数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之回归分析
[打印本页]
作者:
杨利霞
时间:
2020-3-13 15:12
标题:
数学建模之回归分析
4 e& w' z( l2 }0 z3 O/ @6 E) z; @' Q
' i4 H Z7 Y- S V9 U8 P
数学建模之回归分析
' L6 [+ e; w1 P* N: U0 U
0 Y# P; ^& j, d2 }' i
应用场景
$ e& x) ^1 F p5 k
1. 建立回归模型
' R1 a; A1 m! |
1.1 筛选变量
0 X; t- }! x/ @
1.1.1 确定样本空间
$ S8 m* L8 |% R5 N! h J1 f
1.1.2 对数据进行标准化处理
$ f5 [$ I0 o+ e7 I K/ @) v
1.1.3 变量筛选
; B0 I& k0 A4 Q) I Q: ^3 u
1.1.4 调整复判定系数
0 y* y* ~* T$ H V1 c( m
1.2 最小二乘估计
3 c5 }" v: M5 f, n
2. 回归模型假设检验
: k5 B# `; @9 v) A q1 F( B
3. 回归参数假设检验和区间估计
( B" d- X8 [" V% T3 o- |
4. 拟合效果分析
1 d4 E; A1 [" _' t. R- f7 G2 m
4.1 残差的样本方差(MSE)
+ h$ Z; U* z H2 \2 l0 Z5 q
4.2 判定系数（拟合优度）
% N' o- ~3 J. S% f# n6 \/ |
5. 利用回归模型进行预测
* }0 X0 p* x- l9 {& Y: c X
其他
3 C# r T) i% _8 ~
偏相关系数（净相关系数）
; @- D6 k4 ~* _' n# ^6 h5 v1 |
复共线性和有偏估计方法
9 m( i, @3 O: G% B
小结
1 l% {1 Q( O/ Y: d) j
应用场景
+ t" A: B# g$ o) o: M0 c3 `; ^
6 _0 t9 Q2 Z8 X" U2 q4 a
简单地说，回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
3 a/ _9 C1 h- f7 i! d. U
P.S. 曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定，要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
) P: U4 z3 v4 t$ T, A, `
5 P# J9 T8 f7 g+ f! n7 \6 V% z8 p
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究以下问题：
6 o- Z7 a+ K0 E8 I
2020-3-13 15:12 上传
下载附件
(23.3 KB)
* j) J, P) m& n
1. 建立回归模型
7 l& R" Q- Q- }+ [
" |/ l- o" m4 N
1.1 筛选变量
7 D+ a# D- R, ~6 Q9 H1 ?# X* w4 d
, D* U+ m7 l: b
1.1.1 确定样本空间
: q9 Q7 [8 n! K+ d1 c& y
2020-3-13 15:11 上传
下载附件
(13.46 KB)
; Y& C |: n, g0 N9 \ n3 ]* b6 E
% e+ T# x- ~0 \+ O/ ?! H f Y! L
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
2 q( C: q' `$ s1 W7 Y7 @! w, ]
/ ^& ~& H( V7 j) b" z
1.1.2 对数据进行标准化处理
; Q1 A) d& Q( L0 n: T4 k. c
$ ^ F) Z- t [
（1）数据的中心化处理
% W# ]$ W2 U* H1 Z4 ]* H, n
实际上就是平移变化，
& F3 W9 ?8 a' t4 y
3 x9 t" C3 F/ @1 R/ D$ x
2020-3-13 15:07 上传
下载附件
(3.05 KB)
; d5 v2 x. }, w9 N+ L: i+ N! ~
这种处理，可以是样本的均值为0 00，同时它既不改变样本点的相互位置，也不改变变量间的相关性，但变换后，有许多技术上的便利。
7 J! n7 ] F. j) y5 g6 J
（2）数据的无量纲化处理
. I: C$ d1 M# S z; } R
在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不同的。
" x) L L1 q9 h' `% X2 G! o' ?
为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常用的消量纲的方法，是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
& v0 \! i$ E m( ~
即，
; j# N( E/ J0 `4 B4 X
) Y& v- D1 H: ?* b& d. l2 z
2020-3-13 15:07 上传
下载附件
(72.54 KB)
$ W% K0 p0 U G( k, A$ D) b z0 [
当然，也有其他消量纲的方法，此处不一一列举。
7 y3 z! {+ F* `% W* Y, v
（3）数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
+ Q* t j1 M' p3 [% F/ B) W- }
即，
. i- C' R5 \6 n- [) ^4 H
+ @9 L' \; w4 J2 a" }; R: P
2020-3-13 15:05 上传
下载附件
(3.67 KB)
- U: z, \! s' v8 f7 d7 c0 T
1.1.3 变量筛选
+ x1 |6 P K# b1 N) |- g" a
6 h" }- B8 L" w- R$ L9 q y* S/ x. c$ Q
——选择哪些变量作为因变量的解释变量：
/ ~$ J% {* n" f$ y
# S( F# v1 @9 Y8 S
一方面，希望尽可能不遗漏重要的解释变量
. ?/ n6 X% u8 s; V i1 I
一方面，遵循参数节省原则(自变量数目过大时，模型计算复杂，且往往会扩大估计方差，降低模型精度)，使自变量的个数尽可能少
% F+ s" ?8 A% g# V, ~ ~
（1）穷举法
' {% s7 Z6 b" e" b6 n" a9 {' c/ _8 T
列举出所有可能的潜在变量，再根据自变量的不同组合，选取合适的模型。
! Q) r- k+ e( e
假设有m mm个潜在变量，则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
