数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
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作者:
杨利霞
时间:
2020-4-3 15:23
标题:
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
8 N; C# ], J% W. I I2 h6 y( o m
0 P l* g3 h9 c' ^% p
今天学习了插值法的matlab实现。
$ s. C& S$ e9 M7 q; g: F, s
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
( x, r( q7 A0 W# q; g
6 w9 C: } {4 A9 i; Y* I+ ~) Q A' ]
插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
( x5 a$ i/ L! K0 @1 B; w) r
8 x( l. r* l- ~( V
一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
6 s% m6 t' ^! M Z' \, _6 h. Z0 n9 j
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
" G3 r( d; G, T9 @
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
/ l( R+ C2 s: }% k, r; ^5 a
- q* }0 F3 L2 g
接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
3 L* F! j! l* J3 M) Y8 R
1）分段三次Hermite插值
1 ?( s0 j* M R
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
0 [! y) b6 Y6 s7 w
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
! p; \6 @* |* f
② 分段三次埃尔米特插值：
' A7 E& ?/ w$ L+ e
2020-4-3 15:17 上传
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* H# \# l( c6 ]0 Z2 u; _# d
/ y4 x5 Y% w8 M* X7 b/ Z
2）三次样条插值函数
& a" y+ P( o9 |; D, u
2020-4-3 15:18 上传
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3 t6 Y; |' c' x/ y
其次，再用matlab分别实现两种插值法
- i$ t# O+ X9 \
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
1 P4 p' D3 z7 X$ ?$ s
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
0 W* r' h. U, [; d% r9 L) B% h% I7 G
2020-4-3 15:19 上传
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# a4 ]/ \4 G4 @4 p: L4 w! ^
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
+ p( G6 K" H3 j, z8 u
$ E6 f5 f8 Y6 y# A9 ?
这是我写的代码：
' Z5 q( n# t' F
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
5 S9 g# G6 n3 K* F+ E8 X$ E* @
（1）代码部分：
7 p3 g- P9 T1 C; l' }1 _
2020-4-3 15:20 上传
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8 {7 V* ]& J1 [+ [! `* S) S
（2）运行结果：
& P4 O) |7 Y1 u0 E$ I- b4 v
2020-4-3 15:21 上传
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! y7 H/ m' s* b7 N8 C0 ]$ I5 B2 X* \
! H# D8 T$ X+ m- N
2、三次样条插值
' ]: _! n; l+ E) i: [
（1）代码部分（pchip函数）：
' @/ Q7 ^) C" |/ r( {
4 {' [0 O1 j- N8 [( s
2020-4-3 15:22 上传
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7 |. t5 l+ y) P U9 n1 q
（2）运行结果：
) Q0 z& S" J! c# v
2020-4-3 15:22 上传
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(219.5 KB)
1 f# L0 H7 t8 y1 j3 }; Q' Q
& g* y: x/ {8 ~: S3 b# y
经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
# n0 w# v( L. J) U: B
! O) B1 f; O! @; d5 G$ d
注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
: z5 `+ z7 k; r0 G4 c
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
6 n( j9 L1 `* C& T8 Q U) K
: ~' E M7 j9 j9 b
- e4 U' x- t5 z" ^! d# q
作者:
chace
时间:
2020-4-6 10:31
谢谢分享 努力学习
, m [& X! D7 C$ s& B6 X1 n
作者:
张迪迪.迪丽热巴
时间:
2020-4-12 21:02
发表回复
. o2 g( I' c% h9 ~+ ]& H0 b. x
作者:
张迪迪.迪丽热巴
时间:
2020-4-12 21:02
发表回复
7 Z: [5 o% r' X/ X: d
作者:
xiEnqing
时间:
2020-4-16 21:13
听说回帖加体力~
# b8 u2 A& b; ?+ }; ]
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