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标题:
数学建模————统计问题之仿真（四）
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作者:
杨利霞
时间:
2019-4-10 10:59
标题:
数学建模————统计问题之仿真（四）
数学建模————统计问题之仿真（四）
) C; E' ]2 g, w
仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。
4 ]9 v; R% c, X
" a2 }; h6 {/ c3 O
6 e9 X" O5 @7 m$ r; g* a
8 i. l1 f. C% e C' M
真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
' i% @3 H- c# H: l
不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
& n3 j# g1 C; ? i
$ S: E1 `: m3 Q- K, J% S5 ]9 Q: f
2 j8 G9 \; q5 X' a$ M- R( u
既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。
% @" Z$ c, k+ Y2 l
* E4 s; j( n* U# H6 R. `$ z2 `
上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
8 ?5 g5 J1 D' ^: U! O. F, ?
在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
! b- h2 P) s1 x8 ^5 W
注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
! U ]* V9 r+ p
" c$ V0 g/ ^' q: D8 |2 O8 l1 \
现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
) k6 R7 ^# T* |
6 b1 c0 A) M, D' A$ P
! }. Q3 `( X2 T$ P
9 q& b* R7 f* Q2 e+ D. I1 l8 Q& B
& z8 X2 j" f! S8 t
clc;clear;close all;
7 ~1 Y6 {: O) v5 |' A
d = 2;%设定平行线之间的距离
1 [/ v8 H' T/ m" B
l = 1;%设定针的长度
, S ~. G. V, i; [, M1 o
n = 1000;%设定投针个数
) \( P0 D) @* n- k' t9 W
beta = 0 : 0.002 : pi;
) n5 Z$ U: {" Z+ d
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
: |6 a- K. G) d: Y B* N2 L$ d5 i! d
axis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
* ^+ Z% {! _- s4 [, n, n( s7 _/ a. k
title('蒲丰投针实验')
; w1 u, l# i' z! c A
hold on
# u( }7 o" L! R v# |% {
beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
* `9 ~7 M: Z' Q5 ^8 Y( B# I
x = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
# Y: T* I* I3 L! m2 M( J* u Y
m = 0;
: M7 e- G: V; Q' E- o5 |# t
for i = 1 : n
; g, i$ U8 M3 c' P2 J. T
if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
" n* p$ P. T7 E. \
m = m + 1;%符合条件就增计数
1 t3 Q6 ^8 ]( H+ m. J4 T0 P
plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
: L/ E( Q' |) I& J0 I) G
pause(0.00001)
! n; ^5 r2 R; q2 Y3 a
else
2 g% ~2 o( ~% c- N( C5 ~
plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
9 r: d4 j% g( v ?/ |
pause(0.00001)
2 Z5 L( {: \5 M
end
! R# Y* n" M3 e1 E7 ~
end
1 n* o) _% @3 B& _! \
p = m/n;%计算概率
3 S; |% J3 G# U, Q( F
pai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
) e5 I6 U& Y) A
disp(['圆周率为：',num2str(pai)])
! Y3 R2 s+ z# v0 ]8 V, a J
1 K o3 u3 x b: k, n8 t3 N
9 H- `1 Y. h5 H s7 Q
6 O% ^0 B5 r6 [( U8 ~& i
结果如下：
: `1 {' K$ n( @, f: B7 `
+ k% F* I- R& g$ Q' r
4 n: Q, x1 T4 r
& w$ W: c3 w' U& X9 F7 a0 A
( @2 c# H: f9 A: g+ L1 u
) i* N& x% S$ d3 b' x
: b3 M* T* {% c6 ^6 F0 Q
3 x/ }: Y( _- Z9 [6 {5 f
2018全国数学建模总结.docx
2019-4-10 11:36 上传
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