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标题: 数学建模之回归分析 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2020-3-13 15:12
标题: 数学建模之回归分析
' D: Z: P( g6 K7 P

2 |' S9 Y# b& x5 v8 c
数学建模之回归分析
$ ]+ O( U& q8 g0 C& j6 [
9 P( f$ t& q+ m# X" ?( n
应用场景2 V+ R. \- n; ~9 _" U
1. 建立回归模型
8 ~( a3 O3 z. ]3 ?0 z' T1.1 筛选变量
; |& |' z! w4 ^* ?% q! \+ ]1.1.1 确定样本空间/ y" P) Z! M- A) N1 o
1.1.2 对数据进行标准化处理+ T9 \# W5 v; X) s) |# m3 D  m  I
1.1.3 变量筛选, Z  G7 R4 H( x, _$ ^# k
1.1.4 调整复判定系数
$ X) j& L. _( Q$ w1.2 最小二乘估计% j7 F! \  l$ K, U" F- O  I
2. 回归模型假设检验
3 ?% Z) x) f  F+ ~2 L: N. ]$ ^3. 回归参数假设检验和区间估计
( G& Q3 e# ~4 P* C$ w0 U4. 拟合效果分析; O" M, c1 Y" N" e
4.1 残差的样本方差(MSE)
9 ]) n7 O& n+ v+ N$ Y4.2 判定系数（拟合优度）% w! i+ R; C- b) C" w, o
5. 利用回归模型进行预测- X; k& ~  S8 ~5 o8 d) s
其他
2 j+ H7 U) q8 E! n% M偏相关系数（净相关系数）
: v) c- W, ^- V& r复共线性和有偏估计方法% x$ [! Q) U# {4 `! B
小结
4 z$ \* h) b& m* k应用场景6 v, O5 ^7 e! n% e0 I
/ f: A, o; M* O* L1 y( o- S. p* N" a
简单地说，回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。0 p/ X, H- V1 Q) X! ^" c3 d+ ^
P.S. 曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定，要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
2 U( r, S& i, e/ p! `" R( x2 }$ ~0 x' T# D( z
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究以下问题：3 g) u1 q6 U- ?( R6 l
12.png % O* H* G$ I( ?1 G
1. 建立回归模型  }# T5 W" _* O  C$ p7 H! m

& K1 C7 _0 _' f0 e1.1 筛选变量
; ^% ^( k! U8 P! W) s5 M3 |# z1 _( B; w+ B# c1 K
1.1.1 确定样本空间; j8 P% y1 d' C5 _, t
11.png $ e# E: G4 L5 r1 o& x5 B. }: a
, t* k8 o. G2 l- `! b. t1 R
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。8 b2 C. \# `0 V* v# d* B2 s

2 M! N! R3 V$ a$ n" G3 C7 }1.1.2 对数据进行标准化处理
- ]+ K0 L: e6 U( }9 r  x  _" O% |. k& G* n  B. C; J  H) S7 d
（1）数据的中心化处理
' O  k  h7 [6 O实际上就是平移变化，
2 T( G+ t, C3 s# H# k: C5 g* |+ i  h/ j# h( ?
10.png
2 k+ `: y, k! G; J, S( t: Y这种处理，可以是样本的均值为0 00，同时它既不改变样本点的相互位置，也不改变变量间的相关性，但变换后，有许多技术上的便利。
5 T- W, ~* a! e* Y3 q( T( c5 U（2）数据的无量纲化处理
$ ^6 b% o* r/ L( u# h6 J5 ^, J在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不同的。
% i" k$ V7 i$ G为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常用的消量纲的方法，是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1/ U: f" T. Z+ V2 h6 H6 ?7 \
即，& M: @2 \& C2 v& y
5 X* f; o% j+ s: G. E; s8 d1 d+ ~. L4 F& G
9.png
% `9 D) S/ r. Y8 r1 I当然，也有其他消量纲的方法，此处不一一列举。- {3 E1 J( Q. \. Z
（3）数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
% A" E6 W  v+ j/ T( O; I即，2 p: u7 E$ S/ o# g2 [# f& }3 ^
( T& `  U2 z% j8 T4 g) P, O
8.png
! r2 K" B0 B7 x% h# p1.1.3 变量筛选2 @9 K9 j/ E8 w+ b3 [

) ?6 Q9 N2 Y2 |) I——选择哪些变量作为因变量的解释变量：
( b# \- U( X; l2 d3 C
4 Z2 ~6 Q- D/ \. t& a# u! J: ~一方面，希望尽可能不遗漏重要的解释变量' k. }$ `  C5 b( f5 K
一方面，遵循参数节省原则(自变量数目过大时，模型计算复杂，且往往会扩大估计方差，降低模型精度)，使自变量的个数尽可能少& V& L" m* ]! O  d5 Z  d; e3 m. N
（1）穷举法
8 ~) X& j' }# Z# d列举出所有可能的潜在变量，再根据自变量的不同组合，选取合适的模型。
  |, ~6 S  G, ~8 W) c假设有m mm个潜在变量，则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
& t7 C0 c) k4 D) Y6 Y1 cm
& g6 j, b5 g$ d' U! k. o​        6 T9 n. \( |, S4 U9 _: E3 K" U
——当m mm较大时不现实- j' E! N9 F% m/ R, h
+ Q1 n% Y: r$ H
（2）向前选择变量法9 Z6 H7 M  y! g/ n( l+ n9 x7 ?& ~
6.png 4 W9 `7 f& U& Q5 z, v0 ?2 E

