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标题: 数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-4-17 15:21
标题: 数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题  {& @$ i) y8 D$ x* ]- u/ h
# G" ]0 A7 z7 V; H
1、建模步骤! N& K  q+ A3 W4 H4 k" o7 |, H% g

& g1 c6 m+ F- J+ u- L( j
( N1 F5 N! C8 O: h) ^: [* p# M0 m2 v" C
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
) Q6 j/ ?+ J( a/ W0 B
* ?( _* V: L5 u% e: L1 A模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
% K6 N+ H6 b5 |4 Y( \7 f% U- I
5 `+ E; \$ h# a# U模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。) B7 k. U) G3 ~# e; {
* b* m5 ?0 r& f  w; b9 m
2、数学建模问题
1 t' Z4 C+ {% ?0 H0 C+ V5 B5 V; c% e- H
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制3 T3 S' q; m# g2 m

6 o5 b* X+ [) N（1）数据处理问题& q- `0 |' O& F' \- ~
! l' p9 ?* H1 M2 S
•①插值拟合4 `3 S7 \5 O4 h3 g
2 n3 M$ v) n4 f1 c1 ^& n
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析2 k4 d3 `; ^$ z2 X( F/ m6 |! A# |6 ^( s

$ G. m/ y1 \4 ^  V0 F/ \•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）7 S, {6 U6 l2 v1 G5 T# R

5 g& F" \; \: M# A•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
) D' Y, j" c" s# r5 W1 R+ o
) ?8 ?, D, i  u8 W4 L% i3 [) K•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等8 W! n2 u% h; G+ ?+ G- i

  O4 C- I. r4 K; Y4 }* G1 o) [+ B•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余6 a$ B+ {1 J! z; f

6 S" H, ?7 V2 m6 Y•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
: B. \$ I* q) u1 [) S; x
: t  J( |& b2 r& s7 H# y•主要用于数据的截取或者特征选择1 K  _( A1 D  Y. G* N
8 N7 Q; g+ h0 w+ x1 |

' N6 g5 W7 N" l, f
) M3 n7 {& I# e8 z（2）关联与因果
6 j# s, |. F5 j+ o, R) W9 L- G
1 o8 k) s) l9 I6 S2 g9 E•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）2 z/ X/ {( b- V* ]# M& T& V

. _+ P* r4 V5 f, r" w) l* Y. G•②Superman或kendall等级相关分析$ k& {% e  K0 ?  L2 [; |: J
; q9 I- K% T4 a' N
•③Person相关（样本点的个数比较多）* I* _+ d3 d9 h
' `# h* q8 e, E0 i# s  [
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
8 k: r# D" B" u8 v! z. v
% l3 c( {' P" }•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
1 Y7 T/ r. F% d- h5 d- i6 i! L* \4 i/ }; [! i) s4 C6 |
- d1 C4 m/ W# }( U

- R; |5 V3 d" D1 ]  Q- A! Q（3） 分类与判别
( z, k* P% s4 N7 p1 e
0 m" b# S8 n8 O0 r6 X% Z•①距离聚类（系统聚类）常用$ [0 E% b/ z- n9 j/ c- c
* W: v3 ~$ ^1 m
•②关联性聚类（常用）. e+ `( `! r8 _/ |& s+ c2 G
: B1 ?  E' S  [6 C; d
•③层次聚类
- T2 T; O$ J6 _* ^8 r' b7 t
, N8 t; ]4 j* R/ F; [•④密度聚类
/ t9 K+ p: b8 ]4 J7 `" ?+ j$ w6 a, r% i2 ~% Q! i# b& }
•⑤其他聚类4 T. w% a5 ~/ Z( x7 W
. p" P2 [9 u3 y4 o5 z3 Z" w: g
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）6 V" g. r( }; n6 h
# v" R1 U& |# n* b( d/ L/ G: h6 |* R
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
1 \' D& G8 y; C- |- h5 c. }+ ^' D2 T" s$ S
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
* {' A3 V* H' h# W# i5 o6 Y' h! L/ L, B8 K6 \3 E
! b3 D  E2 O8 Z: n. Z5 ?8 u8 \
" }# r7 K* b4 W( P& ~
' [, a1 |1 E. W
# [9 ^. _) w& |' Y0 Q
（4）评价与决策  F& ^% ^7 @1 [' s9 ~- o
1 I' T2 F9 V* n  n
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
8 m" E* ]- @& f, r9 g( _
: y, t- _8 S' K, Y: A•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。' B3 V0 \% `& @$ t4 }; Z- J

9 d: e8 Q5 R; v! j•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定. _+ a& J( w$ W5 t4 U& T, Y, t. v

2 L& ^* t8 A! ]% z9 x8 `6 l•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判) b: G) }! d$ ^9 M
/ U3 i$ P8 @7 j1 m3 }
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
% I, w( ]; @$ p  u0 w3 U2 T# d2 _. J: j7 n3 a, r8 a
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价: u2 W& y0 u+ v- b3 e& }9 V# S5 Z
6 r4 w3 H; b) s
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）1 C% A; d& e7 b8 V! V% Y! @' ]
3 ^, ~9 X6 F  J# b- V% G
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
4 G  H& k* O7 t/ r4 d6 v* a! k
( t, L1 T; }) d+ e# I2 e6 P& y•⑨方差分析、协方差分析等
5 F' S9 @8 Q8 G3 B$ K' `5 }! ^! F" z9 Q
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
, ~1 s+ q) l) ^4 x  g. |5 g0 `6 }+ `) |! P* K4 [5 o0 d0 W
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题, C0 F. ]. p- [+ `( O: Z

