2-7、规划问题的Lingo解法

杨利霞

2-7、规划问题的Lingo解法
  A; h# f2 _. q8 L; d& |3 Q! A一、 从规划问题引入
9 r+ e! c$ f" u: E. Y- r7 r
  在我们学习探索的各个领域，规划问题都是无处不在的。通过列出约束条件及目标函数，再画出约束条件所表示的可行域，就能在可行域内求得目标函数的最优解以及最优值。当然我们在高中就已经学习过线性规划的相关知识，对于理科同学来说，大多数同学应该感觉难度不大，或者说是送分考点。然而到了大学阶段，一些规划问题的求解已经不是人力可以轻松算出来的了，必须借助于计算机来进行计算。那么对于规划问题的软件选择，又应当如何进行呢？
' M/ \# ?$ J* |1 q  W
二、 软件分析与选择

  Matlab相比之下是一个面面俱到的编程软件，也可用于求解规划问题。但是如果一定要去和某些“针对特定功能而开发的软件”去比的话，Matlab有时也会稍显逊色。就好比一款顶级的耳机能通吃高中低音，但是去和另一款顶级的为高音而设计的耳机去比较的话，也难免会被比下去。这也就是为什么在规划问题上，很多人会去使用Lingo进行求解。

  首先我们来区分一下Lindo和Lingo这两款软件。Lingo是在Lindo基础之上做成的软件，处理解线性规划问题之外还加了非线性的求解器，更关键的是还追加了集的概念。可以更方便的解决复杂的问题。所以本文只对Lingo进行讲解。
  而对于Matlab与Lingo的区别，就好比手动挡与自动挡的区别，有针对性的专业软件会对用户做很多的优化。这里引用知乎上大佬 花开花落 的回答
, k+ D6 z8 |- ^2 _( _6 A; qhttps://www.zhihu.com/question/49319704/answer/165923451
) z4 x: J7 n& q1 R6 w
  用MATLAB求解线性规划和整数规划问题，需要先将问题转化成如下标准型，其中X只能是向量，也就是单下标变量，然后用向量和矩阵来表达目标函数和约束条件。
  然而，许多问题（如指派问题和运输问题）由于参数和决策变量是双下标变量，必须在基本的数学模型的基础上进行变换才能求解，这样得到的等式约束和不等式约束的系数矩阵规模就非常庞大，当然由MATLAB计算问题不大，但转换工作完全要由人工完成，工作量大而且容易出错，因此在这一块效率不高。
$ G; G7 E! ^2 P6 O+ ?9 T( H  而LINGO有自己的建模语言，在建立了集合的基础上，能够高效表达目标函数和各种约束条件。所写的模型基本上可以看作是对数学模型的翻译，不需要太多的转换。
! P" m. u7 `8 _
  那么现在我们基本上对LINGO和MATLAB对规划问题的处理方面有了初步认识与了解，至于是执着于MATLAB还是选择开辟LINGO这片新的领域，取决于队伍自身了。

三、 如何上手Lingo
2 w( Y$ L1 {; ]& z
# _5 x9 `7 d8 V; Y5 n% M  有很多人对于Lingo的评价都是，非常简单的软件，很好上手。
  “简单”一词我觉得还比较恰当。Lingo的各种版本几乎全部都是免安装版本的，界面很简单，功能用法很简单，处理问题的方式简单快捷。确实是跟“简单”一词挂钩的。但是任何一款软件想要精通，都是有一定难度的。如果你只需要用Lingo处理一些简单的线性问题，那么2个小时不到，0编程基础的朋友就能上手。如果你认准了Lingo就是你处理各类规划问题的御用软件，那么还是有很长一段路要走的。当然这也取决于用户的编程基础。如果学习过面向对象的程序设计课程的朋友，对于类与对象概念有所了解，那么对于集这一概念也能快速理解上手，学习起来更加轻松。
* B, Q) P' X0 t8 `
四、 Lingo的基本语法规则

