数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
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作者:
杨利霞
时间:
2019-7-28 11:26
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
% d# `& W' Z7 A4 a1 i
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
% Q& Z" [% t1 t6 o' Q
1、建模步骤
& B v6 e5 i6 u: l
+ y' ] `& `& Q8 x) z0 I
n6 a s$ \* `4 g; J7 N7 e! j! f
6 m' I3 z3 E: H
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
0 j! o6 s" T4 B$ c$ K& z
1 ?4 K& @( Q6 q& {& ^% F
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
% i9 D- }% y9 w6 `
0 @4 f) l/ ^) x- L
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
7 M! c9 b R+ o' i) J5 x x* }
( Q% i1 t8 ?1 q
2、数学建模问题
, G( k, T+ r. y+ k2 D! \1 }0 {
8 D& Y% d# G- O; e X
1.数据处理 2.关联与分析 3.分类与判别 4.评价与决策 5.预测与预报 6.优化与控制
: B) h& C' v$ l
- F( f! L% \5 U
（1）数据处理问题
% X' B# r% ^4 j0 F$ B6 M
5 L/ c6 V+ u& G5 p6 i; s
•①插值拟合
) Y+ l# A4 A' \( t; R7 ~ M1 Q
) w8 d9 u& V8 I% U) Y' Y
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
2 e% ~7 A% L, l8 S' L
/ K: c+ v1 w5 B. B) O
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
& _! E ]/ p7 q$ s+ ?( l
* @2 x6 D$ n5 o6 I$ h
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
, [% p' J' Z a0 ^' [
1 U$ Z& H+ d( Q3 [: `# X% F
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
& m4 Z6 S. q/ J8 H: C
; V. S5 G. A) ]; w( `$ Y
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
' {& C3 f3 u- ~" Y6 j
1 @3 p7 I- u0 A% R# A, `
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
* w; x/ E: r( ~' z
3 |3 l( d k9 u. V/ g
•主要用于数据的截取或者特征选择
% E% S9 C2 T* W1 Z: q
1 h# F; N5 s! i/ y
( N/ Z: Q+ u" s9 o8 Y
3 y" `! E7 f+ M: J3 R: V
（2）关联与因果
+ f E5 y3 D3 d% s
( w' D5 a, [ d2 G9 z
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
8 h; A! g) k: N4 H2 u6 l- O
# h/ {: [2 N3 T
•②Superman或kendall等级相关分析
/ \/ T- H0 p* q1 P, z7 M9 t8 L+ ?
9 }: _+ e5 N! y. y$ d
•③Person相关（样本点的个数比较多）
% e4 B) n+ ^9 R9 Y% S( a5 X
6 A: i8 E8 V6 F# | y6 j2 j
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
% T9 @1 v) S7 B
* Q1 S1 e7 b4 Z: o4 ^) ^
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
* z# J. c* k* F
8 f. @+ k$ b) }: m2 K2 K9 ^1 p/ q
$ Q" a* s' p m: [3 U* {
' @- d. d* w7 @, Q& B/ Z$ l
（3） 分类与判别
1 `0 T; J! I3 Y/ g' ^% w
( S8 g# q% N4 ~8 z" J7 S$ T
•①距离聚类（系统聚类）常用
" G5 i( b% ?% f
0 h' n8 g# q+ S% [9 y. K6 G
•②关联性聚类（常用）
8 D2 L6 |" g4 H9 l" i4 e
3 a$ q8 [6 g4 M5 ]! t+ w
•③层次聚类
/ {8 ` E- L; e* P6 b6 g! V& T e
0 d* g% n' g: c5 M9 ?6 y$ z# S
•④密度聚类
+ _4 {- {( U. W9 W$ A7 F9 [
6 v* a% v9 L! z' ~
•⑤其他聚类
* T8 }' q/ l: o% f
7 {! W% b, C$ c) T8 J' s3 e7 @" v
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
1 s9 N3 |" ~/ _* ~) d5 x$ I4 e
2 D+ g) ^- h; m5 e- E
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
: k1 Q: x5 e2 C# Z. D2 V( \4 e4 Z7 R3 Q
' I5 q9 \" E1 U! L
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
: L4 B" y7 Z- F
+ F b, |( @. v/ |' }5 e
, t5 g0 H) ]/ D8 B2 }- V
( T S& Y8 r: d2 u( Q& k
6 F+ z5 t* V1 c: |1 v6 n" M1 |
/ ?- x3 X! p8 o O
（4）评价与决策
# n5 g) v8 B/ z4 n& y
' b; M) R9 k$ A7 S6 @
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
& M# j# g' Q0 I" E
a3 L/ S7 F' M2 n" W" B: K
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
1 K# w) U& r* |: Z) H; s
# \/ j! U C1 G- k( r& u3 D
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
) K3 N, B* j& h- V8 w3 o! |6 S
; ~# |) x; N7 C8 B" Y& @5 U
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
- j% Y& L- T- k
2 V9 B- M) R9 @" U0 p, W
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
8 H9 u" O$ u* v3 L- l: R
' ~! t0 J3 Y* j' m
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
J3 P" l7 U- k# _
% ^# ?; a g9 V- H; y
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
( g; ^2 _' ?9 f8 }
- f6 E6 C! o2 L( K( T0 e, `
