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标题:
数学建模-常见模型整理及分类
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作者:
杨利霞
时间:
2020-4-29 15:20
标题:
数学建模-常见模型整理及分类
数学模型的分类
2 `; ~( l8 @" x) h* c' k
1. 按模型的数学方法分：
( `9 c j$ Q: u" i! W' I
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
# J0 `' N' k. q2 }2 a/ V1 e5 @" n8 |9 j
型、马氏链模型等。
% q% D% Y/ n8 w: F" w$ X
2. 按模型的特征分：
. c1 U, D9 T7 ^, ^/ ?
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
" I. e. t, r' c4 X6 C u2 J2 o- Y: u
性模型和非线性模型等。
+ O Y" U5 l3 U4 P4 y% | n
3. 按模型的应用领域分：
2 I/ c9 U" }# ^* B" Y* w# {' R) R% r
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
8 D* i1 x5 u/ l) C, X9 B
4. 按建模的目的分： ：
! @5 b+ f y( j C) U" P
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
6 S; d! C/ L- d; l7 {$ N" K
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
/ v- E; B9 u4 Y$ i9 W; a
往也和建模的目的对应
8 ]& j' n/ t1 w1 O$ c: |9 a- C; n
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
8 c& H6 I7 N! t- P, t* w. V2 H6 I
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
' e K' `$ {7 R* Y$ M5 }; B
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
& ` s* a! n9 p) ]
6. 按比赛命题方向分：
. h7 g( r- |; E; z8 F
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
! F6 T$ E# q/ J* [) [
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
! J6 h* D. v! z6 a4 i& E8 d
数学建模十大算法
, Z9 M4 S1 @* m( D2 U; f$ x
1 、蒙特卡罗算法
0 R# R$ F/ u* T: w8 R9 y/ J
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
; P- S$ `& W$ p; b+ t( h) v
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
9 E2 l2 }: ]2 J# N3 T
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
' n' X! `2 ~; h6 X3 A- r* f
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
9 d5 J; x4 ^9 V l3 }7 J% ]
通常使用 Matlab 作为工具
; ^/ k, i- w1 C8 W. h
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
! S* H/ K, i5 j2 s- d9 Q$ M' p; k
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
. G0 X( x4 V: ], H' A4 O
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
2 H) y( F% p' U5 c% |
4 、图论算法
2 \' y2 W/ e- r4 _0 Y
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
; R9 g8 f' k' X3 Z# H! d
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
2 L, Y5 ]" {9 t- z0 w/ c3 Z9 J
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
+ _3 h8 @, P; A; M4 r4 P
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
" ^9 e, m/ a, K! ~; x6 H5 B
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
" K$ @* R- _- u. o5 f! U( b
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
4 N0 i9 \ q+ Y) h v2 e. \, D$ N
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
( u$ B7 s) i( l4 F
7 、网格算法和穷举法
, e. A. N L) @3 {1 c, w/ f
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
* t5 m/ i2 Y6 D; G- R: _
一些高级语言作为编程工具
_2 X; [3 \* _( \
8 、一些连续离散化方法
5 g/ p& O$ U* u2 c
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
' m) y2 a) U2 Q4 c" N0 g9 ]5 `5 \
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
+ p% f" i' T! P! y
9 、数值分析算法
& u3 {, G: n5 t( i( V
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
2 m! @; C! q- ]+ m/ U8 E
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
! {$ `* L# M, M; A5 M/ i* x w
10 、图象处理算法
; k$ Y1 p; s. u+ T! b- ^3 p: p) y
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
$ I$ e; }$ Y- t m8 v0 M* w
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
6 h' e% G. i) w
行处理
6 S* v' x- j) }' l1 E
算法简介
3 g( `9 u' H5 y# j) K
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
; @* M" K7 [! K# F, C7 ^1 _7 `
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
( y; W. D3 d- a" \4 u! B( o
个条件可用：
; S+ e V& a! ]4 y" z( \" Z
①数据样本点个数 6 个以上
2 D* S3 F7 ^3 |! l- U# I& e H( L
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
