数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之目标规划
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作者:
杨利霞
时间:
2019-4-17 15:18
标题:
数学建模之目标规划
数学建模之目标规划
( C" o) M* r) g* _* S+ S- K
1 J, r# w2 M$ k
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
* H. y7 W( l" c2 V& s5 H+ P
1 简介
/ \+ Z2 B' m# W/ w
: n- Q5 p u8 z* O9 Q5 t5 d2 @) }
1.1求解目标规划的思路
: a5 i- U' S6 V$ S; `8 \
* m" p( y% m# [
（1）加权系数法
; k6 {% B. J- [9 l
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
1 ~: ^; A: P1 o1 A5 K+ R7 M" Y( o! `. L
（2）优先等级法
9 R1 v# C6 M8 ^
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
M+ ?1 a$ ~" n- H( ]$ ~
（3）有效解法
' h! u; S$ P. o
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
+ e, {# ]& J9 ?' H q$ |
* t2 C) }( E% i+ } r. m
1.2建立目标规划的条件
+ J' N2 s% H; m/ E$ m; p0 a' ~
: x5 w- g; c& x& y
（1）正、负偏差变量。
2 F- N$ g$ I( q0 M+ t
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
5 `2 ~4 D/ g. y3 W
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
1 ^8 S% g3 B& }# s
& t$ i& Q4 U% }) E
1.3 目标规划的目标函数
- t; {$ k: z7 m" G0 p' F: Z
& b( \0 X5 G$ {. n- |
目标规划的目标函数基本三种形式为
0 w1 G+ }: o* Y8 @$ ~' W6 m
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
: M& B3 B% \- l; A
' d# @" S" M. r1 k* X9 u
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
+ E" i# [& g1 {# ]* w, u( h
+ k- a- R/ P6 [9 e/ k
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
. M/ L1 j8 j1 ^8 M9 u9 l
5 A' L1 W; t( @' ~
4 \9 V$ g. e& F% r
1.4 目标规划的模型应用
; }$ U) \& p% K$ a' ?6 S* i9 |
; A/ G! q- P/ W) n5 m, ]
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
; s/ {( i# J" ^# O
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
! k2 @/ V! q+ i9 j; X
. q- D+ y5 r6 W6 v
2 目标规划的一般数学模型
9 @2 t" v7 v2 n3 W4 Y5 c
# R: `( t3 x0 \
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
' H6 w2 q; ?, [" u8 I/ B/ l, ^% \" ^8 f
5 x# ]+ k# R6 d6 T$ o# D/ F( _
0 g; N0 Q, G/ z# L
可用序贯算法求解目标规划。
1 l8 N1 i' Z3 I1 ?: P. j
8 p- o8 }% ]' _: ]5 q
3 数据包网络分析（DEA）
U) p2 {& o- c# b
0 s* h9 m! Y% k4 o m. D) X5 _
3.1适用范围
_) Y( x1 o$ g! \* I. q; d- R7 `
, M, g6 H* @' g
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
; o* n A: k; ^1 M% O2 x
6 w% `4 p; @8 a6 x
3.2 数据包络分析的C2R模型
6 r, x" U# R' e! `1 y0 \
% C3 G$ x2 ^3 {3 M9 u; t
设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
9 s- W8 r9 u( S6 V
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
+ W4 {+ f2 ?$ n$ P5 o
定义决策单元j的效率评价指数为
1 n- T- O% S! A# J# C. w3 U: c% J
评价决策单元效率j00的数学模型为
8 A3 _0 p2 h& Z9 g2 i2 D
+ m6 }3 e! A. X$ X" H
3 c& g1 m7 e3 K6 T* P" q- C0 @7 R
对于C2R模型，有如下定义：
2 B( l, K7 L( A: M
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
( n3 l9 O M. L, Q
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
4 z$ ~3 |6 w' G- u9 F. {' B+ K
3 A4 y! m- E8 r
1 l* S+ A" q' R; o0 E
4 ^) b1 {1 w( n9 ?2 @3 ^
2 z8 r) Q' a2 k4 k% p6 z$ @5 j
( x6 i% m4 ^$ n; p/ |& r2 ^
4 h: |$ G3 {0 b$ X6 F0 @
数学建模解题思路与方法.pptx
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