数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之回归分析
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作者:
杨利霞
时间:
2020-3-13 15:12
标题:
数学建模之回归分析
+ P6 X8 f6 T; o! [4 @6 @4 [! T9 _" F
7 j% f6 _" P8 v/ D
数学建模之回归分析
' @! m# ?, x3 P
* Y* t6 T$ m% V5 L* ?4 I9 l0 v
应用场景
! T( X" q! B( b5 _4 f+ K
1. 建立回归模型
/ g& d6 c% }. A2 j+ w) e1 b
1.1 筛选变量
* }3 d9 m9 @1 S. i, K
1.1.1 确定样本空间
4 Q. s, I6 w+ j
1.1.2 对数据进行标准化处理
; V) @$ K, s# ^4 R5 `. P T
1.1.3 变量筛选
7 f" W7 Z' F6 K3 S1 I7 D
1.1.4 调整复判定系数
) Y4 _, ]; I% R+ ~8 o" o/ v) A
1.2 最小二乘估计
7 W" w9 y! }( Z+ K- h p
2. 回归模型假设检验
' F- u- M- x, N. Y, I. Y
3. 回归参数假设检验和区间估计
- @+ i" O ^2 \9 ~7 X
4. 拟合效果分析
3 K& O- ]$ P I6 M7 v* e2 X9 f
4.1 残差的样本方差(MSE)
6 j9 C( ~ W5 Z2 A7 Q
4.2 判定系数（拟合优度）
. G5 N4 U' ?) @/ ~
5. 利用回归模型进行预测
9 p, |0 L: v) w# _/ o% p$ }
其他
0 Y1 i4 Z5 c* n
偏相关系数（净相关系数）
; k8 n5 Q2 p+ S' `: e' d; ~
复共线性和有偏估计方法
* O) [/ U0 a4 |, F8 E1 V
小结
& P" K+ T& d" V8 O' |1 M
应用场景
2 @8 w+ u- M6 [5 S0 z; X5 n
% C, `" l2 [% ]' M6 ^* n
简单地说，回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
3 m Q1 ]% Z4 T; q
P.S. 曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定，要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
# J" ?; a! b9 @
4 f2 ^4 s; x6 l
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究以下问题：
1 i" `- ]# t8 U0 J
2020-3-13 15:12 上传
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% w/ q. Y8 x+ H* Z
1. 建立回归模型
$ ]5 r' n0 x% T4 X. a D1 b
7 F0 n" B7 ]) H) ^/ S9 j4 j
1.1 筛选变量
( m/ _6 [6 o' t4 U
; I- k0 Y, g2 n) P" w& n4 s( J
1.1.1 确定样本空间
[8 K# `: `7 C
2020-3-13 15:11 上传
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2 W u/ ~0 G1 L/ R; d, w X
& i. S# G8 _( Y1 M4 D+ M
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
' d( S6 y' s7 }1 q! z) _9 H+ ~1 l
3 n- J' J6 i& c/ J% J5 X* \+ u
1.1.2 对数据进行标准化处理
3 f6 [# k0 J( }
6 N- I/ s9 c4 t9 r
（1）数据的中心化处理
' W2 b9 c0 m3 e- m- k
实际上就是平移变化，
7 l1 I+ v: A' B* u
6 }0 d. n9 q9 e c
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3 s4 T- C+ S& f& K6 v. b, i
这种处理，可以是样本的均值为0 00，同时它既不改变样本点的相互位置，也不改变变量间的相关性，但变换后，有许多技术上的便利。
, v% J) N3 G0 `$ B7 k
（2）数据的无量纲化处理
: F* k5 |; M& b/ e
在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不同的。
; t# U" q; n" h$ t8 ` V
为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常用的消量纲的方法，是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
$ E, a5 P$ y5 k' F3 D; q
即，
4 b( ^: O$ A( M& N* V0 x
( w# n L1 ?5 C7 J
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* b/ v0 g3 w" U& b* b
当然，也有其他消量纲的方法，此处不一一列举。
% d; P7 g7 W' F" T0 _: r8 c+ l
（3）数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
5 E( `7 {% K4 g" H2 z' p
即，
0 `7 y5 o9 U! U% K" ?
6 c! q* l* _: L3 d t! K6 M% A
2020-3-13 15:05 上传
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) y# ^, K5 O; A6 j% i" S( q& M- g
1.1.3 变量筛选
' ~- Q. }. l! s( X
) A9 s% t) l+ f5 |1 ]3 v
——选择哪些变量作为因变量的解释变量：
3 ~4 T3 |* u" Z, `, I1 g, N
" k. C( G+ w) K4 x3 |
一方面，希望尽可能不遗漏重要的解释变量
1 C0 d) ]& d- g" @! N( T% R
一方面，遵循参数节省原则(自变量数目过大时，模型计算复杂，且往往会扩大估计方差，降低模型精度)，使自变量的个数尽可能少
& l* V/ y" F5 r4 e! b+ r! c& x
（1）穷举法
# {% @( Y* U8 B7 u2 u1 |
列举出所有可能的潜在变量，再根据自变量的不同组合，选取合适的模型。
# h- K2 q; l8 @ a k% O
假设有m mm个潜在变量，则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
+ [: R, ?. @( y! W- `7 S, o. N# ?