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
' C) u( G: ^: l! q- L
" a1 E: n. E! m
•⑨方差分析、协方差分析等
5 f$ Q1 E0 u4 Z' U; e$ M: }
, Y% a3 }# [! J+ e; m" E* W$ R$ [* O
• 方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
- W" m6 m* @( ]
- W8 w& R! {! _
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
* ~- z! X/ B: ]: Z) |* Q$ m @
+ m. o1 b$ U, u/ B( z5 E
# w- D! a _, l
! A8 o+ v' L: Y, a0 p: b, p
! K, A& w0 D! S; X
5 e1 n$ l- \6 D* s6 B0 ]7 j
（5）预测与预报
& B9 J4 U2 C. u+ N/ f# q& W) B
. ~/ c1 q& z1 X0 o
. _; m! Y e0 v
8 @7 R/ w1 K0 v% G# a8 W
•主要有五种：
& K) O- ?/ T) A/ _7 u" B
8 s9 q' L+ _) M5 E6 b5 W
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
$ P7 {$ ]$ l( c: v8 d3 S
6 P3 H6 w. x" ^9 T* N
•大样本的内部预测-逻辑回归
! V5 `1 e7 }8 ~/ s t
; z2 T' M; P: |- h9 t
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
) P6 W# K0 H2 ?5 Z- X
, F' `4 I# z4 j4 F$ ]5 M4 H! z
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
& u; F; z! |5 m
- y' X) L2 w* N+ {/ }' W
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
( t5 H% B' ~$ n6 b1 B0 `( e% H
3 ^. h9 a+ {/ N& e
1 z8 Y' B l- a3 N8 `
' K/ i2 F; e2 F" N( _
•①灰色预测模型（★）
" Y" T& _/ H+ K. D/ R5 l. Y
+ y2 u$ p/ c/ J! U S. l: V
• 满足两个条件可用：
3 y" a1 ?3 u' s+ `- U# @9 u
" N4 T* M$ t, x* y9 A+ q
• a数据样本点个数少，6-15个
# H7 s; [& P# c9 ~% b% F
5 x9 }; `/ q% B# S: I6 F
• b数据呈现指数或曲线的形式
8 P- e* v$ V% p# \) k* i0 `
8 Z" t( I" P6 c- y
•②微分方程预测（备用）
; v& y2 _! u, p' h
4 j% a# F/ t; T9 }( e2 R
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
8 i. z, u0 v0 @& z+ K
( W9 ?! G% P2 a, f% B+ L
! Y7 \8 I( ^ F' N
9 D2 ?) S6 H$ R0 R2 O" S7 V$ O8 U$ E
•③回归分析预测（★）
6 _) p; z1 r6 H% X4 g" _
- \) \! b* [9 v3 k2 Q( D& C
• 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
# `+ N0 m1 Q( g5 N+ c% C
- _/ F0 I( T) ~- {1 y: O
• 样本点的个数有要求：
0 p# g: ?2 ~: m, l1 A% }* f
+ L* C. U& [7 ]1 z3 @# p
• a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
* g, B9 \- y! M+ c+ \1 R
% Z$ C, V$ L- A' n' A0 s- w
• b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
! ^, V9 H6 _; m8 G. b& M
# }; x( I: c) `! P# n( _
• c因变量要符合正态分布
; R; p( m0 l" g3 d' S
$ y3 o. H2 L5 p& a7 ~
0 |+ ^+ |& E, ~1 G$ h& d
: ?% X3 N- W) m
•④马尔科夫预测（备用）
! w" [$ O9 {; V. z5 E4 `. {* E
8 S# a5 Z' g+ Q* }
• 一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
7 [1 h% ~) f/ U
% Z- L$ h/ }/ |) j! P
. u' y; ?5 O* X3 j' ?" u3 E
$ c+ V! `; U* L4 e1 B" L) O ~
•⑤时间序列预测（★）
; O+ K1 M) d" g+ `
( r* S: v3 x' N8 V( r2 u
• 与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
: g& K+ B! Z) B- D1 V8 c9 W% ~" |
4 m! z; O3 _" f4 _
•⑥小波分析预测
0 j7 V9 m" K: g/ J( K* O. z B
7 S ?) M& z1 D: z( H+ m; I
•⑦神经网络预测
' K, p. U" [, V1 q8 b: z4 T( E
: @" `/ h) ^6 V, ]) o
•⑧混沌序列预测
3 n; r+ U" _' D ^) y
4 o8 _6 `; ?6 \. k: N
" Q1 {' x, k; X5 k
0 B. c% z- y, N4 [, z7 D9 {, Q4 @
（6）优化与控制
( w. r8 J, z! O; _
& A5 A9 t" w9 m3 l
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
; `1 T8 D; n4 t0 C" `" m, u$ N- Y
4 f) j+ P6 t- l3 H3 _0 Z9 U
•②非线性规划与智能优化算法
# T+ q4 W* z4 u! j0 b+ x& z
: V. c1 O( B; j3 y; t8 B$ h) ^
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
# \" }+ C$ W s: d5 E% a
. A- v1 F6 r' q3 c4 ]: s
•④动态规划
: o1 F7 x% ?) U6 W/ X7 m
1 o7 b, r6 V% Q8 Y: I
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
" |8 [) F* W9 w; x! R
) e. R" ]9 s0 {% E; l L
•⑥排队论与计算机仿真
7 q5 ^8 N# w0 S) R; e. f
$ ]) K1 p7 ]' I' c( `4 d
•⑦模糊规划（范围约束）
( f, K; g2 J8 N% M, D7 p
) f, U: {3 {+ X; O' |8 M8 I3 J
•⑧灰色规划（难）
( l- v1 L% E" @5 H) y8 u
1 ^4 D! x6 }( p O- l! H
% X& N/ }( u8 g V
---------------------
) @0 e r4 S, {' T0 P) w
作者：ItsL
7 ?0 v3 V, l; z8 }% j- b+ i
来源：CSDN
. D; c0 v! M" o. ~% k; h' {
' m- y: A1 X7 e2 N+ e% v
( W3 g4 y. M" N4 |$ q
# ]$ J" N! H' ?- s1 p
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