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标题: 数学建模-常见模型整理及分类 [打印本页]

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作者: 杨利霞    时间: 2020-4-29 15:20
标题: 数学建模-常见模型整理及分类
数学模型的分类
. `8 d7 Z* f' M! ^7 v0 y" Z1. 按模型的数学方法分：
7 }$ `, h) ^3 F3 d2 j( O几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
9 i/ `7 e  z% Y* R2. 按模型的特征分：
4 \! j( ^* \2 h& o静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
& F8 w: r0 s0 k, j% h4 }; J4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
; L  o* I: _" |+ Y8 M  @8 W+ q一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
3 C4 P3 n2 R; _+ H4 H5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
6 n( R2 Y7 R2 E$ C) v比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
! L& q8 v9 g! c- P, H' }" n3 \6. 按比赛命题方向分：
. B! `' j1 R6 h- ^% S8 w国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
5 ~; V  i0 r' ^运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
& r: w7 @* b1 }& R# a/ B数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
7 Z4 p8 @1 B/ @+ p4 [1 M该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
, B; _3 Q  S8 [$ k! N& J以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
+ `, p- n9 W1 N) W" A; k& D比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
4 x+ o% O, v9 [4 O5 Z- H; Y通常使用 Matlab 作为工具
  T: a. z3 H6 p+ g3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
: `# ]# ]5 i- l3 {建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
/ k# y- X$ Z8 w& J这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
% V( b$ a8 D4 I$ ]5 A$ c6 g$ i论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
+ ?( r0 O3 S( X4 {! I- c; B# ]: y5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
2 y. a( g  m9 r$ H: d1 v6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
4 \+ y; Z+ ]% ~0 p* @3 y这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
% X5 K* c& R, h# }! h/ Q4 `7 、网格算法和穷举法
" ?8 h. H9 W' e. s当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
2 i8 c7 f9 h; D6 z# n* S- H一些高级语言作为编程工具
6 h4 ~+ s1 ~: k8 、一些连续离散化方法
3 G( y6 n7 O/ T: I. Q很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
, m: Q4 B" {3 D% X* v2 n据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
/ q8 ]3 [2 b* e/ X9 、数值分析算法
' ~+ Z& p  a* Y2 u如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
/ H4 q. t$ X' p如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
5 g( e! H% ]( Q& c4 n算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
1 O: l' u2 L5 y; H, V9 ?- P) l个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
$ n: j4 ?9 z4 S- c②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
6 D' u3 e# a" {0 z# K2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
. }; m+ E, G* s. x+ v  t7 t  C- E( _其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
0 |3 R4 v+ f- n- S8 f7 x找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
4 s* \5 I  k0 u3 、回归分析预测 （ 一般） ）
' W8 K3 ?" q0 S% z$ A  P求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
/ o+ q- [( T2 y  A( F①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
# q2 Q7 g: H9 i  N! B; Y  @" P, y概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
# N! j) S7 N) o6 S- D9 l! V9 ^预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
' e# D5 |0 F" Z+ ]( D9 a3 K3 Q预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
7 V$ D$ q8 M  w) M3 f办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
4 x- y9 D. d  s2 ^# @8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
. I1 Y& e4 n, _0 T, M9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
8 v" ^  [: g8 [+ i' j10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# j. y8 B& U/ F0 L4 b$ U" E; y) {评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
* R! B. G% V# X/ v* R0 C+ x  G11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
+ i; L( V) d( p# O& _( G$ I12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
* s2 ~' v  l5 C) H& Q4 `& }  W/ _4 u优化问题，对各省发展状况进行评判
: C) R: M6 Z  r) i: ?1 d13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
6 ^' G" i. E4 A1 N$ m  U% G' E秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
6 t  f, C: w; d似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
# U% P- ]) \, S: ~评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
% o1 X6 o2 [3 d1 i! C6 G的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
8 Y' v3 M6 m0 T7 _该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
' M% X3 o2 W% W7 p方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
2 \% {3 a" E' _& v4 G( `) L" Z量有无影响，差异量的多少
$ X# ]7 M, u" S% Z协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
5 K8 N3 p, E/ g( O2 S17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
- s; n" {0 W6 [, B. l8 g0 U9 L9 f算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
! I' l& |4 Y' H; [! _3 J& `( U8 {离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
4 i6 _: D2 Z" {- J' j2 ~; e排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
) x4 P& P& V4 v  {: h: N# I) @& p即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
1 T8 P' @4 t6 k计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
) W8 X/ r' l6 N* ]般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
! O1 W0 P$ w. n9 y) c7 W$ g例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
3 R9 J: y7 D0 {- J& a4 N' f射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
. W$ _+ E& U3 x* w) J从而达到降维的目的。
/ o0 C+ r6 j9 d# O4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
" [# G; E4 B7 s9 c24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
' z) C6 u; N, h4 ]: D3、层次聚类
4 q3 Q6 W  ]( o6 [  K4、密度聚类
5、其他聚类
  ^- n6 |& X- d1 L; {$ {% t  Y. |2 N' ~6、贝叶斯判别（较好）
% o, Y- s# F6 B" [" T7 |7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
! m' e% I6 ?( a- ^& {+ S+ Z$ l25 、关联与因果
. Z% [7 n1 Z7 z- E1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
& B6 Q1 `* b: k$ N（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
' H+ l. K+ {7 f8 j5 D0 a: q) g一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
2 c4 f% x: t! v$ \& Z  q6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
0 [3 x" f" I) S3 W0 H7 x7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
# ~' a' e% j1 _# `计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
# B, F" }% ?0 l8 v9、优势分析
$ d4 W( Q- S# Z+ [8 N* }3 }) A26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
8 o0 |- R! z, Q6 Z3 |- s7 m量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964

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