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标题: 【数学建模】备战美赛之传染病模型 [打印本页]
作者: 杨利霞 时间: 2020-5-14 21:50
标题: 【数学建模】备战美赛之传染病模型
【数学建模】备战美赛之传染病模型
传染病模型
放一个链接：[关于传染病][ https://www.zhihu.com/question/367466399 ]
传染病初期
特点：
没有考虑接触到的人中还有一部分病人，所以并不会全部被感染
已感染人数（病人）
i(t),i(0)=i0(1) i(t),i(0)=i_0\tag1
i(t),i(0)=i
0
(1)
每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为
λ(2) \lambda\tag2
λ(2)
根据(1)(2)可以建立模型：
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt其中Δt为时间段(3)i(t+\Delta t)-i(t)=\lambda i(t)\Delta t\tag3\\其中\Delta t为时间段
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
其中Δt为时间段(3)
等式两边同时除以\Delta t
i(t+Δt)−i(t)Δt=λi(t)(4)\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=\lambda i(t)\tag4
Δt
i(t+Δt)−i(t)
=λi(t)(4)
由导数定义有
i′(t)=didt=limt→Δti(t+Δt)−i(t)Δti'(t)=\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}
i
′
(t)=
dt
di
=lim
t→Δt
Δt
i(t+Δt)−i(t)
同时，取\Delta t = 1天
didt=λi(5)\frac{di}{dt}=\lambda i\tag{5}
dt
di
=λi(5)
由(1)(5)两式可得最终的模型：
i(t)=i0eλt(6)i(t)=i_0e^{\lambda t}\tag6
i(t)=i
0
e
λt
(6)
logistic模型
特点：
区分已感染者（病人）和未感染者（健康人），但没有考虑病人可以治愈。
假设有
总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1(1) 总人数:N\\病人比例:i(t)\\健康人比例:s(t)\\被传染概率为:k\\存在初始条件:s(t)+i(t)=1\tag1
总人数:N
病人比例:i(t)
健康人比例:s(t)
被传染概率为:k
存在初始条件:s(t)+i(t)=1(1)
每个病人每天有效接触人数为
λ(2) \lambda \tag2
λ(2)
建模得到
N[i(t+Δt)−i(t)]=k[λs(t)]Ni(t)Δt(3)N[i(t+\Delta t)-i(t)]=k[\lambda s(t)]Ni(t)\Delta t\tag3
N[i(t+Δt)−i(t)]=k[λs(t)]Ni(t)Δt(3)
两边同时除\Delta t可以得到
didt=limt→Δti(t+Δt)−i(t)Δt=kλs(t)i(t)(4)\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=k\lambdas(t)i(t)\tag4
dt
di
=lim
t→Δt
Δt
i(t+Δt)−i(t)
=kλs(t)i(t)(4)
由(1)(4)式可得
{didt=λi(1−i)i(0)=i0\begin{cases}\frac{di}{dt}=\lambda i(1-i)\\i(0)=i_0\end{cases}
{
dt
di
=λi(1−i)
i(0)=i
0
最终得到模型（logistic模型）
i(t)=1a+(1i0−1)e(−λt)i(t)=\frac{1}{a+(\frac{1}{i_0}-1)e^{(-\lambda t)}}
i(t)=
a+(
i
0
1
−1)e
(−λt)
1
传染病高潮到来的时刻t_m
tm=λ−1ln(1i0−1) t_m=\lambda^{-1}ln(\frac{1}{i_0}-1)
t
m
=λ
−1
ln(
i
0
1
−1)
SIS模型
特点：
病人治愈为健康人，但可再次被感染。
假设有
总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1病人每天治愈的比例为:μ(1) 总人数:N\\病人比例:i(t)\\健康人比例:s(t)\\被传染概率为:k\\存在初始条件:s(t)+i(t)=1\\病人每天治愈的比例为:\mu\tag1
总人数:N
病人比例:i(t)
健康人比例:s(t)
被传染概率为:k
存在初始条件:s(t)+i(t)=1
病人每天治愈的比例为:μ(1)
特殊定义，接触数\sigma：一个感染期内每个病人的有效接触人数。
接触数:σ=λμ接触数:\sigma = \frac{\lambda}{\mu}
接触数:σ=
μ
λ
建模得到
N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt(2)N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \tag2
N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt(2)
化简
N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)ΔtN[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt
i(t+Δt)−i(t)=λs(t)i(t)Δt−μi(t)Δt\\i(t+\Delta t)-i(t) =\lambda s(t)i(t)\Delta t-\mu i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λs(t)i(t)Δt−μi(t)Δt
i(t+Δt)−i(t)Δt=λs(t)i(t)−μi(t)\\\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t} = \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)
Δt
i(t+Δt)−i(t)
=λs(t)i(t)−μi(t)
didt=λs(t)i(t)−μi(t)\\\frac{di}{dt}= \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)
dt
di
=λs(t)i(t)−μi(t)
最终得到
{didt=λi(t)(1−i(t))−μi(t)i(0)=i0\begin{cases}\frac{di}{dt}= \lambda i(t)(1-i(t))-\mu i(t)\\ i(0)=i_0\end{cases}
{
dt
di
=λi(t)(1−i(t))−μi(t)
i(0)=i
0
SIR模型
特点：
传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称为移出者
假设
总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),病人日接触率:λ,日治愈率:μ,接触数:σ=λμ(1) 总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),\\病人日接触率:\lambda,日治愈率:\mu,接触数:\sigma=\frac{\lambda}{\mu}\tag1
总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),
病人日接触率:λ,日治愈率:μ,接触数:σ=
μ
λ
(1)
存在初始条件
s(t)+r(t)+i(t)=1i0+s0=1(2)s(t)+r(t)+i(t)=1\\i_0+s_0=1\tag2
s(t)+r(t)+i(t)=1
i
0
+s
0
=1(2)
建立模型
{N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)ΔtN[s(t+Δt)−s(t)]=−λNs(t)i(t)Δt(3)\begin{cases}N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Deltat\\N[s(t+\Delta t)-s(t)]=-\lambda Ns(t)i(t)\Delta t\end{cases}\tag3
{
N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt
N[s(t+Δt)−s(t)]=−λNs(t)i(t)Δt
(3)
第一个方程：病人在\Delta t时间段的增加数=\Delta t时间段被感染人数-\Delta t时间段治愈的病人数（移出者数）。
第二个方程：健康人在\Delta t时间段的增加数= - \Delta t时间段被感染人数（新治好的变成了移出者）。
最终得到得到
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪didt=λsi−μidsdt=−λsii(0)=i0,s(0)=s0 \begin{cases}\frac{di}{dt}=\lambda si-\mui\\\frac{ds}{dt}=-\lambda si\\i(0)=i_0,s(0)=s_0\end{cases}
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
dt
di
=λsi−μi
dt
ds
=−λsi
i(0)=i
0
,s(0)=s
0
还可以添加隔离等变量。
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