数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模-常见模型整理及分类
[打印本页]
作者:
杨利霞
时间:
2020-4-29 15:20
标题:
数学建模-常见模型整理及分类
数学模型的分类
- X$ v* ~% s) w5 Y# V4 s- {: C7 g
1. 按模型的数学方法分：
[: h/ Y8 W6 b! _# ]% ]) A
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
1 \' E; U ], p
型、马氏链模型等。
5 C% V6 Q* f j+ y# u
2. 按模型的特征分：
- B0 l3 P( S/ {& V7 Q
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
# o' J3 F$ O3 H- Q
性模型和非线性模型等。
* y; c8 I7 s5 {7 _; W2 r# {
3. 按模型的应用领域分：
4 I( @( v% a5 D7 E/ E0 \& h
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
5 U* f" q& o j+ a8 s
4. 按建模的目的分： ：
* u4 q7 y- }5 W- Y, P
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
' k& \9 _) B y I+ J5 W
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
1 m( L& W8 e0 \6 M2 {% o4 ^
往也和建模的目的对应
) l% |8 Z$ Y* `+ t# i
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
% ?1 H) y3 D H" |% x; T
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
5 ~ X, z% y# N$ K
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
% O1 D u. j Y }2 D* \3 A
6. 按比赛命题方向分：
: {) l" N# Z/ v# H, F! p) A
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
3 z5 e3 V+ G- g0 X/ a0 c
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
7 H* O- F, R% Q9 x8 v
数学建模十大算法
8 x: b4 L9 t( ?; X
1 、蒙特卡罗算法
$ [! N7 b0 D% W! |9 ^6 z& Z
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
2 k0 ]! i- z2 W4 h. f) S( [
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
: s6 H9 B; K: M! f" b$ c
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
. F. A) {5 U& d& F( Q/ x) v0 S' F
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
7 t: o3 c2 L) A+ m3 @ O4 n* c: x& A
通常使用 Matlab 作为工具
$ `! }% ~' l( ~8 s0 A) r/ `6 z
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
6 O6 ?. Q' p d0 ^3 i% E
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
" y% c* }: ^' m& g
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
+ Y, i" V1 ?( j; K# s
4 、图论算法
- q; ^6 p9 m1 v
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
9 T E# k( ]; g* Q# _
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
# ]1 n1 b j3 l/ F7 f. h
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
" z. o9 ^/ M3 B3 \# h! x. w
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
0 | x& M) _" Y* m
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
, ?, R. G/ }. `% _
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
# S" r; U- \1 \4 V5 C1 |- O
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
8 |4 _5 q0 e- l8 h" p
7 、网格算法和穷举法
' f0 Q: O/ \3 `7 x" ?
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
0 @4 l, X/ p8 M. m$ F
一些高级语言作为编程工具
p5 }- v3 u' p# H
8 、一些连续离散化方法
1 r! p6 T) q) }2 h
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
. H7 r! [; d: C6 j
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
# b/ s5 g! C6 w( }
9 、数值分析算法
* W l) o9 W2 c6 S0 M
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
1 {5 O0 u, `# J1 Q& k
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
% P9 Y7 @' C4 X+ a* g+ ?9 K$ T
10 、图象处理算法
+ e, `) N3 Q Y) r3 o# k
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
: B" F4 {1 ?8 t; N
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
( M- i, K& x0 B+ {" ^
行处理
' W' [ z6 W6 G; F8 y5 D0 Z
算法简介
1 [) n2 Z/ X% x- U3 \
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
. J! Y( q0 }4 f) U
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
- B/ s/ p+ P$ {9 ^7 l/ q
个条件可用：
8 w" B0 x0 e# l6 h& {
①数据样本点个数 6 个以上
1 g$ h8 _0 O& M2 w7 v4 `
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
6 z" | E1 D4 a% d
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
1 w5 A& S5 O1 u$ ]8 g) |: \
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
: F. I( H3 Z& N' a" x! }
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
$ t6 b8 M4 [# p
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
( M! U/ C6 O/ @3 z. J
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
' L$ ?" X5 Q9 `4 K: q( W
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
u7 k0 E) s# p
化； 样本点的个数有要求：
) W# y: |1 k( |2 b( [( m+ [" ~
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
5 Y* [# F H9 R: ?. Q4 }
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
& o4 z R4 R) i% G2 p
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
0 n0 z! r; H$ `+ K# E7 u# G: l
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
. a4 \3 m1 ? e
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
