数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模----SARS的传播
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作者:
浅夏110
时间:
2020-5-30 09:36
标题:
数学建模----SARS的传播
本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
5 u: I3 G7 ]8 e, L
1 E, Q4 Z0 M! p5 o; _" ]7 i
本题主要使用微分方程进行建模。
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- E6 }1 u/ [+ g: X3 @
（一）梳理题目
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* l+ w1 e5 r4 _. X" t/ u# e
. ^+ `6 X6 U- R8 X1 P3 w0 L9 D% f
# i- {7 W+ E. @
* }5 x9 v% [ n# X; q8 {, z1 u
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5 s5 N% i" `% W
（二）Highlights which makes this paper stands out
, c- G" \) q! @# B6 I. [0 Z
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
, n( D n5 @' s J* F) _
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
- e) [0 m: ~" f3 `
1 W% s5 @. ~, a# L$ I! \4 V r. E/ X
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e i是第i天的计算值和实际值的残差
: {- Y. ]- p% I. O2 J! o5 B
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
% l C6 A+ b$ [6 u
标准化残差服从标准正态分布
+ t' B& e$ i) e, K6 X
美中不足的是！！！
: r" n0 C( |) r; l7 w
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
, p" V& t7 m$ D) Q7 w
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2020-5-30 09:24 上传
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/ N) P( K" R* [- _8 s( {
9 I Z+ j6 f9 k7 d: }
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
$ o8 \6 \# q, V
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/ g3 n! W& m+ e1 h d @. z/ \
; N, V0 E8 P8 ^0 D2 c1 w
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
, g; p5 _0 _+ {, F) m7 O
8 @+ b x- t) ]' R' g2 o3 H
（2）模型假设和符号定义
4 o/ W' Q, Q- P9 ~: I" Q
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
, s0 N# p* l v& ] D
# f' o8 m8 U4 O: F( l
1 i8 G3 [, V v2 z, o
5 _5 X" D; c! m N2 |
" Q: P. g4 ]/ G# @4 C6 F3 B
这6个关键变量的找出，是不容易的。
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; \2 R! L- X/ G9 h; Y& V( t0 L
( O% i8 r$ l7 X6 @! G i& Y/ G
5 O' `! w# e# ^( J2 _, \4 R0 v
（2）基于SIR模型建立新模型
& h, C( F0 ~: K8 O: M& H& A
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
6 u" c" u/ r: V, L1 V! N* r. x
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
& h; g/ X1 I9 f. B/ u: }3 L D
6 N' I! W$ i* E- M; U) F' R$ @6 P) a
- j- j s- v1 R. F# C3 w1 s
. P! }! F$ z* K' i
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
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2020-5-30 09:28 上传
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/ s6 O' c' | h, E8 @- _1 I4 n
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
4 j" K/ N2 @* E I! z; R: Y
其它数学公式论文中很清晰
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. k7 r7 R2 i. ]8 c
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（3）求解模型
% F+ Z5 ~8 g. W
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
* z, D. u6 }; I- F, g1 j
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2020-5-30 09:34 上传
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) l; J1 l: I& I" m( k& f
5 m0 z& T0 v6 I1 k
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
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9 O! d1 l w' L( ^2 L, c
' K% Z* t$ i6 g2 E1 k$ l
0 R+ Q* m) E* l0 K) y
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
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$ D. }1 f& D4 [# }
; K. y/ l4 p2 z7 O: x
0 g; G- O) \# q# }: w$ z
/ t2 H0 n( l9 J
（5）根据实际设计三个关键函数
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这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
, c# F$ m5 a' B, H) ^/ }% ^
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
+ ^; w/ C! j: d1 T$ X. J! p0 P
7 Q8 S& }+ G, p+ J2 `
平均传染期函数：
3 \ h+ ]( K) j: e6 H6 W
1 [, x+ g8 H7 r: \
8 N- U4 [" j" k. F9 G, y
' P5 U8 v/ N7 \- P. ^, N" R2 @
就诊率函数：
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平均接触率函数：
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: j% |( Y; N" l
; _ ]3 v8 J. J
* j% X$ m) u+ c( Y, _: O
模型预测效果图：
2 o; G. y6 O* A+ p/ d
# U2 e' M5 r: |4 V0 k
% U8 l7 t: D& E1 @# b
) }; ]$ d( g) S( Y/ u5 g
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