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标题: 数学建模之图论 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2020-3-24 16:31
标题: 数学建模之图论
3 K/ ]5 ]+ _  [' `* j, c
数学建模之图论概览
0 i, `3 @* ]0 D5 B
8 B% B4 Q" D  g问题引入与分析# W( e1 Z! w4 O* d' u
图论的基本概念
, [( ~! |3 F- n. c! n- X' V+ n6 e. U最短路问题及算法
; f& a. O2 ^" R& J+ C最小生成树及算法
. O2 H2 w! R; e3 Q* D) b& Q旅行售货员问题8 _9 M" g3 m5 R9 m
模型建立与求解
+ U5 ?$ [4 L* x. F. R1.        问题引入与分析9 y# Q" A2 J4 `, _5 z, g
/ v$ t5 U" _9 \& X* Q" v
1） 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的：1 W1 ]: N# s- o: T0 `8 e

/ t! w- t) f7 z% r% x1 I! T今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.1 U( r1 m/ v3 i1 x9 A* K
a. 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
# @# p& }6 U4 s% @# f$ l$ ~b. 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.! N6 k! }  }: O$ _5 x+ H) h
& ^" c1 i6 t. n1 R) [

9 n, z8 J7 {% v! y' ^; Q公路边的数字为该路段的公里。: U" e7 l+ M9 ], g* J5 u7 J

3 P; B7 m2 O1 {$ _2) 问题分析：
5 c0 B! l' |) Z( J
7 b- C  k, u8 ]5 h6 [5 ?' K本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.* e! c/ g& }# Z" \8 f. w
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次
* q! K. o* |# @, W/ \8 K再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
  U4 h0 `" c6 M% j! x* D$ s" H2 @
本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题.
$ r( M* L; i$ \  b1 h# z本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链（闭迹）.  C" ^1 d# M7 H, ^$ v# h8 p) u+ d4 G
如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四个旅行售货员问题.
1 p8 |1 g7 x+ `众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，即求解没有多项式时间算法.' U( }0 L% T- e2 @
显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此，一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.4 }& U9 u8 d' D1 B! I6 V3 B( y) }# ~" {
6 S; B8 k- S6 V6 U. ^9 |
2.        图论的基本概念
8 i2 g$ g, p8 C" W. d2 `# n7 g/ `
, r3 p: a  m5 ]" D' K8 R$ `图的概念
0 ?  s* Y: D4 v2 e1 f4 ?赋权图与子图
. k* K: @) S3 U1 J) T; ?$ T8 S9 c# h图的矩阵表示/ ]' s2 \. I7 _& D) b- B2 Z( A
图的顶点度; H+ R: u  f+ p# o) [  i7 P
路和连通# V& u# r! e* I$ R* s
1) 图的概念+ |- n4 f; o7 a" p0 J! q# m3 I
7 A8 G  c6 _1 i, c1 r% W- R
- j; Z( T* ^; j- }8 {

  B3 ?7 H* W( G; u5 G! P, b4 E# l" r4 Q; p, _# o
3 t3 A" m* l8 f
8 ]  z+ v+ e: O2 R/ V( ]
; w9 u* Z! S5 v2 x  w9 r4 f
( E8 B/ ~" A* R1 z

! P* k9 p6 P, r) @) {) z
. ]' {# h9 A- h! a* d) t. U! s( {/ [
! ^( l& ]: ~/ k) k7 }, P1 d; `+ D

: C5 f* h3 ^4 r; S" {1 T! f" _( Y% D, X; W

( x1 o  ^7 q# @5 V! Q! H1 F. [0 X1 c
5 N6 x! L( l' v4 ^
9 Q7 I( q. R: C
5 w" C, `4 g% h6 r1 T3 M" _4 U
# M# p: p4 b3 x9 ]' ?4 Q+ B