0 L. r" ^* Z- d1 y+ e2 L( @
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
3 S: [. l: T. S, L
5、 时间序列预测
/ k6 a7 l5 u4 I4 ?, E9 ]- x
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
3 Z$ R" F; f- E; y- ]8 Y* a; W
（较好）。
r |$ T& r+ q5 g8 S
6、 小波分析预测（高大上）
5 w% `& t! y) t! \1 C7 `1 X, \% u
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
6 y5 |; U( e9 L2 N1 b: i
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
+ h2 u( T6 I' _( m( J& e
预测波动数据的函数。
- N: ]9 z: O6 s. b; z
7、 神经网络 （ 较好） ）
, n! q0 z$ n7 Q1 P1 F
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
6 B. |" i3 D' A; t8 {' j' p( Y, E
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
) d% K6 M9 v! g6 {& L+ a
8、 混沌序列预测（高大上）
' O) D6 g& O9 B8 L3 `
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
3 K) `& A9 M* @# x/ {5 U6 J& O% O
9、插值与拟合 （ 一般） ）
; ?% l- n k8 E# q- U2 w8 g
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
, k& E+ q- _# H0 G" H
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
3 m: J$ ]- D3 O+ Q( ^
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
8 r, R/ U1 Z! Z6 b9 y
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
q, B- N& v n1 \' b
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
6 |! x4 i" P; x) I% r# c5 k; r
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. Q! H* } e8 U* a
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
, f# D6 q {# t: Z, ~
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
/ i1 I$ f5 v) Y( C7 O
优化问题，对各省发展状况进行评判
y/ f9 b" X+ l$ {5 t
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
4 }5 n. ~, T- C* _5 \. M3 x: m
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
4 g* C5 d/ K5 l. X
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
$ R: L' X& W8 h6 R B% i% S
似。
: y6 }+ ~* d, Y) d- j2 J6 y4 a" q
14、优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
M$ O' d5 E. y% r/ Y% V
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
Y/ m0 {5 w& K8 c
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
! I; p I5 K* D( [, E! M
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
9 H" Q( |7 O9 u: B
的最差值。
' O b6 s: u" Y
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
$ S) A* |& W8 G6 [- g
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
9 A3 f' p2 i3 q$ S! p
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
9 l, k( C3 ], Z( n; w
该方法做评价比一般的方法好。
1 [6 ~4 l$ P! ?, c0 w; ^7 c
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
5 E$ m5 I, h- T7 w& P% k9 g' U) W6 E. Y
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
7 t( x2 I8 ^; k) ?; K2 t/ q
量有无影响，差异量的多少
1 X5 b2 z1 [. ?) c
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
+ v! M. G1 e! F! E3 w, B
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
* v# y+ {( [' | `+ r
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
/ G9 k5 M1 @ q* m9 H3 I
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
( i" S/ M3 v/ k$ I8 u0 Q H" P
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
5 a4 D) [+ s) t* S
优解。
# o/ c+ r0 u0 ], u. w( t
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
7 [4 g1 P4 e; v: O- q( j7 `
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
1 S$ w( A5 P4 J; m
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
# e6 m5 Y' q1 L* r+ K
算法、神经网络、粒子群等
/ v+ S: K+ [/ P+ I$ W+ Q, P
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
; F4 s: K. Y ^4 m! n9 @+ M; B
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
0 ~" c: G+ y+ f4 F
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
6 w8 S# K" s5 e9 Z( M" }' q' ~ O
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
7 T! n- e- x1 J5 D4 R
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
5 b$ v o" ^; T4 Z
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
) l! T6 i! v+ S% N" ?& e" r4 W, t4 V1 } a5 {
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
0 U' e# r! \- a% ]" g$ {
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
, s8 x- ]3 M3 d: T1 Y1 X
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
8 ~9 V3 H. j; V0 h7 `6 [, j/ Y
21 、图像处理 （ 较好） ）
' A6 X8 x7 X& H6 g0 v& q
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
* n9 r2 n( n+ b- {8 M. d
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
t2 g3 H, }. L
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
+ q) Q6 q# }# `
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
6 m5 w, d; }, b+ z/ e5 ?
