数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模之回归分析
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作者:
杨利霞
时间:
2020-3-13 15:12
标题:
数学建模之回归分析
1 y7 e8 J3 \, _% Q
- e4 b6 c: P9 @( f. Z
数学建模之回归分析
& d% _$ I# v7 {& M
6 F' ?" _" x+ n$ q
应用场景
- w3 S0 G& V6 k, N( r& Q' U
1. 建立回归模型
1 F% e) T- y e! m5 f! a3 }% ]
1.1 筛选变量
- m1 `2 s! _$ J3 M. X) \
1.1.1 确定样本空间
9 n* U( \0 A1 e) `
1.1.2 对数据进行标准化处理
6 Y$ G- G, k' C* g: a
1.1.3 变量筛选
+ U* R' e# e! I% c
1.1.4 调整复判定系数
$ s0 p H* M# _
1.2 最小二乘估计
0 ]- D! b' I/ L# e& |
2. 回归模型假设检验
, n6 P5 V) N+ P0 \5 X
3. 回归参数假设检验和区间估计
+ U6 \: c+ I5 l# C
4. 拟合效果分析
: H/ ~2 _5 O& a
4.1 残差的样本方差(MSE)
) H( ]9 W. |; P$ t; F& ~" `6 y9 d
4.2 判定系数（拟合优度）
B' }; c9 p$ d
5. 利用回归模型进行预测
( ?. ], P6 I D1 m U
其他
; A, P* w: f8 n2 X; a, X- Z" W4 c
偏相关系数（净相关系数）
( Z; @# H1 n# w' N; Z
复共线性和有偏估计方法
) E! _ G, `% X" S9 ?
小结
/ _, S6 y7 }- H" R, f% Q( |, {
应用场景
( Q0 g' u2 I/ ]4 D5 l2 U8 R1 k
6 ?8 n; M$ l7 _% u
简单地说，回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
0 B* `, a3 W% L& U- w: I4 Y: [8 |
P.S. 曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定，要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
4 T7 I7 ?2 E$ P( y$ q) H
0 Q3 b4 U1 O7 ~5 O u
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究以下问题：
5 V7 S4 ?3 G' j1 I2 T# T
2020-3-13 15:12 上传
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3 h9 U8 y+ M! |) H5 z% k
1. 建立回归模型
- \- m1 ~* R5 s/ n
+ B( n1 a& X( D N
1.1 筛选变量
/ U( L0 M# q- K$ s0 P3 }
, ^) o( s) H( f9 O! ]
1.1.1 确定样本空间
+ D$ G( {' ^. B# k
2020-3-13 15:11 上传
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: O: v/ N. r9 D7 [
! y w2 }; X2 K6 E! P. }) P
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
) ?3 \ A' s* e; b" x4 }5 F4 }
/ j6 Z6 k. D" x
1.1.2 对数据进行标准化处理
* N$ S8 N, B% h8 Y; i
8 X: P+ Y# Z% E4 y' k
（1）数据的中心化处理
% {0 F5 b0 Q. r" e
实际上就是平移变化，
: p+ ]# q! U" `3 K+ P
8 i: `2 }+ \( z+ o5 ^8 p' @
2020-3-13 15:07 上传
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2 X8 j; \4 R+ a0 L' N
这种处理，可以是样本的均值为0 00，同时它既不改变样本点的相互位置，也不改变变量间的相关性，但变换后，有许多技术上的便利。
) [% ?9 f5 \1 K- V' E; h1 Z! M
（2）数据的无量纲化处理
4 n! b+ |. _5 ?7 J
在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不同的。
: e3 f0 A" J2 T5 y' Z4 u6 i
为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常用的消量纲的方法，是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
& `1 j! f: K% R6 y
即，
2 E3 T" M* [) L( Z
1 E; u4 T% `, u0 k( M+ O1 k8 ^) t
2020-3-13 15:07 上传
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2 v( I/ ]1 Y7 [, m: G0 r3 l
当然，也有其他消量纲的方法，此处不一一列举。
9 j. B, e% {8 N d# x8 |
（3）数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
, E4 W" ^4 r# d& B" u
即，
" O' h; {! n. E# f# w+ O0 w
# a% b$ e2 d2 G
2020-3-13 15:05 上传
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, m3 w$ T+ B& a3 M! z% Y
1.1.3 变量筛选
+ P+ f' w8 t0 S, r7 y
4 t, ~9 y* w6 O1 P% I
——选择哪些变量作为因变量的解释变量：
! w. f, n* x: x6 g, f. E
g# F8 p6 V7 @5 r
一方面，希望尽可能不遗漏重要的解释变量
8 X2 Q) Z& n4 g, V, b( h* f2 ?& w
一方面，遵循参数节省原则(自变量数目过大时，模型计算复杂，且往往会扩大估计方差，降低模型精度)，使自变量的个数尽可能少
3 S) u- v( ~5 D2 i" z$ D' r
（1）穷举法
! X: Q) b& Q& @* a
列举出所有可能的潜在变量，再根据自变量的不同组合，选取合适的模型。
- x( w8 Y b9 Z: J# S* G
假设有m mm个潜在变量，则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
% v! |) y- M- J' D" L% t1 A% u
m
2 j. b5 ]: k+ c$ C: p6 o
