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标题:
数学建模-常见模型整理及分类
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作者:
杨利霞
时间:
2020-4-29 15:20
标题:
数学建模-常见模型整理及分类
数学模型的分类
$ n, u; m- v7 n5 J I7 p
1. 按模型的数学方法分：
" `$ ^# g! }2 A8 u
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
% h4 s0 A; ?4 Y* k: X
型、马氏链模型等。
; S3 z1 p3 g0 \, K% K9 \
2. 按模型的特征分：
, o e5 n4 E# y& Y# x- I
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
& Y+ j8 V: N/ d, I9 O/ \9 M: h
性模型和非线性模型等。
0 e, B" z8 C3 h5 q% x9 }
3. 按模型的应用领域分：
! a# B1 Y1 O/ a
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
0 ]( i* D, ?& a. a3 \
4. 按建模的目的分： ：
' @+ Z2 K3 H# j
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
2 X8 A7 M& H8 [/ Y& `" S* W" H7 N
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
% b) D$ P( }) \1 o5 z" _$ r
往也和建模的目的对应
6 f5 o) K" H7 t5 H4 N
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
$ P+ T/ o3 h9 x3 q/ T; {4 p
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
; L% ^ x0 [* S! n* J* W. }* B
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
/ i: F6 y0 ]: l. c( Q
6. 按比赛命题方向分：
" { o5 @, {2 M) K* }
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
3 f; t0 g) p0 q) f+ d" Q
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
8 F0 C+ C% Q9 I @' g
数学建模十大算法
; |' O8 {. I$ s6 m, C- \
1 、蒙特卡罗算法
: A0 N" Q! m' X- g
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
3 O3 v9 h; Q0 j
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 o [( |, l) W8 J! }7 ~* j w) U
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
+ T% k" j: G2 }+ x) |5 ~3 p
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
+ a$ ?9 p# g' g" S4 s: {
通常使用 Matlab 作为工具
7 J( J, d) N1 n( a& @
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
8 I, ]% a# ]* ?4 A3 T
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
, }; J- Q( D+ F8 q1 o {
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
( ^/ k& k2 C; B1 |8 c. f6 t
4 、图论算法
0 D4 R3 l! D- N; _
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
" i% q* Q# l4 ]- C5 z
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
6 x0 N _' C# _0 K z
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
: g: ?$ M) [7 u* k+ k: e
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
+ X1 _" u# C1 |! ]4 w7 K. A
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
3 z2 v, C) H1 T8 e
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
9 s6 I1 ^: ~' V3 }( ?2 E
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
+ y# t6 \% L' t/ H5 N9 U
7 、网格算法和穷举法
0 [: S, G/ @9 p) B4 c2 g( E
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
7 f, ~# N7 X) c; V: D# c _. v
一些高级语言作为编程工具
+ I/ M9 U3 l X. _8 k* s4 D
8 、一些连续离散化方法
r% `9 @! Z+ G) E, {: y" `
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
# V; K$ M" ]$ ~) \! y U6 B! L
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
! h* @' v( i) f2 s
9 、数值分析算法
2 ^$ X+ e4 `) `1 I1 A2 D+ U# M
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
/ W, X; Z" P* }, a% C
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
- h$ h+ |; u5 p
10 、图象处理算法
6 |( o. ?3 h1 v# e% i0 t
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
/ M# k, ?/ Y- U0 u! m- p# e- p R
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
9 \- M6 q; ]$ W0 ]2 _& x
行处理
! v* b5 B9 G* O1 H- Z3 t
算法简介
0 e! F8 @7 o; Z; k
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
7 J8 i! g) l: U) ^' W
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
w/ q1 F; D: o( U
个条件可用：
: ~( a# d- z4 y. {' p2 z
①数据样本点个数 6 个以上
8 g9 X$ k0 Z( _3 ~: E
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
9 Z( Z2 i5 m7 G, {' u- N
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
1 ^- R7 p4 _. V1 N$ s, ~/ U" A