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
+ H6 M6 L0 T) O- ^: f2 M
23、 、 多元分析
/ q5 C" `2 I; H) i& W4 A5 q# u
1、聚类分析、
- o! i$ q- K* t; A
2、因子分析
/ T: q: c/ {, i! y
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
8 M( |4 ?& |( h
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
; k1 o; Z5 [0 h* O1 a
从而达到降维的目的。
1 K+ ]4 W# V; u+ \" d% V
4、判别分析
4 k# u$ q9 E' ^, x
5、典型相关分析
3 ^5 V* A4 f4 g' i0 v/ F
6、对应分析
9 V8 ~ {. U$ d5 J7 N: L+ h. `
7、多维标度法（一般）
0 y+ I) E7 l% A. q2 [& K% D
8、偏最小二乘回归分析（较好）
' V0 E$ T- Z. {% L" T' v& e
24 、分类与判别
: M4 u( f" N6 o7 L
主要包括以下几种方法，
' I. `7 g* R; `% \, F) t" t
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
. w, t3 ?7 I+ P9 l" l* f
2、关联性聚类
. k! `: f' ^% @1 {( |5 q0 O- S6 J7 W& W
3、层次聚类
8 k q. A# I0 b) p( B D' [
4、密度聚类
1 p: Z3 x4 L( v4 H+ H/ e$ v2 G2 u
5、其他聚类
' e3 o2 [, `6 u) n4 z$ {
6、贝叶斯判别（较好）
, x$ ^' N4 p$ X: C# g2 p- I' L
7、费舍尔判别（较好）
) K2 U7 z+ P/ T e& m1 ]
8、模糊识别
% }9 \- c3 Y. o, g- J# W2 O
25 、关联与因果
7 o5 {( m; e" {* X( e2 n
1、灰色关联分析方法
2 A; l) R4 m! M3 ^9 V
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
& R! P! V# y) x+ _1 A$ T: X
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
# ~: l( X2 l4 S+ X5 ?$ _
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
* K2 s8 y- b; a7 h8 e; b0 T2 D) g
5、典型相关分析
, l' I! P% v' E3 U: T& ~2 s9 W
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
& f$ e+ q1 v2 t1 U
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, _* n% F P- l; w9 {/ K; M
6、标准化回归分析
: L) C, @3 A( s8 ]7 F) B. E
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
2 z, H j0 f: Q
7、生存分析（事件史分析）（较好）
/ \9 L& z1 T3 Z3 V
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8 P3 u% ^; V: P2 l, t
8、格兰杰因果检验
( g7 V; `: ^3 ^
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
: G8 f% F) C0 w+ v: \, I
9、优势分析
: w2 m3 H# b: ~. Y1 d
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
* J9 l6 \- k3 G& o, e6 p
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
" u7 q2 U+ v; c) h: ^$ V
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
3 m2 P9 ~3 U' {8 k0 {
( i" y9 g2 H, p* y, B# x
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
2 _% P8 \, I9 U. o) q& T5 r8 k8 \
- B- G2 K8 }. J+ p" A, E
) Z# ?" l+ V! H* f) W' k
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5