数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之目标规划
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作者:
杨利霞
时间:
2019-4-17 15:18
标题:
数学建模之目标规划
数学建模之目标规划
+ e0 ]8 [' c7 n8 x: X; }& E( Z
: x7 b' X5 p3 U+ E
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
0 R( m: B' u) S, W# X7 _6 c/ `
1 简介
! H/ \& o# I s6 d$ v1 K7 J# ]
0 e7 M% ^7 w8 z
1.1求解目标规划的思路
+ r7 e# x5 M1 |: N# E% D! i. S
3 r1 i# X p7 Q$ J0 z3 f. h
（1）加权系数法
0 R" r9 R* b& P( j; c- D
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
5 ^' l. r I8 i$ w" I; b# j2 f
（2）优先等级法
4 u' C; U7 O, [* {3 \8 r
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
6 k+ m& B! O2 ^: o' [) j0 L
（3）有效解法
Y" K3 G+ i. K+ d1 s3 v
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
$ y1 i3 K) |( y5 K- Q) ?
2 R* V/ t/ u9 m( ]5 ]
1.2建立目标规划的条件
+ E/ T$ N. x+ `/ A+ \3 C) p
4 {- w7 k/ ~6 @& U& @2 `! ?9 S2 B
（1）正、负偏差变量。
+ d5 T# i7 e+ L( g. ^% B: [7 L
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
0 a: ?2 a8 V- ~ M" F- x
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
' e2 F- F0 e/ c" D
- ]: ?- B: @- D: p' e$ n" ]/ B
1.3 目标规划的目标函数
, c$ K, e/ b" A/ n9 Q/ G+ Q" E
; m8 y8 H4 h% N! k1 G% L
目标规划的目标函数基本三种形式为
7 v3 Q. E/ r4 l
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
! Q6 b s8 f3 E1 @+ K' ^6 n
8 B0 j, G; S6 N3 X9 s
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
, y, o: |8 `* I6 R( C
5 ^% p8 ^( V+ P/ S
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
+ T" d% A, A8 w6 Q9 A8 C D
7 z/ l! @- ?6 m9 [; N! @9 |) W
m; i% g7 b/ b$ v. e4 D2 u4 b
1.4 目标规划的模型应用
. `' r- T( R" L. u4 A- u
* U* m: z, ` s3 x* I' Q! T5 _
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
8 g% V# j, t4 ?- \1 v- Q
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
5 t$ J/ @1 d( Z7 M1 Y
/ }. N: m; x1 I( O, O$ ?* f
2 目标规划的一般数学模型
0 B' \' e0 u& R$ e
0 G$ Z6 G9 u/ k1 r& A
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
6 W8 J+ o1 A/ x7 f7 R
$ ?4 G/ U& t$ r0 S
: C! v3 B2 E, E7 W
可用序贯算法求解目标规划。
5 N2 P% q7 r" Q$ O# F. s
' A2 i3 M2 e% C
3 数据包网络分析（DEA）
& a9 w2 O% D/ I7 d0 e% s `
9 C5 f* }! m0 v. _( M ]' ]5 N/ O5 Y
3.1适用范围
( ], g7 q2 d9 Y: E- y: P
& y' x7 q( I7 ^5 n4 h* N8 y
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
P- R8 U3 F. L) q% y
8 ~. a+ m' I, e7 K. T. p* t
3.2 数据包络分析的C2R模型
3 L3 i5 E: W& F' J6 Y5 ~4 R* s
+ n, h; }' J% M7 ^4 C3 Z
设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
2 v% ~8 [& l2 M8 D; M* m
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
1 r4 v9 p T" M! T2 R$ C
定义决策单元j的效率评价指数为
( t% L1 m# M, _' A! V! @. b1 E
评价决策单元效率j00的数学模型为
' {/ r0 u. \6 [
8 t# N# x; u4 v# {
' B1 p$ p8 V) y6 G
对于C2R模型，有如下定义：
' R( {- L0 D, q D. a
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
* M9 t" r7 V; M4 Y/ C- w, Z
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
$ Q+ P' C3 h6 D9 a5 e, ~
; P$ Y0 S/ u* v( o( @; h3 J e
2 b8 y, V1 x# W8 L3 S3 t1 Q t
( D/ N/ g' N L9 I2 C1 ^
* Y4 U& ^7 H# J
8 p5 S' D0 N6 Z. T2 z6 Q
' k2 `' E: ^4 X) u5 W
数学建模解题思路与方法.pptx
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