数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之目标规划
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作者:
杨利霞
时间:
2019-4-17 15:18
标题:
数学建模之目标规划
数学建模之目标规划
0 R, [3 Y; ^3 R! h3 ~
( s1 W1 M) s, N# k# y' ~; X' o
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
2 `9 y" _! t% z6 z
1 简介
4 q4 U* u( m5 r8 ]* C0 e8 G
) q* p$ M% Q1 S) J5 I
1.1求解目标规划的思路
+ @3 a" X) n, J3 V+ l
1 V( }, W% m4 l9 I A" R+ z
（1）加权系数法
$ Q) Y' K0 g3 n* K# f) v5 y9 n
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
5 m, [, g0 A9 c, d
（2）优先等级法
. L! T) Y, x# P/ B
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
; p T8 L1 J: G! I1 d8 o3 ^
（3）有效解法
& n+ J% w) l6 B8 v \0 V0 b! f$ w5 \8 W
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
7 f/ B) q3 q: l9 J8 O
1 ?4 { n$ N. o8 S. P9 D9 G3 R* A
1.2建立目标规划的条件
- t C( p1 m* J; R2 O) q
4 G6 G; m- q' S3 T6 P. d
（1）正、负偏差变量。
7 f3 T7 g% I4 h4 ~
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
6 [( o, }' S/ g3 Q5 V
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
! \8 F6 E8 T$ q9 i$ u9 s# t( K8 r
' x8 d& X8 ]5 ?9 Y+ U! ~! C
1.3 目标规划的目标函数
7 J9 S9 d( Y, p6 o
5 w- q! J6 a# O
目标规划的目标函数基本三种形式为
" B7 q5 i" |# s$ E( y# q. [
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
5 I, ^: b$ z* X( n8 Q. G
& ^) G/ k/ s8 X- p3 ~! E ]( Q
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
9 a, m7 T8 h3 R( x
c# C* s1 z. _. q5 q- c
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
- `0 ]4 `& A2 F. ~% d
) r" h2 k; E* H
- \. S M, q! x: Z
1.4 目标规划的模型应用
. v$ R) c2 k9 @7 v
; G1 s9 _ p' K' }( \/ q: }
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
0 ]5 I4 O3 u V) Q) |
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
5 B1 i& _+ p6 u% H
$ j3 y+ ] H3 }3 j0 K- v1 D7 U4 W
2 目标规划的一般数学模型
$ E6 @3 E8 W b3 H) }3 n
) o9 c8 n" u' l7 \
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
! z/ b; I3 Y4 J- P
6 f3 V- U4 e5 D
$ h: h; z4 y0 N. [( T5 p7 u
可用序贯算法求解目标规划。
$ _2 G7 v: u8 L2 s/ _* C) N" {
# t6 }+ U2 [7 r
3 数据包网络分析（DEA）
0 t( h5 q( _5 z1 t: L( k
4 t1 M; Z3 |( q) @) J/ i7 r" x* T4 N
3.1适用范围
0 Q0 v& |6 I3 E) {& b
6 M4 {0 i. u$ {+ s: g A
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
2 _- U" {* e- t' R6 ?! l
; W& p5 ^5 X( q5 d
3.2 数据包络分析的C2R模型
5 F- _- j: u9 J7 v% ?
1 v: ]! V v' Z6 @; d
设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
" P j9 S5 U+ \
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
3 _7 t- w( n9 S" ]1 D
定义决策单元j的效率评价指数为
; f# d0 \( U l9 m0 Y" @
评价决策单元效率j00的数学模型为
& l0 v) @& x9 q% z. v
. v+ ~8 U9 X% ~
5 p& c$ ]# x; ?3 l9 s
对于C2R模型，有如下定义：
- D8 s6 R+ }5 p9 b, V; L- u
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
2 O- m+ @! m9 u, L
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
/ B7 A) U; D: A; t9 X$ N2 j6 N r/ J
1 F Z1 g$ O) U- c, { Q
) u1 ?) D8 i! _/ ^2 v* ~0 r# a5 n
: o5 G; k" m7 s8 M3 ^- N7 t
: ?; y' k. U4 L( T' W' A( L
# `/ z( g7 Q( z/ C0 J: C2 F# K
. D' @- e% b4 T- Y- e
数学建模解题思路与方法.pptx
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