3 m! R& M0 _/ a' ? y/ I* a
——当m mm较大时不现实
5 t/ T2 R4 @+ R3 t5 [
) B/ b* F$ i. q- Y# V
（2）向前选择变量法
4 n- ^ W3 d$ f% r7 u8 F
2020-3-13 15:02 上传
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7 q7 f& Q2 N" O
0 I$ G( R s) M& O2 m( m
8 x% \" s+ A1 ~2 I5 ^% x5 h
7 R& | ~/ @, n" Q' P
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; S6 {; T) i* _9 h6 b- X. }( V. k
E! M ? E2 A/ [8 B* Q# Z& x: D0 s
（3）向后删除变量法
$ o/ w- Z- ]) K! w9 }; F# M
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0 s. S3 I( C9 r7 ?# H5 G: E" j3 K
（4）逐步回归法——最常用
$ w- n$ O, c$ Z) t* j
2020-3-13 15:01 上传
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8 |1 ~# [! P- b4 z3 N, K
# A! }% M5 ?3 O" R! Z7 W3 [$ v8 g
1.1.4 调整复判定系数
5 W l" U; u: ?$ Z. {5 _
2020-3-13 14:59 上传
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}0 l$ k3 `- c. s
1.2 最小二乘估计
- q# X& {! [9 O6 A* A
; m/ o- k' E6 i$ o5 U' e& h
一元线性回归、多元线性回归——略。
4 r7 l- A- Z" ]# Z
7 @7 _3 F7 |6 y! b
2. 回归模型假设检验
5 p! G! l& m ~
9 d7 w( w) f/ |5 t' n
——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示（F FF检验）
: I& C& [( p! E# C: I7 m* }% \
+ E, d" }6 }" ?7 W% f
具体检验方法见书，此处不再赘述。
6 n- B$ e4 @1 O3 @! m' ?
; [) n( M2 s& r3 \( W* J, l
3. 回归参数假设检验和区间估计
/ A M/ \ B3 {8 u& x+ G
3 @: J# w4 j' {' n/ h
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著（t tt 检验）
9 @ w3 ?9 \; a9 b
3 y6 Z& V6 t6 S6 @
具体检验方法见书，此处不再赘述。
8 f$ A8 d. o, f7 w$ J" |0 X1 B
9 w7 Y+ n( p1 i+ z8 U8 ]! ?
4. 拟合效果分析
0 Q, N0 ]8 h0 a l s* f& T
+ y% X. Y" p! b* V. a% U
4.1 残差的样本方差(MSE)
5 r1 y5 C8 t! a4 [% N2 k8 ]
2020-3-13 14:58 上传
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& s+ u* {0 k/ J3 j/ z6 e
3 J, Z6 [1 I9 U$ P/ b; B7 S
4.2 判定系数（拟合优度）
' S5 Z" z8 J7 q9 {; V
& p0 H9 J0 b) O6 p
2020-3-13 14:57 上传
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& j: C. ~3 y2 x3 G: d, ]+ D' ~2 q! v) f
$ D7 K3 `9 Z/ E) k* I8 L/ q! C
5. 利用回归模型进行预测
& @; y# E }3 |
7 N6 O" T4 S4 s% j& ]% a# y
0 S4 e+ Q. J& `8 g" P
# z7 k% i' l- N, F
其他
5 x5 S# i, J: d0 j
6 i$ n9 ?7 `- N- P# m
偏相关系数（净相关系数）
! A: Q7 ~" h; R" Y$ P0 u
$ }; {. R( Y) C# d* F) U5 D* j' [! S
在研究两个变量之间的线性相关程度时，可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时，单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用，忽略了其他变量对这两个变量的影响。
% v! j& k9 J. w$ t5 o" }- I
( _0 s4 r. z3 M- G! Q @
复共线性和有偏估计方法
6 X6 |9 q2 U1 V: _3 I/ d3 Q1 J' s
5 m1 H3 R: T' |5 {9 V9 y: w" m* l
在一些大型线性回归问题中，最小二乘估计不总令人满意，比如系数正负号与实际意义不符，这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
: H+ b3 [: S: m& p
* W2 v- f) q$ ?0 c$ I8 r
解决方法——牺牲无偏性，改用合适的有偏估计方法，以改善估计的稳定性
) F2 r+ K7 g, e g* G/ }- @
例如，岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差，增强估计的稳定性。
( B+ I) s* I) \- `
（P.S. 均方误差Mean Squared Errors：一个好的估计应该具有较小的均方误差）
2 X' _& H* b' _7 j
5 \6 V1 h4 P5 Z3 m
再如，主成分估计——可以去掉一些复共线性
7 m9 G4 A* w+ u6 Z5 Y
$ t4 E- _0 a) f8 r
小结
6 ]9 I1 |% \7 D, e0 s6 u! e
2 w# G7 W8 ^6 y% I% U
采用回归模型进行建模的可取步骤如下：
/ r( _3 U: `/ `( u6 N3 G
$ c) `- Q% ]) k! m8 w) ~" M
建立回归模型
# S% K$ n1 c' h% W
确立样本空间，对数据进行标准化处理，采用逐步回归法筛选自变量
. d* ]3 X* d$ }0 Z* t9 W0 N
原文链接：https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
& ]0 S, @$ y0 b0 }5 S
! m7 a; m+ C: ^2 x, v4 u" K
% I9 ~$ W8 ^4 u# E9 @9 S" O7 B1 s
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7 N6 O" T4 S4 s% j& ]% a# y