数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
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作者:
杨利霞
时间:
2019-4-17 15:21
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
; x; o' V2 X' N/ P$ K
+ Q; w, D- q( a, b
1、建模步骤
; x) C7 |) @. W+ X+ C( m
) [) q# T' D0 M$ G3 ~
2 n- O' S# X) W1 G
4 u4 @3 j$ b1 X6 e5 J
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
" E+ _1 Z" k: i2 n' ?$ f4 I
2 X" h6 ~* s: K1 J# u ]: H
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
( C9 U ~" L [& Y9 z( X# ?: \
& U" l0 I. X0 T* w3 U1 _
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
, w6 s0 v P9 i3 Q5 c1 T% _
- |7 [2 g) e" B7 v! F; y
2、数学建模问题
0 _4 F: ^* m" u9 g, D
5 \+ @; j/ m8 z7 s% V4 J8 p
1.数据处理 2.关联与分析 3.分类与判别 4.评价与决策 5.预测与预报 6.优化与控制
9 M3 B2 k3 f1 u& p
. s( \! O" S0 Q1 }- _' x" [% Y
（1）数据处理问题
5 ?0 w7 y, T$ o5 U( f, b7 H8 J
, q$ H' f9 h2 s& j' B
•①插值拟合
# Q2 G. W" @9 O# }$ V/ l$ x# F7 [
: i4 H/ P2 g! N: _- h3 u* q7 h
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
% a1 J y# \- t) [
' [+ D( v) `9 W# }
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
1 F- E: L) g' Q& i5 k6 l
+ V: ~' ^4 e' I4 G3 l& K- \
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
% b9 K+ W1 X8 |' w( e+ D1 [
2 s3 F6 K+ s( G+ J8 v0 y: b/ G( Z
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
4 z5 l! [0 [* m8 {
5 f! E7 k" y' W! r
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
! c" z9 F' ]8 d3 W$ Y
2 Q' G" G6 ?; L4 F4 J% i
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
% l# Q: S8 x6 N
: w- c+ w9 T' C( b7 w# T% H& r
•主要用于数据的截取或者特征选择
7 K- t* v i; f2 O2 j" {# E3 {
' l+ F- ]; P" _1 @; ~ l ]$ H
* l% y- v9 f+ c$ i2 N/ H& b
# y& s* y8 L3 N4 W! P8 o2 _; k$ b
（2）关联与因果
9 G+ p' h* p3 H1 ]5 U+ _
3 A9 u3 r' b/ W
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
3 O& \% H% N! b( J ^# O( w4 h
1 m3 p# g8 l- j3 [0 u
•②Superman或kendall等级相关分析
7 w' V) g, ~5 A5 t+ g' F8 @
) E0 t) T8 N( x3 o- F, {5 K
•③Person相关（样本点的个数比较多）
8 W. a6 j; \1 i' A/ p; [' X
4 ^; Q" V0 j, N7 h6 U; p$ h" H
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
) W# d& e3 x9 B
! j& p; L3 P1 g/ o2 P4 R, V" A+ D
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
/ J( n& F- J, b8 ~8 I5 S; v0 I* K& b, D
# i- O& C% Q( `* _) J& V' t
3 B2 Y; G& Y7 b( F
3 p$ O; G# _2 U: ]7 d3 d
（3） 分类与判别
5 O3 }8 P; a" C' R" P" |9 R7 P
% o: Q, m1 M, e- g9 ?' ~6 c5 o- L$ Q
•①距离聚类（系统聚类）常用
& O- n& c1 |+ `0 Z
; E9 m. @4 i4 V# J
•②关联性聚类（常用）
6 }) J3 r, ~ X
W! s2 e8 c: n
•③层次聚类
" L* L: J- a: U1 b6 d. }$ G3 t
7 K: e3 r; M$ q
•④密度聚类
p3 S' U8 G4 a' a4 R
1 D+ l7 a" u' I6 b8 A
•⑤其他聚类
9 d$ r9 H, R2 ]0 i; i+ x
+ _0 l2 b5 s! z
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
) {% y5 r9 h' ?1 Q9 R
. X' M* y9 a+ t- T' Y* D1 d7 F2 V2 I
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
7 i1 H: {* F! G* h$ X
) C3 O0 ^- y! A: R5 ~8 C
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
! b3 B; G2 k9 X5 O. \
3 J4 C2 k0 \) a8 @9 ?5 Q
$ {& h Y/ y' e; o, J3 O, Z: c. n
- W5 `* }% p1 s/ Z
5 Q! W% S0 V1 c( s
- X' ^: ^6 I+ d0 b0 v5 s+ z
（4）评价与决策
6 G# E0 @' |4 t4 x" ?( f& C
# ?. J) X. @! L' Z w, M8 ^
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
; }: A0 {( e1 K- Z: t( X4 j
4 |4 W5 N$ F* ~6 g' k* }3 T
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
% X. @7 |" ]3 v
6 F( \2 P2 n+ X5 a# V; s
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
: \) J- ^9 k% c6 e. W& v! r
; @4 Z w. G" e9 y/ c" f
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
7 S" J: c" M5 |2 z7 N
, J' k: m$ o* k; J# v
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
+ n1 d- A9 G9 ?9 f: X3 @, y
$ h; z0 M! _0 `: v
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
6 T' N- E8 O: _- E( o
[% E* x) r4 F4 U
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
8 u9 l7 q' B9 V# v# n) k
3 y* z/ M3 m }; n5 b* T9 a
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
8 r' s2 k, M( U _' g" ?
