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标题: 数学建模之图论 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2020-3-24 16:31
标题: 数学建模之图论

. z2 u2 r, l" P" x8 i3 b数学建模之图论概览* Z' |/ J/ S, |
) j! Q: K+ w6 X& W  u. B7 U3 O
问题引入与分析- H* G" d- G. Q% W3 R8 S
图论的基本概念
3 O' l& x9 C. Y- M- M; m' V$ q; M最短路问题及算法
0 k% u3 c! o5 l1 k* [% u: h最小生成树及算法6 a& z8 G8 ]2 Q7 F" d
旅行售货员问题/ e5 [9 m" W& G; x5 R/ I
模型建立与求解
+ h2 J/ ^/ T8 d8 }5 {1.        问题引入与分析8 I3 j9 N' q* F6 S
5 ^9 y1 z. n9 u  \0 l
1） 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的：) E, J4 ]6 p9 v, S7 {- e- |
( ^5 z4 g8 V: n' G- l1 c% a
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.6 h% L0 Z1 E6 h. S( Z! k
a. 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。0 t' V0 J" G/ x8 T
b. 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.2 s. W9 h6 S( v2 x# x! a

2 |( K5 a% f* t7 F' a* V0 m% {4 l) p- x- Z( |& ?1 o% `7 `
公路边的数字为该路段的公里。
1 y. S6 O9 H( _+ S+ |; ~
$ g7 Y* @$ ?& Q- {! r2) 问题分析：: i3 A2 s$ K8 X# U0 S/ {& x3 [
4 \( a& N5 b( U* j" }
本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.2 L( C7 w  U& U5 v# |4 W7 v5 l! I
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次5 y7 d/ Q$ `  s% @
再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
7 y) g! J5 Z* P2 V& u
, C) k9 v1 _8 s6 W* f/ X% n/ X1 u本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题./ o$ ?! e& M7 @+ C+ S
本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链（闭迹）.& J( {8 S1 T: ]
如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四个旅行售货员问题.& O' l: e3 ]3 ~
众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，即求解没有多项式时间算法.* g$ G; y! B+ C
显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此，一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.4 x% U4 [! O3 s5 R6 c5 w3 r! k* w

6 \) n& ^( R: q6 a" [2.        图论的基本概念; _, t, O* Y6 z9 z, [) J
& S+ z, R* `2 p1 y
图的概念
; k) f4 c1 d9 ]赋权图与子图
/ A/ R1 K* r1 {3 Q图的矩阵表示- x- ^5 Q3 j2 b( N
图的顶点度) W9 _2 E/ n0 ]% ^
路和连通
+ p5 @4 i# N7 E2 S8 S1) 图的概念& g3 B- W: P5 [3 F' c
* X( Y$ l3 |5 L  _& y  w

% g. O7 k. ^+ b; l( ?3 U; O# h. v1 R; ~# T: v1 L) b) q: l/ z4 @

7 O6 w0 I% c: ]$ T9 y) M! H% f+ k
% W, |0 w) h: u  B5 i
& L# o/ y* r" x1 m& J( s  V
8 m) o/ ?8 ^0 e" z
: z! n* u' i1 k- v$ B$ x0 L& e

& a) T  ?! R! G& U( H3 p) D$ }3 ?% E; V7 O- y' }5 Z; P- i1 c
1 U7 y% {: A2 b4 E6 `" X2 D
* _' E+ D2 A/ v# k# `& D1 |
5 k+ ?/ N2 k- |9 T1 h7 a: d
6 V  [4 e1 N& D# _; X
; V' c+ V4 d  Z1 L8 p
/ ~% B: O$ i1 p
) Z7 ~% R4 k6 Q9 h

, P% q( \9 O: K' {- T0 L. s! n, w2 P
( Q* d+ a! D! u# i6 S
& A5 ^- T, @. N( X( {% h, Q8 J, ?& R: x  s+ d; t0 l