7 H) O& d* C c# C# m
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
+ Z8 x5 N$ s# R7 X5 M; x
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
t* E; c* k. D C! y
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
4 D6 P! `& g5 K! v- I r0 g
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
7 [; n" D: J" j- i
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
& J9 e/ t2 z% X0 [# _4 p4 {
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
3 x, G9 r( l D! h" |
化； 样本点的个数有要求：
; T# M* S9 Y$ v& m2 }9 d+ ^; t
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
5 b! j4 O1 _8 i. K
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
0 n/ L# N! J f3 A: L/ A, ?) Y
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
& a# P1 b; z. ^0 r* k
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
- X) n1 q% |" [1 V+ S
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
& H* D6 j8 ~% b O
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
# Z9 S4 z* R" k+ H* Q3 m
5、 时间序列预测
8 D: @2 Q% e# Q. H
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
# B1 u% H$ h' K* s2 s
（较好）。
" @' _& ?$ n8 O+ R
6、 小波分析预测（高大上）
2 y$ Q; ~! a X2 ?; T
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
$ i+ F" m* h, M& p/ R
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
Q0 q2 E; I( ~" ?: w" J( a x T
预测波动数据的函数。
3 u) n5 i0 W4 z- T3 @
7、 神经网络 （ 较好） ）
5 L& t1 i+ b c9 e7 ~5 k. m1 K
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
& N' @; l7 A' U
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
! M8 m3 s: A( X" _ j( ^
8、 混沌序列预测（高大上）
- i5 [; x8 a6 N1 Y$ l2 ?. i( x _
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
, T" B, M3 {8 g3 c+ d) C
9、插值与拟合 （ 一般） ）
0 b2 r# |% ?, W8 D/ T
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
; f6 @/ E* d. G, K4 k* K+ N
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
" N& J5 K- m% ~: i- ^
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
0 B# \0 G+ ?; W
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" l/ p: C8 d. [9 E& ^" Y
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
. |4 N* e* t; D h0 N
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
' O: ?5 e( Q% d3 s' H* t
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
. s5 q4 a! O6 O+ a# [, O
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
g! G' x% Z# X
优化问题，对各省发展状况进行评判
: X1 t8 v1 m- n2 ]: a2 A
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
6 ~: {9 P& u( U4 E- S6 h% U
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
3 u& H) b$ {: T9 y' Z+ W5 H% T
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
/ G1 T- c- W# C; Y+ y
似。
: L" _- S1 e! y' U1 b$ e, e; _7 ?% m
14、优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
2 j6 v( P- x H1 [( r. h
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
( ~- s. e, }- B8 |! B2 E+ L8 v$ Q
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
: c4 Y% x. J# k4 f
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
1 z5 l. I* y, s# e$ S! |
的最差值。
/ K% b. N4 c6 ]4 E8 C2 B Y$ w
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
2 D3 ]0 y& u# G3 p# F
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
; [0 x( y* X( S. D [, ?8 ~
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
: E5 } T, W/ l( P9 U3 S& i
该方法做评价比一般的方法好。
& i" @! [2 v2 y4 E6 H# j4 X
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
6 Y! w: v M& N0 G& O) ]5 j( T6 g
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
0 x: c1 U: U \( C0 {
量有无影响，差异量的多少
5 w# w4 e$ k/ A/ W
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
( V. x8 f$ h- S% w; N ]( y/ U
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
* ]: a$ G8 N/ d' Z! _! t: T
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
