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标题: 数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-4-17 15:21
标题: 数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
$ I& G4 `: a6 c9 y5 \* t/ b; g/ C) F4 @' @
1、建模步骤
" V" ?6 i9 W8 Z- P- g# m+ T  n6 }1 q! Z. o8 V: \' o
; _) h. W+ L2 s! B; E

% ?4 f; `3 n" `8 L% P. [模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加 * \) Z! A! E% ^" I" K& |, X7 D
3 [- E0 J) j# G8 M
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
2 x2 R6 X) s9 @) M0 d
" u( O. P; g0 B" s1 D1 A$ ~' B7 l模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。7 M/ z  `6 N( W; z1 }

# F% T5 a3 ]2 Y' \5 {4 C1 b2、数学建模问题& z( b0 g7 Y# @3 b, W% V/ I+ T
& x2 a; c$ J$ u6 r3 Z$ ^& b1 [! T
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
  _' y5 K" [' d+ N  F' y
7 k) c, \1 t7 e6 O（1）数据处理问题. O/ ~+ |# ^  N
- }' p1 S  x* J. F5 p  z  |: \
•①插值拟合
6 i5 `( Z$ e8 ?2 f+ y3 }" y: \
2 G+ d! @8 M5 o* c# O•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
1 q" Y6 E0 B& ]) ^2 m/ A$ z7 @* P, P+ [$ m. I/ z: d
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
) I+ _# a: @- T' T
! ]; n; V9 G  v•主要用于诊断数据异常值并进行剔除  \8 G, y. S7 v2 A

, X5 y) E2 v# o6 h' |  ]•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
9 n" J# p' g" S
3 ]2 p: r" j$ ?  Y1 x•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余* e! {, e8 l5 U/ x
3 k/ I" M1 W9 j" M  i9 V4 N7 C) b
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
9 }' C3 t& d5 T% H. z6 d" Y! b0 y( A0 P. Z+ [
•主要用于数据的截取或者特征选择
2 N- B* c6 [/ {
1 s5 o" u) ]2 c7 Y4 Y: a! `. d6 k' t

# V- Q" s) i! `8 X2 I+ F3 {（2）关联与因果
$ p6 @5 ^* ?- _( b
2 h9 b! o# ]3 U& \5 n5 ?3 C•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）( d; T! J) H6 Z: T6 l
' k" e( }- S- ]  b& y, l& m
•②Superman或kendall等级相关分析
: R3 O0 U7 O5 \6 o' }
  A9 N& t% ~. z9 G•③Person相关（样本点的个数比较多）
! e$ I+ G* {' d- ]
7 w0 {2 [2 g* G- I. ]•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）# }. \9 B6 Q! V" F6 f/ W
' O' x1 c5 u* o" ?$ O
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
! j" \0 y: Q+ X. z2 h! u
2 _8 X) {5 m1 @3 i, ~* i# H2 w- @) C. D  w9 G4 }1 s
0 \6 g* B5 Y& @7 W3 K
（3） 分类与判别
* v; n; |& m9 u- }+ d5 d% Y$ w: u* |7 i, d: b) S/ H
•①距离聚类（系统聚类）常用$ p7 k6 n# h' O. ~8 \# W' ~
. y& u, \$ S2 M# b9 P
•②关联性聚类（常用）. a6 d4 |3 {- c; ]$ P
8 y" V* M8 [9 B2 e$ y0 k" }! Y
•③层次聚类  P+ d& P$ e8 q( \0 E8 `' s
, t5 ]/ F+ x7 }- Y
•④密度聚类* [6 B7 ]7 i" |4 }; b

3 l' V4 O9 d. C5 U* K7 C•⑤其他聚类& C( ]4 E# w6 a1 d* k4 T2 G0 Z, V: Y
, t5 n9 D' E0 \
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
- K" S$ T! f- d2 e7 X8 a  ^# t) J6 k: U3 R! |$ ]1 e4 e
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
2 {2 C  q2 B. s5 A9 Y% N0 V: S) f4 s; M- ?
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）- |) t/ M5 j) U$ c
! Y& p* ]# a) t: w" k4 a, T

1 [' p) z2 i. x9 T  \  i7 T! s
9 \$ L2 ~' @$ T1 {
0 I# T% g( I7 |% w1 y" f& k+ m5 a8 h. i
! J1 F  q- q$ @% [5 }: g（4）评价与决策
0 a/ w9 k6 E7 |
% u. {4 ?2 ?) r* u0 E9 r•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序% H0 n+ k; U0 s, B" }" K! E

# i$ l' u8 h3 E: P% d1 h3 S. v•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
* U- E1 N. m( Q4 ^. m0 G5 V3 O
. w! q5 E+ q1 c7 T- u( w•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定3 U5 c9 j2 e  m+ k  J
' W: E' ]; \+ R3 a
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
$ n5 G" m% E$ X7 F- ^7 Y8 k# }4 ?& N, }
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强+ H- G( \; n7 L: f/ w) R! \- \0 B
( D* E" o$ _3 g. }# Z
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
5 N: S6 R* P7 m  g# |
3 q; Q3 I' @7 a/ T* c•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）% V/ ^" U1 a) M; Y4 d

7 f' s  u  {$ u+ X1 U6 u•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
/ a0 B/ @- o9 P
0 O/ e; Y" N4 |•⑨方差分析、协方差分析等- Q( J. L7 h6 w; V6 C: ?8 c

