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标题:
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
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作者:
杨利霞
时间:
2020-4-18 15:46
标题:
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
' }, L; i* ]7 V( m2 f
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
4 D( y8 N, J) A# K( h
一、SIR模型简介
1 H; e, x! z( ^- Z
, N( g& O" F- Z( W; z/ l; u
在典型的传染病模型中，种群（Population）内的N个个体的状态可分为如下几类：
" ?; B8 p2 n/ F% Q# b1 I8 x
- R1 t. I5 ^" A
(1)、易染状态S(Susceptible),即健康状态，可被感染的个体。
0 I F: S ]: Y; y
: c) k% y3 C( t) B# {8 k# m
(2)、感染状态I(Infected),处于感染状态的个体还能够感染将康状态的个体。
% f# i3 @9 N1 f% H" H! K$ U
+ d& F3 c2 [8 h( r6 J
(3)、移除状态R(Removed,Refractory or Recovered)，也称为免疫状态和恢复状态。一个个体经历过一个完整的感染周期后，该个体就不再被感染，因此就可以不再考虑该个体。
/ J7 [! ?& h: p1 F
) ?& z3 Y/ q/ R4 A
另外还有病人的日接触率λ，日治愈率μ
' @+ n. L& z3 b- s+ t7 t
' O3 V Q3 |7 w9 A9 }5 |2 Z2 r' `
这个λ是针对于病人而言的，代表了一个病人接触多少个人。而可接触的人包括除自己以外的种群中的所有人。
3 l' R- t0 z+ s7 q+ ^3 K* P2 `2 N
# s( s) A2 E' U0 k) C7 j \
tips:
% X/ ^+ R. m+ ~/ C9 A% K
, a9 S& h$ C& s+ u$ i
1.初始时刻，只有少数个体处于感染状态，其他都是易染状态。
9 ^, g- |, P. G
) l* n/ E$ \9 e- L
2.假设病毒的时间尺度远小于个体生命周期，从而不考虑个体的出生和自然死亡。
4 C# w: V1 Q H' |+ G, R! Q* j
" J$ ^5 b3 O# N+ y
3.一个基本假设是完全混合（Fully mixed）,也就是说一个个体与其他个体接触的机会均等。
- N( T" K# C$ l) q0 ]/ `! G7 F
9 I& r& \1 q4 ~ x, |( x, h/ X
二、模型中涉及的方程
2 Q4 Q S' l) c' ~
5 ]0 l4 Z+ l4 h+ {! ^: [ ]
1.S(t),I(t),R(t),N(t),N
" H* ^4 c1 l# O
0 q7 P" |7 @ A6 e. m0 B" x% h
S(t)的意思是第t天健康个体的数量，I(t)是第t天感染个体的数量，R(t)是第t天免疫个体的数量
5 K+ s! v9 K) r
0 o: W" D9 N2 w. G K2 K. ~
N(t)是整个种群的数量，在假设情况下固定不变为N
. F' N5 d: s5 |; l y
% l: n- d { b
2020-4-18 15:42 上传
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$ Q! R# |' e/ V! u& R
, y3 O5 H# \7 h! D/ B; A
2.s(t),i(t),r(t)
- o/ a+ N% S" L9 \
5 j$ X+ W3 F7 ?4 F4 B5 ]. l* M
2020-4-18 15:42 上传
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0 ^& e: g# E6 d& n X
5 E" l0 Q5 o$ {9 t% V
由上方公式可以看出，s(t)的意思是t时刻健康个体占总个体的比例
0 m0 X0 p7 o. w: o- p2 o, ]; \ r
' q+ ~6 T: e1 r9 ^
3.关于S(t),I(t),R(t)的微分公式
! `( Z$ n: _3 R# W% f1 x/ Y
2020-4-18 15:43 上传
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$ f5 i+ g* F. s, l& ~+ `
( C6 c. D% E; F K3 I. L
其中S随时间的变化率是这样理解的：
. h' v% K y* Z
! q1 ^5 r& V" }" Z9 Y
p. k9 t0 \$ @& n( g8 I2 D
λ作用于S(t)和I(t),是一个病人的日接触率，这个病人可以接触健康人，也可以接触病人，但是接触病人不会导致S有变化，所以有效的变化是这个病人接触健康人。
1 t4 n8 J7 Q8 D1 v$ M' ?8 U
& q; B1 h/ `$ J i
如果λ等于2，也就是说一个病人每天接触2个人，这两个人是不是病人不知道。
( `0 c& H7 h, F* y$ S
2 x% k. s) B( t
如果λ等于0.5，也就是说一个病人每天接触0.5个人（有0.5几率去接触人）
' r$ {, _5 R# i. h; o
7 O7 S/ E& U% B5 y' v2 B3 k- F
那么λ×I(t)就是所有被接触的人的数量，要把里面有效的人拿出来
P7 S- ~/ T) K d: ~. X
: P* R, Z( z5 T1 _& @
有效的人的概率是S(t)/N。
3 r- n( K2 T, P
6 ]- e4 a5 }1 J# y
这样应该能理解了吧，我理解这个公式用了好久好久，简直是一个傻吊。
( W+ X1 h/ {" K! ~5 c0 ]