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
) |+ g* r+ C2 o
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
1 a9 V) j9 F0 S5 ?- t
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
' r7 \7 g7 S( v! d( [
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
! E1 n7 M/ o$ T; {" M
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
" w( { S: |* ~* d9 I) J4 I
化； 样本点的个数有要求：
& y, O: S1 P# _! K- z
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
5 F5 U! L7 t2 M0 R/ w( N1 v
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
t% r& P- ]! }! Z3 q
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
- J f& C f1 g8 u+ U( {1 [
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
7 s; J" d. a2 C9 T7 i' O
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
- h9 G0 E* H7 i2 `2 ]
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
" x, w9 x$ |+ H/ v" i. d" P8 t
5、 时间序列预测
) Z# i+ [# `$ \- `$ k0 ]
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
$ Y ]; _( S$ j! ^( }5 b
（较好）。
6 b6 M3 J" w- A5 b( {* y1 k- Z
6、 小波分析预测（高大上）
- S& j1 p; z0 x6 }% @1 Y' [1 l8 l
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
% y) ^- ~8 m1 ~7 R% N$ v
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
/ b' B# n0 |8 E
预测波动数据的函数。
1 \- s4 L5 I% Y6 a1 X8 q
7、 神经网络 （ 较好） ）
8 z9 a* M2 W: E, Q+ r+ S
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
: I7 G. X3 Z4 \2 u9 d! B' @/ I% E
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
5 Y6 u$ ~7 U( ^9 |
8、 混沌序列预测（高大上）
! W: b1 b& ?4 K
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
`+ g ]4 @! x- i! O
9、插值与拟合 （ 一般） ）
( I# ^0 d4 J- x( T& e% [
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
" o& ]" y# @. B* @$ l% `
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
g u' ]% M# R
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
% E. K- W8 {$ ^6 a- U
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
4 d1 i; ]4 N& y8 k+ {/ B
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
. L; f* |2 S; o) p4 N* C; ~" V. i3 Z. u
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
m, B( P, _. d
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
! g$ y3 I9 Y* w6 L+ s. }: z
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
- B0 U& k! i4 d
优化问题，对各省发展状况进行评判
. [' S5 s8 M. y5 F
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
( y) \5 ^$ z& h4 l6 i) {+ v
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
9 q, Y, z+ z3 k$ W
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
U' T( d7 g# z! K* |5 b" s/ h
似。
5 G1 f) ]. m+ e, T" G5 q- `# p8 y1 q
14、优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
2 h h) ?4 \# k: W
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
7 j; Q. K% l/ {! n8 i8 n8 a, }
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
! B, c) p8 ^0 |; r' ~$ o
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
7 D& I! ?) s8 Q0 `
的最差值。
, o' c1 K3 q3 d/ r% M
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
5 Y$ @, {( l* r" ]3 O7 I
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
) u2 W n3 p% b+ b" V( m, m
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
$ p: w( m( @2 o$ V: B
该方法做评价比一般的方法好。
V4 Q( a( I( H/ F
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
) d- y: C& ?, M4 X
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
' t0 ^9 O# B3 h
量有无影响，差异量的多少
5 W7 N) D' ~6 W. [' O9 W3 P
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
1 X4 K; ?: a- [6 n" w
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
; x8 L8 b/ N$ m0 I1 L O
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
* y# f6 [9 @6 E
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
( C3 l# }1 c: X* W' t) {
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
