数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模十大经典算法漫谈
[打印本页]
作者:
杨利霞
时间:
2019-7-8 10:46
标题:
数学建模十大经典算法漫谈
5 Q. C- Z8 ]7 S+ P' d
数学建模十大经典算法漫谈
" E7 ]. a9 u+ p) e
数学建模十大算法漫谈
/ m; @' R: C. o% ?4 G% _5 ]" e2 X: F
3 L7 a' E O* _1 S# d4 G+ E1 {7 P
( x/ S9 v8 D# q7 s2 ]! t
7 `9 X; d: y2 o
作者:July 二零一一年一月二十九日
) \6 \4 l$ b9 L! H T8 H
- _6 X7 ]5 L8 ~) O `# ~0 F/ L G
本文参考：
( K2 u* @" n6 t# ]1 s8 Q R
I、 细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
, s9 R v. m* @4 y0 {0 L0 ~+ F
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
% v! m; S& w% p9 F& a
III、维基百科
) i& C( v" D! e
T9 f& H8 p. X ]" i* f
------------------------------------------
0 I% V3 q$ P! [6 ?4 l. z
$ ]$ N) G$ \( Z1 ~' h- H
博主说明:
2 R5 w3 w- M- m' Q4 @
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
1 t0 N7 p$ C* \0 T8 y- T
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
5 A4 {2 J; A9 ~2 [3 T' U
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
5 ~0 D6 s% I7 ^2 A' u
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
$ u0 W1 V5 ~. N& z$ J; x7 Y+ E3 j
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
- x( H' ?8 Y1 w, e
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
8 C9 [( a' y5 h( W, T
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
& X, x! c1 `. \4 R# V6 Y6 {
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
; P4 S3 |% K8 E
谢谢。
' q$ q9 O" v: d! r4 r
- o. l: M6 |, G: G& o4 g
9 A- e0 U) @) D% i' a: b2 Y
- V, g1 U7 h7 N. `2 y% `5 b
: C* @" m) L6 `( S# G! K2 Z
+ q; o- X% C. S7 m( E
一、蒙特卡罗算法
- T9 t- O) ]& k" B$ J! Q
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
6 A7 O" r+ F) c* S1 D# H% c
共同发明了，蒙特卡罗方法。
4 v( _9 I* P+ B% g
5 D) f i. Q. }4 d
5 {$ z4 l% e- g8 g$ W+ j
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
- J. B& z' F9 Z% ~( J6 H2 q4 T
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
& [3 a" i8 g" V8 Y0 Q8 C
. ^3 V% Y* ]+ C8 ? N% e- \
5 L) S, R6 P$ w. w
1 l! l: d/ m7 ~6 j" P+ ~3 C+ Q
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
& U) r4 q4 _$ d
( s" J) |: W7 X0 i; o- c5 t
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
& q4 v, D& |7 ~$ Q
7 \/ T; a1 d0 K* X( R
法。
; ]% W% I# |7 a; h8 W
. `) F8 |$ U% o# \. o. J
5 h9 G0 K4 K- Q& H5 m
+ e8 }$ J9 D) _% O( {3 G
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
, S! `7 f: H3 j
6 o7 _& l" E" ]3 C) ^
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
4 D) d; ]- t7 P3 c- o0 d9 o% u$ `
9 t+ q% k+ N d8 \ w+ ~) a g0 O# ?
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
" r( B( i- D1 H) j8 ~! x, q1 Z
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
. S( k. A: g# l, E, Z
% y: n) }& B5 `3 C( H( c
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
* R4 B% I/ i( N8 u) @9 N
1 j' t# T$ q3 n
为问题的解。
1 R* n% l6 U. ~ C" w' l
$ x( z4 Q) [9 Q+ m) f2 F1 }7 x
- h6 {% v- i; H% G! g( ^( i
# f$ U7 G4 \6 J8 ]. Z
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
$ v C- d* h2 a' ^
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
6 X5 c0 }9 H% g2 ?) ]
2 _3 D9 {8 m% N! s# t( m/ ^$ M
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
/ k' p3 _* x" u
+ R4 B; J8 R$ r. a! A- k
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
8 E3 D7 @' U* j& k, O
$ {: x. e3 D. r* W! R$ n: Q
，结果就越精确。
$ g4 w& d, u, J" O. J& i8 i8 D
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
/ \4 `' q" t: Z, B+ `) d
) A' i% l6 I$ [7 p- X1 o
; R6 P" s$ { D7 A3 p" w# _
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
( T' s3 {* K4 R) f2 Y3 f) v* i
/ C; M( Q# u2 N# j z
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
x& _) ^- W- x" G! [- i' E; E" I
! \1 ^, ?/ T5 k1 L( _$ B+ M
近似解。
. e+ G+ I+ @7 J7 l: g. W+ ]& g
& c) t3 ~7 p- V# H) ]
( ]: s% M2 P0 F) r- j
) G1 {! _$ U5 a+ {: ^- d# v& Z
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
+ g5 h2 P$ K# A
- e+ v$ o$ J* P+ s' r
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
2 V# g; ]9 [5 a2 ?9 s% N* V
I、 直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
- _% Y8 C3 `+ V( j$ K; W
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
$ z: b- d) h2 j% N
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
9 ?9 T! `" P# Y0 y
等等。
3 R/ e5 S0 g3 W4 H. I0 w
" b7 W4 C# c5 X, ?1 ?
