数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之回归分析
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作者:
杨利霞
时间:
2020-3-13 15:12
标题:
数学建模之回归分析
- X6 T: N* z, U5 t# V* W- O
" M( \; B5 h9 g
数学建模之回归分析
* p% A. D& x: K# w$ `1 Q
& o" }" z* o, F% K) V! z, F( p
应用场景
/ y& ^# V5 o4 s0 e4 v; [: V: D
1. 建立回归模型
4 q$ b0 ~; i" s+ D! U* e* ^, z& f! |7 N
1.1 筛选变量
2 W' j3 Q# S2 [* I7 I
1.1.1 确定样本空间
: h1 W% ~3 `; s
1.1.2 对数据进行标准化处理
; m/ Z4 f! q3 G
1.1.3 变量筛选
1 Z* u' l- g: X! S/ m: P0 L
1.1.4 调整复判定系数
0 `$ W w6 y/ j
1.2 最小二乘估计
' ~9 b8 \! c, ^! @" E! W5 ]
2. 回归模型假设检验
8 |5 g. N. M4 S
3. 回归参数假设检验和区间估计
8 v/ S! o( W0 C/ [ @
4. 拟合效果分析
& e4 ?, P& @. e5 n1 b6 D
4.1 残差的样本方差(MSE)
2 O( ~3 z0 v/ N7 d! h. R
4.2 判定系数（拟合优度）
, {, A+ |* r( m9 s& K
5. 利用回归模型进行预测
. M6 ]' H6 X# {
其他
1 z' }( A" q6 _# `9 K k9 s1 k
偏相关系数（净相关系数）
3 Y* D4 Y, o* c+ h( e. R. n& T
复共线性和有偏估计方法
v$ a! [ g3 y) u, Y
小结
7 C' q1 g. v8 G! z( X
应用场景
7 Y5 l- @6 j* Q) o4 t. ^8 g
) R3 ]$ P$ i- E# k/ O5 m
简单地说，回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
" X+ s( v2 p& e' C6 N( \- M
P.S. 曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定，要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
) E7 {: x! z, n
! G1 y# b& f! `- e5 ]: v
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究以下问题：
' E+ w. f( W) {
2020-3-13 15:12 上传
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/ h2 F$ b- u& u- f7 h
1. 建立回归模型
. I! R I( W/ ]8 J, }
1 [& q( n/ ]8 R0 p e8 a
1.1 筛选变量
* d$ P j3 _% V( F7 U
+ n- S6 W3 o: \; _5 T' f ?
1.1.1 确定样本空间
( d) N) J! K5 I8 M. k) f+ _
2020-3-13 15:11 上传
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; ~- h% c7 K$ t" w
* ?* K" S# G) J, ^; Q* O3 l. k
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
( @8 } O: c6 r6 ]% O8 |9 x9 }$ J
) `5 E8 k6 L, j
1.1.2 对数据进行标准化处理
5 g& M1 |4 i6 B
! u+ M. ~ p" L" D
（1）数据的中心化处理
+ E7 O) h8 l! L/ W
实际上就是平移变化，
u$ i v& C8 j/ D! ?
5 ?& }8 u$ t' K$ I
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0 m. y! S: R$ Q# o
这种处理，可以是样本的均值为0 00，同时它既不改变样本点的相互位置，也不改变变量间的相关性，但变换后，有许多技术上的便利。
, i6 }5 p+ [& a+ x4 m
（2）数据的无量纲化处理
# P3 v. t/ d7 R- `: S( O' N! G
在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不同的。
' `+ d% T: j4 `# a/ ]* v2 T$ r7 C# Z
为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常用的消量纲的方法，是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
( ], l6 R# a+ |# Y4 E4 r4 \' g
即，
( y1 B8 x0 |5 A
( Z( B3 @7 e+ s$ b/ t0 v, _
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& R# Z% S$ K$ m" g9 o& W; M
当然，也有其他消量纲的方法，此处不一一列举。
$ w- r5 I( z3 M" z C; l: B
（3）数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
- A _/ _) ~2 J% Q- p% I
即，
! m' q8 x+ U* t# M9 R6 A) V' Q
/ d' s$ B7 f* {' q9 J7 I8 |
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5 s. t; Y* W4 H
1.1.3 变量筛选
! [- i V D" T, g) s& u
5 h0 L- R: o9 Q
——选择哪些变量作为因变量的解释变量：
, i1 j0 F- D* P; w: F1 l
, ^4 e& e! ], Z
一方面，希望尽可能不遗漏重要的解释变量
5 u# P$ F1 ~8 w$ Q$ M$ S; m A" G
一方面，遵循参数节省原则(自变量数目过大时，模型计算复杂，且往往会扩大估计方差，降低模型精度)，使自变量的个数尽可能少
/ v" X$ T p1 e& B
（1）穷举法
, {9 v! A* A$ s+ T- z( E
列举出所有可能的潜在变量，再根据自变量的不同组合，选取合适的模型。
9 I3 F5 ~& E. w# ~2 }
假设有m mm个潜在变量，则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
6 e+ d* D# u. @" A! Y$ b R
m
" ^- m( w$ Y& R+ b" p3 s
4 |& ^# o6 L: g3 l
——当m mm较大时不现实
8 G1 L% X: X8 |; |0 d' P+ _
9 I: O0 S) C9 @! _* c& E
（2）向前选择变量法
+ @; C2 F8 L: j ]; E( R5 c7 q1 V O" ?