7 R+ S$ Y5 `0 e, a7 S# i) h3 d4 j- S: H5 N

( Y0 o: F5 G: Z2 j# m  M1 }
  B' b! m6 l- I0 Q; ?, J8 A2 W' v- E6 g
（5）预测与预报7 l6 C- F* r$ V2 ^: z" H, a

, h6 I! b9 `+ D. y
3 a, ~0 f7 |6 j- G0 Y9 n
: q' \6 }8 K2 @& u•主要有五种：
  o: o- o% F$ I* v
9 ]( r* d. o$ s6 ?•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
: s4 ?2 c) x, M7 B# L9 g: `, s
9 J1 }$ y% O! E- c& `•大样本的内部预测-逻辑回归
7 X3 m7 P6 V9 v3 q2 v/ P  l& y8 S$ K( V
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
' V' X7 Y$ a6 x( G/ y  t5 S" D/ o6 V1 s* k
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列/ q4 _5 I9 G5 n1 E

0 r" |; M0 [, I! c3 Y•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
- Y1 G7 g/ G# R' d: g2 a& G5 m
! T6 L9 L. X1 w% o0 o  D- f; m
; ?1 j% j" r, W- z" w6 ]. g2 t! w5 Z- w! X& d
•①灰色预测模型（★）
! K% ?! U1 P) B
! C) d) h6 U  J% _) O- p•  满足两个条件可用：; t' v% X, H* c( Z3 {% e
2 p6 I( n: J  j  u3 K! f0 y
•  a数据样本点个数少，6-15个
- C/ W4 e0 _7 ^8 G8 F5 R4 A
1 U" Y1 u. J( V3 V/ u2 q% ]* i$ w•  b数据呈现指数或曲线的形式& a6 o- d# F: E! P' f
7 T9 I8 e$ K$ _- {9 M* _
•②微分方程预测（备用）8 G" R2 i* {" B# _

6 @% j3 o) d4 n6 z% Z7 t  a• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。! s$ V1 j0 @6 ?( A4 n: f5 z
& z& A* S9 L" a: C! V7 v

& `( Q& H/ _# [( o" q
0 n6 C9 b% H, U8 O) C•③回归分析预测（★）( f2 y( c2 w; |

% o( F7 g( i7 W9 h: T0 k•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；5 D8 g: o' ]) i$ m3 Z
$ {: o7 R8 m' r! n
•  样本点的个数有要求：
6 X0 {  z' l8 ~! r! K4 E5 C5 A7 i
" C9 y& i6 I' G, u) b•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；" c. b( G) ?& S# N4 z7 S/ x& {
7 t0 e& e* x% v" @
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；; t% s/ W. z4 {. U$ G, j

8 ]' b: _2 J/ k. a" U•  c因变量要符合正态分布
$ P# i- M7 N% w  k; l# Y) @2 r" @
: ~5 z" X9 ?2 P6 X: d- ^7 o) f! d  k
: v) J- a1 @4 T! L& _
* ]3 H6 ]" Q! |! a2 Z2 ]; e9 I•④马尔科夫预测（备用）
7 v  h+ _  ~& ?1 D0 }: y* w, \; c9 a% e
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
& Y, w# C9 A/ ~3 R+ S& r: \/ N3 x: {& c& ~$ Q3 \
5 A$ \2 }' l$ i

) p, W& V2 {. J•⑤时间序列预测（★）
* Y, b# m) h& P# E  O5 ?  N! o8 S' ^( j# ^! B+ x
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
& @" @- ~7 o. {- G% C, ?4 Z" W1 |$ Z
% F: x" y; M2 n! }- f! d•⑥小波分析预测
0 y# ?4 i6 c' ^: `* j1 p3 ]) Z! o$ R+ e$ T6 Y% v$ F# q
•⑦神经网络预测
; v. {8 v' M7 _" j/ p
: J. V* l$ d( }•⑧混沌序列预测
' m: z! B5 Z! a2 x& ~+ t
: e! v3 s* v2 [* s# M" z2 M
5 |2 |; O! n# n8 a1 f9 p; i/ V" u- v8 \5 z( X
（6）优化与控制+ U/ U/ w5 l/ y9 \. r
. ^; T2 ^# e( J$ \
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）0 E# P# k$ F2 x2 C( d
$ N& A9 p5 B, k+ F3 j
•②非线性规划与智能优化算法; q  Q% a1 \* S, G

7 A, v( y9 ?, O4 u8 g6 K% q•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
6 s6 s$ f  R" N- W$ p' V: m5 k5 d6 p. s
2 ^1 L, j- L4 l8 k) u•④动态规划
6 T: _" [# o( f* j
/ L7 K5 A6 ^! u* Z! u•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）; g3 w2 Y# V" f  \* S5 [( R: m
! @% m7 y* x8 [
•⑥排队论与计算机仿真
7 v( f% ^, w: H4 P) P  G+ z+ z. g& t
$ c  |# o' R! B9 M•⑦模糊规划（范围约束）
, @6 P0 c4 i& F% q) _1 g  W" D5 X. W9 w( n! X" o( V$ i) C: t
•⑧灰色规划（难）6 {8 ?0 w9 q; u

+ |  N) g, \1 X' T2 |, t7 k+ b$ D0 S$ Q; U% h, |9 p
9 W) O* V, O+ e  E

/ M: s. v; H( R: Q* x0 `

数学建模解题思路与方法.pptx

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