数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
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作者:
杨利霞
时间:
2019-7-28 11:26
标题:
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
, a$ ~1 z6 e% V! A1 s( ]: o' M" X
数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
2 r5 G: X/ J4 K4 U8 k* n7 @
1、建模步骤
8 d" U5 y% X" l, [) x' n
2 R- Y% t- k8 g x
% N3 s( e7 a, G+ X+ Y! f1 h; \* D
4 y5 \5 N+ @. Y
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
; `$ M) _5 b* R; U
9 r& }% G+ M4 M
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
9 L% \/ u0 r6 v- p% y, h
6 ~$ D+ ]& x6 I
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
9 g9 y2 P; d% L! l- u. S
5 ^4 h/ B8 V4 A% w4 U) y
2、数学建模问题
8 R% i$ u$ ?1 n" @1 Y0 K- y) ~
( W5 |0 M& X( f% J. r" c! k. P
1.数据处理 2.关联与分析 3.分类与判别 4.评价与决策 5.预测与预报 6.优化与控制
- P; z' ?( [' [+ h
" y7 Y; Z9 t2 J4 p" P" r
（1）数据处理问题
7 N% ?$ |* z- [; ^
+ Q& h/ [1 y, B- ^+ u& ? `7 T; p
•①插值拟合
8 Z; Q/ u2 j$ q4 e3 D% m
9 H3 }% ~: _! {& i7 Q1 E
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
1 {4 G: b G% i7 [9 X0 ?' m
! X/ _/ h; G! \
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
& w8 [; V) @: a2 k& p9 O
; ?4 |3 B6 E6 s& T5 U/ ^6 ^
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
5 A, C% h) f( ?
* s- E* _9 D& ]* k
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
: r$ `$ j8 ?6 L; L$ h5 H: F
# G0 D( |2 J; h9 ~6 k
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
+ N% \7 K! H% x/ Z( ~( ^+ n
" |2 z8 V) t5 y/ g
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
# M* ]9 L* q; z2 v) ]6 @
: w" ?* j5 ~1 T7 t" @7 |6 F
•主要用于数据的截取或者特征选择
# b" r0 {) {. u7 t( r3 S
6 k4 \/ v8 r3 |% d! k
! r' C; E8 A2 ?, E7 d
1 |, }- r9 J3 D
（2）关联与因果
6 f) S' I' g2 r
2 w4 t' G8 g# Z3 t" t9 `- _
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
: K2 [4 L& n7 B
8 B( z& }# d) J5 o/ P! r3 [
•②Superman或kendall等级相关分析
- ?/ n6 A4 [6 o. c2 O
3 c! I4 `6 f( r( z( [
•③Person相关（样本点的个数比较多）
5 p1 n! {; Z/ c# z2 A. l
* \$ R4 t% B. _8 ~2 P$ R/ J
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
2 E% W5 I- m' N1 [
o. W% T: f" Q/ S, e
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
0 Y, s- y% W$ s% u! I# G
h# C5 a$ n E5 D6 D0 B. \* M
7 `* V; a3 M8 K) ?( h' ]1 o
' [% v- \: e ?# q1 _
（3） 分类与判别
5 S6 A+ d/ U, C' R! \5 D
) h% Y' e; \7 Y3 U5 W0 C
•①距离聚类（系统聚类）常用
/ p9 d+ K* n' m! R# p
/ ?, I' E! ], W. N. x T
•②关联性聚类（常用）
% C8 c4 K2 i w* L$ G
8 }2 `9 E9 P# v) A* L7 |4 r
•③层次聚类
: M6 V- a1 @- Q9 b
0 e+ t% e& f; w& c
•④密度聚类
5 G' R. Z: B y6 D8 Z/ D
