数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
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作者:
杨利霞
时间:
2019-7-28 11:26
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
3 s; {: j( ~! L0 t* g/ S, w; m9 g, E
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
# C6 k$ ~6 }8 J4 u: f
1、建模步骤
' f% A. v' X: k) u/ w
+ H$ F$ u5 a( d- E
" Y' @5 P( W7 Q3 ^' u
" f! ~2 G% D, ]% v) ]
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
# m$ G" y% {. F- J3 ?5 G( `7 `: V
2 ^4 n% |( P* G# B
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
. F! {7 i7 L- d& d+ k
% G u$ q6 G3 } U# Q5 u3 Y4 ?
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
y- W. \3 y$ U2 l7 u# z+ j6 C
# C& y4 @1 @% ]3 ]8 I- m
2、数学建模问题
* ^+ ~) k2 M( k0 w5 R, u% o
8 Y- r( k" z2 E# D# Y) I8 E
1.数据处理 2.关联与分析 3.分类与判别 4.评价与决策 5.预测与预报 6.优化与控制
1 G4 M+ B7 V" d# a) D5 [9 Z
% L* _' x& i- W, m
（1）数据处理问题
7 K1 ]" g8 M" E5 {' Q
/ [* H. @+ j& s; K7 i9 S% z
•①插值拟合
* X _4 P D; S# n: V
" C$ t h& o4 Z$ M
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
$ B& X# s- k4 U( c! l) u6 ~2 D! E
6 f% J5 A( X' x5 i+ ?. |8 g! U! Z
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
9 l, I3 U) q& D* ^1 f2 w& D
% k9 i+ Z- x3 a
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
/ V' K" C6 l9 w0 x$ g6 ~
* F4 Y' a- `& H3 ~: s
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
4 g& U0 C$ X4 ?
0 W8 Z' l0 H8 ~" m5 V
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
) ^- U5 Y: v) d) @5 L. u9 ?
5 \! `7 a$ z8 |( D5 _
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
+ X' L0 J" a% F
1 w' [& B2 a( p% T) K! L; w4 o
•主要用于数据的截取或者特征选择
/ ^4 K+ X- @& f8 `; L) S5 q- \
" ^# }/ V" f5 n
. t- w. J }8 K/ G2 Y$ U
7 p: ]% Q/ e% {+ o! w
（2）关联与因果
3 D8 I% J# H' ]: `8 y
- m1 f, I$ S7 c8 a6 X
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
) \" C; G- a& ]/ f
7 C/ b5 `! p3 T3 }
•②Superman或kendall等级相关分析
% `4 ~2 }, {2 {7 A
8 g7 z8 M# d! s5 ?) u
•③Person相关（样本点的个数比较多）
' d% q! W o6 r9 U! |9 \' r- h
$ o. B1 N; P! f% y
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
! J( E& I/ Y3 W/ A4 z; j7 f
: N5 m$ I, M& y* C, k. ~! n
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
; k7 z! x4 b8 E4 B D# w4 ~; D
$ [3 ~* {. F2 ]0 P) r( D2 n. s" w
/ x7 [2 i- |! p/ q/ g2 h
4 Y0 F! E0 ~1 e7 g g
（3） 分类与判别
, ^% H2 }9 \4 U" K: T
, S" }0 x$ E# w5 r4 ? \. {
•①距离聚类（系统聚类）常用