. ?% Z3 O- Y- w" M2 H
优解。
1 O3 N! J: o4 E: I( h% w
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
7 b, Z. S& v$ G& G" z& a
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
@& n6 m- Y( D- w& u. s
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
) l- p/ O/ ` t: T! E
算法、神经网络、粒子群等
2 E4 h3 o# W: l! [! Q Q
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
% I8 q. K" j6 g9 G6 y7 z/ {" N( r. F
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
' `( q' m, I1 ^* v; @" M+ \
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
' @5 D, Y1 o- J; d3 |* |/ z6 `* R
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
/ F: Z2 H$ @; r; ^ a! \" \! C
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
/ p$ S* s8 s6 Q! b; s6 e
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
/ ]4 c- f. |& l' e' [
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
7 M& j: c L+ G: o
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
' C4 w& G7 k5 Q4 [7 M- s; T. R& I
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
2 j( k) U* b) c/ h. B/ T" k8 |/ z$ m! H" ^
21 、图像处理 （ 较好） ）
/ j- b, G6 c) r6 n5 U+ A
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
- l8 g) i j# r' s: J/ c
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
2 {& N/ G3 B* q5 y
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
/ m6 Q2 \4 M- Y& p
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
( _+ z0 ]7 n$ X K2 r7 {
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
# } o( H" M8 z! Q1 z
23、 、 多元分析
' x1 f) S3 V+ g) H m ^
1、聚类分析、
1 F* m; v+ a2 q2 Y0 E% C3 K
2、因子分析
l7 M$ G3 S$ k6 p! _
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
2 n$ w1 o- c% X8 H+ a; Y
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
7 k0 W, k. [9 \2 T
从而达到降维的目的。
! a9 {# d3 ?& d, Z' Y1 Y
4、判别分析
# O: n- k) J( V+ c5 Q/ u" i
5、典型相关分析
7 g+ U2 V# D0 j
6、对应分析
$ z$ _* f( i& }: _. @
7、多维标度法（一般）
1 z s+ p+ S* j& j
8、偏最小二乘回归分析（较好）
$ m0 R/ ^3 Y( m1 i `; {' J; E
24 、分类与判别
7 p% `( F8 D4 E. t8 t3 m7 G1 k4 w
主要包括以下几种方法，
8 B0 Q" e9 _( i( m7 f- D
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
% h" X7 q( @* {5 F' @- W
2、关联性聚类
/ Y: I/ }: |* x* R4 B# U( z
3、层次聚类
2 n& y" Y) {, S; T/ |; T! w. c
4、密度聚类
. R5 L4 {$ Q( \
5、其他聚类
5 ]& s7 ~+ Y( r+ e) t& n: }7 u
6、贝叶斯判别（较好）
2 {$ m, F9 X. ^, l
7、费舍尔判别（较好）
6 m+ k8 A+ t) E9 B7 ^
8、模糊识别
$ B" w" l) }! p% Q$ u, z0 p. w
25 、关联与因果
: R: j7 X- `; i5 B$ {+ R
1、灰色关联分析方法
7 v6 T K" Z2 q5 f8 M7 _9 f
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
$ x2 n8 ?" z# ?1 w: E. g
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
5 t5 [+ [, g5 u: U
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
- W5 I5 I! K# ]2 r: P
5、典型相关分析
1 |) b j4 B- p0 ~6 J
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
5 M, T. n& `, m0 r6 \9 ~6 ^# D8 c
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
+ N% K# A: O' S( q: J& {
6、标准化回归分析
" N1 X* I7 Q7 `% y) J
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
' H( ]3 j' ]9 u2 a x+ W
7、生存分析（事件史分析）（较好）
7 h9 Q- r5 w: o) c$ U: B: @
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
. P0 q X( J9 x8 r8 V$ _) q9 k% p
8、格兰杰因果检验
# [# B! r; ~0 o: e) Y% {# k! i4 T$ A
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
' C; H4 J" v h/ g* {/ V- B
9、优势分析
$ N6 e0 b6 B7 S; z
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
# \7 C) q% |: u4 {$ w) u4 @
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
8 h, ]; d, `% v' i. Y
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
3 c' I5 k2 D5 s) m" l! e
& b' _: |4 r- Q4 W! L
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
- a* n8 G% ^3 Z
4 E+ B/ J8 x/ k, r
8 j2 ?4 `% i$ W6 w& J; x( ?* o
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