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标题:
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
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作者:
杨利霞
时间:
2020-4-18 15:46
标题:
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
, q) }! w1 a- l
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
3 f: ^6 |+ s' v; p5 c
一、SIR模型简介
( |- f m+ L- M, D9 S: H6 q
1 V% p" x1 T9 D, k! b7 r v
在典型的传染病模型中，种群（Population）内的N个个体的状态可分为如下几类：
" U& C; b6 p- y) \: `
/ M& K$ i2 e+ c C
(1)、易染状态S(Susceptible),即健康状态，可被感染的个体。
, [5 z2 N9 j ^/ i5 M8 _( e
* u8 O. w) R2 D! `3 Q! a& ?2 ?
(2)、感染状态I(Infected),处于感染状态的个体还能够感染将康状态的个体。
4 i& f' @. N/ u+ f: X5 k. @- [$ ?
' @ J" _+ b7 t, v
(3)、移除状态R(Removed,Refractory or Recovered)，也称为免疫状态和恢复状态。一个个体经历过一个完整的感染周期后，该个体就不再被感染，因此就可以不再考虑该个体。
6 Z- P% c! q0 G6 E$ R4 d% }7 l
& A- O" q) ?' p( T% l
另外还有病人的日接触率λ，日治愈率μ
9 @# i# K+ G5 g* C ]/ T. u8 ^/ O# C
) e. T( t1 n. p2 J
这个λ是针对于病人而言的，代表了一个病人接触多少个人。而可接触的人包括除自己以外的种群中的所有人。
; E* c! @. x8 |- h7 L$ Q6 X
s8 y# J. L t- `: s, Q: s( w
tips:
9 ^, T) D3 r: W9 ~
- Y* Y5 v, B4 g& ^
1.初始时刻，只有少数个体处于感染状态，其他都是易染状态。
T' j8 v9 N7 F2 U, u( T1 j& {- t
' t @ ~* A( B- h! T
2.假设病毒的时间尺度远小于个体生命周期，从而不考虑个体的出生和自然死亡。
% j4 b Y5 l6 w% I/ _5 f3 l
* |+ c) x" N' p" v5 Z- c7 K* t
3.一个基本假设是完全混合（Fully mixed）,也就是说一个个体与其他个体接触的机会均等。
. q6 e |( D% z, S& {# K" i+ W1 @, W
7 D1 j0 S, U4 @% }/ S8 ~
二、模型中涉及的方程
+ E# l4 T4 z2 a* D! y
; X- p. H3 f9 U6 h! f; M0 ~
1.S(t),I(t),R(t),N(t),N
% L" k0 V8 z/ O, ^9 |
i9 w1 q3 R9 ~, D
S(t)的意思是第t天健康个体的数量，I(t)是第t天感染个体的数量，R(t)是第t天免疫个体的数量
2 i9 \6 e! n1 P$ n* z# ]- W
3 u) J/ l* Y) G" _3 A0 D
N(t)是整个种群的数量，在假设情况下固定不变为N
& @8 \+ b: _! I- s0 L2 m! n0 s
5 j$ n* R) \1 A% m) }" F
2020-4-18 15:42 上传
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/ C+ D3 O! w: D$ c" J/ F5 @7 [$ V- Y
8 n4 D7 N+ n- n0 f5 _
2.s(t),i(t),r(t)
5 J$ a; _% C1 t6 B$ ~, K5 ?; V
0 f/ X" w. M3 n$ I3 H6 ?
2020-4-18 15:42 上传
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3 ]' F8 H. I* S" m8 t0 s
5 {) O& W- y+ W3 R
由上方公式可以看出，s(t)的意思是t时刻健康个体占总个体的比例
5 ^/ Q1 o$ V" ^
- Z) d" r5 C3 g8 \- C6 {4 V
3.关于S(t),I(t),R(t)的微分公式
1 e/ ~. A2 N) [( `4 p h
2020-4-18 15:43 上传
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8 h0 n: |4 v$ |2 ]: c. s9 k
2 @ h6 X: D. n0 G* p, i
其中S随时间的变化率是这样理解的：
2 |3 ]8 F$ F2 ?2 D
5 B) C2 e3 |% U+ Y* O: m
- X8 a" x$ j$ ]7 R; L4 ?
