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标题:
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
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作者:
杨利霞
时间:
2020-4-18 15:46
标题:
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
: |0 m) F9 ?. a; ~- q9 v
复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
6 ] a/ W7 B8 L
一、SIR模型简介
8 n) y. S. B# [) X$ v: {3 E
$ f+ Q* n8 ^! @
在典型的传染病模型中，种群（Population）内的N个个体的状态可分为如下几类：
: ~$ s1 w E8 R6 r
5 F) L& ~& M1 _9 j: w
(1)、易染状态S(Susceptible),即健康状态，可被感染的个体。
& j% u3 h6 _* L* T4 @; Q
0 ?0 k" @1 }' c% f2 } c
(2)、感染状态I(Infected),处于感染状态的个体还能够感染将康状态的个体。
% @* b9 d, ?1 @) Z6 d4 r8 D( T9 r, @
/ U7 _$ u" j# x6 o+ i
(3)、移除状态R(Removed,Refractory or Recovered)，也称为免疫状态和恢复状态。一个个体经历过一个完整的感染周期后，该个体就不再被感染，因此就可以不再考虑该个体。
5 H/ f& [" ~6 a- w _" Z
5 c6 C( Y# s0 |( ^5 q$ l9 o
另外还有病人的日接触率λ，日治愈率μ
9 Z1 g8 h- i) S2 v
% s- h9 `1 F3 [# O9 B5 ]
这个λ是针对于病人而言的，代表了一个病人接触多少个人。而可接触的人包括除自己以外的种群中的所有人。
7 L! @+ D L3 Y8 l5 B0 V
' M6 a- L2 y( K& l
tips:
# E2 q: x% U& W% t, B# h
; _* i) n- U& |: y' C
1.初始时刻，只有少数个体处于感染状态，其他都是易染状态。
2 ]1 H! Q9 r+ Y; M6 n5 U
. K7 M; J9 M8 E7 j" e, O
2.假设病毒的时间尺度远小于个体生命周期，从而不考虑个体的出生和自然死亡。
7 q+ \- Q4 x' p# g6 _2 ]2 F
3 s- P" _/ R9 ]1 q9 H' ?* U
3.一个基本假设是完全混合（Fully mixed）,也就是说一个个体与其他个体接触的机会均等。
$ ^5 `/ M( v& U% A3 ?0 t {# b
7 ~7 k0 b6 R0 \1 q+ Q
二、模型中涉及的方程
: Q, q3 l! ~. i1 W
& W p! W& A8 L
1.S(t),I(t),R(t),N(t),N
5 J/ T& @2 R& E3 j- f' V
8 ?, r& Y+ @* E- r+ V
S(t)的意思是第t天健康个体的数量，I(t)是第t天感染个体的数量，R(t)是第t天免疫个体的数量
0 X: |4 Z: ~/ A/ G- E
- x! S# c& J6 h0 Z: L4 f- f. A, t
N(t)是整个种群的数量，在假设情况下固定不变为N
6 y# W4 b- G5 p T. } x
( j5 o" ^7 J9 w6 ~' l2 R4 s1 {( y
2020-4-18 15:42 上传
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G! E( S0 ~+ Y5 P. n; M
0 n1 U+ }- t1 Y4 y4 Y
2.s(t),i(t),r(t)
* R' ]1 T9 o2 {4 e& R) k
$ d3 g, j* _9 }
2020-4-18 15:42 上传
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Z0 S" N* ?# [! {1 @& U0 C% ~- e
/ \2 n C- L2 m. R" T+ m
由上方公式可以看出，s(t)的意思是t时刻健康个体占总个体的比例
/ ~6 L5 v& S! V
7 N9 i6 G( T1 x* ] p+ b
3.关于S(t),I(t),R(t)的微分公式
7 V, l2 {# R% N& F: r- K3 z) P4 y
2020-4-18 15:43 上传
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2 a1 q- q/ N. y. s$ f, {
/ C0 G4 }, ~1 G ^) `& T' o
其中S随时间的变化率是这样理解的：
/ w) f! j. j) v5 v
! q3 n3 U. r% ]* k9 S0 d- e3 d# n
( e. h% b9 l: I7 q% ?+ `
λ作用于S(t)和I(t),是一个病人的日接触率，这个病人可以接触健康人，也可以接触病人，但是接触病人不会导致S有变化，所以有效的变化是这个病人接触健康人。
. J) V4 i$ X8 F( L
. d: u1 `" P( u) ~2 p# J3 n& \/ E8 H
如果λ等于2，也就是说一个病人每天接触2个人，这两个人是不是病人不知道。
; v8 A% M7 V, R; H+ f w3 z& {
" {+ A' {& _5 g b% Z
如果λ等于0.5，也就是说一个病人每天接触0.5个人（有0.5几率去接触人）
3 t( C- D; S0 z: E l" S* F' G& ?
