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标题: 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛分析2 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2019-9-23 10:38
标题: 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛分析2
第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛分析2

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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛分析
详述
4.1.1 Lorentz 曲线的拟合研究
L ( p) 表示按收入顺序排序后，分位数为 p 之前的人所有收入占总收入的比
例，则 L ( p ) =
1
ò0x tf (t )dt , p = F (x) 。 L ( p) 称为收入分配的 Lorentz 曲线。
m
下面先推导 Lorentz 曲线 L ( p) 的一些基本性质：
L '( p ) [size=12.0000pt]=
1  d
([size=18.0000pt]ò0x tf (t )dt )
dx
[size=12.0000pt]=
1
xf (x)
dx
=
x
dF (x )
[size=12.0000pt]=
x
，
m dx
dp
m  dp
m
dp
m
L ''( p) [size=12.0000pt]=
1 dx
[size=12.0000pt]=
1
f (x ) dx
[size=12.0000pt]=
1
m dp
m f (x )
m f (x)
dp
/ Y* ]) I+ t- }! m8 V. p5 N" q

$ c! u, S8 T. t1 c
所以得到三条很重要的性质，它建立了分位数 p ，收入 x ，以及分布，密度
函数之间联系：
（1） p = F ( x)
（2） L '( p) =
x
m
（3） L ''( p) =
1
m f (x)
下文会经常用到这些性质。
由（2）（3）易知 L '( p ) 3 0, L ''( p) 3 0 ，所以 Lorentz 曲线是一个定义在[0,1] 上，
递增凸函数，并且 L(0) = 0, L(1) =1. 一旦知道了 Lorentz 曲线，那么通过（1）（2）
（3）可以完全确定密度函数，从而确定整个分布。所以理论上知道了 Lorentz
曲线就知道了所有信息，而且它是一个递增凸函数，在数学上有一些好性质，所
以人们偏向于用 Lorentz 曲线来研究.
4.1.2        10 种模型提出
关于 Lorentz 曲线的研究已经有许多工作了，也有各种各样的曲线用来估计，
下面列举十种参考文献提出的模型：
1、参考文献[1]提出模型： L( p ) = pa eb ( p-1) , a > 0, b > 0
1
2、参考文献[2]提出模型： L ( p ) = [1 - (1 - p)a ] b , a > 0, 0 < b ￡1.
file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps1.png
3、 参考文献[3]提出模型： L( p ) = pA p -1, A > 0
4、参考文献[4]提出模型： L( p ) = p - Apa (1 - p)b
5、参考文献[5]提出模型： L( p ) = pa [1 - (1 - p) b ], a 3 0, 0 < b ￡1.
6、参考文献[6]提出模型： L( p ) = pa [1 - (1 - p) b ]h , a 3 0, 0 < b ￡ 1,h 31.
5
+ B; m+ e. z4 J4 {/ ^5 x

$ `, Z+ x) U$ z$ R# Y! ~
7、参考文献[7]提出模型： L ( p ) = p bb--1p , b >1
file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps2.png
8、参考文献[8]提出模型： L ( p) = el p -1 , l > 0.
file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps3.png
el -1
9、参考文献[9]  提出模型 L( p ) = pa + g [1 - a (1 - p ) b ]g , 0 ￡ a ￡ 1, a 3 0, 0 < b ￡ 1, g 31.
10、参考文献[10]提出模型： L ( p) = t
(1 + w2 p ) p
, w1 [size=12.0000pt]< 1, w2
3 -w1
, t [size=12.0000pt]=
1-w1
1
- w1 p
1
+w2
4.1.3        各种模型的比较
下面来介绍一下我们的工作，我们通过观察散点图，觉得应该至少包含一个
幂次函数，于是猜测 L ( p ) = pa ，当对幂次函数进行最小二乘拟合时发现图像是：
file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps4.png
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
前一部分的点在曲线上方，后一部分的点在曲线下方；所以需要乘上一个函
数进行修正。我们通过观察散点图发现当 p ®1时，曲线的斜率趋向于很大的数。
6
( Q5 Z! A8 L/ T  i0 g

