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标题: 数学建模之回归分析 [打印本页]

作者: 杨利霞    时间: 2020-3-13 15:12
标题: 数学建模之回归分析
1 y7 e8 J3 \, _% Q

- e4 b6 c: P9 @( f. Z
数学建模之回归分析
& d% _$ I# v7 {& M
6 F' ?" _" x+ n$ q
应用场景- w3 S0 G& V6 k, N( r& Q' U
1. 建立回归模型1 F% e) T- y  e! m5 f! a3 }% ]
1.1 筛选变量
- m1 `2 s! _$ J3 M. X) \1.1.1 确定样本空间
9 n* U( \0 A1 e) `1.1.2 对数据进行标准化处理6 Y$ G- G, k' C* g: a
1.1.3 变量筛选+ U* R' e# e! I% c
1.1.4 调整复判定系数$ s0 p  H* M# _
1.2 最小二乘估计
0 ]- D! b' I/ L# e& |2. 回归模型假设检验
, n6 P5 V) N+ P0 \5 X3. 回归参数假设检验和区间估计+ U6 \: c+ I5 l# C
4. 拟合效果分析
: H/ ~2 _5 O& a4.1 残差的样本方差(MSE)
) H( ]9 W. |; P$ t; F& ~" `6 y9 d4.2 判定系数(拟合优度)  B' }; c9 p$ d
5. 利用回归模型进行预测
( ?. ], P6 I  D1 m  U其他
; A, P* w: f8 n2 X; a, X- Z" W4 c偏相关系数(净相关系数)
( Z; @# H1 n# w' N; Z复共线性和有偏估计方法) E! _  G, `% X" S9 ?
小结
/ _, S6 y7 }- H" R, f% Q( |, {应用场景( Q0 g' u2 I/ ]4 D5 l2 U8 R1 k
6 ?8 n; M$ l7 _% u
简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。0 B* `, a3 W% L& U- w: I4 Y: [8 |
P.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。4 T7 I7 ?2 E$ P( y$ q) H
0 Q3 b4 U1 O7 ~5 O  u
具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:5 V7 S4 ?3 G' j1 I2 T# T
12.png 3 h9 U8 y+ M! |) H5 z% k
1. 建立回归模型- \- m1 ~* R5 s/ n
+ B( n1 a& X( D  N
1.1 筛选变量
/ U( L0 M# q- K$ s0 P3 }
, ^) o( s) H( f9 O! ]1.1.1 确定样本空间
+ D$ G( {' ^. B# k 11.png : O: v/ N. r9 D7 [
! y  w2 }; X2 K6 E! P. }) P
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
) ?3 \  A' s* e; b" x4 }5 F4 }
/ j6 Z6 k. D" x1.1.2 对数据进行标准化处理* N$ S8 N, B% h8 Y; i

8 X: P+ Y# Z% E4 y' k(1)数据的中心化处理% {0 F5 b0 Q. r" e
实际上就是平移变化,
: p+ ]# q! U" `3 K+ P8 i: `2 }+ \( z+ o5 ^8 p' @
10.png
2 X8 j; \4 R+ a0 L' N这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。
) [% ?9 f5 \1 K- V' E; h1 Z! M(2)数据的无量纲化处理
4 n! b+ |. _5 ?7 J在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。
: e3 f0 A" J2 T5 y' Z4 u6 i为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
& `1 j! f: K% R6 y即,
2 E3 T" M* [) L( Z1 E; u4 T% `, u0 k( M+ O1 k8 ^) t
9.png 2 v( I/ ]1 Y7 [, m: G0 r3 l
当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。
9 j. B, e% {8 N  d# x8 |(3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
, E4 W" ^4 r# d& B" u即,
" O' h; {! n. E# f# w+ O0 w# a% b$ e2 d2 G
8.png , m3 w$ T+ B& a3 M! z% Y
1.1.3 变量筛选+ P+ f' w8 t0 S, r7 y
4 t, ~9 y* w6 O1 P% I
——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
! w. f, n* x: x6 g, f. E
  g# F8 p6 V7 @5 r一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量8 X2 Q) Z& n4 g, V, b( h* f2 ?& w
一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少
3 S) u- v( ~5 D2 i" z$ D' r(1)穷举法! X: Q) b& Q& @* a
列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。- x( w8 Y  b9 Z: J# S* G
假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2 % v! |) y- M- J' D" L% t1 A% u
m2 j. b5 ]: k+ c$ C: p6 o
​        3 m! R& M0 _/ a' ?  y/ I* a
——当m mm较大时不现实
5 t/ T2 R4 @+ R3 t5 [
) B/ b* F$ i. q- Y# V(2)向前选择变量法4 n- ^  W3 d$ f% r7 u8 F
6.png
7 q7 f& Q2 N" O
0 I$ G( R  s) M& O2 m( m8 x% \" s+ A1 ~2 I5 ^% x5 h
7 R& |  ~/ @, n" Q' P
7.png ; S6 {; T) i* _9 h6 b- X. }( V. k

