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标题:
数学建模中的传染病模型及其编程求解
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作者:
浅夏110
时间:
2020-5-17 09:59
标题:
数学建模中的传染病模型及其编程求解
问题的提出
$ c7 |3 Q# a3 }, q0 _/ F
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
: T* x0 @. a0 {5 Q3 y, r: a( m5 M a
}7 b/ D- a! f# y7 A
指数模型
, f3 g- k0 |) N4 y0 _
定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
" h" z8 q# X% v
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
2 ]/ i P* V) w& M0 e @
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
) |5 f8 Z7 o) F# ~. ?( E) z
. u- E* X* K) _4 p1 ]3 C, U
将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
k4 h& K# v3 G, l3 n
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
& ~4 U; I2 b z3 F
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
3 I3 H4 f& M* C- X$ a8 {3 G6 F6 T
2 u( D- [4 E7 ]; B) v h+ J
以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
" \' F \" a/ ^7 ~3 D7 p
+ a( p; d5 k+ k) H
import matplotlib.pyplot as plt
3 M+ T3 ?2 J; r0 G0 x4 Q+ q: o3 d; G
%matplotlib inline
0 z b5 ~: Y3 X% V
deltaT = 0.01
% p$ H9 F* Z5 r
lamb = 2
* a+ Z+ k. j* |. U! Q3 ?6 s6 x
i_list = []
7 i- V2 W& K" `2 {
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
5 H% w+ r9 D7 o( {
i_list.append(i0)
( c- [6 |2 _7 q1 z" q
Tot_Time = 10
. J5 S& `$ ]7 O" ~' h- H
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
5 a% n6 H, r) x1 N& z
##
: y' ~4 h* \5 w
for i in range(TotStep):
5 m2 Y5 r3 O+ w7 X1 M1 m: ]) }/ t
i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
" a7 Y4 t" w5 e( T/ @
i_list.append(i_new)
' E+ }' I3 g" n* V; N, R4 B
plt.plot(i_list)
+ d/ b8 S0 c6 E# {( u
, X/ R/ u& r4 |; D$ B
将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
) f% _/ n. X7 j3 M
# \( o8 v# f% e! } h% _7 M$ _! U
! ^6 ^& s7 @, k v+ r
实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
' u8 @ E: q! _
0 \9 m. A( M! y
SI模型
; {* ~1 k" i/ H, N M8 ~3 U( j
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
P `: h% T4 m4 P/ ^" e4 g1 m
# ~4 M1 |+ h# m- p% v& E; Q
在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
2 M- S6 e0 l! i# x% t8 b, ?- [
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
5 C" m& k1 M0 x" \. L
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
2 C$ `' p$ @; C: ~1 j* q0 \
# R' m) W3 u% T( q5 @% y& P/ E
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
1 ]3 A" r; {7 |, b% m5 l
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
2 J: H! B# `: Z8 b7 V
! L1 b& l" a! o) H* {, W
消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
) Z' q" d5 i- ~7 P; G0 I. v
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
* `# D7 _- m7 d2 Q: [: I# W
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
9 E9 x8 W- A' w0 ^2 V1 U
% X% M) S# E6 N ^" i- Z" q& m9 o
同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
4 Z' M: |8 ?; k5 j. t9 G+ H
$ B' p7 }* \5 H8 m5 z6 o" M
import matplotlib.pyplot as plt
$ p- c' |0 o. M
%matplotlib inline
4 h- g: U$ H5 |0 P: r
deltaT = 0.01
3 C2 Y' o- F& p0 j
lamb = 2
6 G5 J2 E0 w1 O, |9 Q2 ^; r6 C
i_list = []
/ m5 l: y$ l/ s- b; q
s_list = []
+ \. b# i% n0 U5 r6 |4 y
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
5 `$ g6 G5 U/ I& |9 b
i_list.append(i0)
# S! w8 ?% \+ |7 M; W! c$ d# H
s_list.append(1 - i0)
6 C1 G" g+ Y7 h u* w5 V# C
Tot_Time =5
6 m0 c6 c4 {/ }. p. \
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
! l, C6 _# A$ y2 k; z
##
' Y, c" I- u+ z( y
for i in range(TotStep):
7 T* l/ F" P( c+ L: f) @
i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
) B2 m; y1 d2 C9 l. g3 F! a9 Z
i_list.append(i_new)
+ d# M" ~* @( K; d; z( h
s_list.append(1- i_new)
% N- S p. u% T8 K! u. g
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
/ a& ?; A6 I0 Q% `4 g3 j+ o
plt.plot(Time,i_list)
) D& h2 P7 o; K8 O- @. h
plt.plot(Time,s_list)
3 B5 I0 n* ]- s `2 J$ G6 Q
plt.title("SI",fontsize = 20)
% Q, M f7 V/ L
plt.xlabel("Time")
i8 ], Q+ M1 K; _, O) W) F
plt.ylabel('i(t)')
0 _# V: b$ c0 S3 C3 f+ h* Y% t
3 n' y- u! ~+ Q7 M" ^" C' O- \+ V
从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
: V1 }4 E* Y p6 e* \
) H$ ]8 Y. P* G3 u
然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
! E$ B/ f8 Q, |, R0 F+ U
————————————————
- Z, L* @; |, y( m
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2 O2 o5 K: @* d
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6 E' i% O6 Q7 p: c' C
3 {, O. S# V/ ?
. T5 R+ z i2 }, M) c2 a
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