5 f% ~4 m( A+ w) i: k  X% Q( G( T5 F3 _

9 K9 U. K7 o( F8 W+ H# A. n6 [
# ]: c6 Q' P( B" Z: e3 N/ j8 o2 V' G; ?7 g1 {# @; m

& c5 X5 a% X# `! c% I2 k4 D2 V7 v5 i. i5 l( G

* c$ B  e1 B" Y+ y1 ?& A( g/ P7 a! v; Y7 l: X+ q

9 @* p6 W5 h) K1 X; C3. 最短路2 {  B" Q# ~) [& n, ~6 [
8 ?4 ~- @. O5 i$ a2 ^
Dijkstra算法
0 F& Y& h$ ?8 v7 g& Y  M( m4 [
! s: f* y0 n9 k) W$ J略
# C+ O7 P6 a4 t7 H
; h. D$ P; m4 X6 p$ j3 `Floyd算法& w& S# i  O; s& Q; a  b
, {, V; k4 X! V# D/ G9 {
算法的基本思想
+ u, Y( N+ C1 w- [
: x  H# }/ F( C8 I6 Y" {& g直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν)，使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵，同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
3 z0 Y6 ~( l1 @% \（I）求距离矩阵的方法.
3 ?: m- J* s7 W4 l( Z（II）求路径矩阵的方法.
3 j" l4 [  S2 G4 v6 ?+ c1 n（III）查找最短路路径的方法.$ [; j' H* `: a  C) i

0 ?1 W; ~, z% D- ]( ^$ a/ KFloyd有两个矩阵，一个是D矩阵（代表距离），一个是R矩阵（代表中介点）
7 M8 C' f" T2 ~7 o3 O
5 M! C8 P# k0 F# X
7 x' w2 \, ?! ]& a1 B" ~/ H; @* D: i/ i. S; O
" K7 m/ D1 |( q1 u, u0 O
在这里相当于v1 v_1v - Y: }4 p2 t! s
1
. y( b) u4 w* i2 C( y​        % C& Z, i; T' U# z$ j- [+ S% a' U
被打通了，此时v1 v_1v
; E8 B3 f  T7 s" [1, X1 i( B3 c4 X: y" K
​        ' M0 i# B% d3 `- l, B, ?+ Q9 K
就可以作为中介点连接。
" A- ?# W# S4 o4 C于是遍历和v1 v_1v : E- F! }2 Y3 G7 ^0 X. \
1# G# _& h. h( U1 H3 g
​       
% S7 N$ p9 R% u2 G: _' ~6 \( M) ~ 连接的点，例如此时遍历到v2 v_2v - a9 ?& g# t, G8 _+ m: ]
2. i( |8 W: k& ?7 t
​       
  y8 [4 A5 Z( U" D- L. [( _ 。. y1 x' x* \( `( x- s* o
然后再以v2 v_2v " p. x5 H4 I  D2 B9 N# t; V. n
2/ Q# r3 p; u2 Z% n8 k8 g
​       
  k' V3 X# l: V3 I* |% }- k5 M9 H 为基准，遍历和v1 v_1v
9 G/ g2 H  O8 U2 G) N4 p1
4 n2 ?  K: U! y! S​       
# ?: j* P2 c; N+ X; f) Z8 [# s 连接的点。
' U, P0 P( s: o' D  N- v& g所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵，如果可以变化，那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
- D2 Y  E' E- a7 L( B6 z, `% f# \/ f. K1 o% d  m" g: c& f
" f5 R* g. Q+ {' \5 \- A9 c) U% p. W
% A4 d* ^& p7 O( ]; ?& S
% c! B7 U5 E& D  s8 s

- c4 h* ^* R4 c$ a
$ s( N; M2 S. t8 ~
3 `. ~& u+ I' `  B1 ~; R
1 j+ `: m* A: d- H# m7 C
2 `0 }, T3 `. q+ n  Y# }这里的逻辑是这样的:
& o9 w1 E. e9 K% Y  Z最小生成树4 Z& [7 ]3 B$ O' R2 f7 w
/ g8 ~$ m; e8 v. U  X& k/ S
（略）
/ Y) L+ z' o/ V% B+ {* A4 y————————————————* A0 A4 h! f5 {5 I
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  s+ Q: _2 F$ \3 ^: R原文链接：https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/1000221829 z9 v) e. T4 O6 x0 Z
, f$ u# z, b; M
: B9 k+ K& g% v4 d6 S




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