数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
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作者:
杨利霞
时间:
2019-4-17 15:21
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
; o- i; N( s' T' e; L
/ E" V' R. r- p. U( S) Z9 \
1、建模步骤
& ^- [' Z0 r/ t* E- s- Q
* A& f- v& i" y9 `& u. k3 E
% l* B6 Y$ l2 u O7 s
' O. p" u" Y M$ e4 y7 j6 p
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
/ ~9 I2 o1 N8 R* j
D( D! e0 E* t+ B
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
. d, e% G4 l; i! k6 j
% @3 z2 Z) Y5 I. k0 ]" r
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
2 n+ A2 s4 O K7 N
3 s, A( N% R6 D- v# {. g
2、数学建模问题
! w, ^- [1 Z3 H- e) Q w* o
, u2 a4 ]+ H) g8 k: v
1.数据处理 2.关联与分析 3.分类与判别 4.评价与决策 5.预测与预报 6.优化与控制
+ |- g# p; i% r
9 F9 }4 L e2 e/ z! H/ x; j. G- f
（1）数据处理问题
2 p' ?# u3 Q. l$ i" P: M
- ?$ H6 g% w2 d5 j
•①插值拟合
" v/ M. ~+ P" K% r
8 m7 J# l* n- _0 E, a+ f) G
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
4 n9 O' ]; Y/ D; P; K3 N5 l7 C# ~
; H r* e" b) y! j6 P
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
- R# i; k! O/ s, Z6 W1 ^
' r5 O! b1 W. @' ~& L
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
1 G" ~ ~! h0 W9 w$ k0 R
" K$ R4 U7 ^$ n1 T
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
! c ]. W @6 f+ j$ |
5 L2 ^3 E2 |% {3 [; E
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
/ o% u2 X% k; K# p; @2 k) _+ @
- N+ o( n+ n2 _' e& f4 H
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
2 y7 w& A" { e2 @
. Y7 a. F& U7 O; u
•主要用于数据的截取或者特征选择
. n' j/ h0 W2 T, n2 U5 m' F& a2 k
; _: A: w# I6 f
- ]6 L& ~1 _1 p h4 r- H+ d4 g( M
4 S7 R7 O' x# j* ?, {( m2 `8 @
（2）关联与因果
+ L. n$ e. u( z( o! e
: j9 u x+ q: c- `* p0 T
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
' f- B4 j$ h3 \- H% r
n7 F9 N l" e" H% i
•②Superman或kendall等级相关分析
2 b( _; U1 ]1 O+ H! p) a! I
; o& ?1 F4 ~$ E1 @' B5 n
•③Person相关（样本点的个数比较多）
6 R7 r: @$ O# m' z# c
/ c" p5 P. H+ Y$ x, u5 N
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
: H: ~* Z8 X' _
7 L" p4 k" p7 ]% `9 S2 b- M2 [
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
2 v& \7 O' Q2 O- T
( ?* U8 k. P/ O: b1 C
~, {4 A& v" a: o
( l3 s8 c& K5 z: V
（3） 分类与判别
0 F5 s( ^1 Q4 _: @0 } L
% N! `% N" u/ m. J3 ^% Q% C
•①距离聚类（系统聚类）常用
6 |" t5 j' }% A7 I8 a: m! N9 d
q9 y& x; d9 X
•②关联性聚类（常用）
% \) t. \8 P6 s' n! K' E4 p
& q5 u; k6 ?- A) [! r/ h
•③层次聚类
( X$ S6 a1 f( E+ M" }
4 I! y+ W& X8 O# ?! }
•④密度聚类
% q& j0 x! N6 b2 [/ i/ ]2 P0 C8 w: Z
' ?6 @* Q1 O1 Y$ J
•⑤其他聚类
7 {8 p& _" C3 g* C7 h+ j( K9 V8 X
" @. W1 [6 N0 |% _$ \
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
' Z. O4 H) Z4 t* D
; ^0 M, X3 x& ]; d9 Z
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
( ~3 e$ m7 s3 K% C' |* ]# y$ ?
+ a) O9 U2 g% x1 ^ X2 W! k$ m$ T. S
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
6 k4 m! w+ [! V" T5 L
0 f7 \" h$ d5 ]
5 `1 t& X9 Y! M. \4 M
4 J' R1 |# ^( J
, H u4 q+ [+ `! T% B
* W3 i3 N3 d0 m$ C8 o* P/ G" n" q
（4）评价与决策
: ]( W d) z4 [3 L5 E
* M0 I* F# k: A' v3 [
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
: I2 V) l4 \4 r K8 i! Z5 S
% E. H+ F/ s/ g- ?
