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标题:
判别分析 （ distinguish analysis）(一)：距离判别
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作者:
浅夏110
时间:
2020-5-24 10:00
标题:
判别分析 （ distinguish analysis）(一)：距离判别
根据所研究的个体的观测指标来
推断该个体所属类型
的一种统计方法.
5 S' q9 _$ \0 i$ M0 B8 Y/ s
! E1 U ?, O$ [2 g6 G% h1 d
判别分析（distinguish analysis）是根据所研究的个体的观测指标来推断该个体所属 类型的一种统计方法，在自然科学和社会科学的研究中经常会碰到这种统计问题。例如
6 ?9 v6 x! Q P
2 D, G1 y# c: i' `
在地质找矿中我们要根据某异常点的地质结构、化探和物探的各项指标来判断该异常点 属于哪一种矿化类型；
; ]$ Y) U: R* }+ v. S1 r0 I
) E3 t; o0 H2 n! `, F; v G$ i
医生要根据某人的各项化验指标的结果来判断该人属于什么病 症；
3 H+ s6 h1 ~+ ~; I" K( _# m# Y
( n0 [' q8 C, O) [
调查了某地区的土地生产率、劳动生产率、人均收入、费用水平、农村工业比重等 指标，来确定该地区属于哪一种经济类型地区等等。
0 A. H4 k! Z! M% ], M+ ^. P
8 J$ e& d' L/ X0 @; t7 t
该方法起源于 1921 年 Pearson 的 种族相似系数法，1936 年 Fisher 提出线性判别函数，并形成把一个样本归类到两个总 体之一的判别法。
. D0 E+ Y) t. _5 V
! ]6 Z! I" C7 `+ N' X& F
判别问题用统计的语言来表达，就是已有q个总体 ，它们的分布函数分别为 ,每个 都是 p 维函数。对于给定的样本 X ，要判断它来自哪一个总体？当然，应该要求判别准则在某种意义下是优的，例如错判的概率小或错判的损失小等。我们仅介绍基本的几种判别方法，即距离判别，Bayes 判别和 Fisher 判别。
( o$ l2 M) w9 c9 I9 D
9 F* Y) L2 ^, O; H3 J, a l
距离判别
! b$ @% R4 z" r
! |3 M7 X$ l" p+ j
距离判别是简单、直观的一种判别方法，该方法适用于连续性随机变量的判别类， 对变量的概率分布没有什么限制。
- x6 @9 j+ S. Z' g( U( M1 W( }
+ U; E, ?& P! R8 ?4 m! D0 I
1．Mahalanobis 距离的概念
5 x; d! d; ~3 }2 w4 {- D$ v
通常我们定义的距离是 Euclid 距离（简称欧氏距离）。但在统计分析与计算中， Euclid 距离就不适用了，看一下下面的例子（见图 6）。
+ L7 |% ^5 U4 e6 h+ I+ v8 N
/ v' q3 T' U0 \2 T9 n/ o8 f) r$ ^
3 ]; \7 j T5 F. N
_% ~$ C4 n- I7 v$ b, K$ F
. ~% k1 {& t& V- j) }! j: x: j
2 Mahalanobis 距离（马氏距离）的定义
( j) I8 _5 y1 H2 D/ p8 e2 X+ `
5 {, [! L" g8 }. t6 n# f
2 n4 r S5 n( |. S& }
, |3 I1 l8 m8 g$ B; f( G- z6 d
$ j4 e0 V* u$ u' B
2．距离判别的判别准则
1 t( f7 w; y8 k1 e$ Y
在这里讨论两个总体的距离判别，分协方差相同和协方差不同两种进行讨论。
5 g; Q. Z, Y- H
% N; b" a( Q( M4 Y8 ?8 i9 P9 }' C' l4 P
! M( Y3 E- {" O# Z
7 j* A/ u" |$ W/ P/ I
) j) k2 ?1 o% k
' C8 F! [- k/ Q, D
3 两总体距离的判别函数
& v9 y4 T$ {& |- K& B
+ e, _% T9 U/ b1 h( L. n
. U$ o& ]+ U( f8 Z7 I: ]8 M- z2 Z
+ y4 P- d" J s8 S+ z c% Q
9 e2 `' q" `( A% T& {, f/ B: c; t
4 待测样本的判别函数与判别准则
$ m6 w- o/ F. ~
! d: k" ]9 n' G0 j2 C( r V
# P/ t* A( s! U- W' B2 o0 D
) S: l: T$ z+ ?; C \( a7 H2 o
/ x* b. L! s, x: \
7 `6 W. U; {( N9 t* ]
2 @4 I3 w) R/ z1 G
' d8 ^1 I& y4 z0 v: v, y
1 {% c- N" a' m3 R. z
9 \* x$ m0 U* [0 [) M
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: C: a) B# R& A; j
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$ H4 y$ y3 B1 c
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' x; e! G: U, a& x/ G' a
4 r" ^! s# T# G. k5 k
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+ y4 P- d" J s8 S+ z c% Q
2 @4 I3 w) R/ z1 G