' r8 D2 v' Z/ X8 m4 s+ p
•⑨方差分析、协方差分析等
- \$ N: W+ n2 y
x$ m8 G* C# ~; H! j
• 方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
, h# L# Z& m. P6 r! s
/ [3 G# v3 S6 Z# `4 `1 V
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
; ~& H/ y- c* h2 c6 L4 @, y
) i( V* ?4 z3 u9 [( u3 I
* P# G* _" E8 O7 q% P( b' p4 T
) H% J6 c! _& }$ r& r0 X6 m
8 F s# o" J% h- I* O1 Y5 O$ v
7 q# s: j' o: k5 ]
（5）预测与预报
8 l# b, u" X6 e
+ s! V/ |4 ~. P1 Y
( K0 e ], j) `5 e: v0 s( I
( E* o8 y& R3 x
•主要有五种：
. S1 u6 E7 ?, \) D
! j8 p" t( ^( K, j7 l
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
; M/ G6 M9 x1 q
5 P# }( g( A1 B
•大样本的内部预测-逻辑回归
' c# p# G7 \3 G* w+ E8 _) N
# e; y& b& v) y$ z0 _9 Q
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
, W! ?# d- {7 t3 A4 U' S6 ~
5 ]; w# U: d* Z8 a; |; G
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
. K6 [7 [/ y7 O6 l8 @
8 k+ h) o& q! O$ p1 X
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
8 ~9 Q( x; Y5 _1 |
" m/ D( c3 f" `
0 x, t. m/ ~$ K1 I; J. G+ V* U
; I7 b" T1 q8 Z
•①灰色预测模型（★）
R& J* ]+ V2 x7 `4 o
: |8 C7 ]$ B3 ?+ I
• 满足两个条件可用：
, G" a# g" M1 V' @% y9 w& G
9 i) {1 y4 {- k O w$ v" a. U0 l
• a数据样本点个数少，6-15个
# Z* C! I: y- ^! K9 Z
, j2 |. f( B4 k9 g8 \- D! e& c
• b数据呈现指数或曲线的形式
M$ D" \0 m, r$ S) K, {
: [4 ~. }4 G" v* e- S* C
•②微分方程预测（备用）
2 u4 j& S& G! h& ^
( t6 h, ]5 Z+ L; q& c7 `" B
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
" M9 v# k9 n5 {% I+ }
d' n, D ~+ g2 L3 @( h8 \1 z
) |; j) W( ^( L
0 Z) i0 o" o# b' N2 f. E! v
•③回归分析预测（★）
( d/ P X1 \( s- _/ f" e: }7 B
+ h6 b# ~- G% j+ V: \! R
• 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
3 Y' r! f& e( I, O6 x: `" |3 V
9 o% b+ O, p0 g6 A
• 样本点的个数有要求：
$ e R0 C& k: G0 Y# K
2 p1 `+ x/ X* S$ N
• a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
/ z9 L/ l' a: b. |$ e9 B- E' ~
3 F5 i/ ~) p$ h6 P+ L5 P
• b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
, L& [$ M: h- o o9 a
' s4 {0 _- { s& u% A8 W* C/ Q
• c因变量要符合正态分布
. b! K$ J6 ^7 q7 A2 G; }
2 y* C ]3 L- X5 K8 z' t8 }
$ F2 s$ a( i/ f: G1 T) ?; K
3 u5 D! t% m& t8 D& X
•④马尔科夫预测（备用）
$ v Y9 v( {+ H# X9 G7 b
1 s6 D$ Y2 p# U U7 ~+ q
• 一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
: l- Y! Y7 {" i
* I$ B6 j# }. e T
3 r9 T) s; Z/ G
2 l8 y \5 r' h% \, S! O0 d/ Y8 M
•⑤时间序列预测（★）
$ _9 s g4 r! a" E/ m- T
2 Y8 W% Z& {7 E0 ? r: p
• 与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
) F) ^1 G+ w! @! X
2 P# H, w2 W! @- I/ |) M2 A& U; L8 Y
•⑥小波分析预测
9 R- ]; L! c( E# Q" _8 F
( M7 _% N+ S+ U# U
•⑦神经网络预测
% s% k, ?" {7 k- {5 K4 `
* [( H* V5 X7 M
•⑧混沌序列预测
: A5 C& ]1 S/ q: h0 X
' T$ A: V, J$ U3 @ `' G
+ t$ t% ^' r; J
8 k3 l1 \ ]0 o& N) O- s9 m3 V+ q, S
（6）优化与控制
/ j7 m8 q! j& q5 G/ E/ u
! F( ?) B- g$ P; j8 q0 ^
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
2 P9 ?- V0 p( h M' i
! A% M$ L4 }7 }3 \2 H- d
•②非线性规划与智能优化算法
$ b0 | Q/ b* v* p; p
4 P& W# w& B! X( o
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
$ m6 D9 B- a$ Q3 v S) j5 D
( v. }9 ~9 G9 g, v
•④动态规划
% o8 J- [) z& g2 b$ ?
4 }& H. H$ i4 m6 _$ H
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
6 ], {/ { U4 L% T) j
% C0 h* _. h4 p, Y0 t# u; O
•⑥排队论与计算机仿真
4 {* m9 }4 T" x: F7 T; g
5 b2 M! ^) Q3 O- h; G
•⑦模糊规划（范围约束）
7 p6 S, B5 \9 @5 @
) r6 \0 \: y' r! K/ O
•⑧灰色规划（难）
+ S( [5 W* L7 g
1 q7 h# c+ n! x* U4 M, [
. V3 x+ @3 L# b h r
% R1 `+ Q7 q1 X$ l
) ]2 Y! n6 l; B
数学建模解题思路与方法.pptx
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