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标题: 常用模型&算法总结—图&网络模型应用—树：连通性、最小生成树 [打印本页]

作者: 浅夏110 时间: 2020-5-20 09:49
标题: 常用模型&算法总结—图&网络模型应用—树：连通性、最小生成树
1 基本概念
连通的无圈图叫做树，记之为T 。若图G 满足V(G) =V(T ) ， E(T ) ⊂ E(G) ，则称T 是G 的生成树。图G 连通的充分必要条件为G 有生成树。一个连通图的生成树的个数很多，用τ (G) 表示G 的生成树的个数，则有公式

树有下面常用的五个充要条件。

定理 1 （i）G 是树当且仅当G 中任二顶点之间有且仅有一条轨道。

（ii）G 是树当且仅当G 无圈，且ε =ν −1。

（iii）G 是树当且仅当G 连通，且ε =ν −1。

（iv）G 是树当且仅当G 连通，且∀e∈ E(G) ，G − e 不连通。

（v）G 是树当且仅当G 无圈，∀e∉ E(G) ，G + e 恰有一个圈。

2 应用—连线问题
欲修筑连接 n 个城市的铁路，已知i 城与 j 城之间的铁路造价为Cij ，设计一个线路图，使总造价最低。

连线问题的数学模型是在连通赋权图上求权最小的生成树。赋权图的具最小权的生成树叫做最小生成树。

下面介绍构造最小生成树的两种常用算法。

2.1 prim 算法构造最小生成树
设置两个集合 P 和Q ,其中 P 用于存放G 的最小生成树中的顶点，集合Q 存放G的最小生成树中的边。令集合 P 的初值为 { P = v1 }（假设构造最小生成树时，从顶点 v1 出发），集合Q 的初值为Q = Φ 。

prim 算法的思想是，从所有 p ∈ P ，v ∈V − P 的边中，选取具有最小权值的边 pv ，将顶点 v 加入集合 P 中，将边 pv 加入集合Q 中，如此不断重复，直到 P =V 时，最小生成树构造完毕，这时集合Q 中包含了最小生成树的所有边。

例 13 用 prim 算法求图 5 的最小生成树。我们用的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。Matlab 程序如下：

clc;clear;
a=zeros(7);
a(1,2)=50; a(1,3)=60;
a(2,4)=65; a(2,5)=40;
a(3,4)=52;a(3,7)=45;
a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42;
a(5,6)=70;
a=a+a';a(find(a==0))=inf;
result=[];p=1;tb=2:length(a);
while length(result)~=length(a)-1
temp=a(p,tb);temp=temp(

;
d=min(temp);
[jb,kb]=find(a(p,tb)==d);
j=p(jb(1));k=tb(kb(1));
result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[];
end
result

2.1 Kruskal 算法构造最小生成树
科茹斯克尔（Kruskal）算法是一个好算法。Kruskal 算法如下:

例 14 用 Kruskal 算法构造例 3 的最小生成树。我们用存放各边端点的信息，当选中某一边之后，就将此边对应的顶点序号中较大序号u 改记为此边的另一序号v ，同时把后面边中所有序号为u 的改记为v 。

此方法的几何意义是：将序号u 的这个顶点收缩到v 顶点，u 顶点不复存在。后面继续寻查时，发现某边的两个顶点序号相同时，认为已被收缩掉，失去了被选取的资格。 Matlab 程序如下：

clc;clear;
a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40;
a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;
a(4,7)=42; a(5,6)=70;
[i,j,b]=find(a);
data=[i';j';b'];index=data(1:2,

;
loop=max(size(a))-1;
result=[];
while length(result)<loop
temp=min(data(3,

);
flag=find(data(3,

==temp);
flag=flag(1);
v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);
if index(1,flag)~=index(2,flag)
result=[result,data(:,flag)];
end
index(find(index==v2))=v1;
data(:,flag)=[];
index(:,flag)=[];
end
result

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