λ作用于S(t)和I(t),是一个病人的日接触率，这个病人可以接触健康人，也可以接触病人，但是接触病人不会导致S有变化，所以有效的变化是这个病人接触健康人。
_& M5 \5 b# {( f- ^
: a. v7 D; e% q
如果λ等于2，也就是说一个病人每天接触2个人，这两个人是不是病人不知道。
! e" ^3 O7 f1 ]
( ^; L3 h c+ I/ y' b: c
如果λ等于0.5，也就是说一个病人每天接触0.5个人（有0.5几率去接触人）
6 F- l* @6 P4 N/ u$ V# J3 W2 Y$ y
3 f: k3 u2 P4 M* z' z. b
那么λ×I(t)就是所有被接触的人的数量，要把里面有效的人拿出来
- Q: j" d. }8 ^8 l
7 c7 F5 y2 g$ L) t* }8 r6 F
有效的人的概率是S(t)/N。
1 E5 a& K& ^% [
9 v: X a; z J. i
这样应该能理解了吧，我理解这个公式用了好久好久，简直是一个傻吊。
9 l3 F. E5 X! Z# H- x# l- E; P& n
7 z! k/ H$ E8 x! f! W
网上有的文章i(t)和I(t)不分，导致理解公式特别困难。
( x. W3 }# j2 F- m C+ `
+ K ?/ Z& I( u) Y5 b
最后作图都是用的i(t)，s(t),r(t)随t的变化的图像，所以纵坐标是一个百分比。
$ Z% r1 k4 B% s
* M/ k1 u; n3 ^! F* X* v. A
4.关于s(t),i(t),r(t)的微分公式
( [3 A8 n. C( s+ D. f
# f! e* l4 [) n
2020-4-18 15:44 上传
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4 |, c4 I, v3 k$ q5 w8 G5 M! X
0 }! V1 A. w! G7 x
这里细致地做了微分公式的推导，方便大家理解
# X* ]2 M, A$ \6 h0 A7 J
8 r8 r2 V- K s: v0 W0 ]
三、具体模型
8 v& N* g' E, C3 z5 Y4 y
, l. P- I' }! e" x8 A
1.sir.m 脚本
; Y7 h8 f& P# B* o( S7 L
2020-4-18 15:45 上传
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% V+ N/ d. f6 i0 J6 ^
function y=sir(t,x)
$ t% I$ C/ Z- X0 ]1 v
a=0.8; %感染率0.8
! @# F9 \! U% y2 u4 i- ]8 _
b=0.2; %治愈率0.2
$ ^" x) T+ ^% t
y=[-a*x(1)*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2),b*x(2)]';
, k6 `! C, M' ^
%s变化率,i变化率，r变化率
8 p3 m' Y/ q1 D; E' F# U. J. `
%通过这三个微分公式，求出s,i,r随着t的变化图像
8 r+ W4 j1 a0 Y, ?
2.实际运行脚本 sirrum.m
! C' Q- o1 i, @2 r! Q% u: ]
2020-4-18 15:45 上传
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: Q1 N6 w9 l |- x2 y U
[t,x]=ode45('sir',[0,50],[0.97 0.02 0.01]);
6 y. h u A4 u0 X
%ode45参数：1.函数句柄or函数名 2.t的取值 3.3个y的初始值
/ h9 u5 H6 i0 X, z0 ~
%ode45是用来求解常微分函数的方法
. ~4 Q4 w; h/ w3 X
%原问题只知道变化率函数，这里求解原函数，用到该方法
. w$ }6 [9 T+ l Z( {
[t,x] %不加封号，作输出用
4 n1 E8 m& P0 r# f2 Z/ ?7 ] B O
plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')
4 p. u) A' _7 U+ ?9 O
四、小结
0 Q; E! Y1 `% K3 e$ X. p$ \, V
- x9 g+ J& e% A: _1 G7 U/ s' p
2020-4-18 15:45 上传
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& [0 P4 Z- j0 R1 a2 v2 `7 R
0 t1 X2 Y( f1 I' ~
搞了一下午才把那个公式看懂，网上的公式不好好说明清楚，很具有迷惑性，可能他们也没了解这个小写函数大写函数的区别。
% L$ d4 V' ]- D( t
& h: P' Y& e! N* m1 G$ _2 T Q
在豆瓣《猜想与反驳》一书底下评论中看到一句有趣的话，摘录如下：
2 }; g( O! s) w) r9 S
" Q4 x# ~- U. Y
每个知识分子都有一个很特殊的责任。
2 x: H6 `2 p4 }! H
1 p5 t" R i( }& c
他拥有学习的特权和机会。
: a/ A9 r# k& B; J/ d+ A
+ y" n8 I# B' z
作为回报，他对于同胞（或对于社会）有责任尽可能简单，清楚，谦虚地描述他的研究结果。
* x+ m- {8 h" A/ Z. I2 \
$ v0 ?' E+ C2 U- _
知识分子所做的最糟的事情(主要罪过)是，
! Z/ m b; ]+ O0 j. T: Q0 ^
# B# R5 Y) G% ?7 q) J8 e3 H4 j7 D! W
试图对同胞自命为伟大的预言家，给他们留下令人迷惑的哲学的印象。
f1 Z6 r* D0 b$ I/ C
/ J) d4 h& c3 C# y
任何不能简单，清楚地讲话的人最应住口，继续下写功夫，直至能这样做为止。
: W' L; T K8 {/ a
G/ t6 j9 T8 q; r; S
所以，有什么问题都可以问我，如果我能帮你的话，虽然我也是一只很菜的菜鸟........
, o9 K9 r6 G( D/ u% i$ E
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( g) t- p) z$ g. S( ]- z
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7 q& l5 V2 D( ?4 K) g
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/ s# L9 i/ N6 {
- Y4 a/ {8 B3 _ L7 @/ U) H
# e. W$ T! t2 L+ B2 j
4.png
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2020-4-18 15:44 上传
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作者:
2863358207
时间:
2020-4-18 15:50
总结的太好了，我微分方程就是会建立，但是不会编程，感动哭了
0 P; X1 I: L* z6 `5 n3 U# `, e3 Q9 }
作者:
FMLXQLJN
时间:
2020-4-18 16:03
你写的很详细，很棒
。
& F. ]% @" W I7 ?
作者:
nmslaaaaaa
时间:
2020-5-11 10:52
这个没考虑潜伏期的
# e' ?+ E8 D8 D, _
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。& F. ]% @" W I7 ?
