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标题: 数学建模之图论 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2020-3-24 16:31
标题: 数学建模之图论

4 T7 l: u& k2 B- J; J+ }数学建模之图论概览2 c; C: _; B, N# X/ O  j) E

  b$ u, a% Y9 r/ A: G5 A: w/ o0 K$ M问题引入与分析
6 V) q* \- l1 N8 K6 C  ~& C! |# i图论的基本概念& m5 M0 [" H1 O( k3 {! B( w  G
最短路问题及算法. f3 G& `) V; l1 v: F  F+ I
最小生成树及算法
4 {* s! x7 y1 u8 c* p% L: b旅行售货员问题4 f7 D( m; m1 @! k
模型建立与求解# W0 r6 J2 k4 p
1.        问题引入与分析
) o, @8 Q5 a  Q3 w; o) E7 K
$ q. S0 [: f, P; D7 x9 v1） 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
# l# p5 P# B8 J0 M- E% m
4 |) g$ Z. |  I9 H今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.; U& Q9 r# y0 p+ @% U" a
a. 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
; N9 t; @) ~$ ^0 {$ ?b. 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线./ ^' ]' h: ~1 e" L) ]6 Y

/ ^: o: t% y6 j4 R6 W
- h' [" F0 a% \& T. `- `公路边的数字为该路段的公里。2 O/ ]; Q; a( X8 m
1 R/ c& _  N/ f8 N! {. U7 k+ B
2) 问题分析：
; J+ }' @0 N& T
: r/ d: E6 V. Z2 {: D# N. Z本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
4 i% Z% v2 H, h5 Z9 `- ]将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次' Z5 s; `( E* a4 [/ X% |- K
再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.- w+ w' n2 x: h1 D
5 \9 e! S1 {3 B' |5 ^: x! g2 j
本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题.
8 @- H, R1 C: ?7 f2 ?4 X0 o& x  l本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链（闭迹）.0 b  {1 t: C, d! h2 G9 m
如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四个旅行售货员问题.+ P' q+ W$ O9 s& r, I3 j3 S& z
众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，即求解没有多项式时间算法.
2 T" p. Y5 j! M7 B显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此，一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.9 S+ C7 z5 W  o' W0 O/ A

9 k# u" O! @. Z& ^- a. O2.        图论的基本概念
: h- R" Y# |( E+ Z3 t
) p  r" y* P) |% n  W! E$ n图的概念9 f! i: ]: i3 t1 A# A0 M3 a% U5 a
赋权图与子图2 A9 w% l4 o! h7 ]2 @
图的矩阵表示) _0 y9 {; c' K: |
图的顶点度% f5 |$ D! m2 D7 f' P1 d& {6 ?1 `" z: |
路和连通
8 G: Y8 b0 N/ W1) 图的概念
. e6 F& v  P7 g$ E1 n9 F, l! B% P% a# S
$ }: u( ~. H+ a) o6 e
+ v! b4 b8 i8 [
( c3 g; \4 ]- Y8 |
5 r) [6 m6 |) ^
7 Y( r% Y9 {" ?/ w9 Q: A7 _- o- K

4 I/ }, l1 |+ @" K7 u& y2 w; [0 ~6 }0 {% {. }3 y
9 M* x4 o0 |5 ^, t+ {  B
9 D" T* Z: @( ^1 |; v, k+ t
+ w4 T- l7 ]; t) D

6 S# l- Z/ M) F9 ?! H6 }; p, b6 w7 b. _: S( ^+ Z
3 S" x: T) W4 g) r
) X  ^+ h' P% L" C0 U! w
4 K. u& n: K2 R* s0 i9 ~3 {
( f2 q6 G: E9 y: q, F1 Z

1 M" H/ {( G% e; c7 e
/ f: ?# F0 \. |: }! }- ]4 s
" k5 X9 W% j& L( i
/ M3 ?5 S( G  Q
4 u# ~, j% h4 B0 b5 ^0 o/ {' y  y3 U7 r6 V# f0 D4 S
5 ~4 R9 B( j2 g& E5 `4 T* u7 J

