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标题: 数学建模----SARS的传播 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-5-30 09:36
标题: 数学建模----SARS的传播
本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
5 K5 Q, e' U. _! K; H( p2 F, B5 G
% b7 n1 _4 J2 J2 M, H# G本题主要使用微分方程进行建模。
* H( u, f' M; {" F7 a# @
9 E* |" Z, J. f( H# l- H（一）梳理题目
5 G* b0 X- ]2 F$ f
( T- P$ ^; i- U2 a
* H. c1 A7 d! f2 |% {' O+ |" T+ w" l  z5 u! a" ~! i+ }
7 U2 C; G8 g) O7 u1 M: z3 @
2 K& k8 I2 f0 C* o: P, d  l

2 X- T7 b5 ^/ M0 \5 @（二）Highlights which makes this paper stands out! m8 I- |/ k3 Z6 a  P4 a
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析+ t, t. O* \# T
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。& R$ `# @) y! ]: J+ j3 D3 J3 N# D
0 i' D) `" `. p9 d9 ^5 L* a
: h/ b5 Q3 q0 I0 O
) r' W$ F. N' J  N. G- {
e i是第i天的计算值和实际值的残差
4 u" K# m$ d! q( L% u7 W- Ce∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差# K" o) q5 D' E! ~. u. B, q/ O/ u
标准化残差服从标准正态分布5 m6 m" M1 e$ j) N& f. X. F
美中不足的是！！！  x0 a6 v* Q) {* n1 l$ U/ n2 m+ m
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：0 z" ?: W4 a+ p$ l4 s3 k8 H9 O
1 b- ^. P+ B9 o1 S8 ^5 n" g, L
QQ截图20200530092404.png ! T  v* U) Y% v) f7 Q
: G% \$ K  W' N8 q1 v2 T

: \: p0 A( Q; i/ p& J, W如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢3 X7 `' P" \+ p

+ }' G+ r8 o9 |) a' t
1 o5 x  y: y# [& J9 i! W0 d4 v6 N9 p) [6 B# j6 L; b

3 R( y- ^) [) s论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
3 Q3 a' u" j* P7 q4 z
+ p# ~  W# T7 t+ Q  O8 ~/ Y（2）模型假设和符号定义9 D! `7 M8 u+ q% I  i( c
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
1 {% }) O2 W9 u9 N6 \* Y: J5 E0 G$ j/ \% b3 \. P
) b# h8 V/ Q3 c1 y% {

6 f$ [: r1 c* h. w, X8 M7 Q" G2 n# q
这6个关键变量的找出，是不容易的。" P% n1 N( @* K0 t" W6 S( t

; \! s$ p7 I. i- x* h- v1 o
6 [+ |6 M& k; y' p" |8 o6 `2 ?
6 Y. D  T3 A% B* Y+ S（2）基于SIR模型建立新模型  W( S0 P7 R- h  y' G
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。8 i, c8 F9 X0 b
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。0 a1 P# r; j  ^
0 L( B% C8 M' u. c! B

0 `  a  B/ T9 @7 K
0 j, E: S$ {8 O/ M% k. s" s4 A利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
8 _4 J' z" y6 h! T
. ~8 c7 k4 V0 `% m1 H+ o' G. I QQ截图20200530092822.png + V7 w4 I& X/ W% h/ X/ y
2 h/ V# Z( F+ ~. E& R% N
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
( n% ]# h! m6 v" ]0 |2 E! D8 ?, B6 m其它数学公式论文中很清晰' u: C# U& v( S6 y% S2 i- |6 [9 A

8 P4 J! J8 `' F% Q$ {" o
" X: q1 Z6 I# O5 Y0 O0 J6 Y+ K# A( Z* T: L% d. A4 ^( v8 M

) J/ w3 d: t# x（3）求解模型
* g0 X1 m; e; t. F, A+ Z" X" X求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
4 F0 G, q  R9 x0 T: j% s2 k( O( w6 L4 X! X7 X, R
QQ截图20200530093348.png - n8 L8 d0 J& T9 b* m7 u+ S0 H

$ p; W& q4 N6 n QQ截图20200530093426.png ; R1 g+ C# k. u$ |: E/ H0 I( x# e

- O3 a: F$ i& p" i/ Y# Z4 @* E5 j2 k2 S! t
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
: c0 W9 p+ E: C/ Y: ^' }4 }5 A' A) h1 x4 i- e& a  Y4 j
+ u# u; o2 t5 N- w( p

+ C  J/ R# O( u（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
& Z9 ^1 e+ D5 y
; A6 u4 T( }, `) `3 U6 G6 Q  D/ `% A( {- [, G9 ~8 R
* s! t' B6 ?+ F2 V. D! ~
3 r8 Y5 z6 p( W* U
- d1 J7 }- r3 l/ j
（5）根据实际设计三个关键函数) V; q* l) W. g' [9 |3 Y' F- Q7 x
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
0 g; q# e3 J8 J论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
, f3 K5 M. F' x' M# [* E
" Y9 x+ {0 N+ K3 C3 D平均传染期函数：
3 i9 N3 V0 @: ^$ k6 |: `9 W  F# Q0 B, r& N/ v; U
4 ]! x' l/ `; Z& ]" L

5 ?7 c! v. Q# j) q* X. c就诊率函数：8 @! v+ F' V& T4 T% g+ O; @2 D+ d# R

2 W' b3 l) N# w6 T  M
; D. p( Q7 ?6 r, M+ H) l
. G: h1 k) {8 }! V0 l平均接触率函数：2 {! f6 R7 Y6 ~& u, T, c. s

) k0 `9 R$ ?# T) M. o2 l2 F  x$ `. h* y6 L( X
! W9 c* f' h) J
模型预测效果图：
4 b% v) n$ _, l; T$ H: F( H9 {( K- p( L& m; w
8 d8 p3 r% L7 _  z2 x5 F
/ h9 ^* p& t1 O# k6 Q- c/ t9 z
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