m
* E2 S; f# G* @4 l1 e k
, W+ d) `' F+ k2 `
——当m mm较大时不现实
" v6 k3 Q7 S, ]# v% i$ N% M, s
- h$ J$ q( j$ S$ j$ K
（2）向前选择变量法
7 T( C) `; O: s7 G* b6 t3 h5 D
2020-3-13 15:02 上传
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, }6 `0 t7 [& O7 z& ~
5 p1 J/ x' C, e( t
( \3 k) h8 P$ O9 {/ m
' g ?0 _3 S6 ~, t/ W
2020-3-13 15:02 上传
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0 `" b' r8 k1 @) W: F. Q" `
2 D, z/ f* k8 r& l* z# O, }3 A& J
（3）向后删除变量法
" h6 ] @4 j3 G
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4 t( C; {6 m7 E' O
（4）逐步回归法——最常用
`) G- `/ S+ W# f3 k4 a2 B
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/ P) C9 @9 }2 d# `4 F Q+ Z
3 @: t1 a$ d0 U
1.1.4 调整复判定系数
# z2 l5 ~. ~- v8 E
2020-3-13 14:59 上传
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( v; q, `. u6 w" Q
1.2 最小二乘估计
9 k3 C- r% u: W, ?+ |0 i* P
7 U1 f T0 v) p% r) O3 }5 w: i
一元线性回归、多元线性回归——略。
; D# B- }) e' S, N1 D q7 s" p
- V) k" J1 u! q9 |1 p; H0 U+ k) K
2. 回归模型假设检验
9 `5 B# s0 z! I6 E/ Z# ]
, C' _: O8 |' E1 g: b8 h' O0 K( O& C9 Q
——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示（F FF检验）
- ?) G9 o/ g0 I. h' I0 z+ B
8 K1 I5 [& [3 z1 i _& o& z0 y
具体检验方法见书，此处不再赘述。
6 `6 [8 ]/ s6 J
( ]1 s9 G/ y- u9 k( Y$ n" _( A) a
3. 回归参数假设检验和区间估计
. Z0 @9 P9 Y* _6 n- X
1 p" O$ D9 h' ?) U, I
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著（t tt 检验）
1 t0 R# ~% H' v
% J* W& f2 m) X
具体检验方法见书，此处不再赘述。
. O8 h' l. {9 l A+ z$ h
% O9 J9 n4 T* a5 B" K
4. 拟合效果分析
4 N4 t5 G" |; n w" r
" Y6 o$ N: N: W( Q1 o' y; C( b# p
4.1 残差的样本方差(MSE)
, t6 z" J- l2 _$ p: f
2020-3-13 14:58 上传
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; \( w! h2 o2 _" K: i$ L
/ W' j, T- [4 d+ e- u; J
4.2 判定系数（拟合优度）
% T; Y- s: l- V. U
6 u# k+ m, ?% F$ s, p9 `0 K
2020-3-13 14:57 上传
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2 s. Y; ~0 p% x2 W4 v7 h
- w9 ^6 M9 ?: \- `; L2 E
5. 利用回归模型进行预测
1 ?+ a; Y2 w4 m' T, i% a) H8 V
7 J, W# B0 j: X
" v; d& \3 s4 I
$ l' I3 C$ V$ s* v* H' e
其他
2 b7 a1 k3 C' l' Y7 @$ L
1 I0 l4 c& x: T A1 P# n
偏相关系数（净相关系数）
4 J( g0 S6 J5 F
; `! m, S- o5 @' |0 y' x
在研究两个变量之间的线性相关程度时，可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时，单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用，忽略了其他变量对这两个变量的影响。
/ p- G7 U) K0 l9 g
5 d8 w' V" q* w# w& p, i* D
复共线性和有偏估计方法
8 I2 a( x) B" M
# {7 A- k+ Q' N3 q8 c* c+ Z+ A
在一些大型线性回归问题中，最小二乘估计不总令人满意，比如系数正负号与实际意义不符，这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
% R" K7 p& T+ Q o
; @) g) W" O# f
解决方法——牺牲无偏性，改用合适的有偏估计方法，以改善估计的稳定性
' O; P' d2 ]2 f
例如，岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差，增强估计的稳定性。
) g8 Y7 e8 `' G$ y D. O
（P.S. 均方误差Mean Squared Errors：一个好的估计应该具有较小的均方误差）
; h9 X4 f3 A% h8 W1 l
5 F$ s8 ~! @ D, e9 O3 G
再如，主成分估计——可以去掉一些复共线性
0 j. L3 s0 o u% E5 |* x( b5 l0 W+ {- |4 @
( ~. v, P2 Z- _
小结
1 b, e% v& _7 N! ~& P* b( Y# @ }
# A5 z2 H( e, R7 p F
采用回归模型进行建模的可取步骤如下：
1 G5 R W1 i' Q5 T
. x/ ?" W. \ M
建立回归模型
# x5 W0 E) j9 v
确立样本空间，对数据进行标准化处理，采用逐步回归法筛选自变量
/ c0 H% ^5 R! x4 d# [( q
原文链接：https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
' e' v7 c5 T/ y) [% v9 j/ }
1 A) ~/ z. @, m3 P
: i1 a6 @- `! m) f0 N
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7 J, W# B0 j: X