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标题: 数学建模十大经典算法漫谈 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-7-8 10:46
标题: 数学建模十大经典算法漫谈

# B, w0 i/ c* {2 Z7 a1 L% R( C数学建模十大经典算法漫谈
- q) h$ r/ t$ G: I! F数学建模十大算法漫谈
4 H/ R. L7 O" U" ?' t+ M
+ n- c2 b0 @6 C9 x
8 S. U/ F! M4 \. N
3 H& K" ~# }; M8 E) c: U: y4 u: J/ Q作者:July  二零一一年一月二十九日
9 [; n1 b( K; c
8 q2 v0 L/ }4 V本文参考：
% l7 m' m6 q& U5 ^I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]( v9 Y# w3 g' `, C8 L$ A
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
4 V: R1 e" Q6 M( Z, IIII、维基百科) }& F. Y0 J! |- r  e0 X+ @

" n8 F& e' a5 a" s; s7 ~* B- E------------------------------------------
2 F( R: E. u  s2 [* s
) c$ H+ o1 l: m( C博主说明:
( F  ^/ W; _) `! @0 M1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
& d1 x% C" E; S" P" ^6 O这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
: n' m6 C" S& K1 w) |/ u8 T1 F4 U2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，8 c- I" D+ H2 V0 p' P
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
5 S6 C$ s% u& }+ o+ a) s9 R# b( p+ h毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。  v- L& W9 p8 P; x7 Q, E. Q* F% a
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
' L1 f, c- ^0 G3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
1 c! L) m* |! ~1 k若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
5 p* I( [& @. n谢谢。
4 g8 n9 `& b/ U2 }, ]
9 e) l9 v$ Z2 k) \& C3 v' E8 s4 ~  b6 L# m! a: J8 E+ K

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. a! d$ b, I& Y/ D. ^! ?0 Z; N% [& y0 j9 y
一、蒙特卡罗算法
0 [* V% e+ `+ j3 c0 S' \5 ?) d1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
. f, U7 V' Z) ~$ L, Q共同发明了，蒙特卡罗方法。  P/ {. g/ D( d; q: G2 M* v

3 J! a6 _4 i, ~' Y1 z0 L7 m! k" e' q$ i7 Z
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：, v# x; z2 S4 o  ~* L5 R7 m0 `5 H1 V
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx- }" W6 V) S5 f+ q! |0 c1 C! \' R

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$ s0 F: p! `& S# w! C. A0 e4 V: o! |" u& x& F/ ~+ l
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导5 O1 b) g1 y% y1 K5 x
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的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
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/ g( ~  D6 j' {8 q+ ?6 Y法。+ |- _$ s* V3 L4 o, k- _+ ]
9 G9 o( s; \3 a. _
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真% H" Z& b% S# N( r6 U

0 l) c6 }8 s8 d4 g; W/ z" Y6 f实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
3 j' l/ E+ b/ q$ C0 i/ W) |, S6 @; j( q
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：$ G9 b" x% Z. h. `# r; p- z$ R; {
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法2 T6 ]' L& P, c# k# u

" U! A" ]9 J3 l- ^" z, f，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作: ^: p* a+ C* f: E, b  E. j: [

* Z# u$ W9 t$ e. v9 W4 F为问题的解。
% `/ }5 u9 b9 p& U# m9 i6 }: m) a
/ |5 o6 N) W* v2 S7 x7 a2 k

3 A: W/ m1 e5 X4 J5 ~; c有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
' m& ]7 d1 L6 s; B假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
& z& k! I. `0 }( y
0 B3 P5 C1 [$ e0 y  d度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
4 W( x6 v1 s( f, L: p
3 e& B6 \+ b) i! n# H0 N# r& Z后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候' Y# N0 M! A4 k! T' B
( _+ \6 ]$ q- P# N" K; X! C3 a
，结果就越精确。
5 t% S, c, ^, `5 h在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。5 \& b6 G6 C* t, j3 p: r. W
+ _3 m1 J) H. `7 Y0 B4 c: k' w' A
! s1 k( }* F1 }+ _8 Z; @4 P, V
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模# C: x: G. r3 ?0 D, [& b

8 N2 m( J3 @! x! d7 M7 ?7 F拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的/ K& Z+ J/ A5 F8 n1 i& @

) S1 K+ W& `; n) ^4 J; Z近似解。
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3 M  g& K' [; d2 N蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
8 o$ J- F" B+ l' U# ~1 K0 u, r! v9 N" L: O5 {
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下： ) }8 b; Y& B0 d4 @
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
' E6 Q6 d7 p7 S. ?% A. _II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
( d' V8 W4 c2 s/ W/ S4 b9 CIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
4 c) E! P% K: C( s8 {等等。2 T1 l7 t* n/ ]1 v# U

! Z" Y- @6 t% H4 n/ r# s% ^0 g8 h此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。# u6 D4 c/ n2 `. K

