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标题: 数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-4-17 15:21
标题: 数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题; b7 ^; Z$ A% Z: M: m) E5 c
4 Z: A4 ?8 W7 U9 A' b& b
1、建模步骤
2 A6 _8 Q6 u6 Z
  D3 e* e1 L, @+ v$ S0 |
& a7 r$ n! C9 N4 m
( A5 u" z) O! }2 U模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加 # R" ?+ |5 R3 Y& u- b/ p7 b" _
* W  S: K( d$ ?: n8 f* g
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
& }6 {2 O) M- z# C" Q' h4 H3 U' [2 m* j  _) j. |5 H, p! K3 f
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。) v; ~) `3 J" l, n: e; k% Q
: D) Z% U! O# T! E8 \
2、数学建模问题
' Z1 ~( h5 X- c9 z) p1 V) V  j' B! C' h: M% f9 z+ E4 G
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
( g7 z' |. E* V+ L' a9 J+ g
. A6 I+ D6 g9 V! w' Y; E（1）数据处理问题5 R$ X5 i3 g# m: g% l9 q
: f/ E  G+ ?" z
•①插值拟合* k+ d/ `/ Q7 V1 w' z0 D
5 _' s1 D+ A% H. O
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
9 g) c/ y% q  m. j7 y
$ [% u# o! j" s•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）9 K1 @/ H- g) x& W
( O5 V& ~0 A; l) A: z3 U
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除+ K0 Y; A5 Z& K* ]. F8 f0 p9 F0 `; ]
0 d) b3 U5 d7 T. B" h) f
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等& W- G' _; O$ E8 q$ O
' c% j; z( K+ R/ x1 v  B
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余* L0 F- x- ~! X6 o- s& J, d. |: O# @
6 R$ ^! z8 Y! B8 [( r2 |
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法" f7 |1 Y) k2 i+ }: B8 X

8 }$ E. A4 D2 g# V+ }) a9 V•主要用于数据的截取或者特征选择
1 O/ O% j, x: ?) j! |6 Y" K1 A7 F1 B% l6 L
! u" I; D5 D" t

3 ?8 W  |" ]! F（2）关联与因果7 C+ n1 k+ K& P7 K& _

  V2 g: j3 R8 u0 A•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）) }$ i. {% }6 w" i1 Z: P8 |* Z% q
/ J, ~3 j$ o/ l% N3 T4 p
•②Superman或kendall等级相关分析8 T; X3 b+ R: h2 G* |9 y$ C

9 v/ i. V% _3 s9 S# V0 |, J•③Person相关（样本点的个数比较多）
+ r$ L  u( Z5 _5 e/ n  ?( E* n: Q8 F! W$ H
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
2 v! ?$ N2 g+ Y9 {' a4 M3 I  \8 R0 \
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）! R) |2 Q5 p3 S% f% q3 h

5 o9 @" v6 A3 J) t" \6 q( r8 B% [* P! M( b; @6 M* m

9 n' H' r# [+ M（3） 分类与判别! O. @4 `" f2 K# ^: p1 R
% Q2 V! t' f1 D0 c! E; h. D$ V
•①距离聚类（系统聚类）常用- C4 v* _8 l9 L9 ~/ Z
5 Q/ [- s0 d8 k9 l6 g
•②关联性聚类（常用）6 G! K$ y! q5 d0 n8 j3 @& ~9 l  `

) g8 P7 }$ ~( |- a, m; h/ P1 r•③层次聚类; Y5 L# K& W6 H8 t* B& Y

1 i# P- h4 E6 N* Q- M& d! l+ M•④密度聚类8 U& j2 S1 S0 j# |5 ~7 q
+ X$ @3 X7 f9 g5 C6 A" C) ?& X6 M
•⑤其他聚类3 i+ Y9 f( P' |, Z# F
+ j8 L7 D! I8 j  o) I0 a
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
* l2 Z# C0 Z6 g0 _0 x. R: j7 x# t2 }8 x0 j: T- [' q
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
. k) L$ C; V$ i- U. G
7 G% a0 U% K6 y) X•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
( a1 J$ k- Q/ ?$ ^( J
7 G% ~  i0 p* a; l! r- a3 T( I
/ n9 p) }8 h# K( _( N/ @4 b8 Q, c" F3 A! s8 f

. E4 L/ j3 r0 n7 z0 w/ W  g, ?' s4 {, A
（4）评价与决策: T1 O' C. t  ?  x( g) Y
+ v6 x- X" U8 J" h+ s8 i& N
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序! r: C. l* Z; b" F; \7 ]% n3 f
9 W6 f4 B- V/ r0 y
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
& t1 P' S! H: ^- t
) R- Y/ Z* p3 [•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
1 q+ U$ ~3 P5 Q6 a2 v, y2 M
& w6 F5 f6 U( J& X, ^* z•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判! i" w4 g# R7 x* m
+ |" j9 x6 b- E8 ?- N
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
; ?3 F' D6 h5 U, v8 p. q& G" k0 j: R: @$ i
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
; f) `) g  w( F! z
& F- u( U% i( Q5 i% n+ r% {6 Z•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）# \+ \7 L& Q$ D9 n) I8 h

5 S* T- E( O0 W( Z+ |" l•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
/ b, v" o2 c: V3 y: u6 E* g, t0 L9 d' [) s3 f" _. P7 J
•⑨方差分析、协方差分析等/ E/ [. w7 H& k

7 a7 ?% O5 \: `9 M$ W* ^•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）% K: e8 w4 q6 K5 n% \* \3 f- |" f
; ~# ^' e; l; A
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题; y6 x" Y2 L2 V( C9 u

