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标题: 数学建模-常见模型整理及分类 [打印本页]

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作者: 杨利霞    时间: 2020-4-29 15:20
标题: 数学建模-常见模型整理及分类
数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
1 a& X1 k2 c4 d  |& g& s& ]型、马氏链模型等。
, t3 h- s8 g( s* h9 K/ _; Z2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
3 ?+ J# S' P/ P7 D7 s# q. i性模型和非线性模型等。
! F2 \; Q7 Z* c( ~, P1 ~3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
/ u' \) O) i' F4 F3 Y5 U6 ]: g% U往也和建模的目的对应
; S0 }% R0 S3 @3 {6 _" j5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
1 t2 s: d% N) x$ u% W) U5 L+ `( s6. 按比赛命题方向分：
" g2 E% }( m% ], m% y# s# i6 C) _  _国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
7 i* b5 g+ l. M7 P. P: y9 a运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
9 W! L& Y0 l9 A8 Y' r8 X  B, [数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
8 o. A1 N% b5 S- g8 e该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
5 k5 i  B. x9 }  l. ?0 c! F* K: \比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
' ^" m; v) E. }7 X+ v6 h/ j' d% b* H3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 R4 ^/ i9 ?4 ^' v建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
5 S/ d* S9 k/ J9 \8 V2 \4 、图论算法
7 G5 S  ~3 i& f# {5 b; f+ O这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
# M3 ?8 Q/ s& o1 L/ z当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
6 P4 T5 I# K8 }- m! \4 e- ?据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
- h! D6 f  V' ~7 g. k8 [& c9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
: g' T4 a( K* F: w8 _3 E10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
% I  o# b7 V6 c- p- ]. O2 y+ C的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
! b* _* J. S4 N2 W2 I/ U算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
, ]9 K/ }4 R; L4 b' ]8 X9 h* Z2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
5 n3 u1 k9 @2 ^6 Y' r  \微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
% k! ^6 o: T4 |2 f" }: w其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
! O/ t6 p& g0 ^' `) G) M: y* i7 Q! X化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
3 ^: z( ~# ]$ Q# r! _②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
$ j& ^: Q) D5 M% m- [. k- z4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
- H% f$ @" E: Q* T4 P0 H互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
/ h+ w+ E7 ]6 g; a( w! A4 O概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
% R. D6 o4 b# q5 f3 I7 h5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
& k9 X5 p  C8 p7 }8 M, a! g$ [（较好）。
$ d2 g6 J$ s5 W" w, e9 m6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
7 O% B( O/ n" ]' ~; y大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
4 _9 F/ P/ {3 W: L) F办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
2 x6 H* q0 k, g8、 混沌序列预测（高大上）
. y& o, M1 u6 J7 e8 _- b适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
& V* }! n7 c+ P: V$ z- X9、插值与拟合 （ 一般） ）
  h0 I) J5 E; k# b6 J拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
+ q+ ?* }& N% }4 C2 b; C评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
4 D+ r" ~8 r) y. V" T- N13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
$ S- V* X9 e! D秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
! N- r0 z' o% `& F* Q+ j其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
% n- k7 p- s# _8 ?" q) G评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
; o7 U1 b' `+ A. K! B( z, V的最差值。
! C- F  a9 d8 |15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
$ C" J4 Q( O: G; j来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
6 N) j" k4 M) E3 P! a' h! r量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
) L& K* S2 p  [" i素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
: g: u8 Q& j7 V) K7 O8 Y; k% u模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
$ E7 _$ V6 V0 Q8 A5 ?. l) L, A3 F算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
8 p. ~: m  Y& u" q  V+ I& @即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
3 j! J2 {, g! J$ E1 ]. \9 b) `计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
, I4 N8 {& |2 e8 P1 `9 c般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
( Q8 Q% h7 \, `21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
4 C5 U1 T6 g! a0 S22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
) Z( J  J. v/ r& z支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
, e8 `% c7 O  Y0 P- n# w射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
7 t- q( W+ l/ ]% C& W0 Z23、 、 多元分析
$ S% R+ R0 z  Z1、聚类分析、
" R! b5 D' g7 d: Q2、因子分析
( Y% ?* e- U, R3 P3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
/ N2 P- N0 |, v从而达到降维的目的。
, o7 |: C1 g1 m! Z, }4、判别分析
5、典型相关分析
3 a6 v$ y2 f" T! n) o+ l6、对应分析
7、多维标度法（一般）
7 S0 K% K; A  v. q5 {5 ^8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
9 m$ y" I1 p  v8 z1、距离聚类（系统聚类）（一般）
  j. r4 s2 u9 e2 B4 M3 V$ l( K2、关联性聚类
5 Y7 @1 P& S) C3、层次聚类
' G1 ~4 v' w2 s( F7 l4、密度聚类
/ k2 b9 R, Y8 Z% v; N: S5、其他聚类
: `) O( ], @2 T8 P; P6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
3 n; g& b/ u+ V. [8、模糊识别
: r$ V: Q) s% I: t5 h25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
2 p9 V/ q# S* |$ G7 {! R5 [2 D4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
& ^9 D: F! h: m6 s- b9 a, |5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
7 N  @7 g3 Y0 U: {一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
# W2 O% J0 j2 I! y; z5 w( C  c6、标准化回归分析
$ j1 g2 G4 g/ W  O5 s若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
9 S2 |( s8 r# N: Z7、生存分析（事件史分析）（较好）
% g( f: [! q2 {) V& Q数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
- t, n! i# K" m5 D% K; Q) C' [, s8、格兰杰因果检验
  x* _+ D0 I7 R; \! j9 @. U6 G计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
& ^6 G% b, r( n% {; ]26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
$ p/ U8 e9 S" r量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964


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