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标题: 数学建模十大经典算法漫谈 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-7-8 10:46
标题: 数学建模十大经典算法漫谈

7 ^0 f( c9 Q5 T) V* I7 T数学建模十大经典算法漫谈
7 F/ R1 q) U+ r( `4 m! Q. u数学建模十大算法漫谈& y" N3 _3 P1 ^& j

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作者:July  二零一一年一月二十九日) m7 e$ M, l2 ]& k
+ A& R. M* s" M+ J8 V% Z1 R
本文参考：5 i5 o, m$ \9 i( N8 {2 t1 C3 \
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]6 r& T1 F) ~* C, ?: z
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
' p3 J3 T/ F2 ?III、维基百科
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博主说明:+ F# |5 `  @( t' U
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
$ J) `$ v% M# v- ]0 h. D! C3 p- j# ?这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。5 G3 B8 H5 {$ L# y$ g: h
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
- ~1 k, r5 ]/ T! @同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
0 k0 p: `; ?, K6 j7 B' f' I5 b毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。3 z1 Q+ i7 Y  A: }! N  o2 w
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
4 a: J- W7 M9 O3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
% W' R: _, e% T) E3 _! l若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。9 f, Q4 f: m' }# e, |
谢谢。
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一、蒙特卡罗算法
$ t* Y  V% I/ d- M; J1 V5 p1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
$ H2 J7 z6 c+ ~: }) i6 a共同发明了，蒙特卡罗方法。5 X7 T# [6 o- c

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此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：! {  D0 g3 E( Y+ E' K/ q" x# r! X
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导) L2 c2 V1 Y* h5 b9 n. a) j5 v
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的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方) D+ E! s7 W0 D6 z) f4 ?% o. U

# a5 k7 n) }* C法。
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; }2 r6 p+ D* q* l" K1 q: s/ j5 Y. ]
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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# q! D, d6 G5 w5 E1 |  O实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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7 k; f6 t" O. j) }4 S蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：, Z5 h' H6 J0 T5 r
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
4 ], `; J# K1 k$ Q. _' P: t8 ]
- e4 d+ V0 P4 x1 c. ^& u& n，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
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& }7 t5 z0 B+ N" v- t" i! G9 ]为问题的解。
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5 i  ~* P& N: ]+ K& ?有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
, {1 N! L4 c+ p- I' _& c假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
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度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然- Z/ Y6 p2 r% J, m

3 f$ r1 V. \. R0 x! x0 f后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
- x6 V( @& A7 H
. G; {& o) G6 R，结果就越精确。
) N1 s5 l* `9 s4 E" D在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。4 \5 F. q- x% }/ n. B1 N& i9 X
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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
! t& i% a* g* D( f/ r2 X# A
+ t' t/ |1 K- y/ b% `# y5 z+ v拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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! |6 v; Y! V8 B. y$ p2 ^近似解。+ Z  K, a$ {" U# ~- l
. Q! e- p+ N2 b; M

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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而# j, a" t/ P) j+ P0 O

! [5 v. z6 w3 J1 g- s2 A# A蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
, }# k, O: o: O% E0 q  V+ j& VI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。 4 ^5 X5 e" t6 j4 d& v' o
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
. `$ z% k) f) E+ O5 h! R+ BIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
9 l* ^( }7 H2 U等等。; ]! B6 W& H1 t
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此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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% a. W% c( @( u! t& a5 u二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法* F: I4 P2 _- A( M3 t
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。" n$ P' C3 E' w- A5 y; E

: m8 w' h- ^8 f  G数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数. R" F) ?- d: N) U6 }  G3 j( c

/ U* {! ?6 u/ X! E" ^, H1 r学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有9 u, v, I! y- x; O" R
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。6 L; E; c; w0 B% F3 e) t, ]