4 t* |/ E- H8 J$ X- x# d
# N% o" g0 ^% q @9 V2 ?- O& X( H
•②关联性聚类（常用）
) i+ c; [' b/ I F
4 h. V0 G9 T% M" |; Q
•③层次聚类
- @% ~( R0 T3 V0 w+ t0 S2 v3 V @
. r8 q9 s& F8 @+ d4 C5 g
•④密度聚类
4 q; u3 ?' e7 W8 {* U
5 B4 d! W2 ^) ^+ D
•⑤其他聚类
$ k( x" M+ p9 }% j( g! E# ]
5 M1 q4 u1 T* b6 w$ H/ m/ d
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
! e7 y4 S. E; \- e' S1 \5 C& e
2 h+ ^7 _) e1 @7 M x" D1 ^" m2 g
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
1 W& N) T6 d0 W: b' c
/ V2 m! ?: f- L- N) X. }; h* C1 }5 i
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
6 E+ B. Q& `" M" C7 a3 r# k% g7 C! a
& K+ o) {( @9 F, d8 M4 J; c
2 [" i+ i2 r3 n0 }
) e/ ~; r8 t! W2 X
* \! T: A( j% e. v& t/ G3 }7 ]
! A" b6 J+ A- J% U
（4）评价与决策
- E' J3 f% e4 ? ?; @0 O
' J5 e/ ]/ [& W v" j9 D! D
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
/ J! {4 T* b/ O' T) h
2 V' B$ G3 {1 j( j
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
' k( a1 P/ S8 F9 ?' P8 i& r
% ^7 i& c+ d3 c4 Z% ~& p6 W
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
4 n6 p( w0 m" ]6 n: k
# @& z2 d, h9 C% d( o; U$ n0 z% V( S
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
! J- F ^) `) o' Y. Z7 ~* Y
3 p2 O+ `; \8 G- R
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
2 Z6 ?" U+ R3 Y f3 a
; _! A0 J6 i7 M6 Q$ z
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
8 ?2 e- I7 C$ U# [7 e
; q! H" _$ C! b0 I9 s3 [1 D
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
) P" p: v( T; W2 N, L
1 l2 `( ?5 k0 S; e( X! J* p
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
' R+ H& h: k6 M/ o
( A; [# f4 Y+ O5 n
•⑨方差分析、协方差分析等
4 ]2 L3 n" l$ e% _8 Z: l
4 c. @6 a e' e( m M
• 方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
. y5 k+ l+ x; d& l( ^& K! ~" F: S
5 [4 ]' l: z' P
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
6 M+ ^: ]6 e; s
, h# v( I0 J0 ~# o# B* T! Z6 Z* I
9 I/ @& {4 ]9 S6 t# J
9 b# q. t! @+ \8 }6 {3 h
+ e5 o; B3 K- ~# `1 T
* q% c* t- J9 K" S
（5）预测与预报
3 l+ F% {+ H! A% q9 l/ ?* `. N
' Z7 N9 e- j7 u7 L
. N0 q7 v8 m9 P
5 E; T. E3 s% E
•主要有五种：
9 K8 U) i- j" C& u3 N
2 L" q/ c' \5 k9 \5 ]6 |) P" e
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
! k/ e( d0 W! i' s! l, y5 s# m
3 t" x( L0 \" \5 D
•大样本的内部预测-逻辑回归
1 t& N# j( G" X' z
# d6 k; _& V. s# u7 u+ b
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
' {7 f9 Z- r( n. G, Q6 ?