- J+ g5 N9 y1 \7 n& b# D- K8 y" b
m
1 z- [" ^( w5 w% V8 b7 X) `: H2 x
( B9 u" G* C9 \" x" _
——当m mm较大时不现实
, p i( O* W& Y. f: B9 \+ d k+ V
0 o) \: q& Y, t' `4 t9 D
（2）向前选择变量法
, j# W, _& H. y1 j3 E
2020-3-13 15:02 上传
下载附件
(169.34 KB)
9 p2 _+ t! R7 {! a/ Z. z! L
4 `. l* n5 g! n, k
q8 }- B3 J+ R0 O1 o) f' z# ~6 w+ p
/ R: L f0 U8 u
2020-3-13 15:02 上传
下载附件
(127.5 KB)
8 x4 b1 L+ E# K, K: C
* b* M8 H: B9 U) b: d6 F
（3）向后删除变量法
) _5 S _5 H( |, ~
2020-3-13 15:00 上传
下载附件
(59.77 KB)
6 o, a8 j1 K* S. h T- Q& s1 z4 _$ G
（4）逐步回归法——最常用
! j+ x$ J! [& C# R, e& p
2020-3-13 15:01 上传
下载附件
(112.5 KB)
# K0 C5 h' |2 f+ ^) N
, f) V3 Q# P6 {. `
1.1.4 调整复判定系数
- B, P* M4 Q0 {# }7 G/ }( M/ i$ ^
2020-3-13 14:59 上传
下载附件
(143.09 KB)
6 x% x, U$ D6 p
1.2 最小二乘估计
4 _! [ P& C% @7 e
) J$ _4 G1 r# O; G/ E' x' a
一元线性回归、多元线性回归——略。
$ i' ]6 C% ~: q6 ?5 v! K
+ B( ^4 y% {9 F* z
2. 回归模型假设检验
$ \2 {- x/ E/ {5 k6 E
/ R* G4 f, c$ b) \# c& {7 g8 R
——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示（F FF检验）
( n* T |$ Q5 Q4 F0 X" u/ v
- x( X% d4 a6 `9 K: U* G( m$ K
具体检验方法见书，此处不再赘述。
- Z! q1 _ `1 p7 `# q: c8 A
0 X5 K$ [! N: v' P( s2 F1 R- t! s
3. 回归参数假设检验和区间估计
4 W( o9 B/ Z0 h9 c
) C- n$ b2 Y. F4 g# Z( g
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著（t tt 检验）
) x l) h" W/ `: ^3 n# u
\8 e: `7 M3 y$ O6 F
具体检验方法见书，此处不再赘述。
" Q z6 G: Z: y* C+ [
5 b) [ \% p3 K- x9 n
4. 拟合效果分析
; ~/ j( }0 r7 ~3 A
* L) m' g% E+ g) T9 V
4.1 残差的样本方差(MSE)
8 O/ e1 @% A2 x; d) r
2020-3-13 14:58 上传
下载附件
(14.89 KB)
. o0 s' L8 Q+ y9 v, B$ v
" I& z# C- `) e( |
4.2 判定系数（拟合优度）
" B$ l. ~5 }" H& Y8 h# G, g
7 f4 f6 D6 g3 y r R# u) s
2020-3-13 14:57 上传
下载附件
(172.84 KB)
. R- Q5 U1 o; V( _+ t
D3 D/ E# k8 n
5. 利用回归模型进行预测
6 W0 M) ]! I6 X* M1 @3 Y
7 U4 x$ n: M+ d
& ~$ c$ J/ V' O' G/ e2 U
0 C9 w2 L# c( W( S" Y4 w! l
其他
- N% B; X6 G. q1 u B: V! W; h9 D6 k
( [4 @: \" q3 Q X5 c
偏相关系数（净相关系数）
+ H, X" t) a' Q, {1 {
8 _5 M2 I" p) q. v; A5 b
在研究两个变量之间的线性相关程度时，可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时，单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用，忽略了其他变量对这两个变量的影响。
( _+ Q, h! d) N
2 D8 m+ f& t- `
复共线性和有偏估计方法
; r, O, I0 A4 i( j' N! I, Q
( n7 ~% [2 h) w z$ ?0 q+ A
在一些大型线性回归问题中，最小二乘估计不总令人满意，比如系数正负号与实际意义不符，这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
9 ]* E$ T9 x7 J5 r7 z
$ d1 T' U& E) G' }( K# p
解决方法——牺牲无偏性，改用合适的有偏估计方法，以改善估计的稳定性
! H @. D/ K! T) U! h2 W8 ]
例如，岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差，增强估计的稳定性。
- ` }5 y8 b: }; U
（P.S. 均方误差Mean Squared Errors：一个好的估计应该具有较小的均方误差）
* R+ x2 P; d. f
, O C+ V# q/ }4 v& l2 h0 D* p' y
再如，主成分估计——可以去掉一些复共线性
' z/ c! K' L/ h& Z& n% P
/ S z# w, C: d: ^( S. ]3 K8 B
小结
& B5 X1 }# F0 w5 ^- |7 L
8 [7 u8 j# f; U9 r
采用回归模型进行建模的可取步骤如下：
; |7 p: I7 _: s) C& T8 n+ H) m. o
! w7 Q6 } l# E3 Y
建立回归模型
9 f$ Q- l. P0 u2 B1 i/ D0 L
确立样本空间，对数据进行标准化处理，采用逐步回归法筛选自变量
1 s) R! e# ?- @4 ~2 P$ x8 v
原文链接：https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
; t1 E2 T8 m% e- R( h* B
8 a0 T: }7 ~: V7 [
" q# ]6 n& v! j& J" e+ V3 C
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5
7 U4 x$ n: M+ d