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标题: 数学建模中的传染病模型及其编程求解 [打印本页]

作者: 浅夏110    时间: 2020-5-17 09:59
标题: 数学建模中的传染病模型及其编程求解
问题的提出$ c7 |3 Q# a3 }, q0 _/ F
医生们发现,在一个民族或地区,当某种传染病流传时,波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律,两次流行(同种疾病)的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢?试用建模方法来加以证明。
: T* x0 @. a0 {5 Q3 y, r: a( m5 M  a  }7 b/ D- a! f# y7 A
指数模型
, f3 g- k0 |) N4 y0 _定义已感染人数为i(t) i(t)i(t),假设每个病人单位时间有效接触(足以使人致病)的人数为λ \lambdaλ,那么,在时间段Δt \Delta tΔt内,病人的增量可以用如下的公式进行计算
" h" z8 q# X% vi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t2 ]/ i  P* V) w& M0 e  @
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt) |5 f8 Z7 o) F# ~. ?( E) z
. u- E* X* K) _4 p1 ]3 C, U
将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边,我们得到如下的递推公式
  k4 h& K# v3 G, l3 ni(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
& ~4 U; I2 b  z3 Fi(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt3 I3 H4 f& M* C- X$ a8 {3 G6 F6 T

2 u( D- [4 E7 ]; B) v  h+ J以上递推公式意味着,我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ,计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数,将以上思想在Python中进行实现,代码如下。" \' F  \" a/ ^7 ~3 D7 p
+ a( p; d5 k+ k) H
import matplotlib.pyplot as plt3 M+ T3 ?2 J; r0 G0 x4 Q+ q: o3 d; G
%matplotlib inline
0 z  b5 ~: Y3 X% VdeltaT = 0.01% p$ H9 F* Z5 r
lamb = 2* a+ Z+ k. j* |. U! Q3 ?6 s6 x
i_list = []7 i- V2 W& K" `2 {
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病5 H% w+ r9 D7 o( {
i_list.append(i0)( c- [6 |2 _7 q1 z" q
Tot_Time = 10
. J5 S& `$ ]7 O" ~' h- HTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
5 a% n6 H, r) x1 N& z## : y' ~4 h* \5 w
for i in range(TotStep):
5 m2 Y5 r3 O+ w7 X1 M1 m: ]) }/ t    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
" a7 Y4 t" w5 e( T/ @    i_list.append(i_new)
' E+ }' I3 g" n* V; N, R4 Bplt.plot(i_list)+ d/ b8 S0 c6 E# {( u
, X/ R/ u& r4 |; D$ B
将以上代码在Jupyter Notebook中运行,得到病人人数的变化趋势见下图,从中我们可以看到病人的增长是指数级的,在短短十天后,已经有3000万人患病!这显然不符合实际情况的,那么问题出在哪里了呢?) f% _/ n. X7 j3 M

# \( o8 v# f% e! }  h% _7 M$ _! U
! ^6 ^& s7 @, k  v+ r实际上,若病人解除的是病人,并不能够使病人再次患病,实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法:必须区分已感染者和未感染者。' u8 @  E: q! _
0 \9 m. A( M! y
SI模型; {* ~1 k" i/ H, N  M8 ~3 U( j
现在我们将人群分成两个群体:已感染者(病人,Infected)和未感染者(健康者,Suspect),该模型称为SI模型,模型假设:
  P  `: h% T4 m4 P/ ^" e4 g1 m
# ~4 M1 |+ h# m- p% v& E; Q在研究时间内,不考虑死亡率和出生率,即总人数N NN不变,病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
2 M- S6 e0 l! i# x% t8 b, ?- [每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ,且只有接触健康人才会致病,称λ \lambdaλ为日接触率5 C" m& k1 M0 x" \. L
仿照指数模型里面的建模方法,在时间段Δt \Delta tΔt内,病人的增量可以用如下的公式进行计算2 C$ `' p$ @; C: ~1 j* q0 \

# R' m) W3 u% T( q5 @% y& P/ EN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t1 ]3 A" r; {7 |, b% m5 l
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt2 J: H! B# `: Z8 b7 V
! L1 b& l" a! o) H* {, W
消去N NN,再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边,我们得到如下的递推公式) Z' q" d5 i- ~7 P; G0 I. v
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
* `# D7 _- m7 d2 Q: [: I# Wi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
9 E9 x8 W- A' w0 ^2 V1 U
% X% M) S# E6 N  ^" i- Z" q& m9 o同样地,我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ,计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数,将以上思想在Python中进行实现,代码如下:
4 Z' M: |8 ?; k5 j. t9 G+ H
$ B' p7 }* \5 H8 m5 z6 o" Mimport matplotlib.pyplot as plt$ p- c' |0 o. M
%matplotlib inline4 h- g: U$ H5 |0 P: r
deltaT = 0.013 C2 Y' o- F& p0 j
lamb = 26 G5 J2 E0 w1 O, |9 Q2 ^; r6 C
i_list = []/ m5 l: y$ l/ s- b; q
s_list = []
+ \. b# i% n0 U5 r6 |4 yi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病5 `$ g6 G5 U/ I& |9 b
i_list.append(i0)# S! w8 ?% \+ |7 M; W! c$ d# H
s_list.append(1 - i0)6 C1 G" g+ Y7 h  u* w5 V# C
Tot_Time =5
6 m0 c6 c4 {/ }. p. \TotStep = int(Tot_Time/deltaT)! l, C6 _# A$ y2 k; z
##
' Y, c" I- u+ z( yfor i in range(TotStep):7 T* l/ F" P( c+ L: f) @
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]) B2 m; y1 d2 C9 l. g3 F! a9 Z
    i_list.append(i_new)+ d# M" ~* @( K; d; z( h
    s_list.append(1- i_new)% N- S  p. u% T8 K! u. g
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
/ a& ?; A6 I0 Q% `4 g3 j+ oplt.plot(Time,i_list)) D& h2 P7 o; K8 O- @. h
plt.plot(Time,s_list)
3 B5 I0 n* ]- s  `2 J$ G6 Qplt.title("SI",fontsize = 20)% Q, M  f7 V/ L
plt.xlabel("Time")  i8 ], Q+ M1 K; _, O) W) F
plt.ylabel('i(t)')
0 _# V: b$ c0 S3 C3 f+ h* Y% t
3 n' y- u! ~+ Q7 M" ^" C' O- \+ V从SI模型我们可以看到,病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况,在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中,病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线,又称为Logistic曲线,该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
: V1 }4 E* Y  p6 e* \
) H$ ]8 Y. P* G3 u然后,SI模型的结论告诉我们,无论λ \lambdaλ多么小,最终人群都会患病,这显然也是不符合实际情况的。
! E$ B/ f8 Q, |, R0 F+ U————————————————
- Z, L* @; |, y( m版权声明:本文为CSDN博主「任公子ha」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
2 O2 o5 K: @* d原文链接:https://blog.csdn.net/baidu_26746963/article/details/939183836 E' i% O6 Q7 p: c' C

3 {, O. S# V/ ?. T5 R+ z  i2 }, M) c2 a





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