' f5 @3 q1 Q# P4 X9 c! E/ j( `# P
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
8 ?8 x7 L- \6 l7 x
- J5 J; C. M/ b4 D% _- E2 w
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
/ s) u, `' n& l) ? a7 I
5 J. V" I0 I) m: K2 h
/ X8 X$ i% P- d; x
! y/ p$ t2 L8 V1 U0 z; O$ S2 @
•①灰色预测模型（★）
, |% s5 `6 o+ V, C) `
) r& I8 a7 Y5 I2 X" d5 G+ D! ^, h
• 满足两个条件可用：
* r5 M+ g& k/ Z
( R! K( y3 {# u/ [$ d, M3 k
• a数据样本点个数少，6-15个
* a+ R: c4 e) {* e# z% \. A
! T o, M7 p9 M' b* D. w* w
• b数据呈现指数或曲线的形式
; J: T% @+ g3 i
* }# l: h/ d7 l# O- B8 J5 I0 u
•②微分方程预测（备用）
2 n z) o# m# U& A9 o
) A3 f; z# d0 U! |/ Q r: U
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
# I4 \- e! P- E! d( ^
" P) s4 }+ T" V5 H0 ~$ S
$ @- f' \) d. r2 Z% S0 \! c
' J% V* v5 n T: g! r
•③回归分析预测（★）
4 ?0 Z! r' k3 c
: I; x4 E9 o; T1 [; Z
• 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
' e2 ^' v; a9 ]6 r+ C/ i' x5 Q1 r3 H
0 {+ Y, c: M u5 n( m& _
• 样本点的个数有要求：
1 ?2 {* w6 c1 M7 O
: b3 ~7 U5 b+ a
• a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
2 K) a2 W+ @$ C3 t& ?# F0 u
6 c7 C3 f4 l: Z: x% r
• b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
; D2 W7 u+ @5 N5 e
$ `- Q/ m0 X/ @& E+ x! a
• c因变量要符合正态分布
5 h! L- H5 G) h: J- R( H6 D( Y
& ]3 ]1 g" J. ?: J9 j. s- n
1 V, @% t' W& ]- v* y6 V
! G. u. h! ^2 w% K; h5 X$ `2 e
•④马尔科夫预测（备用）
: s" |4 Q7 C* E- y4 H4 j! \! E
# ? K+ O7 M# U2 _/ k3 }0 l
• 一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
( j# |: |1 x2 c2 K& J2 h8 [6 }
. S) p/ h$ t. e* k) N, |0 e
4 c' V9 Y$ e$ T$ D9 g9 D* T
+ h. }& M8 R& q( x3 V4 m
•⑤时间序列预测（★）
, X0 O# D7 o+ D2 Q9 z* s
# W# k! _9 T$ d9 B9 x2 A
• 与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
: n& ^1 u6 G5 v
I- t8 f/ K6 c) G
•⑥小波分析预测
* {. [ L* W% z$ v4 x. O
8 y8 d8 Q: \0 B6 F+ R
•⑦神经网络预测
. J7 c2 V5 ~* P8 `) l
* [; C8 }2 {! A2 J3 v- n7 ]3 i
•⑧混沌序列预测
1 @1 @% o+ D' t7 C) ]$ |1 L
p1 M- u0 f8 n% ^& f& F( X
0 |0 ~! ^+ S0 i% z! d3 y
3 c4 O+ {6 V3 @- {& N
（6）优化与控制
, t) L+ ?2 y9 v+ x) W/ ]
# i& q* G+ n9 _6 s; H2 o+ U+ F: y
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
3 S% G5 B) `- z$ A$ u' Z
- d4 I5 }5 b7 Q g6 Q- e) J4 ^
•②非线性规划与智能优化算法
+ d2 e) ^; p! v( j8 C, b/ t
9 E8 R! c ?& q3 T$ K
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
1 ^7 j# j/ m! q6 k7 N
) n3 R, O% N5 ^# k% e% D
•④动态规划
. t9 T9 ^5 k, }
' N9 l- E, I5 {1 B" a9 S" {. V
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
7 F* u! _* n. X1 O5 j) f
: q1 R- b5 u7 j1 G. t
•⑥排队论与计算机仿真
4 U$ u; D* O; f3 l4 ?" ^
; ]) d$ p9 k+ V9 N% j: e
•⑦模糊规划（范围约束）
4 P" z t* g; j5 d9 b; U
# j* \8 {! d$ p# C# o3 F! g @
•⑧灰色规划（难）
5 l# q3 d% _. p* l
& _9 h* V1 A) t) a( U, W7 I
: ?4 o- m& M- q1 k ~
---------------------
) j3 Y5 O6 u' S
作者：ItsL
: A$ f& V! [: ^
来源：CSDN
5 E6 ]- a6 N6 b' a3 x1 c! O
8 {$ k% s, R5 @1 \+ s- \
; y+ U' {9 b4 E% A! V2 A2 |( h% f9 e
{$ v4 K, V* z0 O& G6 @! y
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