数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之回归分析
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作者:
杨利霞
时间:
2020-3-13 15:12
标题:
数学建模之回归分析
3 o4 f! `8 W' E6 `$ g
, Y* Z, k$ I( k1 @! c6 r- ?4 E) N
数学建模之回归分析
8 _% B- x# `) k& @% I6 D+ r* U
5 t J6 I+ ~/ m2 Z
应用场景
4 |; {, F$ k3 s# E! }
1. 建立回归模型
% w$ u/ c, r( w/ K- X/ U$ i4 ]/ K
1.1 筛选变量
, n6 a: R7 D ^: ^ r
1.1.1 确定样本空间
6 W& d- Y$ z# O! r
1.1.2 对数据进行标准化处理
8 {7 N; Z7 t' |5 m0 S' w- z, V* e! I
1.1.3 变量筛选
" W, z3 h( I5 C7 U, C
1.1.4 调整复判定系数
8 H/ `, ~! L4 s2 Y
1.2 最小二乘估计
& T! \: J! t! v+ Q; F! v. c) F: A
2. 回归模型假设检验
, T" T: o D) Q1 ?& t
3. 回归参数假设检验和区间估计
* b" y/ g: Y4 C9 X( J! _, i
4. 拟合效果分析
9 R0 o: T0 z; \
4.1 残差的样本方差(MSE)
6 T# |& {" ]) L: p4 |
4.2 判定系数（拟合优度）
! D1 O! e M& r ]2 b1 Z
5. 利用回归模型进行预测
5 O; @" T1 \- p) [0 ~
其他
" \$ _% w" C' ]* U
偏相关系数（净相关系数）
: ], b+ r/ a( C) }2 i K
复共线性和有偏估计方法
y/ K5 t8 E Z0 a; _) j# d8 n) G" z
小结
/ n& G6 P5 D m3 S
应用场景
9 \. e: s- y9 y) ]) f5 s) I
: J8 M1 x3 S, G
简单地说，回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
+ e H- o5 K4 I D* V3 L/ C( s
P.S. 曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定，要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
K9 a$ d. S1 Y
" a d6 u9 @0 u& a6 u' ]
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究以下问题：
; [- E% [6 W- h3 l
2020-3-13 15:12 上传
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& B# y- p3 t- ~1 ^0 f! d
1. 建立回归模型
1 e& }- l( j$ g, G2 v
1 [6 z$ w8 O: z: m6 P2 a. D
1.1 筛选变量
3 g& W7 z8 _8 m
/ Q/ l6 Y8 J# V9 X
1.1.1 确定样本空间
. G* R3 _- X% M5 J! J/ d; l3 S
2020-3-13 15:11 上传
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. [" J( Q2 e" v6 y
9 O) X T/ G! r' m2 [ Y) H
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
2 b. h9 J3 M% ]% m/ c
% S$ U8 V# j# ]) ~
1.1.2 对数据进行标准化处理
1 D$ L5 s. J+ v( `& G7 A- L
& R, E1 H* _- _3 U, e
（1）数据的中心化处理
( [* Q" I$ z0 Q' ?3 ]% O5 X
实际上就是平移变化，
+ G2 _& Y+ {4 _/ l2 B
- v- X) Z6 q3 w l) c$ x$ b `
2020-3-13 15:07 上传
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, r$ u8 H: z; a0 h" M5 n9 F& N F2 {
这种处理，可以是样本的均值为0 00，同时它既不改变样本点的相互位置，也不改变变量间的相关性，但变换后，有许多技术上的便利。
- } \1 q9 b) E E4 d, b
（2）数据的无量纲化处理
6 c1 y+ [3 x5 q- g( c4 r- H
在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不同的。
. w; c' |) X( L; H# r
为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常用的消量纲的方法，是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
- h9 m( P8 L* F9 T# `
即，
) I5 z$ C2 V7 c5 e7 b# l4 N1 v+ x
# p+ `; W" u2 S" z7 ], H" @4 G" i
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+ D7 Z) {( m9 d9 y ~( t: w, a
当然，也有其他消量纲的方法，此处不一一列举。
: s; _. M1 f) z" Q% J
（3）数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
. D" C Z0 I! ^/ i6 z
即，
7 j% \8 [: \3 o9 R) E# o
: m6 d9 h3 N2 K$ z& c4 j! ^# l
2020-3-13 15:05 上传
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" m+ i9 i6 r3 ]' x' y
1.1.3 变量筛选
@4 t- O) V6 h2 u" J9 X1 ^# a! Y
" r; K; F2 B. `3 Z2 ~2 E. T- d
——选择哪些变量作为因变量的解释变量：
* J8 S: v" U7 o( W4 x- Z( \
. ]/ Z3 v2 T0 L
一方面，希望尽可能不遗漏重要的解释变量
' |3 O8 `! A0 Y5 ~" z3 x
一方面，遵循参数节省原则(自变量数目过大时，模型计算复杂，且往往会扩大估计方差，降低模型精度)，使自变量的个数尽可能少
o2 p& D3 g" c/ V* J
（1）穷举法
* A+ ^( {4 n3 z( p% \5 S" Q
列举出所有可能的潜在变量，再根据自变量的不同组合，选取合适的模型。
9 |: d6 D: U& P
假设有m mm个潜在变量，则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