. M% ?4 W$ Y) q
file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps5.png
于是大胆猜测是一条开口向左的抛物线，其方程为：x + (1 - y ) 2  = 1 T y = 1 - file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps6.pngfile:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps7.png1- x
因此猜测 L( p ) = pa (1 - (1 - p) b ) ，当然a , b 的范围待定，先假设非负。下面看a , b
的范围为什么时它是一个凸函数：
L '( p ) = a pa -1 (1 - (1 - p ) b ) + b pa (1 - p) b -1 3 0 显然；
L ''( p ) = a (a - 1) pa - 2 (1- (1- p ) b ) + 2ab p a -1 (1- p ) b -1 + b (1- b) p a (1- p)b -2
= pa - 2 (1- p ) b - 2 [a (a - 1)((1- p ) 2 -b - (1- p ) 2 ) + 2ab p (1- p ) + b (1- b) p2 ]
所以，为了使得 L ''( p) 3 0 ，仅需要求：
a (a - 1)((1 - p) 2 -b - (1 - p) 2 ) + 2ab p(1 - p) + b (1 - b) p2  3 0
取 p = 1 T b (1 - b ) 3 0 T 0 ￡ b ￡1
如果 b = 0 T L( p) = 0 不可以，所以 0 < b ￡1
下面证明当a 3 0, 0 < b ￡1时， L( p ) = pa (1 - (1 - p) b ) 确实为递增凸函数。此时需
要证明：
a (a - 1)((1 - p) 2 -b - (1 - p) 2 ) + 2ab p(1 - p) + b (1 - b) p2  3 0
当 a 31时，因为 (1 - p ) 2 -b - (1 - p) 2  > 0 ，所以上式显然成立；
当 0 ￡ a < 1, 0 < b ￡1时；为证
a (a - 1)((1 - p) 2 -b - (1 - p) 2 ) + 2ab p(1 - p) + b (1 - b) p2  3 0
仅需令 x = 1 - p ，化为一个 x 的一元函数，可以用微分法证明它在[0,1] 上大
于等于 0.（具体过程比较繁琐，此处略去）
我们构造的模型为 L( p ) = pa (1 - (1 - p) b ) a 3 0, 0 < b ￡1（4）
以及 L( p ) = pa (1 - (1 - p) b )g , a 3 1, 0 < b < 1, g > 0. （5）
同样的道理，可以证明 L( p ) = pa (1 - (1 - p) b )g , a 3 1, 0 < b < 1, g > 0. 为递增凸
函数，且满足问题中的（9）。
让我们既欢喜又担忧的是当我们查阅参考文献时，发现此模型（4）已经被
参考文献文献[11]研究过：
7
9 c/ n- b# K3 P3 i5 k8 t. f
0 B* `& I2 J8 Z8 F1 Z6 {! Q
于是我们推广了（4）得到（5），（5）的特殊形式也被研究过，例如文献[12]，
但此文献中要求 g 31，我们模型不需要这个假定，仅需假定 g > 0 ，但我们要求
a 31，但在实际问题中，这个要求并不十分过分，因为考虑Lorentz曲线时，如果用单幂函数拟合，那么 L ( p ) = pa 必须要求a 31。
我们通过（5），可以相当精确地拟合所给的数据点，
file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps8.png
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
L( p ) = p1.391 (1 - (1 - p) 0.5186 )0.4786
MSE = 3.1867e-006；MAE = 0.0015；MAS = 0.0036
由此可见，用函数族（5）拟合 Lorentz  曲线是相当精确的，最大绝对误差
在千分之三，平均绝对误差为千分之一点五。

/ x# V; e5 k# J# r
# ^! c: |% n5 _& @+ Z

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