7 }8 N, N; U5 [. x0 r6 n$ o
那么λ×I(t)就是所有被接触的人的数量，要把里面有效的人拿出来
( V- U# s( P2 b8 v5 n; ?/ ?$ a
+ p! [7 K% N1 r. q2 _- r
有效的人的概率是S(t)/N。
/ P/ O9 `: q4 s" C2 R. P
; N8 [1 ?5 F% A) v" n
这样应该能理解了吧，我理解这个公式用了好久好久，简直是一个傻吊。
, w, v; G0 q0 \; e+ t' ^/ b
* o% u0 E2 }( b# ^
网上有的文章i(t)和I(t)不分，导致理解公式特别困难。
! r: I0 h2 y, y, r( w
: b# I/ ~7 ^8 s% z
最后作图都是用的i(t)，s(t),r(t)随t的变化的图像，所以纵坐标是一个百分比。
, k7 }# B' q+ o0 |! P+ {7 s/ I6 |6 v
# B, C4 R$ q3 O1 p0 G( T
4.关于s(t),i(t),r(t)的微分公式
8 D6 J4 i) d& u# k4 ?
4 I: C/ d& z: j9 Q# e
2020-4-18 15:44 上传
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/ K' ]) ?8 i: L$ Y
& x- ]) e/ v: S4 p* e) b
这里细致地做了微分公式的推导，方便大家理解
% s" U0 u, M' g# W8 \, L
7 i% S" u( V: v6 e
三、具体模型
; Z+ Z' @9 s+ Z4 L! J
- @% N: o0 S2 E/ Z P- n' y; B; m/ l" Z
1.sir.m 脚本
2 O; C8 ]" m i6 E9 O0 W7 w
2020-4-18 15:45 上传
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: i1 \) Y* n$ T9 f% x$ K9 e
function y=sir(t,x)
4 C4 ?+ t& I5 o. b" ?
a=0.8; %感染率0.8
0 l0 X' {, p& _0 W9 k, Q# Q
b=0.2; %治愈率0.2
. V) t1 v6 m- `/ I: m& V
y=[-a*x(1)*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2),b*x(2)]';
: ^0 K; k3 S7 e2 S* r6 N
%s变化率,i变化率，r变化率
* ]. Y m `+ s$ m6 s0 q
%通过这三个微分公式，求出s,i,r随着t的变化图像
; ?4 [2 V1 O" v2 v( e7 ?6 [
2.实际运行脚本 sirrum.m
/ `' g' n$ `# u
2020-4-18 15:45 上传
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& [; K" e3 [* y: e( p* K
[t,x]=ode45('sir',[0,50],[0.97 0.02 0.01]);
+ ^2 x, z6 v) W4 _- y6 ]/ T! S9 D
%ode45参数：1.函数句柄or函数名 2.t的取值 3.3个y的初始值
9 g2 k" o7 X/ C# a; q$ z" `' h; z" H
%ode45是用来求解常微分函数的方法
2 f# p$ A) C! ?; G" q& B
%原问题只知道变化率函数，这里求解原函数，用到该方法
2 E- t E5 n4 I
[t,x] %不加封号，作输出用
$ ^6 f& {6 ? d3 C) W: x5 \+ a0 `
plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')
7 A3 L; O) P! t, u* y
四、小结
4 T h5 }6 H- X5 b/ {1 r
0 X1 H5 W( ~, H. u% Z$ K
2020-4-18 15:45 上传
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+ A# s' ~- v. n- Q. ~+ ~; K* i
, R2 O8 S2 B6 G" T0 Z# w
搞了一下午才把那个公式看懂，网上的公式不好好说明清楚，很具有迷惑性，可能他们也没了解这个小写函数大写函数的区别。
& Q! |* n5 V: C# J
0 U) W8 ?$ Y* Q9 q8 j: l
在豆瓣《猜想与反驳》一书底下评论中看到一句有趣的话，摘录如下：
p2 E: J/ k" k0 E( V# U
9 C( q+ e% w5 |: ~( Z. l7 h
每个知识分子都有一个很特殊的责任。
: r5 l4 [1 Y( r( C6 U1 R q9 F
- f$ H% s1 y/ @/ r2 w
他拥有学习的特权和机会。
: d# O1 O/ _2 Q
1 E; t* r# l) ~/ T7 Z$ \, m" N; ~! t
作为回报，他对于同胞（或对于社会）有责任尽可能简单，清楚，谦虚地描述他的研究结果。
" U. m. M, s9 U1 O9 z, o
( q2 a0 R4 w3 s& W$ H
知识分子所做的最糟的事情(主要罪过)是，
Z+ t/ s$ L3 X1 U2 L
& k! g8 h+ g$ S. h* ]4 u
试图对同胞自命为伟大的预言家，给他们留下令人迷惑的哲学的印象。
4 c, e" p0 Q: {# M% P) G! a
) ~: e+ v; L9 D
任何不能简单，清楚地讲话的人最应住口，继续下写功夫，直至能这样做为止。
$ M3 U/ R% c; |9 U5 p
% H1 N9 R, @! i- [& h
所以，有什么问题都可以问我，如果我能帮你的话，虽然我也是一只很菜的菜鸟........
& o; |- W) s3 e* E: h
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5 Y, s( J8 O2 p+ _5 J$ \2 T
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5 f# {* m3 Q. f/ \3 z; x
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2 \1 v2 _% G" I1 M4 E& c
- i* m! u# {. M* P$ X& |
& ~) o8 z% }6 n( ^; T
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作者:
2863358207
时间:
2020-4-18 15:50
总结的太好了，我微分方程就是会建立，但是不会编程，感动哭了
6 }( `% F8 H+ x' q
作者:
FMLXQLJN
时间:
2020-4-18 16:03
你写的很详细，很棒
。
+ M* b; T; j: M* `3 ?
作者:
nmslaaaaaa
时间:
2020-5-11 10:52
这个没考虑潜伏期的
( q- f( t- b1 n- D6 J
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