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标题: 数学建模-常见模型整理及分类 [打印本页]

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作者: 杨利霞    时间: 2020-4-29 15:20
标题: 数学建模-常见模型整理及分类
数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
: x0 P  l/ l& i+ ~& n型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
  t6 r% I" l, q5 v) T人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
$ d5 U2 L: C$ e7 o- `一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
2 _( G5 d6 U. {- d  Z* a1 a0 ]0 X5. 按对模型结构的了解程度分： ：
+ }3 |8 c" [% P2 g6 H- s有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
0 ~4 |# l; ^: K4 t/ N  u/ Z) x; Q比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
' W  u. p8 ^: Y, H/ W该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
3 W7 w. T6 l2 L2 ~以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
# x' ]3 x/ J: g" |. k! o2 a2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
) k6 U( l& O4 Q& D, V5 W# _6 Q比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
' v, O& b- K, h& i& i3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
# X7 B3 K+ q! s/ v9 Q/ F1 C" O建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
% K+ @- u% Y6 U! J" H0 s; m法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  n! w/ W1 ^6 B  L这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
: r& r8 G+ u. P  M" E* u; v+ k' i这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
' g6 C# z1 g  a  @1 q帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
( W' P2 X3 z6 z7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
. V8 n4 ]( w# {' E5 \- Q很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
5 E" e6 ~8 `0 H据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
8 z/ ^* U' F3 L6 X; O10 、图象处理算法
0 o# J8 R9 c& T3 l9 z% I. i赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
5 l; L0 T& W) i% y* i7 T9 C) H行处理
算法简介
- Q, e! }0 g) |( W1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
8 s7 u/ W* t! V, q解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
! W1 V9 j, o# A; ]- E# Z个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
; w5 }- e! X  T: r( R- Q% K( `②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
* Y' Y! Q2 e% i0 b求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
8 M1 c  J* [6 l化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
1 n% V( U  w; j  d: H②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
* S9 m" S: t6 L& M4 Y4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
8 z3 Q% p9 ]2 `) T互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
+ l6 @; X( o1 m0 @8 I概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
0 }, t6 L/ _! p" e& z: r5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
; R+ F" p/ `) t' s4 B: g# n（较好）。
* t) H9 c" z# Y0 r9 [# m6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
2 [% l, \- N) s3 R. Q% J7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
+ P$ U7 F; [; I1 z3 A+ |适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
0 y, I" i. ^* k, ^: G& |6 n9、插值与拟合 （ 一般） ）
% W2 C! i7 E; M8 d拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
1 }' [+ h1 ]1 t! C# L& U9 ]8 {) A在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
5 e' r2 q; s# a* U* O8 x10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
& e. }$ o( }+ t) {/ q11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
/ J4 w. O% v+ L  s/ ]3 g作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
, Q# M# T7 r3 r0 ~12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
0 u: E: m& e$ z- [9 n) W, a优化问题，对各省发展状况进行评判
& U! ~5 B  F7 }' T# `0 n! B13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
' |* ]8 Y# \3 B0 U14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
6 k9 x* J" n( K  f) S其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
8 N& W: z6 w( Y: n' J评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
( S# }9 M0 \( N/ ~: a$ }! d解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
! e: M7 W. b; N6 C9 t的最差值。
0 F, a, T: ]& g) x! Z15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
* U. J1 v! s9 ?! M) p/ @; B* u6 k, \; d来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
* [: s- a- Z9 w  [3 k, g该方法做评价比一般的方法好。
& |/ V: `' Y5 ^9 s0 E! W1 L. |16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
' }0 D9 D2 [' Y; i! m方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
4 |- c! i6 Z. T% ?: ^协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
4 ~4 C0 x$ S- [0 u' Q: Y9 x此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
+ p- x2 X- H4 N优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
( H3 L6 b0 R" M: p* d9 @非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
6 y" V" s. ?- I% g2 S# w" Q- m智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
/ _' h  E/ Q) [5 f即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
0 k1 y" z9 o& g# r" \+ B' a21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
, ^1 k- Y% c& ?% S, z8 W/ S例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
% H. T1 {2 ^# P8 d2 e& b$ l支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
! P8 J9 N  `0 Y& V. h* t, y; y8 x# I1、聚类分析、
. m% W; f1 W1 E; Z2、因子分析
. u* [1 e6 n; h" |( G% ?3 d3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
+ \( e7 J3 }4 n8 ^4、判别分析
7 T4 h8 b7 ]8 ]$ Y# i0 z5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
. F" c/ {: z1 l! [* Z主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
: N- `0 n5 h- S; N' t! ]5 x8 D) J3、层次聚类
4、密度聚类
& p1 w1 y& ~, D+ C+ b) b! i5、其他聚类
7 A- w& u, B( K2 w6、贝叶斯判别（较好）
$ `3 K2 ~9 N: C' B8 g* T7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
3 F7 i. y' M2 a' E6 [+ x3 U! a$ h: O1、灰色关联分析方法
* [+ B" z9 Y6 c3 Y1 S2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
; l. X" U. C/ _# c4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
: J/ M* {* I6 u5 p' j5、典型相关分析
" w+ E4 }3 A9 g8 x/ j: s（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
. A1 q" M" I' S一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
4 ~- [* t5 g1 I# r7 D# @+ S8 ~+ c若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
1 |9 D* L- l' D, C4 o' D& y5 G26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

- U1 P! \% \* W. ~0 P原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964

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