标题: 数学建模十大经典算法漫谈 [打印本页] 作者: 杨利霞 时间: 2019-7-8 10:46 标题: 数学建模十大经典算法漫谈 , w: I0 t- y: S- ]. p$ O( \' d. j 数学建模十大经典算法漫谈% W9 n: l5 V& g( b) }: [- O: I: K
数学建模十大算法漫谈5 e+ ?! e2 @ u% A6 K \. V7 q
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作者:July 二零一一年一月二十九日 7 Z; o* x2 F5 J0 _* N/ C( i' x S
本文参考: * Y' f6 |( O! Z. J# w5 ^5 KI、 细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者:本人July]% A7 N' B0 [% }6 k/ N( a) e% z
II、 本BLOG内 经典算法研究系列- J9 t/ T [. k' }# X& @
III、维基百科 1 P! ?" @" g( g 0 I. ?8 k9 K- ~' Y------------------------------------------ ( F; i) h! d; d& W) |# A' w% z; _0 e9 ^; `$ @4 }
博主说明: 1 g3 L3 g3 L h! q R4 E0 A1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写,本文对此十大算法作一一简单介绍。" a, n0 f# e( {; B( o
这只是一份榜单而已,数学建模中还有很多的算法,未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。4 I2 B7 B8 \$ D
2、在具体阐述每一算法的应用时,除了列出常见的应用之外,7 u, B$ B/ h z2 S
同时,还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。 - `" `6 q! k1 Z1 e" ?) T9 {毕竟,此十大算法,在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。9 A* `, \# h5 I2 s6 ]# D2 y
且,凡是标着“某某年某国某题”,即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。& y1 M/ }/ E2 Y$ r
3、此十大算法,在一些经典的算法设计书籍上,无过多阐述。# j* n( J5 f) z6 i
若要具体细致的深入研究,还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。) U7 J3 _2 L1 S, l/ [
谢谢。- M3 T! b4 ? v8 p) s# g% V
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; \! t0 a2 r- G7 r: i7 ~# a一、蒙特卡罗算法 ; U9 d$ j( y; D1 h9 H5 t, L9 x1946年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis. g3 m) v+ @) B. J: t
共同发明了,蒙特卡罗方法。% \& x$ V. p8 z& \$ S& {" K$ Z& N
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3 s: W, l# M2 K& s, O$ [此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一,详情,请参见我的博文:, e/ l. W; o: E$ \+ o, S& @9 p
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx! O. H+ U% E6 x2 I V6 z1 P% S
' b, g* b4 _3 h$ G/ n8 @" A: ]& X! a . g% R, F; H# J# g! T3 D( @# V% y' M V' Z* }
蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导 8 B5 M3 L+ S' L, g, s2 B2 ^" t3 B0 f . B5 Q: A) y1 u6 ~) f的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方 + B& w: H5 |0 t5 B V ; b$ H* d' X4 j7 p% g: G- M2 Y7 E法。) K# F/ Z) [1 Q1 A6 x& ]5 Q: T: m: k
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真5 B$ P+ C. C) i% a$ T/ r
2 O; t n, S E0 ^实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。 . k; W' m% o4 l$ O8 O0 ]/ x1 z+ ~6 ~3 p) G9 i
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:& d- K1 k1 X! D* ~3 `
当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法1 l4 ^1 M9 p3 U) T
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,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作% {3 A5 T5 N; x
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为问题的解。 5 f$ g( B8 X+ t) S' a % r2 ^* x0 K% }) j$ T1 p4 C " R6 O/ c d2 R9 \2 | , j% j5 ^* h6 x) b4 {有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法:, K, T5 X& b& _$ S
假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如,积分)的复杂程( Z5 w3 x5 o0 b& D Z
3 y* N6 B- b4 c度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然, X, X ~' ~2 @$ z
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后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候 7 A- P& e/ ^& i7 B$ O6 I0 E' `' K4 a# s& M; A+ f, S; ?
,结果就越精确。# d+ R* X$ z+ d
在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。 6 U7 C% l0 a5 ~" c# r6 E3 n+ o 4 o* M" z& l2 U1 K3 c* Z- P : @- E+ F$ O' U" h蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模2 _, K" q2 t- w
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拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的 0 H! J! k8 x+ N* L0 j( o0 e* s' ~2 M; v) T" u
近似解。 . T3 w( Q# R8 f0 D) V( r e1 w6 n5 {# p* O+ H. N& A( Y
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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而 j4 T9 B' f) G; j" C % r: r. [9 Z# t* S7 M蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下: 0 v; J/ x$ s* N+ F9 G; V
I、 直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解。 ( l1 j$ b I/ O: V) I
II、 采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律。" A9 y: I1 }! s/ o4 O$ c1 P
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。2 |8 G/ I6 D9 f
等等。 ' ~ X2 t0 ?1 G4 U 6 w- M0 K3 g! I3 t/ j8 y5 f4 J此算法,日后还会在本BLOG 内详细阐述。8 _- {1 f2 h, ^7 J+ T* J) ], G/ r
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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 ' U! M( E' u9 c' f2 ]" \我们通常会遇到大量的数据需要处理, 而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。, e; l9 ?& @ U' R) n% P4 R
' { o F& q) y; W# c& A( u3 E8 w! X数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98年数7 U6 v7 e; O) w" ~9 }
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学建模美国赛A题,生物组织切片的三维插值处理,94年A题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有 " S( `9 u8 j( U- _4 i7 L5 x$ v/ k8 X7 H" _9 f
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。( O0 |. b5 Y, N# i