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6 r: L2 P0 ]) o( y( Q二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法9 d+ z9 Y+ C0 l- e) @1 `
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。6 p4 r, H, c  S* `8 h
7 j" e. @; j! M# F5 n# [7 p
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
3 d$ s2 c; I7 a, O7 ~, ~& Y  e3 H" I! |- |5 n
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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0 ^5 L* W% C- N此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。- d+ s* D% }8 ~/ i

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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* [2 @/ a7 J8 T& i9 F, Y4 p1 Q' h" @数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
! r/ ~8 F+ [/ Q% b8 a& R$ w  ~! i) j* z5 J# g& h/ a' b5 K
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式" C) L) O$ x) d2 I! U

! O0 g  {2 p! E. V$ M完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还. l4 b- z; Z9 A5 Z: P& o, l) |

1 A5 A& Y$ A9 F3 [% D+ l需要熟悉这两个软件。
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: `! W" {* i( v/ ?- R  S6 z: Y# l5 c0 M/ }' U: S9 @

& E: q" A( z7 \; l: L9 l5 X# @; W3 H, K3 r9 D8 V- t* ~$ y4 s
四、图论算法
4 Z) H0 H% K) }3 ?2 f. F" B+ L0 U这类问题算法有很多，9 Q+ n9 y- E8 L, E1 y6 ~$ r
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。& q! s. L8 C; p7 D9 B

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: b" Z. L+ u0 D4 I; z关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
& F0 W" G, l# g9 j3 a3 T$ n) c同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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9 H* K% H, h& k; ^  |经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
" P: c9 T5 A' l0 R/ y1 l) y" khttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
) j% @# [# j+ Z. P: ~3 i9 N- K6 k. S
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。9 T, S, J6 @5 O* V
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% O6 \8 w, K# }4 B, v% M7 P五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  |6 L: j) H2 B6 I在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
) i! Z3 {6 q0 i8 K, x2 M此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
" q1 A+ t4 x  _0 C. g* ]推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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6 V) u# k* E! k" Y1 n: L6 L+ J+ B- a: S8 l9 K: \% k$ d
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 6 U5 F3 k5 ^3 c) H% k0 ~
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。( y) ]# e5 ]: L, b2 Q+ @( E. {
) y% [/ y4 i8 Z: x1 y# h4 Z
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 - L# E2 T& a; d- L' \
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。  v8 N, H% X- K6 t: F6 c* V
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质! J6 T+ {# @2 o4 p- j' K5 c
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx2 C2 v- n7 Q0 R+ W7 x) q! D' |
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) x. [7 [  c( ~0 _" K其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
9 [# C2 n$ P: T) w0 _
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2 l5 b' m/ Y- S/ j7 M七、网格算法和穷举法! ^7 p; l1 @* x* ~
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
4 ^  m( p; {$ l比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，( c/ J/ m2 N8 z" c8 L
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b6 m6 ~' R1 Y; X
. D( P3 F1 C& G0 z6 S; Q
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
4 D' B! @: M7 B; E' V# a: J/ [6 i! h5 r

1 \+ U6 ^" |. S$ I# w4 P3 [在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较, q+ F+ k0 n) e+ f0 R

( A$ q$ V2 Z+ a& ]$ G& ?- N5 ?0 j快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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1 a0 t) v+ }' j0 B3 `穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
( S- m3 k+ y; u9 e0 F2 r
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8 R5 z- y. V& E+ E" @3 B
八、一些连续离散化方法
: B/ b: n% ?. q: k& a! A5 u% N- y大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界' A, f, C1 r7 U

3 Y9 D' \. H2 a" n& X中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
+ z9 W2 u! {$ s7 B0 X7 L# E0 e* K' I! ^4 P$ k& Z1 y% a
$ t4 y, ?6 j8 V& A
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
# ^4 v$ R: i9 M/ S事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
1 F, o; W- d+ G4 h" }/ O3 A. t) j* p9 q. w
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7 g$ V  C8 n8 t: m" c
8 \* l) I& Y1 k8 A9 ~1 Z
九、数值分析算法
7 O4 k4 x0 J, F6 @( e: \数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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9 F% q) \" m* F算法。: K9 p. B2 m/ ?
$ b( S% [% f' Z- @1 u8 _3 B
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
! ^2 M9 S3 h9 r. ^3 e
/ a; m2 B- j7 `/ u' K" z函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。$ H* N/ {4 k' p' N. @" w
. [0 E6 H# U! ]1 h
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
6 Q' J9 B$ P9 D1 s" K# [) J5 w5 ^  L因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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3 M! Q& _0 S+ B: w! T. S/ h
十、图象处理算法
/ G( |6 P8 z7 K/ W7 z9 z7 B在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值( V9 x+ ]% Z8 \+ i! a5 L
7 x9 `  i) U2 D8 ]8 p
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
* T, K4 n, ]' k2 }+ r
( ]4 E+ {. j8 \( `因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了 2 @2 t5 {9 ~  }/ _
来源：CSDN
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