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标题: 数学建模十大算法漫谈 [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2020-4-9 15:30
标题: 数学建模十大算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
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作者:July  二零一一年一月二十九日7 w4 Z% H8 ?8 b3 K

4 E9 z+ c* u( Q6 @" {! p9 |- B  m: x本文参考：8 a' i1 n: J  t) L6 Z
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
4 S! I  S9 f3 jII、 本BLOG内 经典算法研究系列, w. }4 L% M9 y5 Y2 P' E+ p
III、维基百科0 v7 @9 _0 j8 j1 k1 l& i! \) g5 W9 l

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博主说明:: V1 b1 ^# ?5 g- z2 |+ {
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。" J) b/ ^  `6 N3 O' u
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
. ~* \# S. i7 g4 W' u$ n& ^2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
. M  ?; m" @, {+ O! M0 O! G同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。3 g5 E! W: l$ L- {+ A# `1 H7 @
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。  X- P  t5 j. H8 z
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。, N9 R0 m' D  b2 F; I0 v. E
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。" V" y# [; N( Y
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。: _/ q. ]0 V& X  {
谢谢。
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6 H  X+ W+ d$ e& c( V, j9 M一、蒙特卡罗算法- {7 E7 Y1 L: U2 F/ a; M& u: t' W
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis1 I# Y7 _4 u5 {+ D$ d
共同发明了，蒙特卡罗方法。" L6 R; \* M9 E2 {
: t# a0 b. h6 N: k2 J
7 t4 A9 [, }2 M# }0 h
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
" O+ z8 J/ {6 T& g! dhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
) b. k8 r( f+ l; {+ e$ l
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* I$ z. O# E$ D7 p" X7 M蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导$ d4 {/ ~  G' D9 A( I

6 o/ W) X3 w0 V. |) r5 X+ v1 e  j的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方; `9 T7 n4 j1 F
4 i& o1 p6 `' N/ ~' B
法。
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4 y! I+ G' x" I  ]$ i1 M5 v" l由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
' C7 B  f& P/ Y. W% P  U6 G- n当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
, g+ q' k- R* B' l1 B! d& k+ [* N
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
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# H% x; I3 i" |' G: [4 F% c为问题的解。$ v, I- g# R0 [4 k) p
( ]  `& m! _8 d  K$ m
* U2 [4 J1 q2 z1 M* t. P9 n" U

  f. w& e. e( ^9 w! {2 c有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
2 w) |. `2 N- c5 u# y7 {" d假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
* G! B4 M9 I. x  p8 D, D/ |/ V
! f+ |7 ?7 Q  \8 @  J+ ]( H度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然6 p4 m3 w4 W4 J1 T! q7 t' p

; K8 Y) k  b6 S5 y) n6 U6 ^后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候& o. f. P% ~: x0 L& e7 J

- ]/ U6 O4 p$ }' Y，结果就越精确。6 E3 r) `/ q+ l' A, k& }' j; ]' V
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。- u4 l" P8 C* J% c3 M
3 Q4 E* S& o; a# ?8 }; f
8 Q0 d% W7 n% p% p
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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: [( M4 Q6 c, _/ m; V( `' Y拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的- V. ~) L/ Y2 l; L) D6 r* }3 ^

) C/ A9 f2 l, U2 h" T5 U. T) _近似解。5 x( Y, h$ A( l; e7 c" [  k

* q' O9 {0 c7 w) z; a: c4 W0 ~# O! C! `7 b% A. Q; x

  }1 I, N9 h; ~* C$ X/ }& P蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
) I; }  h0 z0 J) w1 o/ @5 C/ [
" Y, d2 Z* \* l+ h1 u蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
# @" J: U) g2 j2 N7 C- YI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。 6 O& B  R9 D# Z2 }( |: F
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。( l  L* g( @  d( b5 G$ h
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
! W0 R* c* a( g6 \1 W等等。
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此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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5 Q! z0 a! [! o6 B1 D1 y5 N二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
  j( A' b# L2 G* q+ ]& F' t" @; I我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有. J; H4 b* X$ m! X1 P
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。) h) b$ F3 j5 `
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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3 K$ U0 @4 k9 l) d! z% O. M
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: j2 M6 z6 I7 s1 Y  H7 O/ H* @8 V3 x三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
- C4 R& ]! A& g7 N4 D3 Y* |: `数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件" I3 L( y6 M" o: u+ c, F

