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标题: 数学建模----SARS的传播 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-5-30 09:36
标题: 数学建模----SARS的传播
本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
3 n8 b' I) F6 I/ \# ]9 S$ ]8 K8 g. j, M8 d# L( B
本题主要使用微分方程进行建模。
" b$ x  G  [- X! S; S+ K3 n8 I3 j
. H4 h( k; j$ }+ i9 K2 l（一）梳理题目
5 x( F, z$ }/ J. h# O+ U5 {' Q. q* u) H  u# `8 y
! W8 b5 C. |+ H

0 M; U4 A) @6 W8 H0 C# A+ l' u2 v+ f# ?5 c% X
' T4 e: T, s1 g5 o& a( _# N

+ u1 ?3 C5 f, w7 Z( x; h5 M（二）Highlights which makes this paper stands out/ y& J" |4 g' e3 O) k# p8 N
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析0 `; o( Y. l2 Y, U0 F% x2 e" E
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。( n6 [( U; |9 L" W$ ?6 K3 c
- \/ c" Y7 p4 e+ W+ g# D

3 z3 d: c7 _: `" ^+ X$ Q" A, U
/ ?1 Q4 ]* A$ c6 [9 i# |e i是第i天的计算值和实际值的残差- Q- j$ @% e: s# L2 b! _: y
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差# }7 Y1 ?7 |8 |
标准化残差服从标准正态分布' Q0 C3 B7 `$ E. {, ?5 b$ Z
美中不足的是！！！
! g7 q5 `! A* T5 h3 }没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：* m; M( ^" V7 q  V5 g7 t, K

" I" B5 ^( e3 W8 [- K QQ截图20200530092404.png
6 L; H" X: a& @" f7 [3 C2 `- {
, n# G! B, W$ ~* E; v6 Q4 {$ U" s0 k& f0 D( }
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
/ ^( H" p- ?% K: V0 w% T0 r- z3 j0 V) Q: n1 k6 ?4 E3 x
0 s8 o9 d7 Y; b* F/ X
- x+ J  l1 e- _. u/ |7 ^" |

- y) W5 H/ E' X6 @+ {论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
+ i' F8 A' c5 S+ c' y$ O6 N
0 e" s/ j' I+ N4 h% a1 K（2）模型假设和符号定义
  F* Q! m' S5 N: l$ }$ e* V这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。) k4 ~+ H# F: J: x1 N1 l
! ~/ K8 d' q! J* q, {" X7 O
- ]9 F3 `+ @. F

6 Z" s3 y% R0 X' E/ N3 Y" Z
5 F2 W4 x; H5 T' W* c这6个关键变量的找出，是不容易的。
9 s) b2 V' V; ?( i. j
1 W! }  }) B: F- S; l' e- @, {' \* Y* k; w7 f/ E
/ V/ m. w7 H" u- z9 V, O
（2）基于SIR模型建立新模型
" F% z; G8 V; F  {( \- Q基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
( S9 ~5 N1 s2 I1 q# V8 ^SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。' _5 \. U& C* p$ i  R1 N/ N4 a# n# Y- H

# B) H' D: i+ ]! t3 r7 ~5 W
" G: W# F: k/ I! l+ |8 y3 H
. L$ k# P4 M2 ^; k0 Z# E+ ~利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：" v% w& @9 c! g( k1 \

: T& j, h# i" Q9 K% ? QQ截图20200530092822.png ! m& y* k1 ]+ E$ Y
+ h6 R4 O: k0 F1 `7 Y6 x
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
$ G, t: I2 y& f. o, v其它数学公式论文中很清晰, G' Q  K+ u* i0 p9 h* F2 o
: o+ W0 l  N( O
. r6 k# E: R- Q/ S% F4 z; h0 c, P

: b4 o' N7 ?$ {- r
) ^. g+ s: Y' d0 b（3）求解模型, s1 B2 {" v- J% D
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。" i! _7 w$ u& F* p% J7 q. F

8 a, h" @9 [6 H: u5 e4 n QQ截图20200530093348.png ' P/ H% I1 b4 Z% k6 t
7 ~5 j, C1 l& u4 T
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: X, L: a/ Z: ]: u( p, G" i' V, S3 N" e
) G* l8 Y; x" \- r, J6 G  I& f
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
8 Z7 l% g* H! [% Y( U
2 X. ?, v8 U* o  Z7 s! g, R5 F6 f& z
0 p/ t8 D8 P) j1 ~+ q5 @
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段- g+ Z; b; G4 v: m& O( i1 ?7 `* d

( P( }) N( l6 ?0 J0 z. \
- Q& ]% p& |. [- E
2 r4 p8 k: s/ k% b1 {
6 F3 M" |7 ~2 |1 G) \- w5 R2 @/ }5 k* C# F8 X9 ^9 b. g
（5）根据实际设计三个关键函数9 E; a8 P- M3 X% O
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。, [% o9 o% [$ \5 x% [/ H( a! B2 _
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
* @) m/ S# `) V# S6 \
! J$ a% j+ C8 t  V' B平均传染期函数：
- _" r% q  v- k8 V
7 j2 [2 f7 _4 l: ]0 q
& l$ f0 s1 N7 [, T7 [$ s) M
" K3 P* q: y; P( ?3 \就诊率函数：
2 v: T2 ^% b5 O6 j" g: K6 @0 m6 {+ A% ^3 |: ]! z

  C/ b3 z5 S6 \" |' D* w4 I2 {# \2 ]$ u4 O1 Y
平均接触率函数：
5 p  w, L" j, O. ~+ H; ^3 d7 N
! {! h, W0 ]2 h5 O( z3 _) ^" j
& F' r9 h3 T' G3 I. J* R! X/ D7 ?9 J% Q% C  q
模型预测效果图：
+ r+ \7 a/ U0 }' Q. X% ]: a8 m. c1 Q: Y7 F4 c) E4 j! V, y

6 @& O8 z2 F7 z  U" W! y. W. r8 e. c- H" \
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