0 y! g, a6 G* I6 B/ m" d1、求目标函数的最大最小值用 MAX=MAX= 和 MIN=MIN= 来表示；
2、每个语句必须用分号“；”结束，每行可以有许多语句，一个语句可以跨行；
3、变量名必须以字母A-Z开头，由字母、数字0-9和下划线组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；
4、可以给语句加上标号；
$ H/ u2 H- Q5 T6 p7 Y, J, W5、注释以“！”开头以“；”结束；
6、默认所有的决策变量为非负数；
7、Lingo模型以“MODEL”开头以“END”结束。
8、Lingo把相联系的对象聚合成集，借助集，就能够用一个单一的长的简明的公式表示一系列相应的约束。
: C) }1 v, x8 M# ^0 Z1 T% P9、Lingo程序会包含集合段，数据输入段，优化目标和约束段，初始段和数据预处理部分。
7 N7 u* `8 [" v- F# Y10、Lingo函数包括有数学函数，金融函数，概率函数，变量界定义函数，集操作函数，集循环函数，输入输出函数，辅助函数等等。

五、 谈一谈例子
% L: W. c) R1 v; ~2 R7 i
  那么Lingo用起来到底有多简单呢，我们来看一个例子。
' p  F- |8 Q& h1 @: S, O; A$ S
6 ~* a  |* L! r) J+ q3 s+ S例1:某家公诉制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种:木料、木工和漆工。生产数据如下表所示:

         每个书桌        每个餐桌        每个椅子        现有资源总数
: O" X+ K6 o1 N/ F9 E木料        8个单位        6个单位        1个单位        48个单位
6 q1 c. f" w3 Z4 g9 V3 v0 g漆工        4个单位        2个单位        1.5个单位        20个单位
) `% Q5 r; T3 F5 Q5 j2 }木工        2个单位        1.5个单位        0.5个单位        8个单位
成品单价        60个单位        30个单位        20个单位         
  若要求桌子的生产量不超过5件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？

$ F% R+ r# b' a% U* U/ t$ e解：代码

max = 60 * desks + 30 * tables + 20 * chairs;
  Z  D+ \4 Y% _      8 * desks + 6 * tables + chairs <= 48;
      4 * desks + 2 * tables + 1.5 * chairs <= 20;
      2 * desks + 1.5 * tables + .5 * chairs <= 8;
tables <= 5;
1
2
( I# i# m0 w3 ~  G+ h. o: ~% G2 A3
" E. b( C5 |4 y! n# `9 M4
5
可以得到结果:
+ w4 ?; v# ?4 v- }  n
  这里的 Total solver iteration 表示一共迭代2次得到最优解。
0 j/ @7 U) X8 X. z  Objective value 表示最优值为280，而取280的时候各个变量取多少呢，底下的表格给出了答案。
2 b" G8 `: K* s8 Q3 N7 y: ]  可以看到，没有定义变量，简简单单一个函数一个约束条件，迅速计算出了答案。Lingo看上去就像是为了非编程人员量身定制的一样。

例2:给定一个直角三角形，求包含该三角形的最小正方形。

! x1 b0 I1 r( B* }/ {我们可以作出如下正方形:
5 e7 N: E8 K- l' w. V

  @  [0 w+ ]  x# v8 R0 a+ R: `0 K  CE=asinx,AD=bcosx,DE=acosx+bsinxCE=asinx,AD=bcosx,DE=acosx+bsinx
, L0 s0 w; Q) Y  V  转化为了规划问题那么正方形面积最小的时候即为最优解。
4 s/ B2 q9 X2 k3 y# O$ C& z: A7 B  代码：
8 C' K4 e( y# C
9 b( |7 z; t# {0 k( Wmodel:
- A" U7 ?" _, }sets:
    object/1..3/:f;
* N/ l" U- s. A. Q( B3 M# Kendsets
data:
) R& e5 v2 e, _    a, b = 3, 4;
enddata
    f(1) = a * @sin(x);
. S4 x; w3 _. o* A7 }/ K+ L! [    f(2) = b * @cos(x);
    f(3) = a * @cos(x) + b * @sin(x);
  c6 @$ X( h0 l" ?" f    min = @smax(f(1), f(2), f(3));
    @bnd(0, x, 1.57);
5 U: b9 d9 O2 y! x' Send
1 _+ Y" V, N9 r1
2
4 f: l2 l1 s4 r! @3
) }. }, R' i' t. s4
5
+ r0 |' b9 U; V6
7 M" j1 y) ^! `9 r; y7
. }. v7 G, i. B- o8
9
, {1 z0 p5 v9 |# T' N; r10
11
12
0 S) G4 N$ C$ H1 t5 v13
  得到结果：