! f: g, v, ?- S4 F& s' t
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
' `" ^' R% P/ n5 m
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
5 r P& N2 `' R# j- ?9 j1 A8 n( C
优解。
. `5 Z9 o# A% r1 P- m- a
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
; h# x p* G: |; ?( h
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
. m8 ]. H- j8 Z$ M
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
! h; l! M8 I: [! C& E
算法、神经网络、粒子群等
2 J! M3 s0 s* m( z1 N( e. Z" \
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
* {6 n/ R+ N# d8 ^- o% l: _5 ]
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
- _! e+ l3 |8 d7 r' g
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
! E k8 i, h v
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
! E* K2 z9 J6 {" a8 j7 H
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
6 x& u l0 ^, J, B
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
: ~2 r( x1 |% ^3 X+ M, o
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
$ Q3 J+ G/ M+ w# G2 o8 w# L
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
* ?2 h9 ?" R1 X/ s4 [
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
/ X M/ v$ c1 G9 j+ G
21 、图像处理 （ 较好） ）
; a+ g) i" N9 o( {4 l/ h
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
) I* r8 m4 {8 S) g
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
, X5 H& B5 h% b1 x2 b
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
6 @/ a7 f7 B0 @0 [
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
( g: u& y; C- N0 D: a
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
2 L0 S8 D0 M) n0 {. r
23、 、 多元分析
$ @) m% n4 K: d( P
1、聚类分析、
6 S1 r: ]6 S6 F- C# p6 z
2、因子分析
+ c% N% R( K" @. t: R6 w, C% s0 ^/ H
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
, J6 G) s, m7 \( h9 J( s5 ~
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
* n/ C1 g% q* u: p. j
从而达到降维的目的。
; k, O* r* M0 R6 F7 \# S1 v
4、判别分析
& x0 Y8 W/ [8 i* y
5、典型相关分析
% n3 i) o# ~0 H
6、对应分析
+ T7 G- }% J# {+ b
7、多维标度法（一般）
0 m) @1 [8 A4 C! S ^' r0 B
8、偏最小二乘回归分析（较好）
" P7 e6 [6 s- c7 b' F
24 、分类与判别
. e( A- {& ^, G0 e
主要包括以下几种方法，
- a& F8 m2 O5 G) U( f- K. [
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
1 @$ h2 U- h( s8 m
2、关联性聚类
! `$ a. Q `& b" b# d0 y
3、层次聚类
/ B* a* ]( @( n! _" g3 m! T M
4、密度聚类
6 G |1 S- J2 L0 X
5、其他聚类
# K$ @ f( [( V- @' v" ?, i n
6、贝叶斯判别（较好）
3 k; a( ^# H1 M' S" E
7、费舍尔判别（较好）
3 P3 u: ?5 P, t T
8、模糊识别
$ s4 ]' D% N/ t. J0 m# s
25 、关联与因果
+ g5 R4 d ?; H7 X
1、灰色关联分析方法
1 @( v8 m: b. I" |( Z
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
- P0 j/ _: f0 ^) @! U
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
' j9 P' y2 v/ d- q. C
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
. X' T' c% S8 j( z9 p1 j* m9 k
5、典型相关分析
' a6 H+ b5 V$ o. A; R
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
7 A5 ]1 r( z6 Z- w a5 a
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
8 y, j8 f. E+ h) O
6、标准化回归分析
5 x( F: v3 Y" E6 k* ~( h
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
8 R, y; U! {8 W" Q t; ^- B
7、生存分析（事件史分析）（较好）
2 L9 j+ {1 N0 ~3 D
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
" n6 B2 Z5 G' ~; `0 @( G2 p T- `
8、格兰杰因果检验
' O( U" y; j# x7 R
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
. V5 s* P4 Y& O5 h
9、优势分析
: z: y* ]& ?3 R7 `
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
, v8 a" I, I( ~0 Z3 t3 K
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
) K- D* o$ y% I
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
7 i" A+ s+ Y# Q( W6 g4 ?2 n$ Y
7 z* t: I X$ n5 d+ R v
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
3 m0 `% ?+ g: a( [% K( m v
& K3 O' r8 d/ X# e# f
) {! [4 R, _/ P9 \8 `, g4 \: e
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