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标题:
数学建模之回归分析
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作者:
杨利霞
时间:
2020-3-13 15:12
标题:
数学建模之回归分析
5 q( s+ b* e: G! y
; Y- d4 R5 G4 I* g1 |
数学建模之回归分析
1 L. m' A+ ^' }' q# ]: l8 D
- ~! b* r9 R8 r% u
应用场景
; t0 G# P1 X; ~' j
1. 建立回归模型
% C4 h* H+ d. w! l, ?
1.1 筛选变量
3 D" q% F9 P" h$ O, u
1.1.1 确定样本空间
; G: h) |5 e h
1.1.2 对数据进行标准化处理
- m$ s2 S* G3 Z" s4 \- {' d; }
1.1.3 变量筛选
# V4 ~9 `: o9 i4 s5 m* C% @
1.1.4 调整复判定系数
% T0 F( X0 h9 q+ S
1.2 最小二乘估计
1 A7 o+ ^( W' x- r. B/ M! ?0 _
2. 回归模型假设检验
( _1 H) f4 Z$ H% S6 e% S
3. 回归参数假设检验和区间估计
. H" C( V$ k- W2 N- D6 Y
4. 拟合效果分析
9 w; c+ K0 H6 S& Q( s
4.1 残差的样本方差(MSE)
: c% f9 U5 J. ?
4.2 判定系数（拟合优度）
/ g) R/ O$ @: l4 i# t
5. 利用回归模型进行预测
- _5 c" j6 b$ ?; @. D
其他
# T6 y- t# H! ~, o: w& Z, L
偏相关系数（净相关系数）
' g! ^: f v# n; d* l
复共线性和有偏估计方法
. M# ?3 g+ o& x3 }
小结
# d8 V1 L6 c4 V% Z0 Z: o0 ^) c7 @
应用场景
6 A5 F, }" |; e5 |, J$ O3 {% |
: l8 X7 F# l0 X9 {# D
简单地说，回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
& t- x8 p( C8 J* ^. y, r, W/ N
P.S. 曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定，要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
- r' A: d% u6 V# j/ p0 L
: q& [4 V" q; T) `
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究以下问题：
- `3 M; v; m1 R) {
2020-3-13 15:12 上传
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4 ~3 V; Y, i+ _0 I/ F- @
1. 建立回归模型
- y p" i5 O- t g5 B$ ?( w
/ v# B- N. _8 ~$ I! d, {
1.1 筛选变量
7 F, X& ~' M4 C2 b
$ ` d2 f$ F. r( _
1.1.1 确定样本空间
! v* ~! `/ v+ y. c9 `
2020-3-13 15:11 上传
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0 ?6 f+ q. e; j9 M! f( y
+ Y1 P& Z1 k9 e- T6 e
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
1 v* p" D1 G; Y$ \
$ c, T; U* f4 J& g. t# W
1.1.2 对数据进行标准化处理
8 w0 L% r% s4 f X. b) D5 _8 x4 w
. z9 o, N" U* O4 s4 I# l
（1）数据的中心化处理
9 Y8 `* v& ?! v" |
实际上就是平移变化，
5 D; U. P: g) \. Y* F
2 ?. o% b7 N3 N4 M2 e. l
2020-3-13 15:07 上传
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. `4 M* e9 I* y B. o
这种处理，可以是样本的均值为0 00，同时它既不改变样本点的相互位置，也不改变变量间的相关性，但变换后，有许多技术上的便利。
' v- G2 Y! d1 f* M
（2）数据的无量纲化处理
( }- N2 d. U: m- G* X# X
在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不同的。
& s1 {7 Y; C0 U% [( J; f6 u
为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常用的消量纲的方法，是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
[8 i$ ~" J/ Z2 z/ W
即，
0 o! ~3 [1 c# @( c" s& f
6 K) O+ H' o, G- y3 ~
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. ]! X/ ^5 i2 {* Q7 }6 Q4 c: P
当然，也有其他消量纲的方法，此处不一一列举。
2 T8 m! ]6 C2 {( U
（3）数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
4 w9 a/ U- ~* i: a$ Q- U1 L
即，
, U0 C5 @# j/ k/ K, K/ X
2 h6 B, Y9 l4 [
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# Z1 {6 q8 |$ L/ x9 r6 x- H' g
1.1.3 变量筛选
. c) r% s7 P7 ~6 _! N* o) o+ } R
( c J% C" M- z `! g* x N& _
——选择哪些变量作为因变量的解释变量：
$ l: O( o% j" T- N, S+ v; J+ t. F
- Q; c% }$ f5 _7 d
一方面，希望尽可能不遗漏重要的解释变量
% O4 Q7 K1 _, ?5 e% K
一方面，遵循参数节省原则(自变量数目过大时，模型计算复杂，且往往会扩大估计方差，降低模型精度)，使自变量的个数尽可能少
+ H N& k! n4 q9 P& n/ }
（1）穷举法
0 z" f) q \, j: q G7 B6 y1 C
列举出所有可能的潜在变量，再根据自变量的不同组合，选取合适的模型。
' f6 V4 g" |% N- ~5 v& `2 W
假设有m mm个潜在变量，则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
' v. Z% K8 Y/ s' m0 h) J