2 i" c: x; b, A: |# e  这里需要注意，lingo中如果没有代码说明，是默认 xx 的值大于0的。代码中用 bndbnd 函数限制了 xx 的范围。
2 z: V1 h0 i# y  那么再进阶一下，Lingo在处理TSP问题的时候表现如何呢？

2 a; b" D9 H6 ?  F6 }. M例3: 现需在一台机器上加工 nn 个零件（如烧瓷器），这些零件可按任意先后顺序在机器上加工。我们希望加工完成所有零件的总时间尽可能少。由于加工工艺的要求，加工零件 jj 时机器必须处于相应状态 sjsj（如炉温）。设起始未加工任何零件时机器处于状态 s0s0 ，且当所有零件加工完成后需恢复到 s0s0 状态。已知从状态 sisi 调整到状态 sj(j≠i)sj(j≠i) 需要时间 cijcij 零件 jj 本身加工时间为 pjpj。为方便起见,引入一个虚零件 00，其加工时间为 00，要求状态为 s0s0，则 0,1,2,…,n0,1,2,…,n 的一个圈置换 ππ 就表示对所有零件的一个加工顺序，在此置换下，完成所有加工所需要的总时间为
∑i=0n(ciπ(i)+piπ(i))=∑i=0nciπ(i)+∑j=0npj
+ i# |4 Z5 l/ M) @8 ]- N∑i=0n(ciπ(i)+piπ(i))=∑i=0nciπ(i)+∑j=0npj
由于 ∑nj=0pj∑j=0npj 是一个常数，故该零件的加工顺序问题变成TSP。

代码：

; d! c5 t1 Z- H1 z' i* |  h!旅行商问题;
model:
sets:
% v0 Q0 p. u+ k4 _    city / 1.. 5/: u;
    link(city, city):
        dist, x; !距离矩阵;
endsets
/ ]% R" n- P. o  U8 C    n = @size(city);
data: !距离矩阵，它并不需要是对称的;
    dist = @qrand(1); !随机产生，这里可改为你要解决的问题的数据;
enddata
    min = @sum(link:dist * x);
    @FOR(city(K):
        @sum(city(I)|I #ne# K: x(I, K)) = 1;
        !进入城市K;
        @sum(city(J)|J #ne# K: x(K, J)) = 1;
8 S5 F5 K  `( Q8 U! N* \3 y9 N9 |    );
; L/ O, n# T1 L/ h    @for(city(I)|I #gt# 1:
$ ?5 d4 s5 J9 Q, U5 r        @for(city( J)| J#gt#1 #and# I #ne# J:
. D1 ?; V1 R+ k) p. j9 ^             u(I) - u(J) + n * x(I,J) <= n - 1);
    );
5 p& L# s( N2 }! k1 w@for(city(I)|I #gt# 1: u(I) <= n - 2);
9 V5 C, J# ~" D* y3 h. r& L5 U@for(link: @bin(x));
8 ~" r, Y# e4 G5 x; ^end
7 n4 N2 m# e/ }2 s1 s1
2 P- P1 t0 z5 @  C  j0 M. B' t2
6 T! O! o' d8 @/ r0 V+ {; d3
4
4 n- D; I* c' o' U5
6
7
8
9
10
$ }' e/ V8 v5 J( }11
12
13
: [$ g) n/ [& ?. }  v14
' r9 h2 H$ B% [: r3 t15
- `7 s* j) p  }) {+ \8 {16
2 k; |9 |8 C: Z+ p17
18
19
1 b8 Z8 l1 @. b; b5 ~2 N20
21
22
23
' Y, v, W+ q" J5 `" a) [24
可以得到结果:
( |3 }& E7 U7 O+ p" i4 z, S$ A7 R
/ b2 u1 ]+ v: J7 m5 q---------------------
$ b# c8 ]2 Y! s2 C


) c/ ^9 U4 w4 l

* I0 a: j4 d- E  {