数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
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作者:
杨利霞
时间:
2019-4-17 15:21
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
% P" ?; ?- t, f' L; Z
1 f5 D Y# h. _& V' X
1、建模步骤
; l* B+ x+ `9 |" \7 C0 c
( `) g. @- K2 A2 n7 J s4 E2 y
/ ]- b7 | u p+ E
% A6 u$ | Q/ p, e5 I/ N1 D
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
; I0 M) _% K" H4 o3 h( z# s" E
* Q G- _2 I4 m
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
. V! I3 a1 n' A2 |$ v. ^
& C( }- @1 d! _9 ~# e
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
2 ]9 l. t: T, w) a
9 O# r( T0 l( H) k7 H* s. l1 E
2、数学建模问题
! e* D* b: p2 T# {# t6 C
9 `8 G( }' `$ k! X2 `
1.数据处理 2.关联与分析 3.分类与判别 4.评价与决策 5.预测与预报 6.优化与控制
7 ]6 ?. m& ]8 N K' T2 |. y
, A8 ~8 x4 ?* ^$ V! ?+ F2 C9 D
（1）数据处理问题
1 K e1 G2 Q. l, i W; J
' G, t; R7 d0 r
•①插值拟合
5 p/ r+ V! D6 b/ Q
! k0 d: A: m2 e- ?' q* }
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
5 F/ w2 |. T: A' E4 [
, D! |# @; F$ L0 u2 @- T) N
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
1 s3 S* t& \" x2 b+ @( X# Z- U) R
' s% Q2 m7 _9 `0 b3 Q# ?5 U
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
6 y& L3 v& p& ~
* x2 k0 @; @' C/ Q
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
$ @. Q3 g5 ~& Z- _6 Y
8 L( w$ T+ P$ Y6 ]8 Z Q0 x& X
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
# d4 |/ X& Q6 o; S) t* |( B
5 N" s* t5 f& N
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
: r# u$ q; n, y: v/ z- W- U- K/ A
2 v+ y r; Q8 l. G% O
•主要用于数据的截取或者特征选择
7 r1 Y& V$ x" Z' w* D1 G8 e' ]& Z
! R2 [& w+ M: V8 ~* l! l* H* o. w
2 A6 m$ z8 T7 J* c+ A
2 j; `# }7 L% T
（2）关联与因果
1 k+ O9 ?+ C! p, s9 k
5 c4 ?# g' u) M$ M1 `$ c* m' m( |+ _
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
. a' K( T- A* K0 y" Q) C
7 e5 F. S4 X2 j% }: ?' o
•②Superman或kendall等级相关分析
% U; X! t& z8 M! \
( A4 h' L: @1 J+ t8 Y
•③Person相关（样本点的个数比较多）
- o: q) ?* n6 n- U9 c9 `
2 H: K/ R. r* C1 H
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
* I. k! v' M) m4 c
e$ i, f5 s, c( | P
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
0 {3 F$ B5 j( ^. | ^' e2 E( q
0 w8 D2 \7 ]+ ^1 N/ y
9 ?: w$ c% |' V/ h! j8 w& n3 D) w( v
# A: _$ d# Z3 X8 U/ q
（3） 分类与判别
, h+ ^0 e( q, H5 Y0 g& `! q
) a4 N. N2 z5 w1 c
•①距离聚类（系统聚类）常用
1 ]/ r, B7 h5 A
6 N# a# r% }! \+ o6 h. ^! M
•②关联性聚类（常用）
% g' O6 G+ e( [
( m3 Z0 Q, J2 |- L9 Y
•③层次聚类
# _6 I4 r6 G' v ^1 X# w
C( W& F1 n3 O0 G
•④密度聚类
- ]. M9 h6 Q V2 O
# H! W9 i' d. e0 T1 f C" K
•⑤其他聚类
O- W# g: e6 `
* i! Y o% A2 Q" M8 @' p
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
% M! \& D$ R0 x
' q$ Z7 v" S8 _+ ]. \7 g% }8 O3 c
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
I/ y6 T3 S: L, i" D; B' f
0 V' u; B* i$ \
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
, G' Q6 x- s5 J1 I) V
2 r) L0 h4 O, F; e7 i
) x0 v4 M$ p4 a2 A2 e# d. `) Y. U% O: T
. g" X, C X/ V& k2 d6 l
0 W, Z# ?2 Q R" ]
3 v0 ~. p9 C3 l- ?+ t- G! u
（4）评价与决策
3 a$ a7 z& _. J7 B! v( f
3 f. X$ d1 I. ?& W" X8 v+ t! F7 }
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
`. f% w; `( H" ?& i* K
5 T1 R+ ?& }( _& Y, X
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
7 K) Z- K0 p3 u0 G- K
" {6 ]7 e4 h! B+ Y+ c% i
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
2 e# ]. V K& O, r- Q
3 n4 b6 a0 I0 ]2 D( `1 ]4 l; l: x
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
3 x; t% B5 W& v( W5 Q2 k$ B. ^+ o
9 ~5 e* w7 b; A$ ]8 H
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
% E) n3 p* p, {- ]
. V6 _* g7 X, W7 g" K
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
5 b/ `, E5 i+ _/ ]4 U6 e. r. h
1 I. [, A ~6 F
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
2 @3 R x0 ^& I; c) O9 b2 x9 C! f+ L
; w. n/ N$ o6 X
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
: S% _& z8 y; J; Z: m
3 t9 I2 w9 ]* d; u8 Q+ t
•⑨方差分析、协方差分析等
3 w0 E1 T' E! m' s7 ^
/ x0 \& b# @5 l: X m
• 方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
; c& a$ ]9 A/ z. a
) l' y7 U/ j3 {$ }& e7 j/ v
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
4 e8 H9 \1 ]# Q
$ _0 ~+ j+ B7 J6 u
- j+ ^4 w- m: X6 C
# y% D+ i. l, d, c, h5 a+ u5 D
/ G8 {/ E; e; Q
# f6 Y, M* H5 E) U
（5）预测与预报
" c; \1 p1 g( f& F( I8 F
4 E4 `4 N7 }& h3 i- S5 S
6 O5 a% g [1 L" m7 ?% }; Z" }
5 B1 O2 X- [1 s7 o1 p7 T
•主要有五种：
3 ]6 m: f) U5 w% Y7 F' @
8 A' `% x9 I, d0 I, J7 r
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
( x' T4 S# J" D
/ B) L9 M% s( e0 d9 v! h
•大样本的内部预测-逻辑回归
, h$ W ?6 h) E5 R
; g6 u3 I& {" a) m; o0 P& L
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
- [+ u9 A( Z2 t7 M6 v2 Y
# m5 V! N: E5 Y: h+ U
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
* I9 R, ~+ E# R8 T) W
% A, S5 }& d/ Y* v
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
. B/ d- I y: q2 E
2 U2 Q, L$ H9 o9 e3 K1 h6 S
+ l) _3 A6 u' ?