% L" d& x7 L7 s9 |/ R7 n
$ a6 I  n: z. D: L6 O* T% _7 ~& s5 u" M9 R

, s* K# s+ D0 {# F+ ]$ B0 b' N4 @  o, J3 v, ]/ ~2 H+ F
" y1 ], v. y1 X& A7 R

' j( ^( p4 O; ?
2 b. l6 i$ d4 U4 R3. 最短路
& {, @5 n7 u/ W3 F5 h1 j
2 B) m4 A, M; A: h, g% _7 A! a5 uDijkstra算法
# p  k" h% l# ~6 v. p
% y% f1 I/ ]# ^8 n7 L# A( F略( s9 u6 ]8 e3 S: z  F

+ `2 S3 T- U8 ?8 f1 kFloyd算法
4 R2 }0 e3 |) r. v) T: b
$ `8 @$ R2 P+ k3 W( Z  {/ t算法的基本思想
! q- Z1 l" F2 t! b
8 p) K( z( Z# B: F5 \. R直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν)，使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵，同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。( x2 X( y2 o' @4 b6 J
（I）求距离矩阵的方法.' L- {! f/ \; n: {' g6 Y( U
（II）求路径矩阵的方法.
5 X6 m" V+ l8 z9 r（III）查找最短路路径的方法.+ j7 N2 i% p% T% A- m

$ C* y0 `" W7 I9 R  FFloyd有两个矩阵，一个是D矩阵（代表距离），一个是R矩阵（代表中介点）$ K* J- A1 _2 R& U# J0 c

4 c! f- U% z, Q: ^6 p4 u% Y
- B0 F( P, h0 K6 ]: f+ [" E9 p) W" f  a% b

- }! ?8 J5 j. B" H, d8 r在这里相当于v1 v_1v 2 O% l2 g; H: y4 |! S& |
1) V+ ^% `+ j8 ?; Q2 ]
​       
6 s. [7 {7 I% w! n2 K 被打通了，此时v1 v_1v ) U. O% q7 j8 d& R/ v! ]
16 p* i+ C' W  Q! l, g- M3 \
​        / k! b1 f; [6 i% G; Y( B0 u$ g
就可以作为中介点连接。
2 Z& `2 X7 W! E& t9 V$ a5 X于是遍历和v1 v_1v / a) T, t1 G! P# K. B
1
( y+ A- `' j* B& B6 m​       
1 ?8 k; \' [: e' J" W+ Z3 R 连接的点，例如此时遍历到v2 v_2v
( \* ?; b+ s* h4 v26 D3 ?& E! }3 ]! P$ F
​        3 I2 ^2 |" n7 P" F8 L% C, u
。
, _- Z, x' a# {& }; ?$ x然后再以v2 v_2v $ g) C& L9 ^1 @. D: k! L) U+ y
2( \8 b4 J: g' U
​       
- Z! P$ U0 Q2 h9 K# J+ ^6 d 为基准，遍历和v1 v_1v
; F: n. E, ?/ `8 d2 @( V* U14 O7 Q, d, ]; V! G  @7 ?( c" E/ a
​       
( \1 ^8 s1 b7 d% X; r 连接的点。' X9 z8 O( ~3 `1 j/ N9 U
所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵，如果可以变化，那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
! ~: B$ K% \4 b, u0 o! y8 [, d4 v# o

. |8 y* r8 K) _4 }. w3 h/ U, J0 ~2 n8 f

8 ?, A# x! J8 e, D5 d, [0 T
# M# n+ W$ }. n7 P" T1 p1 [; x- A! @0 Q+ @

6 ^7 r9 s5 K) N6 {2 Y, a, f. v' l0 Y9 @; H3 {! A

% \+ [8 k9 s0 y) t  G: C这里的逻辑是这样的:
3 c; t9 r: X$ J4 Z+ q最小生成树7 F, V! H. K4 T+ U: h2 O

) [7 r  L: A0 E" Y, A  A（略）
4 {& ]- v1 D1 M1 z6 L/ K3 S————————————————
1 E, J' P/ W' y2 l) k版权声明：本文为CSDN博主「Mr. Water」的原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。$ y) Q+ V0 c9 a( e) W/ M' t
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8 v5 J' t7 e; O9 U. p; q3 V' |. y0 Y5 K& f& j% [9 r: y

# t" n4 q5 k7 w8 w



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