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标题:
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
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作者:
杨利霞
时间:
2020-4-18 15:46
标题:
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
- S; h$ k/ q3 `, V- ], m% Y
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
- I/ i, p. y4 `/ J0 A9 u
一、SIR模型简介
! g6 L5 H& F6 G3 z6 g o! \
& L5 ]4 x0 S" T/ B4 S! v. Q+ n
在典型的传染病模型中，种群（Population）内的N个个体的状态可分为如下几类：
$ W3 V$ b0 m' `
2 u2 _1 Z) |6 a. H. o; L
(1)、易染状态S(Susceptible),即健康状态，可被感染的个体。
* f8 T7 \* n1 A& E N) d& M$ ^9 l: A
( D( R1 n# G! n3 ?/ C) q( {# r
(2)、感染状态I(Infected),处于感染状态的个体还能够感染将康状态的个体。
; D% }* \' @1 A7 Q' g
2 s7 X+ }$ @! t% g. j% ]! v
(3)、移除状态R(Removed,Refractory or Recovered)，也称为免疫状态和恢复状态。一个个体经历过一个完整的感染周期后，该个体就不再被感染，因此就可以不再考虑该个体。
, d8 }: F: |4 B- |5 T9 {
- [, u% j, I) q( d
另外还有病人的日接触率λ，日治愈率μ
/ g9 h6 e4 B+ G3 |8 J0 e0 k0 L! p
1 j8 F+ G U( m7 S! V/ F
这个λ是针对于病人而言的，代表了一个病人接触多少个人。而可接触的人包括除自己以外的种群中的所有人。
0 [2 h6 P4 K& p( u3 R2 W+ _
0 g- G7 Z& X, @' J8 R
tips:
: c) y$ ?5 z g* ^
$ G$ p8 Q6 I) C9 O& l) h. p
1.初始时刻，只有少数个体处于感染状态，其他都是易染状态。
1 q! Z: M6 t: S& v: F- O6 i. f
9 S0 F& V8 ~! b Q
2.假设病毒的时间尺度远小于个体生命周期，从而不考虑个体的出生和自然死亡。
: n3 A: S; I' `8 O5 s
- O$ l9 R( J9 T) ^
3.一个基本假设是完全混合（Fully mixed）,也就是说一个个体与其他个体接触的机会均等。
" R' j2 c/ t! _
F+ T& N5 s+ U, H7 w* a( q
二、模型中涉及的方程
7 h# Q9 M& J Y4 D3 l7 P) b! G
$ e2 d6 j( ]+ d5 q c( w
1.S(t),I(t),R(t),N(t),N
9 f2 J G/ o4 M( b) J7 O
( g8 S( ~( y% ]" r* J8 }6 i6 d
S(t)的意思是第t天健康个体的数量，I(t)是第t天感染个体的数量，R(t)是第t天免疫个体的数量
$ x2 u5 b1 B4 \
1 A2 C x7 Z$ ?2 [2 Y% Y+ j* G
N(t)是整个种群的数量，在假设情况下固定不变为N
) I$ W& G& Y; Z# [ u9 |- r! ~' @
/ `1 M) i5 P- [4 L
2020-4-18 15:42 上传
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: t& D7 |% S& {" N
$ \$ `1 ~/ o! ~- H
2.s(t),i(t),r(t)
( ?, N) v5 s# B+ ~5 O7 z+ ?4 a
8 c0 I# _4 a: g6 r9 }& A. S
2020-4-18 15:42 上传
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7 ]7 Z, v# W: n" F
- d7 Y& E7 [1 q; s: c
由上方公式可以看出，s(t)的意思是t时刻健康个体占总个体的比例
( \8 u8 d1 Y+ k* W/ R/ j8 s- Y- m' i
( T, H k; q' R! }! Q9 B) e x: c
3.关于S(t),I(t),R(t)的微分公式
* |/ C2 S; T( l5 T
2020-4-18 15:43 上传
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7 i7 m1 b& G* e) q, v
3 k4 q' r8 k- f7 `* R8 z" |
其中S随时间的变化率是这样理解的：
1 F$ |2 l1 Q9 ^' u3 r7 }0 w
0 j5 O+ c* R/ u: _
. t7 z( l! M q+ a) Y; i* I
λ作用于S(t)和I(t),是一个病人的日接触率，这个病人可以接触健康人，也可以接触病人，但是接触病人不会导致S有变化，所以有效的变化是这个病人接触健康人。
6 `1 p! N/ y* P6 {
6 L- C" M" G/ R, `
如果λ等于2，也就是说一个病人每天接触2个人，这两个人是不是病人不知道。
8 J' z3 N3 C& i, T2 o0 y) a
) H; [5 p! b3 N& T8 [
如果λ等于0.5，也就是说一个病人每天接触0.5个人（有0.5几率去接触人）
% Z& v9 \* T# ~* G% }) o* N0 j! x
% O6 m3 g, L; K5 p! K0 [; z
那么λ×I(t)就是所有被接触的人的数量，要把里面有效的人拿出来
& ?! N7 ~! ^' j6 _
" ~$ R1 F8 e: v5 I( _* T
有效的人的概率是S(t)/N。
: X& }0 O; ^/ x( w, H
% z3 r' n; X. W& }5 Q
这样应该能理解了吧，我理解这个公式用了好久好久，简直是一个傻吊。
0 v5 j, m; k1 x3 F7 u+ P
) F2 O7 n0 B( t! C; T