2020-3-13 15:02 上传
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) d6 m9 c) P: \2 \+ C9 o* v& u
8 q6 K/ C$ [) l: I
' ^ G/ Q; g4 Q' G" E
& E) V+ g1 b- m' F* \0 `; m( e6 `
2020-3-13 15:02 上传
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/ ]. B! s$ j: L1 c7 @% O# W
9 Y5 U' l9 D0 a4 ^8 V
（3）向后删除变量法
7 w9 n5 o S( b" v8 G
2020-3-13 15:00 上传
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6 H4 ~, m5 D5 l* }
（4）逐步回归法——最常用
" r" M- k- r4 |0 `
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2 i$ U8 f7 ^1 s, g' ` }8 Z* I8 M
1 d: u( i7 `7 P8 U& \; D
1.1.4 调整复判定系数
1 k! A- N" L* G
2020-3-13 14:59 上传
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k( d/ y0 [6 j0 m
1.2 最小二乘估计
9 ^& {! _! H9 _* I1 {. G
. \9 e3 b& n0 P' r4 |! f
一元线性回归、多元线性回归——略。
3 l; Z" ?8 N/ D9 k. N
" t# n& E' K8 G- X- v$ C/ z
2. 回归模型假设检验
c7 K6 k& E+ q4 c
: @( l" J5 O, p7 D
——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示（F FF检验）
. p% j2 o4 ~0 T& P M
( z) e K) ^2 U+ |1 i b
具体检验方法见书，此处不再赘述。
2 a; O; }0 M: o0 C% Q' Z
& O5 B1 J6 Q6 ?- }; b
3. 回归参数假设检验和区间估计
" v) i# F3 G: h$ y
9 X- K& j, ?. f j
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著（t tt 检验）
# A" I8 \1 v! D$ B, Y2 S
$ L" Y6 p+ y! P3 g
具体检验方法见书，此处不再赘述。
) N5 B* `) P# e* W
3 E% |2 j" d1 f3 X
4. 拟合效果分析
" d9 Z1 ^7 S9 l5 r
( T! B; G' k2 ~* s/ s
4.1 残差的样本方差(MSE)
9 r) f7 ^% ~+ E; {3 l' h
2020-3-13 14:58 上传
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2 W+ p* Z5 I7 n8 ?
) E$ B9 i* Z0 y0 _* O* b! i6 F
4.2 判定系数（拟合优度）
5 ^. c/ Q! v: L
& \: B+ D: H, u7 k! Z5 ~0 A% M
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/ }( c( p) [' O \8 i
; f N' v+ z3 X! k. N% n2 ^5 b
5. 利用回归模型进行预测
$ F [. y, `2 P' e6 S
- V+ f& E6 l- h3 t0 W( w
! Z( Z5 l! u- x6 A& v
. A* ]. d1 G, v) E/ q/ U
其他
4 d, V. M6 O! `, b. v# K( c# e9 }
3 ?& H; J" c9 X) \. J4 ]8 B
偏相关系数（净相关系数）
% X1 G# T0 p6 R* e' M4 ?4 Z
/ \6 m, g: X# o+ S+ v- T8 [
在研究两个变量之间的线性相关程度时，可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时，单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用，忽略了其他变量对这两个变量的影响。
6 O, @( g4 v/ x- K
3 \# ]5 G: L8 g+ h' g! N" r, P
复共线性和有偏估计方法
) T! ]( o/ P* h1 H( @6 t' g3 ^
2 p6 x" j; x6 ^- Y: {- r
在一些大型线性回归问题中，最小二乘估计不总令人满意，比如系数正负号与实际意义不符，这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
6 |& y* G6 C2 t `. ?( _! j8 c
) q* R) i# _( D8 K. Z
解决方法——牺牲无偏性，改用合适的有偏估计方法，以改善估计的稳定性
1 t8 t) l' g4 o' b4 Z9 Q5 a2 E
例如，岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差，增强估计的稳定性。
3 D9 R4 ]$ s6 w0 `4 r' @
（P.S. 均方误差Mean Squared Errors：一个好的估计应该具有较小的均方误差）
F5 N7 c9 O" b7 ]7 F' k9 W# t1 u: [
7 Y# Z6 H' D: a1 n
再如，主成分估计——可以去掉一些复共线性
9 R: L2 U" U+ {' S0 ]
. e( x3 U- @5 A" G* x
小结
" M% Z( N# C$ j: s* P9 m P/ P
7 F; z. C3 @3 E1 y% m1 L6 ?5 L
采用回归模型进行建模的可取步骤如下：
4 B; c# q9 m- R: |5 W. [" V( G2 B
& h- I% q5 V- G: @9 J
建立回归模型
/ ^: b; `5 X8 p! k, E. }
确立样本空间，对数据进行标准化处理，采用逐步回归法筛选自变量
# V3 A. o1 `' H7 g5 A! d
原文链接：https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
5 o% n3 r7 A+ M4 V8 [* _- H0 b" X* m
1 f& i' x* I* e# t. j4 {0 G* y2 X
6 {$ s$ W B# G; k
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