数学建模社区-数学中国

标题: 数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记） [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2020-4-3 15:23
标题: 数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）+ \) i4 `( z0 }$ p
  i4 a9 J5 W% Q" Q8 [+ O: x5 X
今天学习了插值法的matlab实现。6 H6 R- L5 i* q+ I$ E. ~  @" x4 o1 z
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
2 @& C4 v4 W! W3 A& |5 C4 f7 l6 b* S8 @8 E# y
插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。+ V' I3 p- g8 R' j% p% r$ O
" k4 l/ p; x: ^2 Z
一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值- N, L: O2 I( Y: a+ S
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
8 n, I* H- A6 }' ]" b  m6 q0 c这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
# w7 W+ U0 `! y% P3 {: b* f7 b
* e' `! K$ S: B) Z8 p接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）/ B. \& b( t$ }+ q* m
1）分段三次Hermite插值
- |; B4 {  _' B0 l5 q; [① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。: s1 j7 g1 Y$ r6 j
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
3 K' r* F: m% @5 f! i② 分段三次埃尔米特插值：
2 C. h- q& f1 }3 B/ X' S) e) k 3.png - E) u$ `6 h+ J2 C* p0 P6 ~
/ E4 ~/ F& @5 y4 \! W, p
2）三次样条插值函数5 z0 U8 D" t- _
4.png   D1 ~* f6 K$ S6 l9 F
其次，再用matlab分别实现两种插值法
7 h  g, M  j9 i! [2 S. r* E这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理/ {+ E6 t( R% `
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
# u0 f1 G: N' j% O 5.png
) ~. T. Y; j* Z9 k# i; t) n接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
( P6 a0 b+ K$ V! I+ l# A6 l' t3 m2 d/ l3 k7 |  I
这是我写的代码：/ G/ s' z% b8 m
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：1 {, i4 V7 b6 `; v0 e: W9 d
（1）代码部分：; Q  R5 a. ^, L1 y5 `
6.png % G- y# z+ ]* i# Y+ f# O4 ^
（2）运行结果：
" P, W7 r/ @/ k/ | 7.png $ f6 O, N* A( h  j5 A/ z" M, E
( p# `5 O" V" z' M0 v$ }
2、三次样条插值
  k# F  o. o- D& H（1）代码部分（pchip函数）：
: {: v. \! R* C/ U: T. a) T0 s% P! h" H" K' F1 W; |% e2 _- q
8.png
2 V; ?& j# A% j  h: u（2）运行结果：
! K0 o! x) ~4 `- z/ J! H) R% J, i 9.png
! l; `# V' G4 r: I1 h/ T7 g1 i+ `3 ]5 d/ p
经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
' }& `7 m1 A6 n0 n9 s. `
* F- y& Z) N  q* l6 p注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解( m# l* E( }' J$ Y7 X/ O0 s) @
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/1051766168 S+ h6 Q! \9 _1 x- Q9 s
1 e$ ]1 k% e* L$ Q$ e

. k4 k# J1 ^% ^5 b
作者: chace    时间: 2020-4-6 10:31
谢谢分享 努力学习
) F2 C+ V6 c+ X0 |
作者: 张迪迪.迪丽热巴    时间: 2020-4-12 21:02
发表回复0 R$ L4 \2 A1 y
作者: 张迪迪.迪丽热巴    时间: 2020-4-12 21:02
发表回复8 b& o5 [7 p, Y# G$ k
作者: xiEnqing    时间: 2020-4-16 21:13
听说回帖加体力~6 e7 w1 R" N  [4 P' f( p* ?* h




欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5