$ f+ j* D; n; b( g
•⑤其他聚类
( j4 u0 l' g; `& b4 T. h/ f
$ b* n# g0 m7 g* c1 w$ ^4 ~
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
4 u7 j# A0 m4 r9 e. t
% @* M& a* b7 ~
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
' d1 b% Z+ y5 a! {' Q2 ]
7 J* N: f! h* W- g! a* \
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
! z, Q& ?' ]7 ~1 {. p, r
1 x8 R9 L" p, o7 S, g& n
) S1 I: e- i7 k4 g7 w# @3 Q3 l! w
8 s5 x7 \" E6 y" `4 ~) |0 F; l# g
7 O- a8 a3 e' d; p
3 o+ d4 h* @ \& Z
（4）评价与决策
- R$ R1 q! o2 l1 }4 f# X8 d# w0 r
# o' [% l7 d2 r8 n3 s1 v% d
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
4 ]1 [. m) ]9 _
; Z0 m" S; C3 \5 [/ V
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
' A3 |' i7 G0 }1 O
/ W Q/ \, p4 T) W6 Z
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
. Q' D' z( O! l e/ ^1 d7 Q
% _+ ?/ t9 n; p5 B' y' @
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
# T, z9 H f9 z- L# A
- I; O* O7 H5 z8 ]( \7 A( ^; T
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
k+ v" G7 q4 l9 T# n
: e. i' H) Y4 O, q8 @1 _: G
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
3 `- I% }4 c- A& h: X% ]
/ Y+ {2 r7 f- B$ Z3 a1 q4 R; g! M( h/ w
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
|5 i! m9 r4 v! u* r) W
* x/ x3 k% d( _" A$ _1 b% C
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
. x1 m; |( n7 h8 d9 l
8 w- p, Q& X7 w, R5 y( l
•⑨方差分析、协方差分析等
' `1 D& y2 l& @
! ?5 K# K0 N5 Z0 f4 M8 M# F O
• 方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
2 p) \0 ]: K; v; {6 |# G7 O+ _
# D& u% \3 p$ W6 m) b/ b5 f& M
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
* t: _. ~( I1 o9 i& P" O0 [
: d0 B9 A& W5 A& b9 b, y
% p0 f. K2 n% a0 c
" d# t: f9 l+ H* Q$ n
" }# \. A1 {* H+ E0 P
+ p1 S9 M) i8 I. c* r# e$ P; |$ y8 D
（5）预测与预报
, _- r, _: Y# b2 o
4 Q. j7 P) i) n" Q. N7 l! _" g. r
& j% p, l0 y q. A' Y" n
8 {9 e) O# C m6 E
•主要有五种：
9 F, @: ~/ b( k! s# T
8 Z/ c6 H3 n. o7 k1 d& W' L7 e* v
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
( m, p( [8 g: {: }' R
8 ~0 @: _6 N+ B) V% q% n$ i
•大样本的内部预测-逻辑回归
+ Q! e6 \, v/ d! E. t
8 F' z: x- p/ ]2 b2 Z T
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
6 j; L1 Z0 i0 a/ l3 o
1 K0 B) z2 {; }! N( H
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
9 m4 U2 M7 u9 J$ W( s% a- r7 v/ [
0 b! S7 Q; x! ?4 F
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
+ c0 `0 _6 h2 S# |7 E' L: ]
7 A9 r* ]1 A* Q; R0 h6 r( a# W! R
/ ?- P3 ^/ }0 U" `4 ~
$ X' Z, I* H6 ?2 B* e( \
•①灰色预测模型（★）
) y4 |; O# z& [( e: {: Y y8 C& _