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
) |7 d7 o& c0 C6 t- r6 B
; @% Y) S. G7 ^( n4 p3 f
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
5 g* |- R, m0 d8 [! i4 f
5 I L" \, Y& B2 r, u# g
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
4 H. h! O: ~9 Y" i& r4 \3 Q0 V* m
2 ^( W" R7 [' X" X+ Q) w; J" k
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
/ B O$ u/ A. Q7 b' l. Q- \) `' h
- {* K6 Y3 E' k5 m n( @ S" N; G6 U' e& h
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
' q# s; F% g" ^8 d3 m" q: g
; {- \# ^. z- Y/ U1 O* b( F
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
' a7 c+ r/ E9 P+ w: N" H
# C( L! W; h4 `3 r' K
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
; ]- \0 g1 }2 i0 l( Y3 j3 }
' l( y% M5 V, l& `
•⑨方差分析、协方差分析等
* v" |+ r' p9 l0 p& A
0 \8 b0 L+ ]/ p: v7 X# Z
• 方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
$ y! e0 @4 a1 g
2 Z |; @9 O2 [, a/ q# M/ f m
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
8 b6 ~1 i, U5 `9 l; s9 O+ a
. Z8 E# ]! v3 h; k2 {
+ b3 U! G `8 y# N" n$ i9 N/ N
+ S9 N( c. u5 i2 }- V
) _: l5 v+ p; N
+ l; ^. g: n' B. Y0 X, w3 r2 V
（5）预测与预报
0 d A, k" X& ^! V* ~
. o) z% s; r$ G2 v+ d' L+ p& X
1 q, [8 W Z" `# k7 d
( r) X, m. z1 w) a7 q1 y# X1 j1 T1 `! N
•主要有五种：
8 G; B1 J0 y, [5 f) O/ B( \
9 p& G. U: l$ s9 N
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
) b6 n p8 d/ Y- H0 s& d3 j) _
7 b; s' c' u; `5 ^8 C0 g
•大样本的内部预测-逻辑回归
. ]8 j4 f4 }: Q3 Y
5 M$ O- y3 o( P0 C: D" Y
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
( p+ H2 Z* y* u7 g) w2 E) U
$ ?: k) o" ^! | a
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
0 \; d" S4 m- s. N! `0 T
6 T# _- G5 C* e' s2 K$ A
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
7 T& n( i) ~* G @, d
8 [; i8 u2 [: X, z! O
& M; z, [0 ]5 v- P# C
4 `1 Q2 J" t1 t( v( {
•①灰色预测模型（★）
, l+ e8 k1 y7 f* _: _
9 X/ w; M' n5 d I& p1 X
• 满足两个条件可用：
& i3 z! t7 ^# y
) Q8 K9 V, J2 z" m6 O, g( J
• a数据样本点个数少，6-15个
}" w+ Q8 y9 k: \& J F6 R8 R/ [
- Y# d* |' S Y! F7 S* k+ Z; q
• b数据呈现指数或曲线的形式
' N# l. M4 ~9 g
( o" L. {3 @( l @+ d9 o( v+ s
•②微分方程预测（备用）
]3 d6 _) ?$ P: x
h) \ X/ @6 @& F% M: f
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
- Q( G: U+ a0 ?/ c4 j
) H) E9 C! X* C
/ w2 {" u0 Z' u
9 r8 y* ?. h. \2 F
•③回归分析预测（★）
0 k5 u* V. p) b( ^% d% H% O* I$ h
E# T( q$ }7 P, d+ n: \. U
• 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
/ k/ N1 k- i% s( P0 Z$ I
' D% i6 o( v1 v& _
• 样本点的个数有要求：
$ _7 u% D) L% N" w. M4 L
N( _$ A& d( t P9 c4 B+ m
• a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
8 q1 k- F d& S9 v" S2 U
) z2 A9 r; u6 m
• b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
) F9 v4 G- b9 ]4 ` J! \ H4 U! R
' [, T- k0 R9 \/ H) p! @
• c因变量要符合正态分布
" [& s* h6 j+ K) b- i: e7 g, \8 N
" V8 |; A9 r' Q
/ Z$ A4 L/ B' a! _% S( P
8 I( k. S! V. j/ G
•④马尔科夫预测（备用）
" W x2 p( S- B9 f" a( w
1 I0 t2 k; [6 m' h) q) A% D
• 一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
# p& A8 f, A% S! O
; c7 b1 L* `8 n2 C5 M
# D) [* R! r- Z T0 i. {# e
% B$ v& K; ?! [) t& q! X
•⑤时间序列预测（★）
0 e9 U4 l; ]# i$ {
; N9 A3 E) U8 A1 ^- ^! |
• 与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
$ B" K6 S: E1 }& O
7 z$ W8 g% Q, |; G i1 |
•⑥小波分析预测
# k5 |% x: d- V; H2 J
, U( G* i2 N t+ L5 e
•⑦神经网络预测
0 x' H! \9 u3 n9 j+ u
) f/ Q& o- Z6 d; E% j# n
•⑧混沌序列预测
- R1 i& @1 A0 G* ?! |! X
. I8 R1 D! j4 e7 O$ ^5 q
( I% N& L! O& ]4 Y
9 K: Z4 M$ z# Y. n# x; {3 X! e Q
（6）优化与控制
% K- `* x9 H% C7 @
7 `% `: J* C; r6 |8 y- L* }
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
" E" y2 E6 u$ B6 t
, o6 N% ^+ ~) @& f/ ^
•②非线性规划与智能优化算法
/ ^$ S$ y4 J2 W5 _7 v
& s3 m9 X5 T" v
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
e1 @( v8 v6 r; F5 h! j- [
+ Y; J% n6 \% z' N% h
•④动态规划
5 ?, s4 ^$ ?/ y1 ]. C" T
6 ?8 h8 B. ^8 T; a# O8 y
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
2 R' C9 }, N0 Q+ Z( I. j
; Q4 X- }: c+ f# x {& e5 U$ u
•⑥排队论与计算机仿真
1 p/ ]6 W! F- T
% n/ G9 _9 U" ^: P0 w Y P
•⑦模糊规划（范围约束）
- S+ Q) X2 h+ r
6 c7 y: E. u9 ]: E1 _# g
•⑧灰色规划（难）
I; C$ F+ p- E4 n* t1 ]0 ^/ i: x5 L
. j# G6 Z' }8 H- N8 N1 l* { J
' Q- h2 @/ L- J' w- P! s" q
" _9 @" ~5 w4 [. C4 f' n% \
6 a4 i' X: I" R4 m* [
数学建模解题思路与方法.pptx
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