. J+ L1 H3 ^( ^' x$ B•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
/ Z$ h6 S! M/ g( |0 s5 O2 i' J  V: \# L( m
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
2 }3 M" ]. u" l  f& s+ E# p4 r4 G; ?( Z
  W  y$ N; }2 @/ ~" p; U% w% q2 |. S9 c4 S0 N( J' @

3 i  V: b' Q, A6 v% F" n
& d0 L+ M' z- n+ E" U2 x+ c( J3 t  v/ k6 g, D# b
（5）预测与预报& m2 i: i8 o3 s/ ]- u
5 I' m5 c9 g; X# O* C7 T

& u0 U, F3 L2 J, Y3 r6 T
+ D0 D% T, Z" _5 u0 y0 y" Y•主要有五种：1 C1 k' I9 [$ h( W

  I/ P; @4 m5 `; s, ]: D/ u/ Z•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
5 z" B" k: g1 r: n
" J& G% t5 I+ U% [; m•大样本的内部预测-逻辑回归
. R0 B; ~! h: A. o( E7 W2 H7 Q  ~
7 Z/ ^0 J; |: t* i; v•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）" F/ S) `0 |2 V

4 P# ^0 ^  ?" ]6 F7 e% b* y& c2 _' `•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
! }0 B5 A# u! b% q
, T1 F7 F$ s+ ^! N•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络* J  j0 E9 J( Z

3 b# ^* {! Z" d0 T! l  }2 `, U9 x8 z
; z  t9 f! m7 ]
+ O- h$ _" R9 y•①灰色预测模型（★）# T9 Q3 E- c0 v& g
: p2 `( o2 ?) M  y9 n6 `
•  满足两个条件可用：
5 t8 @$ b( {* e4 T! V) y; _8 p# Y% l$ Z9 x* h
•  a数据样本点个数少，6-15个7 s0 m" C% e9 Z/ |
, ^3 L: [* j6 m' g
•  b数据呈现指数或曲线的形式
0 ?/ E' _1 I0 L# k
* ]$ U& v" M4 q& R•②微分方程预测（备用）# I7 h6 X+ G' s- Y
9 ^7 E& ~1 W% t1 d  V2 u
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。4 T  Y0 H! e1 R# T; S

5 C0 u* T5 P3 _- A; ]  w! q  e& q" a& `' x$ T8 ^0 c/ u
8 C' j, R( N. [: L$ e3 q
•③回归分析预测（★）1 @5 I7 D0 z5 q; i3 C. p. f

4 S4 p6 G, l% q' d3 R•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
0 V% Z$ T+ V+ d7 P
/ I' y  |$ R& w3 G•  样本点的个数有要求：# \+ k& c/ d$ |  z

4 [2 r: j2 L8 [5 w' Z•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；7 M9 J" k. @  X' W+ ?  m

0 g8 D$ l. K  k0 ?3 v6 Y•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
& K' b3 z+ A$ {  z2 U
. ~& G  X  [8 O' B1 \•  c因变量要符合正态分布/ h) G% S" c' F4 L

5 ~. W* m# {2 j( [/ |, B' d, u6 Z: @6 G

% r1 r$ l, U. [7 o$ U•④马尔科夫预测（备用）9 c4 Y' }* R1 w/ Y* L

% y6 _5 i: G/ H7 i•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
) y" ]  ~( R7 D/ n% D( q/ F, _. \" k, k$ l& B

. G  s$ T# l. L# w( f+ r$ C
) L% m- e$ p+ ?% ^$ m- |* @•⑤时间序列预测（★）0 g; T6 T5 H" e) t  O3 `- ~

, [6 _7 y6 j4 k9 r- o( r•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。6 F' Z5 ^5 M; {* k
8 K) b  S/ f" O+ i4 W6 J
•⑥小波分析预测
9 S! E) K7 g" H7 ]/ r
7 a. h  t5 ]5 I- Y* s& A/ n•⑦神经网络预测
1 e9 y. f- [, ?( |% Y8 V+ g9 X& [, u% F$ y% ?
•⑧混沌序列预测
, |  u5 Y3 v. b, i- W3 X
# q. Q1 o1 i3 H# L4 k4 V  q: x3 ~3 e
. u. a* Y, v; j7 z
: l* Y; _2 c( {（6）优化与控制
1 D% M6 j/ u- J3 a) ~) I
1 n  p8 C+ k7 n- |4 m) K7 W•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）1 }& K$ S1 ?/ D1 o. |
' m. Q$ q2 D2 S" J9 V4 T/ }
•②非线性规划与智能优化算法- f" Z1 z: s. r2 {/ c# e; {" b9 B

" T  Y2 `7 Z1 R5 N•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
: \; c2 ?6 Y3 E1 D$ |. X) u# j4 j+ w
•④动态规划7 ~, N) k# E4 F, e) e' }; @. O5 V
7 {) e/ [; V, b' z% ~9 Q
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
5 ]( r7 X$ [1 `" z" r' }; e5 A( [" j& ^$ d$ X
•⑥排队论与计算机仿真
2 l8 Q) `, u3 K5 ]# D. h8 ?
& i+ O2 G7 c( h; }) F•⑦模糊规划（范围约束）: Z( J: z# M5 t1 [8 A

, S5 V8 D+ H, S# y) U% h•⑧灰色规划（难）
) _3 D) f, t  y' ?, Q* |! U8 E3 \: W
7 M( ]  O- ?% `4 }  ^8 O0 F1 n  H! B8 t6 Q: J5 N; ?% V; p

4 w& V& f" S, w+ Q, f- c6 V$ ^7 h) @$ F* I, @" [

数学建模解题思路与方法.pptx

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