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
% N; o: ?/ ] P+ z
5 A4 L) C8 Z6 B9 F$ D. o' Z
. O8 w: `7 m5 E) q/ t, ?
) o+ y, j& o; s8 u
* S6 G0 t- E, T; C& J4 w8 b
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
5 j& I4 k" M; E. s
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
% [; g* j# l- c
& r @2 z! I1 L$ }/ D
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
3 o. i% }. J) f( i
4 _5 p& e5 {% N$ b- ?
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
H' @/ h0 l' _. I9 X9 z
' j$ s( m5 B+ y0 y* |5 r+ U
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
4 Y# J# L& W) y" |3 \/ K2 u3 e
( x' r8 ?' M% z5 r% @& _. _6 _
6 S4 J. l/ K8 d/ A) T" y
/ ^- R/ }" ?. L: g1 O6 n' @) T( G
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
0 c8 D8 ]* Q, c/ w1 ^% d1 G
6 i! P$ z: A. K
. @/ |: M& W7 ]) g1 B& h
3 Q/ h) E* v, ?8 D, U; L) ~
( {5 \% _7 F! E& M, Y. t r; R
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
6 S1 M* c4 I% o7 j# z
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
7 ]- j+ O, _7 Q) S4 V' w
% o" ^" P0 e6 u- L' p8 D
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
: ?4 `) r! `# R- h
6 X, b+ [" G7 _, y6 ^
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
. ?, e; a. h1 b4 p
% x. L4 ?& ?- ]6 P
需要熟悉这两个软件。
8 P3 T! E8 U3 |% s8 m9 n% p
8 ~5 T5 d3 A& f$ m
4 j- d. E1 M* K3 y- r+ X1 v
/ H9 u: E) u+ v, u9 D
* {2 f; T* h/ J1 G
四、图论算法
, K) ~2 C6 H1 B8 u. ]
这类问题算法有很多，
' V6 k$ I% Y. q; v9 v. M( m
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
0 |" d, h% T) w6 K3 A1 u
4 }" l g# P# J% y. s
, u5 X/ C0 R6 P' g0 x9 [9 i
6 q) t0 Q7 n6 F. |
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
7 V$ J7 J9 D4 T! M" |2 o
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
2 U- x8 {- v% o, k; D/ {
-----------
; N4 S. l4 y1 D" q
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
0 y9 K" F$ s5 y$ J$ i9 w1 {
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
1 q, {& o1 b5 l3 T: F! h6 l/ h
7 h- [% j9 `7 F. a+ [ R1 I
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
' I" ]+ v. ]5 M, m4 e
/ c% ?9 C! h8 N; z/ X0 l/ B
9 l. c8 I9 D8 j: R" ?
