数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之目标规划
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作者:
杨利霞
时间:
2019-4-17 15:18
标题:
数学建模之目标规划
数学建模之目标规划
( I1 a' s8 q4 b5 d
1 z2 ]& P$ m9 j/ b' E: W0 }
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
+ j9 W5 n6 j/ L8 s' Z
1 简介
& e) ^; |& Y4 r- I6 M5 W
* e1 o! }% m0 g* \- U
1.1求解目标规划的思路
8 w% R9 Z/ e ?$ n) x
: D- a$ m- n: |
（1）加权系数法
. C7 n+ l" P A8 @; C9 p
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
7 I1 Q8 U( Z7 e( v3 V& `2 C
（2）优先等级法
! x* v1 a+ N2 G/ w( m/ H* I
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
0 \/ t8 ?6 m8 h g6 ?
（3）有效解法
% W4 Z; i; w9 s
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
/ Y+ w8 g" j6 M7 Y+ `* i& _
, d! c, E- A$ w; \
1.2建立目标规划的条件
6 ]8 ]- }3 {; S5 t" n
% Q2 n( v7 f! e& \; e4 n
（1）正、负偏差变量。
, T" Y( y3 ~: n4 k, H$ }& C
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
$ E K% p. q; J# @+ o' d& i. H6 d
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
% a2 C, s/ p% i9 J/ z& `
/ T- c6 r, `% q. \, l
1.3 目标规划的目标函数
% R5 G3 n1 X4 ^( s4 M( @
; h8 L2 T4 \" Q, ^ z Y$ M5 U
目标规划的目标函数基本三种形式为
: \# o' f [' Q# H3 ~
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
& b: _+ v* E( n
O! r7 W* r+ n6 f
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
0 P( g9 i! y8 [
o: R1 ?* G- T) q$ F/ u; C
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
! H; u( N9 f2 E e" T+ k3 G
3 K( a3 f2 a! _) H
4 @+ q! [6 _& v5 [) \
1.4 目标规划的模型应用
8 N6 [- R9 f' ]) z* x
2 k5 B7 [- m! h1 N v1 Z
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
# T, u( y% K2 X
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
( e7 f$ A& J5 g d" h
) o. H+ @7 j" s$ T8 D' o; o
2 目标规划的一般数学模型
: g% C% U$ G: J9 o3 t7 D
- H1 v0 e9 C+ A
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
4 p4 U- z, N+ U& d! U5 M* m3 I9 [! m
( e- L @9 I. _4 F4 F, X
& k6 U1 o; q0 S% H# Z- c! n. i
可用序贯算法求解目标规划。
1 u; q: D6 D# U b7 N; E+ c0 f" \
: O' W: M; ~$ e3 W4 R, }* d
3 数据包网络分析（DEA）
- G, }' b, J% z( ^6 s
, ^. Y/ v. O% S; i4 E
3.1适用范围
+ x3 ~: h7 \4 i7 a0 o, r
, q& a$ y9 o6 U: y( s
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
* [4 o# G3 X& A0 L* p# `# O7 m9 V7 F: ?
' T; a" y* Z, w7 _1 ]+ h
3.2 数据包络分析的C2R模型
2 O8 N: b1 [/ F* G! Q
/ e9 ~8 T% i D7 ~- P3 n: F$ g
设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
7 t6 W# l h* Z4 Q! Y5 l
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
2 l, I7 \& J I! i5 `% j+ F' ]+ f+ b
定义决策单元j的效率评价指数为
0 y& _4 z. f( I4 A% y* e. b8 P
评价决策单元效率j00的数学模型为
+ ~' o2 f8 K: _. K2 J' u8 {
. x+ s: M; U( `" i' w/ T+ A" z8 M
, X, Y9 e6 l$ b# C3 k( i
对于C2R模型，有如下定义：
# @1 H' {' W/ |3 P9 c. R5 d
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
- R& v" Q: f9 a- h# \4 @8 I/ B
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
! ?& r* S: Q+ H4 W+ S3 p
: L' d% n( t9 v9 `% A0 J: \
" R+ H; T1 k& l- X% M
9 ^2 `. ^& j( r
" Y; C+ N+ s4 t% J
* u; ^/ K, n8 O& S
1 v- n+ Y+ Q( F) F
数学建模解题思路与方法.pptx
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