. n  b7 T5 e! x三、算法应用9 V/ @7 Y4 l. n. J; S3 Z9 T2 ^6 k  X0 B

, Y1 g3 ^8 x' I! G  蒙特卡罗算法的应用领域很多，这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题，比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率，如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题，即判定某个命题是否为真，例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
! ~9 E6 j6 m+ T% P  对于第一类算法所涉及到的问题，最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积，当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时，由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中，y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解，最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。
- v0 Q8 n8 b/ `& L! R7 d5 k7 L+ }( D5 C
  对于蒙特卡罗算法，其优缺点也是比较明显的:
- A" e( l  f  U! V优点：
* A& @) y7 F7 C& R+ X  1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
6 B1 e& |9 B/ y7 E( h  _  2、受几何条件限制小 . u& M, j9 j  Q- r4 y! O
  3、收敛速度与问题的维数无关
, ~% i6 d- K$ C* |  C4 N  4、误差容易确定
& p6 ?7 k; I0 x* u# f: E8 D  5、程序结构简单，易于实现
0 |: Y2 B' u; W' C0 u- [+ ^缺点： . Q% E5 |4 P9 O& z
  1、收敛速度慢
: @  Z5 P3 T/ M! a; X8 N  2、误差具有概率性
% L0 V3 p, m. ]: t  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的
1 }" `. K# _! Q1 H7 d/ n3 `% e  Y0 k8 M
四、算法实例
3 N; ], ?2 O3 Y9 j$ M* F- L  d* [7 R) t  V" i% b% ~) {  X, e. A
例1:
6 ], E* J' F% S* I. l$ w$ e- h6 n
# v, [" ]  C7 A' C& K: ?$ Q
  在不知道求解圆面积的公式的情况下，试用蒙特卡罗法求出圆面积。& S& j$ e6 b* R+ w
5 w  v+ M) O7 [1 z. R2 N& q
解答：
2 S& y. p6 F2 O( z* }" L$ M6 S" N  由上文介绍可知，可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数，从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数，就可算出圆与正方形面积之比。
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