0 i  q+ d# q1 x9 z4 k. x( O+ j  a2 X1 W$ {$ E% N# v

/ q0 F7 H3 V; h( e8 c+ D1 N$ M0 [+ y3 t
7 P( t* f; Z: T! x  z9 v

: T% F2 F4 o- `+ j, y) E3. 最短路! i* W: c" m0 a+ [% h- d( e

/ b0 g/ k& q/ D. P" W2 ~' D3 ^- ODijkstra算法, }# Y1 Y) ]/ M* h1 U
# L0 b2 {2 I7 n. d" M. |% n
略; I" R$ I( w: \4 }% j7 b! U
! p1 ~, i. m% c- Q4 q
Floyd算法
# u5 |' M' G: G2 l0 t
+ P& ~& h- I$ H4 V2 k2 E5 u5 Q% l; P算法的基本思想
$ |% o, G& o/ x$ L! b; g0 v# {8 {2 ^8 \+ d
直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν)，使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵，同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
% J) Q8 C, M, R, b* p（I）求距离矩阵的方法.
+ y& e5 u+ L  ~  w9 ~8 H（II）求路径矩阵的方法.
8 H  }+ `: a$ T  z7 Q（III）查找最短路路径的方法./ k1 q) i0 t/ g! ?$ @( _

7 j# w1 r' y, z4 d  o$ [Floyd有两个矩阵，一个是D矩阵（代表距离），一个是R矩阵（代表中介点）5 N+ R4 o3 Q7 d5 w* ^+ O( A5 x! v) M
! [" c' F1 W$ H9 x! k
+ P& K% n1 ~/ ?' k8 t  |
: t+ ^- s6 Z# t
5 R+ A! M$ ^) V* I& d) n
在这里相当于v1 v_1v
* O2 y. z" z+ O2 J2 Y3 W/ l% L1) G4 M7 `  _5 l2 C
​       
6 i" E, B. G- s, s  _ 被打通了，此时v1 v_1v
# x/ _9 P- d1 r3 k1
6 G9 ]( C6 D. J. q) ~​        $ F2 P. _7 T( D2 J3 R$ [" e! j# x
就可以作为中介点连接。
8 e' ?- b! _2 i  T6 `于是遍历和v1 v_1v 2 _, @$ p$ W/ U! y& o
1
/ M1 T: b7 V( ?' R/ m7 t​        5 Y2 w( q2 B- ~5 P
连接的点，例如此时遍历到v2 v_2v
8 t  W$ n" a$ G6 C2
7 I" [3 Q1 u2 v9 ~# d+ N: S​        # X9 L( l; |& R* d+ M2 S
。* R, I0 F( C0 }8 ~1 V9 J1 s( O0 i# U
然后再以v2 v_2v
$ e3 c8 r5 C) G: s+ I& N& A2
# U+ o7 n- e! d$ K- }3 o​       
. m; R) ^5 i' d. `6 z! t& b5 Z 为基准，遍历和v1 v_1v
' c! o( L! L0 r  o8 v1
5 P8 J8 h9 E! y- K* u! A​       
9 X* o4 D2 j' Y( H& p) {) [* L 连接的点。& p3 G6 y+ W+ Y" b% H: `
所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵，如果可以变化，那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
% d: i: Q7 K- n+ Y$ N% {/ s; j/ g3 v) L' v# E, B/ f# O

$ ~% a/ [2 G  e% {* Z$ d" C5 A; h/ r  F  ^$ t. Y. C7 @5 |

" ?1 {0 `5 _4 O8 m# j$ j6 Y. F, f0 I
& h+ G1 |/ M4 X0 U/ c1 W5 z; H

5 v: I# {- u3 j' R( ~/ p4 G9 y  B! w* E* l
  }9 V6 H3 h+ M2 L% @
这里的逻辑是这样的:
) D. E6 T3 k" a2 N! }( p7 s最小生成树
; \3 w& f  |, P, ^$ x9 C1 s% }' E
) V5 }. M2 P* z$ t8 g& c0 {. d, h& a（略）7 a, e3 H7 ]0 ^* d5 c1 p2 d5 e
————————————————: w; E" @+ A8 r7 s
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  g  i& M/ @& `; O& @; [( u原文链接：https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/100022182; n' Z7 j* o2 I' }# Z

" i; m1 ^/ C2 G9 J* K# O6 @( O; g/ n1 {/ t- J5 I. f' Z, l  d




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