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标题: 复杂网络实验六:SIR病毒传播模型(matlab) [打印本页]

作者: 杨利霞    时间: 2020-4-18 15:46
标题: 复杂网络实验六:SIR病毒传播模型(matlab)
8 X) [, U: h+ l, n* V7 d7 |
复杂网络实验六:SIR病毒传播模型(matlab)
# |; y" d5 k5 ^# P) u一、SIR模型简介
* K* p/ u+ e! M2 t$ I' l
5 g* O) g( e9 z在典型的传染病模型中,种群(Population)内的N个个体的状态可分为如下几类:/ T. P4 R/ c" \
3 H& w& |+ E4 @6 [) g; e
(1)、易染状态S(Susceptible),即健康状态,可被感染的个体。
; ]* c5 ]+ t: P; K2 J
$ I% Z, i: Y6 N' Z& ]2 o- C# m9 _; K(2)、感染状态I(Infected),处于感染状态的个体还能够感染将康状态的个体。  W' Q" u$ ~" ]0 p7 S. K

' {/ B- i8 a) V/ o2 n7 h3 K  |(3)、移除状态R(Removed,Refractory or Recovered),也称为免疫状态和恢复状态。一个个体经历过一个完整的感染周期后,该个体就不再被感染,因此就可以不再考虑该个体。2 H3 g* k9 u* ~- d
% W6 t, i+ v& K6 H! d! ]4 h
另外还有病人的日接触率λ,日治愈率μ  h- L& [, H7 b) n% t3 W, i9 S. s0 P

0 ?7 x+ U: m' ]3 Z  s) ]4 B这个λ是针对于病人而言的,代表了一个病人接触多少个人。而可接触的人包括除自己以外的种群中的所有人。
' f0 A  g( \3 E1 |- s4 a4 H+ A3 A
2 l# n5 e! ?- I# ~tips:  N! B% j' ]8 d

4 S* A9 t; n  k4 r1.初始时刻,只有少数个体处于感染状态,其他都是易染状态。
9 |" w4 S8 }- c' k- c. ^9 V+ Z; @8 N; g) V+ d8 i; y
2.假设病毒的时间尺度远小于个体生命周期,从而不考虑个体的出生和自然死亡。
  B1 B8 ?& K3 D) l: v8 \" A
! e! h2 _2 J7 W. l6 r7 M3.一个基本假设是完全混合(Fully mixed),也就是说一个个体与其他个体接触的机会均等。
, a- }/ P5 B  h
' p  Q: v3 K. o. q* v; l二、模型中涉及的方程
" p' V% a4 A0 R& t6 R" f* U$ ?
5 H5 y9 }' b% s" I9 d7 e1.S(t),I(t),R(t),N(t),N
+ b3 C; `, d* P. m
' _1 p- t7 O* n; z% A! S0 wS(t)的意思是第t天健康个体的数量,I(t)是第t天感染个体的数量,R(t)是第t天免疫个体的数量
6 x; q: j& l2 K% i8 b$ h" o' `5 Q6 ^) H8 ^1 Q+ B: v0 `
N(t)是整个种群的数量,在假设情况下固定不变为N5 v; {" G8 Q5 A
$ c) {" b  ?1 |0 R! m/ w8 L
1.png % g- v6 A# j7 t# m" O" _6 o# ~8 b

. X- }1 @& `3 l) v! ~3 W2.s(t),i(t),r(t)
- w) w8 e" I* `1 @4 ]* @, F6 f8 V# k6 e, @. }" Z4 |
2.png 0 W$ l& H1 h4 r, v# O( [- E

6 S/ L" p) [! ]' h由上方公式可以看出,s(t)的意思是t时刻健康个体占总个体的比例: T2 h/ p$ L5 }; W" p
1 i% A" t' Z% t8 T
3.关于S(t),I(t),R(t)的微分公式
4 ?' W5 f1 F" H8 A5 Q# k 3.png
5 g3 o) T1 f& N9 D- Z' z( g
. S  P2 [) t, _( g8 h其中S随时间的变化率是这样理解的:# u* Z5 i. c8 }5 k+ Q) ?# f+ I
; o/ T8 F( G; ^3 G" m1 X
5 v/ t) t! v# m
λ作用于S(t)和I(t),是一个病人的日接触率,这个病人可以接触健康人,也可以接触病人,但是接触病人不会导致S有变化,所以有效的变化是这个病人接触健康人。: t$ r& q" F- m

" [/ Y0 S: C& |; l$ x- ^如果λ等于2,也就是说一个病人每天接触2个人,这两个人是不是病人不知道。
  R8 ?5 s  w& B" r
# h+ u& h8 |9 H% r1 e" F, t如果λ等于0.5,也就是说一个病人每天接触0.5个人(有0.5几率去接触人)
; p# K0 Q/ l9 H3 D0 A+ f" }# b- F* x
那么λ×I(t)就是所有被接触的人的数量,要把里面有效的人拿出来
# X( q" c9 q# Z# q) b6 m
1 @$ Z. i+ t/ t有效的人的概率是S(t)/N。
# s. @. ?# _) L6 {' }" M9 O3 U% Y( [
这样应该能理解了吧,我理解这个公式用了好久好久,简直是一个傻吊。
8 Q. j' m# f( w4 c- F4 W4 [; k* `- U5 @
网上有的文章i(t)和I(t)不分,导致理解公式特别困难。) u* ^) O+ M/ ]/ E8 Z