m
4 ^ v( a1 j; M
, ?2 f. v4 r- t/ ?9 ]
——当m mm较大时不现实
5 R7 `4 @& r4 Y- i6 w* ^7 F# C
1 T; ~7 r7 e7 w* _' P5 A. }
（2）向前选择变量法
/ Y& _) {" I4 Q) x' V
2020-3-13 15:02 上传
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( y7 y: U V& ]. b- o$ [! V' V
, x4 X$ X4 J0 v7 L1 D: E" h
$ a$ J6 [: a" A
) ~8 u3 ]5 O% ~; }8 c' c, a
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9 F8 ?" F9 O7 x* I' k3 y
8 u) M! m0 J: h1 x1 a
（3）向后删除变量法
& Z+ m Y, z, |* s% A3 }
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" _% s% x; z: m, l! h
（4）逐步回归法——最常用
\6 O* N7 w7 u4 k" a/ w
2020-3-13 15:01 上传
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! ?, S' K4 Q$ ^5 ~
! Q9 q1 ~; i0 q( y: S f
1.1.4 调整复判定系数
0 F6 Y$ A( G) @- i1 _' C
2020-3-13 14:59 上传
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& B) ~ l# G- j) Z
1.2 最小二乘估计
5 w& n! X. ^. ?/ w$ e
! w9 u% d( n1 M8 B
一元线性回归、多元线性回归——略。
4 o" v6 J) O, v! C9 J! s7 b
0 ^: L! V2 ^& a. {0 H: p
2. 回归模型假设检验
2 W4 B2 @6 _ M5 E! k
8 c- O4 C. @) f2 I$ ]) w0 c
——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示（F FF检验）
! W' c2 v6 b: I- J; ]2 q5 ?& E
5 {. E$ m4 R4 N1 x3 |
具体检验方法见书，此处不再赘述。
/ b& P: M8 J- ]( R1 s
1 M6 e0 L+ `- O
3. 回归参数假设检验和区间估计
9 g9 {+ u7 Y8 {" N0 ?* o
1 H9 {! r/ I" ~4 H; q
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著（t tt 检验）
/ Z9 q0 u3 W, J+ L7 L; E
& _4 D# z% z R% D( [5 u
具体检验方法见书，此处不再赘述。
6 w. u- S$ ?, d& V1 ]
: z) {+ w. A$ }' o3 Q9 L
4. 拟合效果分析
% E& q \: e5 _5 Z/ _' x
, L+ s5 K" B* [6 k! L$ Y
4.1 残差的样本方差(MSE)
: N9 V* b2 C J9 `6 w T
2020-3-13 14:58 上传
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0 U; ~4 j" ` u Q2 s" C: Y
+ C' R( V- H; I" v f2 a4 Y' Y
4.2 判定系数（拟合优度）
1 V3 q' h+ g% n: o
# Y9 Y7 l" o8 e8 w' o% k) ^
2020-3-13 14:57 上传
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7 m0 c8 \+ S/ l: A' q
9 }0 E* |- y7 N% g- _- k
5. 利用回归模型进行预测
8 N- w& i% v( q- p4 m8 b f
) }2 P4 B+ ]! ~9 O8 x
' c9 z; ?2 z8 K. n' H& V/ @1 D
7 [, h" _; `* [# P
其他
2 F, ?; b: E: B8 J
! B( X/ w7 }$ ]9 f+ ]) F% z) `# c6 x# c
偏相关系数（净相关系数）
; J& ~0 g: T7 _2 g
* l5 X J; w! ~+ q2 Q- G
在研究两个变量之间的线性相关程度时，可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时，单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用，忽略了其他变量对这两个变量的影响。
6 c- H6 R, z- I. P8 r1 t! A% C
/ p* d8 S' W% H' K% y, m9 q
复共线性和有偏估计方法
/ K& B: _8 k D2 _/ t i3 F5 t
( o: @, g) P5 d) e; |
在一些大型线性回归问题中，最小二乘估计不总令人满意，比如系数正负号与实际意义不符，这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
4 ^0 b( p6 l2 v! A1 ^, C% Z3 r. S
) M) ]3 y' t5 R# x* O
解决方法——牺牲无偏性，改用合适的有偏估计方法，以改善估计的稳定性
9 h5 _2 M6 i7 @ U
例如，岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差，增强估计的稳定性。
$ h: {' v- h4 i' C+ B. A
（P.S. 均方误差Mean Squared Errors：一个好的估计应该具有较小的均方误差）
, n* h% D b& I5 @7 y" m
; f1 S+ m' m# P! B+ P9 [2 `4 i
再如，主成分估计——可以去掉一些复共线性
2 B- }( C, X0 O3 J
& V3 a, `6 \8 g
小结
" X b+ H2 y/ Q( Z1 x
1 H- c3 N, |( n& [1 ~
采用回归模型进行建模的可取步骤如下：
! V4 a) M1 r' N A1 \% _
/ H7 a8 s: Z/ T( u3 c1 v# Z6 d
建立回归模型
. W3 Q) ^. f1 J) c: e7 t; p2 M0 l
确立样本空间，对数据进行标准化处理，采用逐步回归法筛选自变量
6 V7 U/ z6 Z: ^: Q( ~
原文链接：https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
. ?% c9 ?+ S0 ?/ V" t
- V, I7 W# J8 `: k5 ?3 ~) v! O7 u
" E7 J4 T/ G1 ?7 X( |
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