1 s% A% n! r9 G( Z4 s# }
% X5 M( X3 R2 y" u% \6 ?& j$ k% U3 o) `
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
8 ] y5 p" v2 n" V- v& {9 _6 W
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
9 O8 x+ r# _5 c( @' c
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
# d$ M! H# T! H( l0 u0 W
1 H+ W, c( F$ B1 I- l+ V; m6 g8 r
' Z( z' P6 Z: v$ [
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
1 |/ M5 \7 F4 N, o! w3 L
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
: C) ^7 a8 [: R+ }
5 Q/ s3 ^6 D. h: W! ]. j
% S( ^) ~: M; F
- f' |6 {, |( _$ v" Q
7 q, p2 D) J- @+ Q8 K# z
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
3 |8 U4 y# `+ p% f
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
& ~- J+ o4 r r3 s$ V& a
/ S: ~# b& X, p' _; F4 V; Q
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
" \* P# T; n2 @5 @
" M$ b2 ]3 v; M+ j5 q6 s
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
( l/ g n3 r d& B1 P
. ]2 E' Y# @# e' ~2 n0 j# _
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
# w2 S( L! C5 Z* T+ P. W6 T
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
$ N4 j# f8 ~9 R
7 x7 V+ z3 w& ^9 \. @6 ?- o
9 I' N2 D# ]7 D+ A7 z0 t) @! M3 c
$ ?' I$ \2 b3 E$ s/ r2 \$ s, a
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
% ^. w2 z* W2 Y9 w! i# W' Q
----------
3 b) c( m# v- u V- n$ g! r2 I9 T
经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
v$ h" R b* ^* w# s; X
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
5 w$ m3 F U f/ W
* L3 A) f. h* w3 l( r, f7 J% }) }
; s% M2 |) u* |8 `
6 g. t) o* V& V0 i
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
$ ?% b6 X, Q3 f
1 `1 E2 `9 Z, ]) O/ ?
1 p& D! ?; g, D4 d
' h6 p3 n+ v) X; Q& Q: z( b
' T; j/ d8 t2 Q
七、网格算法和穷举法
# F9 r+ Z# T1 g( e3 L
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
) o% \0 S3 d9 O1 D) Q
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
6 `. ]. F; ]: t. k: U2 c/ Z
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
7 z; d) _3 L$ n$ P$ o" w0 z
& T3 {0 X, P" w
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
" p" V( x* {# k
% h; N4 @' ^* Y8 N% N
6 l B" ~% c5 r4 R0 k* ~
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
# g& o( V" O2 x" b/ g
. ^4 P8 v5 R, X
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
I, e" E3 R% a6 r0 L
* E# p0 L* R @& D. `7 U2 T/ ~
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。
+ \- t* S. m; E8 O$ _
" `) j, |% t* ~% M+ Y; O+ M4 K
1 n, X- y8 a0 }& J% N+ t2 k
) R+ l1 w/ N4 `2 g% k9 m1 q
x8 L4 X# B+ ~& j, f, t
八、一些连续离散化方法
' q% T; v' g) V, Q0 e4 ?
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
, T7 ~+ w" U8 ~+ {
6 q. ~( I, r7 I- H/ x3 w' c8 `- ]
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
: P! b6 @$ }/ W0 J0 l9 a+ g! P
% y9 h) x# m6 N. W7 t! @
4 y t: B' a7 t
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
+ h9 a/ H: D O) d- T
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
" m& {6 `3 | M6 E+ C l- c
7 s3 C5 M1 l& E$ F7 q
0 y/ P8 ^' Q! Z! u- d9 x& e
, ~7 d- u5 Y# O# F( I# y+ ?
# e F Q; s3 k4 v v5 F
九、数值分析算法
6 q: a8 u r$ d5 L% \; ^$ }
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
# ~, i, ]; ~4 p6 a- m9 e& M7 P
8 E+ g+ E& {* V$ `' }( [, j
算法。
E2 z& c% d: Q7 y; h [
0 N# Y7 u( F3 B! [7 N4 ^
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
! W! B# }6 I7 [$ R
5 A: _* D4 a' n) G5 ?7 X
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
, z3 K; S1 g! H C+ t
, i F5 `6 J1 ~" f. m+ ]; N
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
0 L$ F- `9 c3 ?
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
5 c* I9 j& p: [# S! ?2 h
1 v) s+ A6 s) e4 ?- `8 Y
. r4 \' F* l$ t, D* O) Z# w
, N' y; w$ c: m% A
; a# c: T$ }) M9 S
十、图象处理算法
4 N3 x( O5 g0 z9 H: J2 C6 T
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
9 E! O. T0 c2 g
7 C3 ?0 O* j/ N0 n
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
# Z4 A( t5 }5 Y0 w" c. G5 k
* @, |; H$ |7 G
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
/ k- W3 D) v# L
---------------------
2 N' H: t+ b" a$ c r9 S. f
作者：画面太乱了
5 y* ^/ A2 P/ r4 z" U( A9 s; F
来源：CSDN
7 i- ^& \0 L% i$ ~8 o0 B
- y, ^2 u4 U2 k. J( t" o/ p
# l" V( Q5 I9 {# E
4 ]5 g! A+ N8 J3 ]/ [1 W# b: w; z
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5