9 I0 }& ~; q9 U, F1 }3 Q最后作图都是用的i(t),s(t),r(t)随t的变化的图像,所以纵坐标是一个百分比。
. @8 N& Q6 Y: c* _" ?' L4 ^3 f/ h* O
4.关于s(t),i(t),r(t)的微分公式& G5 ^% f+ W2 r9 _, l7 o4 \! O

5 t, X  @/ p+ C: i9 t! J 4.png
& s% i! v3 B) J  w& {2 v! o4 I
2 D) Q$ h& z/ w( q这里细致地做了微分公式的推导,方便大家理解
; f( q* u5 x5 C* L
( ]) f. j( U3 Q/ o三、具体模型. J" V5 O# G- j

7 t$ ]0 y" y5 p  S5 u/ u* d1.sir.m 脚本# M/ j9 f5 ^" x3 j: d
5.png
& x( L2 M7 {6 |5 y1 qfunction y=sir(t,x)
3 `0 b2 g- }; I+ Pa=0.8;  %感染率0.8# d! |7 Q9 R4 e* d6 y- h: [
b=0.2;  %治愈率0.24 k" }8 }. m4 n) F
y=[-a*x(1)*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2),b*x(2)]';/ a/ c5 N5 U- i) w$ x3 |
%s变化率,i变化率,r变化率  r6 {2 B( K/ p8 d/ R! m
%通过这三个微分公式,求出s,i,r随着t的变化图像
- N, p" n4 T' C+ E  F6 o6 @2.实际运行脚本 sirrum.m7 U5 m' r6 d; ]
6.png
3 ]$ }) y( W, k6 U9 [) P" h- d6 z[t,x]=ode45('sir',[0,50],[0.97 0.02 0.01]);
. _+ {! j/ }' n7 }6 U%ode45参数:1.函数句柄or函数名 2.t的取值 3.3个y的初始值5 ?* S  d: M: F" i
%ode45是用来求解常微分函数的方法
! g: ]0 Z' X9 |! E9 W%原问题只知道变化率函数,这里求解原函数,用到该方法
& i, c( [3 z1 d& F[t,x]   %不加封号,作输出用
% }6 i9 u; n! J& k! R$ aplot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')
2 R0 a5 N. E) D4 [' s四、小结
: d* z& `3 l5 j9 M- r+ s1 c4 }3 Q  V1 e( ~  x$ r
7.png % l; q2 W% e  g, D" v3 _  q2 I

6 Q) R. T6 O8 ~: v搞了一下午才把那个公式看懂,网上的公式不好好说明清楚,很具有迷惑性,可能他们也没了解这个小写函数大写函数的区别。- g- i. Z' v5 h- G( A! a$ F) k
- G; R7 x6 \7 q* Z# a) ~$ [1 A
在豆瓣《猜想与反驳》一书底下评论中看到一句有趣的话,摘录如下:
) h* t4 Y  x- ]4 b, w% d) Y
* S$ J1 O$ z9 w' ~6 N# y, b每个知识分子都有一个很特殊的责任。  x5 h9 }- i  ~6 w* Z0 s

* h4 ]$ |. K' v9 ]他拥有学习的特权和机会。
' p. ^/ N% Z9 ^- V2 f: d0 F; h- L# w$ |' N/ ^* T
作为回报,他对于同胞(或对于社会)有责任尽可能简单,清楚,谦虚地描述他的研究结果。; ?* r- }" g" a9 ]4 ~

! w/ Z) ~: `# ]. J0 I9 Q知识分子所做的最糟的事情(主要罪过)是,6 e0 R3 A5 S# z6 F
) ^6 i. E; q5 |2 J6 r8 n3 ^
试图对同胞自命为伟大的预言家,给他们留下令人迷惑的哲学的印象。
: j' X, R( }& \7 M5 g5 c( ~2 H0 X$ v1 {. R2 \) n9 Y' D
任何不能简单,清楚地讲话的人最应住口,继续下写功夫,直至能这样做为止。
4 R8 G# }7 a9 \: q& n" e7 [# o1 T7 n3 q! |- e+ Y+ I
所以,有什么问题都可以问我,如果我能帮你的话,虽然我也是一只很菜的菜鸟........
1 R1 n7 m8 v* Q' S7 ?- F) E————————————————
9 D. _8 N* |; A: T. S$ e, }& l/ n版权声明:本文为CSDN博主「yellingf」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。) L- t' Z6 a9 M) ~) E
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" N5 s. K; E3 W; Q8 w

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作者: 2863358207    时间: 2020-4-18 15:50
总结的太好了,我微分方程就是会建立,但是不会编程,感动哭了1 K4 k5 m6 }" Z& w; J6 g/ T5 Q

作者: FMLXQLJN    时间: 2020-4-18 16:03
你写的很详细,很棒! w5 s7 [% p( {

作者: nmslaaaaaa    时间: 2020-5-11 10:52
这个没考虑潜伏期的
, E( A# ^$ {$ N9 Z% k2 j2 ]7 X




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