数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
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作者:
杨利霞
时间:
2020-4-3 15:23
标题:
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
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今天学习了插值法的matlab实现。
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我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
7 ~2 Z) e# |2 ~( w! U. f
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插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
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一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
5 D; R [4 {0 s6 W' T
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
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这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
2 D G y6 O1 B _
5 V& `6 s. l4 }, {. y5 ]; w
接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
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1）分段三次Hermite插值
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① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
G; [( |- \) I9 u5 A0 C
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
0 ~7 C# N8 _+ B
② 分段三次埃尔米特插值：
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2020-4-3 15:17 上传
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+ k# ]+ X4 Z. f5 Y8 n; u ^: S
2）三次样条插值函数
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2020-4-3 15:18 上传
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其次，再用matlab分别实现两种插值法
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这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
" ~5 s) ]3 N" [! B, b5 U/ |% _9 e
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
. \; Z9 j ]+ Y( q8 L, Y2 O y' r7 w
2020-4-3 15:19 上传
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5 c2 c5 n. x! w4 F
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
& E N$ v+ }3 F& O
- I, r$ O G1 X; x2 S
这是我写的代码：
1 G6 A Q* l2 M
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
7 m' o4 b6 r0 R7 M4 }+ E$ Y' Q9 q
（1）代码部分：
3 T7 M, A; [' ?% l( Y
2020-4-3 15:20 上传
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) o# U: V ?6 k$ J% E2 c
（2）运行结果：
' ~- y9 O9 t, _# f0 Q
2020-4-3 15:21 上传
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(187.3 KB)
- \$ L; B2 }5 X2 r/ i! A9 \
g3 p/ @; f9 G" F% F2 n* t8 f% b% r
2、三次样条插值
! y0 H" @( u$ m" B
（1）代码部分（pchip函数）：
- [" ?' _6 \! F: ^9 y l
7 v* e! d7 D+ S+ d9 e3 H
2020-4-3 15:22 上传
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9 I: Q# S0 g, a9 f- I
（2）运行结果：
. K: F7 X3 s: ^3 G
2020-4-3 15:22 上传
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$ _$ `5 I2 K% E( C* W
2 V) }$ T) [2 a
经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
6 Z# u% d6 C7 j% D3 F+ c9 C
1 g1 O( d- Y0 K3 C' k# W2 z
注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
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原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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7 |- L, p9 P/ \. L" q
作者:
chace
时间:
2020-4-6 10:31
谢谢分享 努力学习
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作者:
张迪迪.迪丽热巴
时间:
2020-4-12 21:02
发表回复
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作者:
张迪迪.迪丽热巴
时间:
2020-4-12 21:02
发表回复
1 B$ [. Y' \* w0 G
作者:
xiEnqing
时间:
2020-4-16 21:13
听说回帖加体力~
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