数学建模社区-数学中国

标题: 数学建模之图论 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2020-3-24 16:31
标题: 数学建模之图论
1 ~- d- `, `4 A
数学建模之图论概览
6 C% m% h' S4 V0 k  O3 I8 C# j6 |4 f% ~5 S- ?
问题引入与分析5 B, O- `: P5 |
图论的基本概念/ Y% v' S, \+ r8 v
最短路问题及算法
: a' t/ V$ w1 J% w. u, \4 n最小生成树及算法+ o! O" s$ F( o8 G( v7 @  q
旅行售货员问题
$ f0 d' C( Y7 C4 J模型建立与求解0 {' I" u1 L) M& F! q
1.        问题引入与分析
" i! h  [5 b2 s, H
- r1 u" j* e3 r( i2 z1 K1） 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
7 B' ]+ X  d% h$ E" ^# w. b/ s* ]/ Z9 f. z- A; D
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.7 G6 T# X3 M7 O3 O% |# a5 R4 Z
a. 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
8 b6 U3 i: n6 Z; Hb. 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.7 n1 k) C# e' n8 |

! z+ I6 e0 @7 e# |- k  S' n1 s2 O# ]% y  l6 y
公路边的数字为该路段的公里。
4 [, w3 C* a* w! D- P& t5 s- B- A2 {+ n( N/ i" k
2) 问题分析：
9 c# v+ {0 J( l* O3 n- [3 r5 ]5 P
本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
3 {  ?9 ^0 }4 L" D0 w% r将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次
: W6 a" I# q$ d  S: Y, G再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
7 U/ t( d% \; d2 G, F
+ c+ D9 d+ t$ w) a4 }本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题.
$ C. k9 H- |, F6 H本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链（闭迹）.
  x+ b$ }9 I1 }  \/ e5 i; U# y如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四个旅行售货员问题.
; n5 ~4 f( O7 j% q1 |众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，即求解没有多项式时间算法.4 A  y1 D& z4 |  G( @& C
显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此，一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解." o+ i3 k- S9 N2 R2 n

% q" {* ~5 l( y! n  k: y7 j9 S2.        图论的基本概念; |: b0 A/ r, [+ }' h) _

" a! P2 g- M. G/ \" s! _图的概念# k/ k" m, O4 t
赋权图与子图
9 c8 k+ L! j# I9 {" H! W图的矩阵表示
( d6 f* ?2 x9 w4 q  J1 d) T/ H图的顶点度
: J+ {  O" N4 P! T0 K- J路和连通9 F/ g7 V+ p: }2 X  P1 J
1) 图的概念
. {3 P. w/ q: W8 a
7 l) B/ g5 U- ^( s
9 j/ |% P4 i* f" g, q/ A7 e' i
: k2 f( d) H# |
; E3 U! H$ x& M* z) A! N; N9 T+ _0 ~8 c# Z5 F' L
! g, [/ i6 q& d( B4 F/ \+ M

' w6 n2 Z" N5 K% U+ X6 x4 `, K" M: H) F+ w

0 j/ ~) ^  d- b/ f
! G* h1 S  a! l+ |5 L8 R# [2 U6 R% K0 Q+ V+ t9 \
* t( h# z. o( I
" W6 i- y* {  F3 v. n

# c- |6 \( v6 Q5 ^
1 c4 W+ V- H5 W! ^9 |. l0 A+ }* W! n( E! }$ P( n7 E# |

: D( ~; C( U( `! k& R. ^% d( T  K5 f" t6 f' ^  b# ^+ ~
6 u0 f& P) n# e: X

& q  V4 w3 h+ O3 F* t2 f4 W- ^6 Q3 r2 }% B

6 m* U* E; D$ [* _4 J" p1 H2 W: W4 s7 t

0 }) ]' M: m9 ~9 U; U; |6 v9 Z( F- Q2 O: q
. ^" ^' k0 W4 [+ @" ]+ p% e5 X
2 e' f! W$ z1 M" d" e# ^