  E! M  ?  E2 A/ [8 B* Q# Z& x: D0 s(3)向后删除变量法
$ o/ w- Z- ]) K! w9 }; F# M 4.png 0 s. S3 I( C9 r7 ?# H5 G: E" j3 K
(4)逐步回归法——最常用
$ w- n$ O, c$ Z) t* j 5.png 8 |1 ~# [! P- b4 z3 N, K

# A! }% M5 ?3 O" R! Z7 W3 [$ v8 g1.1.4 调整复判定系数
5 W  l" U; u: ?$ Z. {5 _ 3.png
  }0 l$ k3 `- c. s1.2 最小二乘估计
- q# X& {! [9 O6 A* A; m/ o- k' E6 i$ o5 U' e& h
一元线性回归、多元线性回归——略。
4 r7 l- A- Z" ]# Z7 @7 _3 F7 |6 y! b
2. 回归模型假设检验
5 p! G! l& m  ~
9 d7 w( w) f/ |5 t' n——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)
: I& C& [( p! E# C: I7 m* }% \+ E, d" }6 }" ?7 W% f
具体检验方法见书,此处不再赘述。6 n- B$ e4 @1 O3 @! m' ?
; [) n( M2 s& r3 \( W* J, l
3. 回归参数假设检验和区间估计/ A  M/ \  B3 {8 u& x+ G

3 @: J# w4 j' {' n/ h——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)9 @  w3 ?9 \; a9 b

3 y6 Z& V6 t6 S6 @具体检验方法见书,此处不再赘述。
8 f$ A8 d. o, f7 w$ J" |0 X1 B
9 w7 Y+ n( p1 i+ z8 U8 ]! ?4. 拟合效果分析
0 Q, N0 ]8 h0 a  l  s* f& T+ y% X. Y" p! b* V. a% U
4.1 残差的样本方差(MSE)
5 r1 y5 C8 t! a4 [% N2 k8 ] 2.png & s+ u* {0 k/ J3 j/ z6 e
3 J, Z6 [1 I9 U$ P/ b; B7 S
4.2 判定系数(拟合优度)' S5 Z" z8 J7 q9 {; V

& p0 H9 J0 b) O6 p 360截图165011039490135.png & j: C. ~3 y2 x3 G: d, ]+ D' ~2 q! v) f
$ D7 K3 `9 Z/ E) k* I8 L/ q! C
5. 利用回归模型进行预测
& @; y# E  }3 |7 N6 O" T4 S4 s% j& ]% a# y

0 S4 e+ Q. J& `8 g" P
# z7 k% i' l- N, F其他5 x5 S# i, J: d0 j

6 i$ n9 ?7 `- N- P# m偏相关系数(净相关系数)! A: Q7 ~" h; R" Y$ P0 u
$ }; {. R( Y) C# d* F) U5 D* j' [! S
在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。
% v! j& k9 J. w$ t5 o" }- I
( _0 s4 r. z3 M- G! Q  @复共线性和有偏估计方法6 X6 |9 q2 U1 V: _3 I/ d3 Q1 J' s

5 m1 H3 R: T' |5 {9 V9 y: w" m* l在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity): H+ b3 [: S: m& p
* W2 v- f) q$ ?0 c$ I8 r
解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性
) F2 r+ K7 g, e  g* G/ }- @例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。( B+ I) s* I) \- `
(P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差)
2 X' _& H* b' _7 j5 \6 V1 h4 P5 Z3 m
再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性
7 m9 G4 A* w+ u6 Z5 Y
$ t4 E- _0 a) f8 r小结6 ]9 I1 |% \7 D, e0 s6 u! e
2 w# G7 W8 ^6 y% I% U
采用回归模型进行建模的可取步骤如下:/ r( _3 U: `/ `( u6 N3 G

$ c) `- Q% ]) k! m8 w) ~" M建立回归模型# S% K$ n1 c' h% W
确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量
. d* ]3 X* d$ }0 Z* t9 W0 N原文链接:https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
& ]0 S, @$ y0 b0 }5 S! m7 a; m+ C: ^2 x, v4 u" K

% I9 ~$ W8 ^4 u# E9 @9 S" O7 B1 s




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