* Y3 H: N1 s* r( Y0 m
m
: @( `* P8 a; }2 T3 Z$ I
. N5 o3 g7 f8 M' x- O2 m/ e
——当m mm较大时不现实
/ { W* L9 _& Z2 }
) O `1 a) Y& C& o0 D
（2）向前选择变量法
) K) q' y# [9 J( D8 i
2020-3-13 15:02 上传
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4 \/ q, l# o+ U: J5 t
5 m2 }* n8 f5 G1 }
4 y! Z, r4 ? i& D0 f, T1 T$ t
) p/ c4 \+ z, R6 r" G0 y+ M& M
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4 o' i$ Z4 P0 c/ N. u, Q
& v" b/ X: J- X) a7 d5 d4 Y$ u
（3）向后删除变量法
# B7 |6 q( l0 {) q4 C
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8 f1 M! ]3 {8 _
（4）逐步回归法——最常用
. P3 q% Z) @& |* w) R
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$ B. Z3 w% R! d/ |: P7 J& V5 Z4 {
8 D3 m( W0 Q! D/ K
1.1.4 调整复判定系数
; d2 c9 Z; Z# @4 k
2020-3-13 14:59 上传
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& B# H( G$ ^5 C( C* e* m" O5 G9 e
1.2 最小二乘估计
" h0 Z% l$ A$ E3 v
/ t, |4 H+ X9 l+ J2 [$ o+ Y
一元线性回归、多元线性回归——略。
; q5 d h4 p6 ^ \1 x1 l. @9 Z& [
3 M% ?& v+ m2 a: t- ]
2. 回归模型假设检验
% W8 O* y3 }# W$ c
, V6 F& \. Z# B8 S F' ?- y
——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示（F FF检验）
3 _# q" d" G. }- r5 f8 {* H
) C/ k4 } D# R& q% u
具体检验方法见书，此处不再赘述。
* B5 r, J1 O$ A! T
) H! j8 K; Z/ t
3. 回归参数假设检验和区间估计
9 Y/ f& K( l' ^# i% K7 |# R
0 b) {) R3 t- K4 W2 U
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著（t tt 检验）
1 [3 z/ W5 U7 j; o% s* T
3 _+ o! \) S4 i/ C3 B$ s
具体检验方法见书，此处不再赘述。
& Z% s! `" l" i) N( y8 P z
: u3 L+ g& o/ x' f5 T4 q! B! \
4. 拟合效果分析
1 a; g P8 I- F3 j/ e: ?) y! A4 i
7 n, ]2 F% E, l
4.1 残差的样本方差(MSE)
8 R6 q& `- S$ ]3 t
2020-3-13 14:58 上传
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- ], w; g( R' j5 F2 N* n) ]7 f
. i4 W3 r- a" O+ z8 A4 e
4.2 判定系数（拟合优度）
6 ]' C$ b# u; _5 o' P! W* t, D
, h) \% R! Y) u; x. h
2020-3-13 14:57 上传
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, |( Q# [$ d* O/ M( D* i1 T
2 i8 s7 {8 b: }- n
5. 利用回归模型进行预测
+ W7 B6 P, M4 r
7 d$ F+ n1 w a
5 o" @$ h$ L/ S
9 o2 e: z+ q' Q) f$ J/ ?
其他
8 F+ m1 x9 |* c9 c
1 S# C/ w( g) L7 H+ q/ F( G8 T* }
偏相关系数（净相关系数）
) x; D, |- W- g8 d
, i7 g% \+ L* `5 ]" o5 U
在研究两个变量之间的线性相关程度时，可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时，单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用，忽略了其他变量对这两个变量的影响。
+ M" G- Z1 A: b' U3 `
' z3 w6 Z+ @6 Z8 \
复共线性和有偏估计方法
+ w. W: A- N& I i) t* T
, O. ?5 Q% L4 \" i9 ?' ]
在一些大型线性回归问题中，最小二乘估计不总令人满意，比如系数正负号与实际意义不符，这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
6 p5 x/ U1 c! [6 {( G
' B8 @. P% }! H
解决方法——牺牲无偏性，改用合适的有偏估计方法，以改善估计的稳定性
7 I% D/ T7 l9 _4 h' P1 O. \
例如，岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差，增强估计的稳定性。
- Q: m$ |6 o; I1 w. E% z1 n
（P.S. 均方误差Mean Squared Errors：一个好的估计应该具有较小的均方误差）
: I& Q) F2 p8 }. j2 H' G% D# W
. H- i) E b( s) e! y
再如，主成分估计——可以去掉一些复共线性
9 c7 C% Y* t9 U; }1 S: Q2 [/ E
* s9 m$ I9 ]/ b* m; O& n
小结
. {: U5 d$ P8 p6 Z& q$ R
) {& H" Y/ ]$ v+ [9 e( m" Y- I
采用回归模型进行建模的可取步骤如下：
5 E9 y/ u; ]" T
6 U4 @1 W, `7 J) J$ [3 O
建立回归模型
& Y* R4 E; v+ P0 y
确立样本空间，对数据进行标准化处理，采用逐步回归法筛选自变量
+ W! R l& ^; U7 O
原文链接：https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
8 r. F2 L2 p3 e: y
0 X8 d# W4 t' c
/ u+ X* v. r( n5 i' w
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7 d$ F+ n1 w a