" k; c( P- t6 w: W) N
& n. [8 ?0 ~4 j6 r" a/ y5 w* ?# e7 e2 b& w; F
& P0 U1 O! I" ]$ q# M; T
! M% ?6 w) E6 `
（5）预测与预报
+ U6 Q1 m, N# y, Z8 r  R1 s3 v2 u* X6 k/ j& a# K4 d/ j
) \" {1 H6 H9 Y6 E$ X
" D9 F0 L1 N, F- W  B
•主要有五种：. c$ x. m- a" h) x

1 j; C1 f0 N6 J! p" q: p•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
5 [, }8 T8 ~1 I" X2 b/ R
% X  x4 v+ j  k# L) `! ]3 M9 t•大样本的内部预测-逻辑回归
7 _6 Q3 ?; Q) Q  x5 g. q  ~1 p6 G$ M) k  P1 Z0 p: r5 g2 n8 C1 {
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）- c8 l* s, C1 T6 n

5 u3 v: h# g2 \$ Q; T9 b  t•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
! q4 d1 J5 S9 ^9 K3 X
+ \0 [" `# m" V% U9 E6 ~4 y•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
8 j4 d1 B' H2 U$ |+ C4 r
8 r3 F0 L# \: a7 f% B
2 T1 Q0 _" R& a2 u$ `; m, L! z& |) S) b. t
•①灰色预测模型（★）
6 |1 y7 X( \5 T5 i1 Q" z" t1 Z' Z1 m  M: C" c
•  满足两个条件可用：( m/ }0 [' a9 E( {. m4 R' |! K
5 J4 n& l# d# |1 `# O! Q6 o3 ]- G& T
•  a数据样本点个数少，6-15个
- V/ @; c. }- O+ t1 @2 `1 K! s+ w$ |4 E4 J. ]) d
•  b数据呈现指数或曲线的形式
) R* H6 ~6 y1 `: v7 g7 C+ s4 }# v- T, S5 H
•②微分方程预测（备用）
/ ?2 S4 R" M, i& o) Y8 v2 ~5 o- w+ @! \
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。, T7 P, N! f; U8 u5 K

2 L# ^5 O( O4 a5 y- d. T9 i& }" P7 r+ U' z8 D3 M% c8 O( L

5 p7 m& u" U1 b/ D2 ?•③回归分析预测（★）! V  \% W" m5 j" T! s( Y

+ r$ Y. }: N8 v# H9 J0 s; y3 ?•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；( v% |- h; J+ F; [- X

5 @) L* r# E4 w  ~% [+ s  W" y* }•  样本点的个数有要求：0 c& z( E0 A6 f- q

5 k, v9 o* d6 J( t, r% T8 U% R" Q$ r  E•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
- F# _# Z9 d) D) |+ w
. r& c' S# Z, }; O5 K: y  U$ i# @1 n•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；; P. |3 K$ ?+ G  {7 U
8 G; g1 q; M9 P
•  c因变量要符合正态分布1 |( I0 Z% V1 D3 B2 x
7 L3 Z; b  `8 R6 U

6 O: d& O& L( S. T' o1 _
6 |9 P, c# B$ _' L•④马尔科夫预测（备用）
4 E! o# \! @0 `* w
$ j% a0 W/ J5 c# r( d5 {•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
" i5 ]0 I- p5 @, D
$ R4 a9 q9 n. _4 H. W
: V3 P) Y9 ]2 T: R$ O' ]+ C/ I: h! ]4 Z* [9 ^+ q$ Q
•⑤时间序列预测（★）8 e9 l& J# E, s/ F: d1 F
0 ]+ L2 x. {) r# a- T- w8 _
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。/ ?9 w+ B  _: a; ]  V0 w# z

: i; M: p( O3 @5 e9 y- J•⑥小波分析预测% O9 r: G3 h6 i' p

% e) ?+ R* K/ U+ o& h; z! e( g•⑦神经网络预测
6 |+ b# J; L6 `& B
5 \" K# {6 O2 b" C2 I+ N/ p/ T•⑧混沌序列预测6 [9 c! V+ ?* k6 \# H2 H
% K9 z5 K( D  X/ _6 U8 ]. l: n

6 |; K! Y3 z' j( S+ D& R4 j: `) c6 E% ]0 F, z( Q
（6）优化与控制: p1 v6 v7 J: K" G1 L- _  M

; l5 [1 h' I0 t6 b' K# t- H•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
/ e$ q2 H$ z  [4 t$ m( \! h
- Z' ?0 [9 @5 ]9 c/ l" U* [# t•②非线性规划与智能优化算法! ]1 |' j5 ~7 ]

- I- O: m6 L+ |4 {: L: D. e•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
8 \  Q( o  j( X, H0 x; P; }8 R# f- m5 u
•④动态规划2 B; z1 p, q+ E
. X9 Y4 O: i0 J# f7 S
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
0 @- Z2 N6 D% X+ c1 K% ^$ q
. J  Z# V) V" i4 r+ [+ F! S•⑥排队论与计算机仿真+ l# n& N% M8 [& G# }2 p- M6 V2 s

/ n; o! R3 u6 m0 `) S, J•⑦模糊规划（范围约束）
, J) Q6 d5 Y/ J! f7 u" @6 w  L. f1 N! f3 @
•⑧灰色规划（难）
, x$ A* s" {2 z! J! S9 w! X. \7 k( L) q/ B
) g: Q4 G4 A* N

" M" h5 [4 C+ P
( D; v; p" V; f3 }) M# A

数学建模解题思路与方法.pptx

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