网上有的文章i(t)和I(t)不分，导致理解公式特别困难。
( t( I' p3 k/ k* c
0 B6 D0 P9 c$ v5 Y& N, d7 i
最后作图都是用的i(t)，s(t),r(t)随t的变化的图像，所以纵坐标是一个百分比。
6 W) R8 U# U2 E
9 _1 X8 K% Q N1 x$ V- M& U
4.关于s(t),i(t),r(t)的微分公式
@3 a: O+ T% N
' _# b! w, ?1 T1 }: q
2020-4-18 15:44 上传
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7 E+ _0 P& K- r' n
! E& ~0 ~2 w. X# r6 x4 @
这里细致地做了微分公式的推导，方便大家理解
$ y" t0 ?/ E6 w) G" Q
( l( v& `. c Z# A1 s+ N
三、具体模型
3 Z, h% A! r& H
2 ?% ?8 D) l7 }# W5 P8 v' ]- Z
1.sir.m 脚本
- }2 ]9 [" I+ ]) i: X
2020-4-18 15:45 上传
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6 e4 }$ T7 b/ [0 l" r
function y=sir(t,x)
/ t) w5 d# s0 W4 W: S: L6 @ w
a=0.8; %感染率0.8
6 f3 t; v! W) F: Y* m7 J
b=0.2; %治愈率0.2
9 p2 n" j( _! T/ R* x
y=[-a*x(1)*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2),b*x(2)]';
8 `9 _5 { o* P
%s变化率,i变化率，r变化率
( X1 f5 M" S% ?4 X2 B! ^
%通过这三个微分公式，求出s,i,r随着t的变化图像
# Q; v$ _* J6 ~# r+ z6 s _, W5 N
2.实际运行脚本 sirrum.m
8 n p1 a8 q# G, e5 W
2020-4-18 15:45 上传
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& E9 U% p5 _; c# p. _
[t,x]=ode45('sir',[0,50],[0.97 0.02 0.01]);
7 G) B' a; S) }9 r
%ode45参数：1.函数句柄or函数名 2.t的取值 3.3个y的初始值
* s- X2 w6 \- A7 O/ w
%ode45是用来求解常微分函数的方法
- W' c9 {* { Y ~
%原问题只知道变化率函数，这里求解原函数，用到该方法
( { a, V3 y, e$ Y
[t,x] %不加封号，作输出用
* u+ i0 c5 R( w( Q
plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')
; L! E7 R' o: P' K h- H5 A
四、小结
& T% P! f1 W/ a
5 d C4 U2 S# r
2020-4-18 15:45 上传
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$ N; y5 B" A0 L, V" M: C5 ?
% C5 P( p1 H* f+ \' G
搞了一下午才把那个公式看懂，网上的公式不好好说明清楚，很具有迷惑性，可能他们也没了解这个小写函数大写函数的区别。
! m/ E+ U. k2 Z9 w; Q( ^9 E
* @7 c$ r2 Y' E" n5 W ]
在豆瓣《猜想与反驳》一书底下评论中看到一句有趣的话，摘录如下：
+ T$ v( ~9 w! U5 `
% Y* r8 ]; _. t
每个知识分子都有一个很特殊的责任。
. G- D; b2 Z h2 T
7 E7 ]: O% w5 G* `" ^
他拥有学习的特权和机会。
- a+ H5 f' e2 ~2 h: C2 |( R
, |: S0 G; w9 i4 \- E. W5 ?" I: e
作为回报，他对于同胞（或对于社会）有责任尽可能简单，清楚，谦虚地描述他的研究结果。
4 X$ j, t- ~! U: e6 `0 {
4 C- w# u- {( E( w: h7 s5 R$ U, y
知识分子所做的最糟的事情(主要罪过)是，
# \5 x$ w3 Q0 j7 G" H
/ ]% e+ ]! V- q* n
试图对同胞自命为伟大的预言家，给他们留下令人迷惑的哲学的印象。
6 y9 B5 f9 M& c. q' w3 Y! K
8 c8 f5 I7 J; ^9 u
任何不能简单，清楚地讲话的人最应住口，继续下写功夫，直至能这样做为止。
U+ \3 w+ ?2 e" Y. U; |9 J+ D
2 r m0 Z) z' B
所以，有什么问题都可以问我，如果我能帮你的话，虽然我也是一只很菜的菜鸟........
: Y" P6 X4 C. ~; b# e& B! X) A
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! \9 J$ W, S' S8 P1 o
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/ Z+ |2 k, m# E. w5 T. p* R
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3 C) p" q/ ^, n2 o# k
( J9 E2 h2 Y2 j- x; |, M5 p
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作者:
2863358207
时间:
2020-4-18 15:50
总结的太好了，我微分方程就是会建立，但是不会编程，感动哭了
' V6 g0 s* G3 [8 ~1 S
作者:
FMLXQLJN
时间:
2020-4-18 16:03
你写的很详细，很棒
。
' X" E, N( p9 ~ F4 q& k: W
作者:
nmslaaaaaa
时间:
2020-5-11 10:52
这个没考虑潜伏期的
- X. V* P& D4 I) Z$ J( v; e9 l+ i; N
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