数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之目标规划
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作者:
杨利霞
时间:
2019-4-17 15:18
标题:
数学建模之目标规划
数学建模之目标规划
0 b$ U0 [$ M7 n' o
. B/ v, J# T1 ?4 D5 ?6 Z6 |
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
; w% r: U( B$ n- L/ f8 k
1 简介
, ?" H" ?- h( g) Z$ x- u
* P* v/ o$ |( l! j3 J3 Z+ ]3 w6 e
1.1求解目标规划的思路
% I D$ H# s9 _/ l9 |* X; M: q
. @: f/ u1 ^8 ^: ^. {
（1）加权系数法
' Q. Q( I% J/ R6 |
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
# X- ?0 T8 B! b
（2）优先等级法
# _' I/ z; @$ S, ~6 [' ?1 U- D
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
3 N/ Z* t0 m8 }' L7 c+ x% {
（3）有效解法
3 u, h2 m1 s% A1 R3 R
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
9 q" n A% C- M, _9 E
& M, ^6 v$ A r( ~8 V! M1 b( E
1.2建立目标规划的条件
+ l, w K! h9 [# v" h) @5 C
, D5 P! Z1 r+ f3 X
（1）正、负偏差变量。
0 P6 U8 n& L& h7 t& e6 p5 B6 e) }
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
" ]" ]; }( C- b6 v {: p; \) Z8 l
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
) o, l$ r0 B+ U
( n; H4 r0 @8 i* Z
1.3 目标规划的目标函数
: v# O# X: v9 ^% G" N. `
- M# l" Z+ j0 P8 a0 S( I
目标规划的目标函数基本三种形式为
8 w" F% @0 Y' e+ j* Z2 q M- |
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
* H# t& s5 [# f+ H) W
; P: A8 V1 v1 S. g
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
: \8 o/ r9 h& l; q3 Q/ D
* F0 a6 x% R& o S+ s
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
% A2 w0 G; [$ `$ j1 [- \
+ _; y- q- v' @1 H" a m! L
5 a. Z+ V* j; v/ V! }
1.4 目标规划的模型应用
6 T+ r x( u( b8 }
, m) Y8 I8 I8 E* Y j7 |
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
! q- S0 Z T6 I7 p8 X. G0 R
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
3 g0 N. C. g; S+ z
% m# D- J7 y4 t6 a0 L: `
2 目标规划的一般数学模型
/ u/ }- N! \% P& c; `/ m" e6 Y+ \7 z
2 K' S m. x4 X0 T3 a0 R
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
" S3 ^$ o+ w0 \
& O0 p# U; `$ ]4 X6 d, R
6 I; [* E, H+ O @' G1 u
可用序贯算法求解目标规划。
4 n, Q& m% i) J+ `+ Y+ c
0 G5 L% f: w) W. l4 c3 g6 \# l
3 数据包网络分析（DEA）
6 T: @9 }+ j- q8 q, \5 j
$ b4 O8 b* G2 r% U# P1 Y1 j
3.1适用范围
! V8 j/ K- e7 F% @/ Q
! m4 M0 E4 D% G& C5 B8 t
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
- n( ]# z% L" R3 O7 a; g
: b0 y7 h& Y4 |4 g, P0 {9 J6 f
3.2 数据包络分析的C2R模型
/ @( I' |* C" K# P% V v/ a
5 J' d0 I9 j3 s! a$ l1 a d
设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
" [/ T; V' z+ W+ _, {& Y v
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
) A- [. \" @* {( \ N7 t
定义决策单元j的效率评价指数为
! w5 f4 }5 X, S! r3 Q+ \9 b, u
评价决策单元效率j00的数学模型为
0 @4 z2 A* N) X( T$ ]. K
8 ?5 H0 `6 \( q: d4 {
2 d* P( e9 f3 o
对于C2R模型，有如下定义：
2 k- G' Y) m& y* y! {6 i7 \% @
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
3 b R4 L4 j) _, S; C0 F' K
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
. Y( O0 o7 k B' [
7 ]! d0 \* s* q% [% p0 D* L
# W. Z) l! J% [. J7 e. Y
4 N+ S& Z1 \* S L# d1 W
# d5 [ K2 ~0 T ~' X3 H
& Q! ^! [" N H4 g
0 X% U4 d/ O8 J0 _
数学建模解题思路与方法.pptx
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