数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
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作者:
杨利霞
时间:
2020-4-3 15:23
标题:
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
6 E: v. ^6 o' |. q3 F3 G
0 ?- T$ P; z' F, i$ ^
今天学习了插值法的matlab实现。
- A; G0 d# N& y0 U" C6 n. K
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
6 k. J' W' ^4 K1 y$ W/ P3 b
: Z9 d* Q4 K5 u1 k Y' C7 H: g
插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
+ _. B R/ D# S: d
" L& n: l' e+ r
一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
8 S/ O3 o( t: x. T: u. Q
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
1 X2 e; W8 N7 [0 P
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
/ y% z0 d1 X* {2 F8 X; C" V: L
+ F4 P; C& \1 ^2 q) ?$ [0 k
接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
9 ^& L0 |: U6 ~: m+ K$ Q% \
1）分段三次Hermite插值
7 @# U, X8 G8 S" ^8 @! R
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
; ^) _( c9 f) V5 c4 e
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
+ S* Q2 u/ ]/ W0 x9 D/ Z
② 分段三次埃尔米特插值：
5 w0 ^& k+ N' B; n
2020-4-3 15:17 上传
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( E' f7 w% q/ z/ M, U& Z$ B
+ R, ?0 k: c2 N" ]
2）三次样条插值函数
1 o. j0 h6 V' ?* @! F7 u
2020-4-3 15:18 上传
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' J3 f2 q" N o
其次，再用matlab分别实现两种插值法
8 k1 n4 d) m) ~! Z# z# j
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
2 r- H% ^3 O* A" I
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
A3 I, I1 X& w. H
2020-4-3 15:19 上传
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, Q* K6 H# {, b! q
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
" o7 ^0 t& S# V {5 P. M2 k$ K
# ^# e5 e( G9 `# ?4 z4 @. ^
这是我写的代码：
: j7 j8 g d. f2 q! a; E- H- W
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
2 [2 I5 U$ j. J% a0 V
（1）代码部分：
( N, v' f8 ], v. \' L2 G' s- q
2020-4-3 15:20 上传
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; G: ?7 A6 `( T$ Y1 v
（2）运行结果：
' d# W& Q6 t* g
2020-4-3 15:21 上传
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(187.3 KB)
; h2 G+ L w$ ]$ w/ v
* V7 I: Z- p% e- v$ Q5 U/ l
2、三次样条插值
) H2 G" h+ r/ a; g/ J, Y
（1）代码部分（pchip函数）：
# x8 D4 @' k/ k0 q
. M, |& U; a- w0 M2 g- m
2020-4-3 15:22 上传
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(122.05 KB)
9 u9 i- @* [6 G- |7 C' n; x
（2）运行结果：
7 l r0 M' z- A3 N9 }4 ~ i
2020-4-3 15:22 上传
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(219.5 KB)
6 g, H9 \+ P( a3 I. W1 |" s
Y# ?4 L+ V1 p) C- U L
经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
7 }1 C1 K3 S6 S
$ w) {% z+ ?, Y& M2 ?
注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
1 M. @, H$ E" O. C7 C
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
' m9 ^- q) t- Y8 f. |* J5 b
" L4 m1 R; f& M
; L0 Z! Q9 f, n1 i
作者:
chace
时间:
2020-4-6 10:31
谢谢分享 努力学习
. I y: C% L6 B2 [; H/ r
作者:
张迪迪.迪丽热巴
时间:
2020-4-12 21:02
发表回复
! J4 N1 P% F, S2 O& I! U _. h' _
作者:
张迪迪.迪丽热巴
时间:
2020-4-12 21:02
发表回复
) u* o4 m* M6 u, ~( z
作者:
xiEnqing
时间:
2020-4-16 21:13
听说回帖加体力~
3 p, ]# L2 p+ F: j9 \
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