数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模----SARS的传播
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作者:
浅夏110
时间:
2020-5-30 09:36
标题:
数学建模----SARS的传播
本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
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- u$ B! q" n) {, d* r
本题主要使用微分方程进行建模。
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: f' X! P5 a% K7 h0 l2 s& e: _
（一）梳理题目
& u* V7 v1 k1 W8 g. S3 d
7 ]2 N6 |1 s @/ T
* p( H. v" l' T) |
e& |8 l+ a1 m2 s6 `, \# {$ R
9 {, ~ b' R& C
: z2 J/ z7 G7 c+ I5 s
1 Q5 I C# j [* k3 \
（二）Highlights which makes this paper stands out
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(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
# {3 L' f- M6 J# P+ y2 O
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
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* X$ g. t1 Q) A5 y( l: c3 |
+ O6 \$ I" f* j; @: V/ m4 J2 [
/ b L. ~" t8 e! ?8 t
e i是第i天的计算值和实际值的残差
/ y3 V$ p$ J/ I& q0 E
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
) L& X+ H1 c/ u8 n
标准化残差服从标准正态分布
8 i" Y0 T+ c1 E5 G# \ b
美中不足的是！！！
8 {" w2 }6 w# D, P
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
6 |7 \! v5 y: S& C0 f: y
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2020-5-30 09:24 上传
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t$ K( t1 O; H, x, O' D' b
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如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
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3 k. `5 T, h1 r* d& [+ X" [
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
- _5 a/ ~1 M* x
5 L" G* r. M2 l. k; h
（2）模型假设和符号定义
4 G" R1 e6 B9 ?4 E6 D
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
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5 W6 r8 @( W4 x. P) J
5 F# r& T7 s. m
* i" c. g4 \: y9 d3 A/ V
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这6个关键变量的找出，是不容易的。
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9 H7 Z3 C! L: U2 U; S* s
# B6 p" z. Z4 O8 q' U Z* G( W' M
（2）基于SIR模型建立新模型
7 U9 X4 G. G0 q) P
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
0 o$ U! f9 g* ^/ m5 D
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
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' k) z6 V `* j4 J% S
' F# `! T, r/ h) B. r
& I- [* B c+ P2 _6 Q7 Z/ l' _
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
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2020-5-30 09:28 上传
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7 A, i/ j% [7 V- d
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
! p1 e' g# X" ?- a1 i. n4 s
其它数学公式论文中很清晰
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% b) p1 }2 A) @% M9 [$ D- O$ q
0 I0 B# E4 P2 r% j0 }
（3）求解模型
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求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
5 u) j( x" p3 r- t
* f! Y6 d8 ^+ D2 |
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1 J% D) e/ u$ u/ R. M% R
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
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3 j1 D: `5 H. ?+ _, @9 x
: Y+ O; v" [+ @# H! c6 g
8 K& B; e+ ^9 H
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
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8 K O5 A/ w9 H! h: s
8 l; b- R0 d. ]
1 c' l( J3 f1 F* h7 W% M' q
& p- K" l. e( Q2 m5 ?* W0 Q
$ d- S8 {" X! l5 ]+ c' _* w! X/ t
（5）根据实际设计三个关键函数
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这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
, \, a( X* ]" V
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
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平均传染期函数：
4 d: b. s$ a& ?' @$ C) I% v
( h. O& z" V- j
) s6 ~6 a/ J. E9 W7 A
{5 H+ x9 q' C6 p
就诊率函数：
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* @ m+ k0 Q; i# p
( B2 p2 j; w" F( |+ A6 D; `
' S+ O! a1 D# U/ G$ a# ~6 A
平均接触率函数：
2 Q! q/ V! p" d7 Q- D2 r
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/ u. w; j3 n8 M q1 w: {
模型预测效果图：
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2 Z8 j% l& u7 Q$ v, {1 o
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