8 [2 s/ c: Q) e% J& r0 |、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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0 U* D7 `, n- C) `( P完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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9 j/ {/ a" ]1 D' `5 Z7 V; Y2 k" k需要熟悉这两个软件。
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四、图论算法
, h$ R8 Z, y: d0 |7 f0 v* ^这类问题算法有很多，+ \- I9 v" |' h7 j
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。& v. X% o# X% a# }

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, J( N- d  {0 s# G
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
  W+ q7 @* T9 {. n0 b+ O8 h同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，5 N3 A* E1 K; r* ^2 t
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
6 h# ~0 K8 k# N, Q& g- ~http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx. r0 E( }/ `8 ]7 Q$ Q

1 p- A7 S# G" X更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。% ?+ h! n; N+ ~5 e5 k2 n6 _
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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法9 ]# C; H: _, I
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，' \# }& F/ P/ l* `* I
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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( q* x; r" T+ t" c这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
# _* _' R' Y; T. k推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
$ G# B: q* x% p7 t# G7 `7 a& q这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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2 e3 L! |4 O  b# r以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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% @1 a5 f, w3 q% R说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 ' ]* n- }$ H% {& r5 P' Z- u; E
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。, E, [4 a6 _' O) M' f7 {# }. J6 s
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/ Q$ s6 y; }$ i经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
5 Y+ n6 c/ A0 u7 hhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx' }, D+ g' U3 f2 |- B
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其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。) N, b. O& Y( N! o1 t7 M0 A( X

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) U7 d& f% `/ r$ I- ~七、网格算法和穷举法
6 c8 ~9 U; Z1 {& Z网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
/ Y) A2 b) i3 l7 g1 k" c. C3 H4 M6 N比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，% b& B/ [, A) A# E  B* D- n0 m! \
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
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那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。! E9 A; {- F& O# v0 |2 T  O

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7 Z& m% u  Y% r; F. o( R在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较, E9 J  W1 o# e6 H$ |# ?( O
+ y8 N) r5 e! x7 `5 L
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
* E7 f% a& \: q# L7 d; d' L3 y* v8 ^# J: Y$ f
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  ( u5 p( ~2 M  L  X- @" F: ^8 ~. O
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0 l5 A3 W' h3 R- e8 c: s八、一些连续离散化方法
1 @4 W+ b  l1 _1 U! t" ~大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界' u: J! ^' ~, h2 j. r% W# p

$ X/ X9 _+ t2 k( n9 |' Q- b中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。. d# ?9 K7 }- L: |8 W6 |

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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。) A% |% ?3 r, k
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 ) i. Z- ~; W6 U3 _% [. H  |. e$ c
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九、数值分析算法
- E7 L% ~; ~5 J% I/ m# o; a数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
# g( f& o+ Z( ^+ `  C; l/ E  C5 x5 G: J+ ]6 I
算法。
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、1 P  V0 o4 T6 J/ f* f

4 a: f/ B7 v# ~+ d) h7 ]3 y函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
; @8 v9 T7 B$ d- Q% k6 Z' s
* ]7 a( j" ^; g% S. J) B: w这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
" h' Z' j! m' Q" X6 C5 N1 [因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。8 X( t, _: r3 @

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' i2 R& H& [! ^" z% o* X: D十、图象处理算法
6 x, ]; w! U, q" i0 }9 d4 _* X. Z在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值, ]6 ?. f, r4 {
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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9 m, g* l. D4 d
: ]% W: x. [  V9 Q* Z
  O4 _# g2 Q) J1 P1 A( o2 f此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
2 K$ e  t# Q' G% [4 Fhttp://download.csdn.net/source/3007336$ G/ g' h$ n2 y" z

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本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，* F7 ?) @2 t' E8 |* ]# u
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。: C4 }& y5 P9 K" d
完。
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作者声明：! @( m1 ^/ A6 e- v
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
* h8 R2 |  N5 d2 b" @# }) Y. W; l7 i转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。: F; ]6 h2 i- b6 }
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- T) M7 j/ m. |5 a' q$ ]原文链接：https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/61686832 v  H7 f+ w. k5 O
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作者: 2863358207    时间: 2020-4-9 15:31
总结的很到位，言简意赅
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作者: chace    时间: 2020-4-10 09:21
谢谢分享，总结很好
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