/ u! ~0 x# D7 K- {7 @* m% {6 S! a
• 满足两个条件可用：
A( u, b& N1 T# U/ ?+ W4 u
0 i: W$ \0 \# X/ t
• a数据样本点个数少，6-15个
7 T+ D1 o& X# c( g8 X
L6 n$ l. z" r0 o J6 v# G5 j
• b数据呈现指数或曲线的形式
- a, O" _2 |( s! `# w
) f; V; t5 I& K# H* x
•②微分方程预测（备用）
* ]" Z6 j% x% V# J5 @3 ?9 N. E
6 m4 X" U7 y# l# s
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
) _" N0 T2 S( m
% B4 R( @0 ^0 i( d
+ a$ s B& L$ Q+ y
: L8 N) J$ C0 I: u+ t) P7 ^
•③回归分析预测（★）
# @. Q" @, J( d: t
* Y1 P% R/ M h
• 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
1 P' W/ {6 G+ L* C, M
/ q0 {/ A* P% p" ?( X( Y9 N
• 样本点的个数有要求：
* C0 T4 Q& m/ y+ {' X
U# H/ u/ t& |
• a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
: P, w: q! u. u! t% _
- D D# B2 O. D- u
• b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
3 T. q$ X+ E2 V
, K3 U( J$ w% w- O# n5 T
• c因变量要符合正态分布
2 k' J* o2 M# M" ^' y% E
3 v R3 a) M2 y- G
& E( j# g9 u. p3 _& }
# H& m4 g) _. I$ ` E
•④马尔科夫预测（备用）
( S; M% J5 c( {" j4 r: H
s6 U. I: i/ }: B* y# m: f, N
• 一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
- J6 ^( N3 z, W9 O( Q; J. b- [
# |8 C/ Z( |, P) t
: D+ v4 v, o& z. {, L
- c/ v' q" K+ `" ]
•⑤时间序列预测（★）
" a8 l- I# J3 n @
) f! Z5 ]/ x3 e3 @! {3 d# q' C
• 与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
$ x' f# N# N! ]/ |# N: |! `& K
# u8 x! e! W3 R( K& v
•⑥小波分析预测
$ a+ u4 P' Z- b0 n8 E# s0 E
, V. L/ @$ m4 L7 f, b+ e' v: [
•⑦神经网络预测
' [# I) l7 a& D2 X [ } W' X
5 v' ^6 g6 ? ~9 k( [/ F, L6 }) \
•⑧混沌序列预测
6 k- }& `# ~6 U9 O8 ?1 S
. f: k" e- e5 n5 e
7 L. f! A+ B5 T: o. y5 r* S
) e7 g/ V& y6 l/ _! K, n( ~: A3 S+ i
（6）优化与控制
! i# w" i% ]# n, x& y# x
' e* f* ] Q1 n; h0 {. ^
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
+ q& t& o- x! H) Q4 l+ W/ K
( p7 v& G! l4 K9 Z
•②非线性规划与智能优化算法
8 K9 _+ p* t3 v$ n
( G% Y: @8 D7 _: G3 n
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
6 d/ B+ k& X/ d2 @
$ Z0 y0 G1 e* F; L; Y, r
•④动态规划
6 y$ m1 a& }# n: H5 a1 N
+ w; e1 E0 g- ]3 R4 ?1 [" F
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
3 u; i/ }: N; q% k5 x* e% ^. h8 ?
$ s8 `& q" E7 w' i
•⑥排队论与计算机仿真
. ?" z( w; [8 _" e2 `
r8 _/ p. [) m t9 t$ Q1 l1 a
•⑦模糊规划（范围约束）
( `$ [- u% s% |
/ l9 V* e( }5 V, Q/ {) j9 R
•⑧灰色规划（难）
# y' c/ J' \2 ]4 Q+ i
" {, I% i( ~, a5 f4 b& j
: j+ l" v% D) |& Q0 U/ h
---------------------
1 E. E2 g2 ?7 v& `
作者：ItsL
# H/ m: H* ]( R! \7 d/ t! Y8 J/ ? w; O
来源：CSDN
5 [* J& n) f: d- c6 G/ ?6 z8 B
* m# [) Q" I3 Z& J( @3 U. y
d/ A# ^! i: H: g# X
, C9 Q. z9 v; R- W3 g; \
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