) f0 ^4 }/ v4 o7 n  {4 ~6 l0 J7 [0 R

7 [6 q- n! c% \! Q* q3. 最短路9 W6 R2 v% X3 v1 z) Z2 x( f
+ _" x  r6 x6 T/ `7 E
Dijkstra算法) x8 A: Z! e: \" f
; s; W- i  K) h% Q. ?9 l' ~7 \" w7 K
略$ n8 l) [4 c+ P5 e( f) c/ n
7 C; g' ^7 [" M; k) x0 `' F! J
Floyd算法
, z6 B! w) G$ e) P8 `8 I0 x4 k0 c
$ T) q( }! u: M0 }8 P, k( q- x7 d& ?算法的基本思想) \! L( r$ x! N/ s  _+ J

  C0 i, \0 L; _直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν)，使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵，同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
. c$ r5 {: m& m7 u2 Y2 v8 k: x3 F（I）求距离矩阵的方法.' L2 r  j* V3 u6 H: d. @
（II）求路径矩阵的方法.! w5 ]2 e; P) Z" j" o9 g
（III）查找最短路路径的方法.
6 I* c4 x9 C6 ]$ Z
) s1 n4 d5 [# o  l) vFloyd有两个矩阵，一个是D矩阵（代表距离），一个是R矩阵（代表中介点）
* U8 t/ q& n0 U2 z* ?$ t5 F0 [0 Y6 r
' g& ]" @. S! v6 h  B  v

: S  Y+ l: {( q1 H# m3 a/ G' P$ g
& }* B0 g' H: P在这里相当于v1 v_1v
& D. e8 U: V% Q7 Z: o2 m11 ^# Q' `" z6 ~& Y7 D
​       
7 {, B4 J2 T9 f8 H 被打通了，此时v1 v_1v 5 W4 c) G* b& @9 y
1
9 s9 @5 Z+ S+ O* l+ R​        2 o* k) g$ B, g  Z9 ~: l
就可以作为中介点连接。" w! p, L& y8 O& X) H  u5 i
于是遍历和v1 v_1v
+ I5 |" w- ?- q% l- B3 G18 ^6 p, Q" f9 V. V7 P. T0 P% ?
​        / ^8 [- q8 z/ p2 `+ [  ^9 v
连接的点，例如此时遍历到v2 v_2v
) m3 K; D" J- C, m3 S# M0 C2( H. W1 J* O3 @. z& N! |$ F; f
​        ! T* F7 o, B0 g# f0 ]5 P/ g7 {
。$ ?0 H( `- t# ^( B
然后再以v2 v_2v
! A7 {, `4 w& G+ b7 X/ O$ Q: J2# w, r- ^+ s9 h4 i
​       
6 h3 o" L) ~1 o0 `/ ]. ? 为基准，遍历和v1 v_1v
+ S& U% {& p  K1
( u9 T  m/ D5 a( P. s3 o​       
9 q* |3 o7 H  z% `; E) K) ^9 S 连接的点。& q2 P, p" |( m1 J% K0 S
所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵，如果可以变化，那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
/ b7 r* A9 T- ]$ Y, j
% I1 z/ P6 w1 |; q" j
7 |: i3 T% H; P1 e6 _% P
- y2 ?) ?) I1 h6 G) j
9 Z) K' }8 X, N) O6 c, l, @6 t2 ], a; [: k2 t7 Y
' f0 O1 T3 r# Q+ }5 R/ P4 q4 B5 N
* o' m/ e, m) S& B2 B9 \6 B

  P9 c7 Y$ W8 U" U9 m$ w5 I
& e6 T5 U: Q3 G8 @6 ~4 Y这里的逻辑是这样的:  n/ P4 C1 q2 K# X
最小生成树( H# f$ o) z& u+ q- J5 V& I

, Z$ r2 G  X, z( w  l（略）
+ e; ]$ c7 H  L; A( T7 F————————————————
3 h$ L  Q. E: I! |4 j1 e版权声明：本文为CSDN博主「Mr. Water」的原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
7 C$ u- r; e6 \, b) c2 ]3 T" x# a原文链接：https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/100022182
$ H7 e, }4 j2 g; O) G8 q6 g" n/ T8 {) R- a
- R) Y3 a7 Q# U0 ]




欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5