: r; q1 A; b- s) N
9 X+ ?# b. ?2 q+ u& f
7 b9 n9 C; b+ H  G# i9 N 7.png " l3 n. d5 w! N, I

  u9 l8 J# v" M, J$ u* b（3）向后删除变量法; S" S) S4 x$ `% p
4.png
5 y5 l, T5 s/ U（4）逐步回归法——最常用1 @$ g( Y5 z; `7 z1 t  \
5.png
$ \/ c+ u0 q  J( Y. [
2 c" b- P! p& Z/ S/ i1.1.4 调整复判定系数/ ^8 E" v" G- h( F8 G: u4 M1 Z
3.png
' l  B' F, H( R7 \3 d1.2 最小二乘估计' W; `& R. B- m% d7 I9 D. a
2 e) i. a% Z! \, r5 h* B8 m! c
一元线性回归、多元线性回归——略。6 F6 s4 R- P' w% C
1 [2 _! c" w% g8 m! ^2 T3 _
2. 回归模型假设检验$ _2 }3 h1 X8 T' G/ A

: \4 P' L! I4 g$ r7 M) f3 x  @——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示（F FF检验）
! x- d9 y' f1 O/ h: @3 M1 q/ t( R) y8 |, o- U* a
具体检验方法见书，此处不再赘述。
5 ?% q% m0 G2 r7 ~( l
: l5 y5 r% c2 z8 D4 j8 f3. 回归参数假设检验和区间估计
  }9 p- o+ u7 X+ }3 R: Z0 i) m1 d9 e, S+ R2 {
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著（t tt 检验）
& t, m. N0 o8 o9 Z
# m0 d) r5 n0 ^6 T( {% t- l# X具体检验方法见书，此处不再赘述。
- ^) A" {* g$ a2 X& h- D: T5 H- Z' @1 B$ V- w- L) _9 [' |1 K
4. 拟合效果分析# Y8 y6 B6 Z) v3 i. b

- X5 A0 D3 p! B" N% W4.1 残差的样本方差(MSE)3 `* V" l3 H& j
2.png 8 X2 c+ {6 ?* b9 e# R
; R5 V: `; m% F8 S# c
4.2 判定系数（拟合优度）
! O% ^' U$ l3 o9 o2 q* H+ v
1 t# C$ R. U$ i8 E! ]- Y 360截图165011039490135.png ' U. C9 E9 G+ h6 @* H/ V
) H6 V2 s7 v3 Q' u9 |
5. 利用回归模型进行预测: K% k0 M- A1 K/ k" c  D7 G4 r

& y+ u/ T! W3 G( j4 o
% J) L" F2 M8 X3 H# c! a/ w4 f
其他
; s! k* u3 e' H9 h9 A; Q9 T. j$ P# j
偏相关系数（净相关系数）2 N& s0 j6 H0 C8 P

5 P& p5 }. L0 E! ~) I在研究两个变量之间的线性相关程度时，可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时，单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用，忽略了其他变量对这两个变量的影响。5 u5 X( n; |1 h
& w7 {, A9 T  X- d! t
复共线性和有偏估计方法
# Q" a( _) f, |- H1 ~/ `
  J* W2 R: }0 _" H/ c在一些大型线性回归问题中，最小二乘估计不总令人满意，比如系数正负号与实际意义不符，这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
3 ^- R% N/ d# L, Z0 U* f) o3 s/ K) z$ f( e) S8 D4 c7 P5 q
解决方法——牺牲无偏性，改用合适的有偏估计方法，以改善估计的稳定性1 W) a: u9 O/ w8 Q6 T& h' B
例如，岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差，增强估计的稳定性。- b3 |/ |& o9 x- n4 j
（P.S. 均方误差Mean Squared Errors：一个好的估计应该具有较小的均方误差）3 b* M$ {  V/ }: O4 N
. d$ [4 `3 u: R) U9 w# O* w6 U# U
再如，主成分估计——可以去掉一些复共线性$ S5 V; u% m3 p% W! {9 H9 O
& ?. X7 c6 C9 b$ D1 S
小结$ G4 c6 g; T% ^) c) `
& h: H& b5 |4 Q3 V1 j
采用回归模型进行建模的可取步骤如下：& o0 m0 T% g# C+ R
) Q7 z7 G/ E/ H
建立回归模型5 E/ F0 ?" Q: I, N' E* k2 c' T  {
确立样本空间，对数据进行标准化处理，采用逐步回归法筛选自变量
# g, k# Y- e1 j原文链接：https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/997624516 ]# d! p5 k& b

; Z  ?! l2 Y: z7 i7 [0 C( F5 s! h1 C




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