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标题: 数学建模----SARS的传播 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-5-30 09:36
标题: 数学建模----SARS的传播
本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
6 N2 P& L' `, N' g; k- |9 L
  B& ^4 C( ]7 z3 L8 {本题主要使用微分方程进行建模。
7 r& b6 }  Q6 L, K; w& _, \2 U1 l- A; m3 t, o3 I; v% D
（一）梳理题目
  F) I$ d  s. R# `( ^+ I6 \; T  O7 h2 \/ V9 m+ o( M1 L- E& q/ u7 T$ M
3 i( E) }6 s" N% W7 S) Q, i& x
, n. i5 o( A  ~: W6 q( o

6 M& V! W) w$ a6 A3 b$ h& F5 I
3 X; Z7 j$ b  _& i. p
  v8 B! {8 A: T9 q- ~7 C（二）Highlights which makes this paper stands out" o+ p) w. r7 C/ d) j9 N
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
6 I& k- R, p/ i* F拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
8 P9 s7 P0 G' i
$ i- H7 i& J3 y% I: b8 p2 R1 I: r
4 @- i+ H" ]8 |/ r9 @' `# e; D" F. E* L
e i是第i天的计算值和实际值的残差
, }, h! k( f, j, E  Re∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
0 A7 u6 ]9 _& d0 q. k标准化残差服从标准正态分布2 j! l; ~; Y2 {% k( k: C5 ]# y
美中不足的是！！！. G& y+ @( r& c% m5 J& U) c
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：3 X/ o( c6 p4 {# d: m( ?4 G

0 K0 V: a# O' z2 U& f+ K& G4 A QQ截图20200530092404.png 9 {3 i5 Z3 m) s6 G0 ~* y8 n

* y" H9 H3 Y6 v. H3 `: Y  p1 j$ }: U
, m3 D  I% k( T6 @, ?, ^- |6 G如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
- u0 _, q5 U" @& A. Y- x* q$ I, L) c- j. x; k* r# ~

# l( x! V1 o( W0 N+ C' O) w! n3 v5 R, S

6 Z+ o3 z7 P& p* U4 `论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
" J3 a+ N  S5 E6 o3 q
* l* r8 F8 \5 E: T  X; J$ O( W# e7 J（2）模型假设和符号定义
, b9 v( R; S/ r. N这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
! ^' j% x! J+ x7 K1 I& A7 f$ T# q6 ~
9 r0 z& N3 W! X& {) U. h5 K+ K) j0 t7 f3 A

4 A3 Z0 M! \( o0 `0 h: X3 w/ j( u/ O% t0 D9 T: O0 }
这6个关键变量的找出，是不容易的。
- G+ I4 f; d+ q  `# _& N% G+ ~; v3 h0 i$ |! n3 ?& V

; c9 ^4 @& R: p
, ]+ q+ w0 U, T; @! j+ W0 z) c（2）基于SIR模型建立新模型
9 v, k; L6 D1 G) e+ d基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。9 _. }6 u  @- F/ ^4 l
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。/ m2 X* {4 J1 o5 [1 f

8 F. d+ q! R7 Y3 F/ v
! \2 P6 I; m0 M1 D4 e- i! k) v  c  a8 f0 ]8 D1 M- V
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：5 ^# x0 R: {6 O2 t( K1 |
1 R3 a0 C: s  T1 R- [
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8 q' Y! [9 h. Z8 W2 U
1 k3 N* T6 w. [* u9 d,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
* i, [# F( t+ G/ K# X! e其它数学公式论文中很清晰. d# Z% I2 y2 P1 d, ^2 i
& b. {/ v; X1 |; Q

- g" e( S5 z2 k* ^  U7 r
7 G+ R3 [$ H+ z9 V! ~. B  @& I3 {+ {2 p; T
（3）求解模型
! ~; L* _: ~$ U求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
5 U+ F, @  e; u" F& v: I* R6 `: t3 C% S4 l* e3 f0 C/ V) n& Y
QQ截图20200530093348.png - F% J7 L4 j; `* v

7 W  N8 J% X  c QQ截图20200530093426.png 8 s! O( L5 j: ^. G$ R" v3 f
& O) v) N& Z- ?

; e/ z' ?# N6 U5 S" V: I! c( Q  _( ^# X然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：; F0 a3 `# Y/ \; D& t3 ]% n$ u
" b; N6 {2 N$ J9 M8 N# q; o

% Z- f0 b5 f6 Z; s  {" a( e5 {$ H& C  c( z$ V. f
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段" t" d* v% Z+ ]0 _0 k
8 ?+ k8 {5 ]; A
$ y. S/ k: T. s# Q3 a+ `

& e- q. R7 b- E
  K$ S7 ~2 ?% {5 Q) s' c$ _/ V, T9 D/ v
（5）根据实际设计三个关键函数
8 ~* c! M8 {- u7 S2 @8 o这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。* @. z3 }+ d  s( c" v9 }
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
2 r" t; |2 L! B" ~! t) D1 t. F; o) Y4 b6 [0 ^' D; ^% D- F4 G! q
平均传染期函数：0 t* k' A3 B# `
; N/ v7 h$ k& M6 c
1 x. s) {7 ]' H7 `

" P) x5 R0 Y3 H1 k就诊率函数：, B, P, b- c9 b9 X1 v
; a0 R' {! O) x1 Y% {4 k
! ^, E8 B  l! Z+ [7 M3 |' p; a1 P
, w; @$ L1 j' M3 S4 l1 S
平均接触率函数：
* `0 g. ~. ~' j* ^% W8 t* C' {: j3 p2 Q+ ]0 X: v6 d$ H

* n$ r" {# p: K! ~0 J3 q8 P
( C4 |& F( x8 m; A+ e模型预测效果图：
! c" b+ a) ^0 c+ l
8 c% {  W9 I% p4 t( R* `3 \" b# B& e# Y5 @' Z$ I

  R; x# Y0 H( @/ _$ M————————————————
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