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  b# E. I6 S# F8 ~6 O; P此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
9 f4 b+ `( e. ^6 r, X0 Z数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件& S% c* d$ l: a0 y3 j: K8 X
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、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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需要熟悉这两个软件。$ C; I2 g2 r% P
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四、图论算法# i' C) |* f" ?1 N0 w( y4 R% @& a
这类问题算法有很多，
, O/ L5 P' S' J/ x4 ]包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。& F2 d, f- c& ~: x( F1 s
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关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。; }; j% g* W- o4 E& h8 z0 M
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，" v2 @  d. N* X9 d( z
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! }6 }; E8 n2 i/ v! `4 G. k$ e经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
# r: }  u1 f( _' ~http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
7 q7 p7 u; z& ~. b0 n7 E3 x. u; q/ O$ w" B. j) j) L' ?
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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" B3 S2 s  b7 E9 g* x五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
- s: ^1 c- p+ A) N. b在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，& b" m3 k% t9 j5 K$ C# f" y
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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" g) P4 [+ X7 ?; Y$ |" R这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，/ ]. h( @- r  P- P- i! h* f; Y
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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' D) n) e; l# ]. j' ?4 m- n六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 - m+ [' }' B4 s
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
, U: f/ y1 G% W1 Y# l7 w7 B  x
! ^  ?6 [  g; B8 k8 G$ W在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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, c$ A# w- @+ K说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
1 y$ \( n  M4 r4 r2 _. g/ U* j" d03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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, ]; u, e9 @. ]& B) c
' d% H* U4 k6 @: U  [另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。9 m" c% S! ^6 z; ^5 ^, x/ u
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
8 _2 M  _# N1 |: [8 Khttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx" H( h, {5 q' n+ M
( o. u& C; S+ {: o* A
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0 p* b; G$ l# y4 t0 o其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。, k/ g! v7 F" K. {3 K4 O# `

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七、网格算法和穷举法
6 V! W/ [8 c) U1 |, M. v网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
& t9 q% v0 H$ X: V比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，. y* u) j, o  I) Y- c7 M
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
4 I0 c! c: P: ?; }6 V# H
3 H3 y  C8 d2 I/ w( C% p那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。6 A# g; I. H5 P' F4 M8 R
, t+ ~. l, P0 [) z- Z* I

; r& U+ R! h+ O3 R1 H在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较/ g6 l: F4 {* P3 }( c

3 z- X1 y4 c+ I: d" s快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。& w3 m& B! a$ Q0 j

, w/ h8 Y8 S4 p/ w; j0 J  r穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  9 |. Y. K7 v' r; f4 B9 p! E

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0 G% E; J; Y7 x8 }/ I: @8 K
1 c9 f4 A" d+ I' X# J* @八、一些连续离散化方法; N3 I2 i; Z  m
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界& f6 P, O- v1 ?$ b; _9 L* X
; Q- C4 a- u' p- v- }8 c
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。; k' ?( b  u$ \( J3 j$ a
# W3 Q3 E, ]% F  p2 E8 v. n6 k' c
/ L( R2 v) U4 ^/ e! |) }
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
2 @+ B; w1 h  s; ^- w* q5 c事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 - h) s, I3 {. V

) U  f4 i+ w! r1 a' c1 N9 O4 R* F/ |
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5 ^8 z" ~, s1 i* n$ G
九、数值分析算法3 e% w6 y4 B1 N/ l
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
% Z7 O4 ]. ]. |) o
. Q0 A4 t- r! k/ I+ \3 e6 n算法。
  F! f* D+ G2 a; T
- f2 R2 X& A; Q, u! v如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、( G% M1 V1 L8 V5 I6 @

& N; H; s; ]7 P5 O0 Z) S! y函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。2 b1 _- Q5 g% E% J& k- F
% @$ D. Y& }% @
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，- Y4 K+ U* N; K5 c3 \. _% a
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。" |- ~! z6 l$ l0 u
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  I/ Y" ?4 ]. w( C) n  Y5 s7 ~5 M$ k  h$ S

% [9 V5 m: P  k& q十、图象处理算法3 z7 b* O8 w0 j! e: m$ K1 v
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。. Z4 V. J) Q& S) [: }' y
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作者：画面太乱了
- k+ w  P4 s& T0 y来源：CSDN
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