$ g: w6 ?; }8 Q1 F4 h$ p$ S
网上有的文章i(t)和I(t)不分，导致理解公式特别困难。
* G: ^, J5 U" J1 D9 v
# x) Y6 W8 F+ ~/ J
最后作图都是用的i(t)，s(t),r(t)随t的变化的图像，所以纵坐标是一个百分比。
: E* ^# c9 f: B4 I
3 a) M" p# o/ O" R1 K
4.关于s(t),i(t),r(t)的微分公式
: ~6 _ A3 V2 w/ l6 z7 M- k* V o
* c# F1 U' W' T: x8 m; Y* L
2020-4-18 15:44 上传
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- b" V0 a& ]3 |+ H
# j# e. Y) @. b4 ?
这里细致地做了微分公式的推导，方便大家理解
. k6 r( o$ g9 V% W' r( n
- T: B% U- ?# j
三、具体模型
4 P) b) I0 [, A2 a0 L
8 a. g7 W" Z) I3 {6 c
1.sir.m 脚本
9 f- ^) I: }6 c4 L' M0 Z9 v
2020-4-18 15:45 上传
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0 Q; V& I# l0 v/ y
function y=sir(t,x)
8 V) i& d0 n- C1 {! j% P6 m
a=0.8; %感染率0.8
3 H1 s& _8 X3 D) \. J
b=0.2; %治愈率0.2
8 `: w5 W9 c' ^* `1 f* X* i
y=[-a*x(1)*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2),b*x(2)]';
% s9 p" d ]3 H6 S
%s变化率,i变化率，r变化率
, k; u9 \9 @2 A4 ]1 Y
%通过这三个微分公式，求出s,i,r随着t的变化图像
! @% v7 j `; L1 G& ?
2.实际运行脚本 sirrum.m
2 b* E- c5 R, e) Z+ l! H
2020-4-18 15:45 上传
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* s, E! b* A3 v2 z# V1 X/ {6 i1 O
[t,x]=ode45('sir',[0,50],[0.97 0.02 0.01]);
* P* y8 i3 j% }/ p; J& Z5 A& p
%ode45参数：1.函数句柄or函数名 2.t的取值 3.3个y的初始值
7 I. [9 L5 v2 Q7 T7 f- h3 h
%ode45是用来求解常微分函数的方法
" ?9 M; _1 V- D4 f0 z9 q: F/ @
%原问题只知道变化率函数，这里求解原函数，用到该方法
' g, X1 O3 r- n3 O" k
[t,x] %不加封号，作输出用
$ l6 ?) g7 m5 s; K+ o1 E8 L' @
plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')
! B8 Y5 [- O3 Z1 e2 ]
四、小结
/ w5 [% d" [- K8 S2 g# j+ P* j- o
. x! l, e( `) i, y. E& O* y
2020-4-18 15:45 上传
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" f# j$ e% P0 ?- S
7 p6 M8 M4 m$ q' l
搞了一下午才把那个公式看懂，网上的公式不好好说明清楚，很具有迷惑性，可能他们也没了解这个小写函数大写函数的区别。
4 I2 M- J4 }$ k% V6 d
/ l+ e& i5 ] I: V
在豆瓣《猜想与反驳》一书底下评论中看到一句有趣的话，摘录如下：
2 R- I/ F1 D. y) k4 d1 {6 x
% r3 p- N) H- i& A
每个知识分子都有一个很特殊的责任。
! i+ y; O+ L2 a0 b+ S$ E2 F
- a' b5 r9 `+ `
他拥有学习的特权和机会。
2 i: M# |* E7 R% P% G: Z* N
2 s# T% o: ^0 O. N* o6 A/ y0 u
作为回报，他对于同胞（或对于社会）有责任尽可能简单，清楚，谦虚地描述他的研究结果。
/ F' W/ d, d. H4 D D2 F
2 ^2 D) U- ?9 _( L# x
知识分子所做的最糟的事情(主要罪过)是，
t" b. p; x) g0 [2 g0 }- u2 K
( O5 ^; I2 K3 Y2 `0 `
试图对同胞自命为伟大的预言家，给他们留下令人迷惑的哲学的印象。
; q4 o( I8 O) i* i
6 w u* [ H/ R) n6 _0 O2 Q) V
任何不能简单，清楚地讲话的人最应住口，继续下写功夫，直至能这样做为止。
- N' w# _, H# `0 |& D8 ^5 p
- d' h, j4 I6 V6 V, }7 |
所以，有什么问题都可以问我，如果我能帮你的话，虽然我也是一只很菜的菜鸟........
0 \3 A/ q7 Z2 |6 z. d
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* F/ j3 j+ E' T9 b9 R
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& f+ x- A* X( t/ t5 b
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9 ?& g: z: I) J: S9 I. O b: x3 a) @
$ R8 {/ W$ B' q4 `' O
1 A0 W! \/ [3 K" f* J, y# L
4.png
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作者:
2863358207
时间:
2020-4-18 15:50
总结的太好了，我微分方程就是会建立，但是不会编程，感动哭了
9 A" H% e; ^4 H' U- N' s+ q6 h
作者:
FMLXQLJN
时间:
2020-4-18 16:03
你写的很详细，很棒
。
: H% \. y& k$ |1 u( T
作者:
nmslaaaaaa
时间:
2020-5-11 10:52
这个没考虑潜伏期的
" z. a, i( z( ?% b
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。: H% \. y& k$ |1 u( T