5 R* y a M) @# X# P8 t
•①灰色预测模型（★）
+ _, T/ k* x# l& D
w1 H0 I% ]& ~( c. ?. m+ q
• 满足两个条件可用：
6 h4 X9 B* G3 p% I! T W
/ O8 @, @5 _8 E# O
• a数据样本点个数少，6-15个
$ h/ C2 o: I$ ~) U/ `
+ a2 x4 H' R- @4 e9 N' J( A1 d* w
• b数据呈现指数或曲线的形式
3 Y! ]4 V8 A% |" h
+ M0 j2 j1 y( F' x+ g; u
•②微分方程预测（备用）
: r% S# E, S! i: o+ G; E8 f
: j9 ^, f+ @5 _5 h, c7 p$ R
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
! M, C2 \" S, m3 W8 Q& g
4 \ }0 p, k' N& F/ T
( n! m- g, }7 Y- s; M' g2 c3 F8 P
% \' K, `0 p# d8 j0 ^
•③回归分析预测（★）
, P, b+ T" X( Z, \& h& I
3 @+ [2 b2 a3 n/ u0 x" z7 ^
• 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
# z, y* K) ]( }8 G: ^/ [
) \) E; |4 g+ e+ L: W
• 样本点的个数有要求：
; G0 B* R6 n; N' \
* N9 @* K3 u0 K
• a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
) c' A# p8 v4 T0 k- c
6 i3 n" f, s0 ?3 I
• b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
- E- p* `, y: U1 c* R
# ?) ?$ E% |0 c& L
• c因变量要符合正态分布
: h" o9 @) X' X/ v
% T2 p0 e$ k' i8 \. ~
# k4 U2 B6 m6 h* H* T+ Z
& N' U" F& H8 n. t( D' y* @0 k& [
•④马尔科夫预测（备用）
$ M: s. {+ w& f* a6 Z' e' T8 [0 @
( D, V1 O8 n# E' N4 e8 V
• 一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
5 Y0 z5 ] N& \/ s
% u' e9 I+ @+ g R' J
. J; L3 T$ r6 g9 V9 F# E
* f% b. ]6 x4 L' h7 J# p6 _
•⑤时间序列预测（★）
2 ]" [4 C( \! E0 J+ U
2 S" h6 |" v* u3 }
• 与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
5 f! o7 n( N. g/ r5 e- Y$ U
) ?- @$ s9 H, V4 ]8 |: k
•⑥小波分析预测
1 y. i8 d5 h7 i0 N' F
" I' q& B' d, J
•⑦神经网络预测
" A7 u. s3 J) q! Q) O) u/ u5 c: y
4 N2 d% g, }" P2 _. s: Q, v
•⑧混沌序列预测
: @3 V( k% e6 f# J9 q4 L
1 B# n/ `9 {- B+ c$ g6 @( U
1 P) c, {! i' s) k9 y
& s2 U* l# Q# I+ \6 u# B
（6）优化与控制
3 s- R# k' p8 ^
5 h. e& F& D% q% y
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
; K" m& u% v' i: @" R! D
! K( f( s6 ~1 r( k
•②非线性规划与智能优化算法
" t: W6 x& ~0 c& O
8 ^+ N8 l, e1 B: O4 G) e& v1 O
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
( M% n7 h: V& m
; b% p$ X* o9 s! g0 e% \ z
•④动态规划
1 C" I: m! @( B% _ E" ^* \
" r# T1 k/ E9 i+ K- y
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
u2 S. V3 I, j* Q9 k
8 x8 @ \; g" x2 O, J) V
•⑥排队论与计算机仿真
8 D& j8 q. w5 r P
4 o8 R$ J O! i* W# }9 @
•⑦模糊规划（范围约束）
) `. B3 ?/ r) T4 J( a2 n8 c
# n# u) e* ~) H" o
•⑧灰色规划（难）
% e+ Y$ ^7 m y; Q2 w5 Q
) r1 V# a9 G5 S8 n1 f9 j
7 b" q+ g+ r* w
" `; W+ ^3 W: F) Q/ x
% U0 H! u3 i7 ~2 } k( ]* O
数学建模解题思路与方法.pptx
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