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询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了 . z7 D0 `" y# ^) z1 Y+ |6 | 4 S" z1 M& h* i经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。 . y: R- E# y% m+ T+ n. i6 M' A, } " K6 I+ c+ J. _/ m但是！ 1 D( m, u) L' X3 \% f4 j: {& {- k2 @8 F! c Z3 a9 M
数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。 ' }, Q f) m D$ s0 m2 I& K- w% }# A% [* R9 K5 @: }% R3 O* [* J
再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。# P: \' r* X: a: a9 R
b. B- u5 O0 {这里统一对大家的问题做一个回答：) a. @' R7 B3 L* C: ?
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本题适用差分解法吗？ ) A4 v f; b/ p, K) y 0 R, V' e. y b4 h2 ^2 M求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。9 [0 m% v* ^: n* {& Z
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差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。 3 d- S+ S- r& Y7 i' l# L) ~: d# u $ D+ ~4 H9 U6 q有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。 : A2 L8 p* L$ T6 f2 X. S- I6 O. D $ V ]9 v' @( |1 v) \( s. f+ i( R* r本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设 . p/ P1 E, H* O$ X% i" z7 X9 \3 T
本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。, T& N; D- F' R) ^1 m6 m
3 \, Q+ e1 C; V% M既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。 , \4 o( B5 C& w0 ]( D0 n' H4 ?9 f8 Q4 R6 ]% G, Y- K) |: _
当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。5 `8 a- n3 F* x9 I5 p; r
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是否适用于多层壁热传导？ # r# ^+ j) v; `3 z0 q7 Z. ~" k 0 `3 e; Z: w$ b- E7 W评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？3 J3 B' y/ ?4 v7 z" b
( u7 L) J8 F( S# o1 \( ~其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~ 6 _4 k" `- g# @: k6 N; ]- G- S* B$ J% S/ ~6 g
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。8 Q a3 q! D7 V7 ?8 n# n
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思路1：% h6 }0 |9 e7 @) Z. ?5 M
/ P7 x: H+ m1 y$ M& \4 m
你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。6 G, v7 j, {6 X* u' a" u
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因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。7 e( c }- o K. | T9 b% \
# v+ e3 c' t4 D" u这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。! Z9 @& E( ~- d2 S# M- ]2 u; C
' r; ?; x7 t! T3 m$ b! w思路2： 1 D& G$ r( K' b" X* P [: ?+ s$ W2 l4 e
我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。. r& Z2 Y8 P! Z3 d3 u2 \; X
' x. }/ a. _2 C这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。- F- n5 P, U& N% w7 U/ m
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这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。0 K+ ?) [9 n9 m$ g! y
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关于边界条件 6 g% f, N' M: k8 a. I ' w4 B" l) k! n: m. [8 n构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。 4 B- [" r: F6 f& k+ N4 @6 [9 K$ ?: u# G
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。 0 m8 h# W. V# j# m. ?( p Y, W! Y
之前文章中给出的算例包含的边界条件是：) G$ B9 J! a& R* c" U