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标题: 数学建模----SARS的传播 [打印本页]

作者: 浅夏110    时间: 2020-5-30 09:36
标题: 数学建模----SARS的传播
本题要建立传染病模型。上网一查,最经典的传染病模型是SIR模型,出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。% |/ H. T9 x# a  u

- u$ B! q" n) {, d* r本题主要使用微分方程进行建模。
" c- @. {+ i7 z6 Z! Q
: f' X! P5 a% K7 h0 l2 s& e: _(一)梳理题目& u* V7 v1 k1 W8 g. S3 d

7 ]2 N6 |1 s  @/ T* p( H. v" l' T) |
  e& |8 l+ a1 m2 s6 `, \# {$ R

9 {, ~  b' R& C
: z2 J/ z7 G7 c+ I5 s
1 Q5 I  C# j  [* k3 \(二)Highlights which makes this paper stands out$ ], Q1 y3 [& E- c* c+ l
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析# {3 L' f- M6 J# P+ y2 O
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。* ?0 j' ]* _0 ?; p6 i& N4 y$ V1 Q' ?

* X$ g. t1 Q) A5 y( l: c3 |+ O6 \$ I" f* j; @: V/ m4 J2 [

/ b  L. ~" t8 e! ?8 te i是第i天的计算值和实际值的残差/ y3 V$ p$ J/ I& q0 E
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E(ei)=0 E(e_i)=0E(e i)=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差) L& X+ H1 c/ u8 n
标准化残差服从标准正态分布
8 i" Y0 T+ c1 E5 G# \  b美中不足的是!!!
8 {" w2 }6 w# D, P没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下,样本标准差的无偏估计应该是:
6 |7 \! v5 y: S& C0 f: y
9 A) G* M% h7 B8 E5 F QQ截图20200530092404.png
* L5 g4 ?3 G0 `/ Z$ }% h6 D- h- u1 I- e  t$ K( t1 O; H, x, O' D' b

9 h6 l0 N# b' h6 V8 p! g; ]如读者朋友知道原因,请评论告知,非常感谢3 o+ d8 F, p$ F$ |- l& S. ]

1 `; _6 G0 P7 _
# p1 j" `; ?# q/ E5 {# |+ n; M7 _2 E8 T
3 k. `5 T, h1 r* d& [+ X" [
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好,中后期都与实际情况偏离较大。
- _5 a/ ~1 M* x
5 L" G* r. M2 l. k; h(2)模型假设和符号定义
4 G" R1 e6 B9 ?4 E6 D这个假设写得简直太数学太专业了,为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
& v; `# }3 W2 ?" J% q- o5 W6 r8 @( W4 x. P) J
5 F# r& T7 s. m
* i" c. g4 \: y9 d3 A/ V
! v0 M7 F$ r7 f% k
这6个关键变量的找出,是不容易的。' W5 ], `2 Q8 m

; d3 b6 r2 E* ?" s2 H& A* i. w3 Q) `
9 H7 Z3 C! L: U2 U; S* s
# B6 p" z. Z4 O8 q' U  Z* G( W' M(2)基于SIR模型建立新模型7 U9 X4 G. G0 q) P
基于一个经典模型,成功率较高,又有更多可参考的资料。
0 o$ U! f9 g* ^/ m5 DSIR简单地把一个城市的人口分为三类,三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。" [/ z- ]- \* B- L; d

' k) z6 V  `* j4 J% S
' F# `! T, r/ h) B. r
& I- [* B  c+ P2 _6 Q7 Z/ l' _利用微分方程组建立数学模型,这也是对上图的数学描述:
& [* I1 \* i7 y! t8 x8 ~) G+ W$ F
QQ截图20200530092822.png
; g% ?3 Y8 m/ {$ Z
7 A, i/ j% [7 V- d,因为S类(易感类,能被感染的人群)随疫情发展减少。! p1 e' g# X" ?- a1 i. n4 s
其它数学公式论文中很清晰
- M/ g8 |! y8 x% M" a
4 ?, |/ p" N( v0 S5 V3 }& l
; \( Q) q9 d: s) s) l% b) p1 }2 A) @% M9 [$ D- O$ q

0 I0 B# E4 P2 r% j0 }(3)求解模型: ?2 F7 C1 i7 A+ D$ h& R/ L
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
5 u) j( x" p3 r- t
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8 K; G6 V6 _& I7 }) O9 T
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. j9 v8 i/ N" I0 M
1 J% D) e/ u$ u/ R. M% R
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论:
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: Y+ O; v" [+ @# H! c6 g
8 K& B; e+ ^9 H(4)用导数为0划分疫情发展的四个阶段
! R3 Z5 c0 d) j, x
8 K  O5 A/ w9 H! h: s
8 l; b- R0 d. ]1 c' l( J3 f1 F* h7 W% M' q
& p- K" l. e( Q2 m5 ?* W0 Q

$ d- S8 {" X! l5 ]+ c' _* w! X/ t(5)根据实际设计三个关键函数. `6 Q. U9 t- P  F5 ?
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点!!!前面那些都是小亮点,这个是闪瞎眼睛的关键。, \, a( X* ]" V
论文也说了,疫情的发展要分阶段研究,各个参数在不同阶段的取值和变化规律(函数)是不同的,所以用分段函数来描述是符合实际的。% k4 G0 _' U* ~, }0 |. ]

/ U- v7 R- g% [8 o$ Y平均传染期函数:4 d: b. s$ a& ?' @$ C) I% v
( h. O& z" V- j

) s6 ~6 a/ J. E9 W7 A
  {5 H+ x9 q' C6 p就诊率函数:# u" w6 U4 _0 j0 y1 i
* @  m+ k0 Q; i# p

( B2 p2 j; w" F( |+ A6 D; `
' S+ O! a1 D# U/ G$ a# ~6 A平均接触率函数:
2 Q! q/ V! p" d7 Q- D2 r
% }. c, I# w; }5 `
' l" f- r9 @7 H. H+ d) m6 a0 K
/ u. w; j3 n8 M  q1 w: {模型预测效果图:
9 r  M- l$ M) p5 r4 U2 Z8 j% l& u7 Q$ v, {1 o

) j! F( G/ {/ d* Q" t" U
0 r$ o' ?( p! ?/ O* V  [$ \- W————————————————
2 c' x5 h) Z0 \% n0 R# _) L版权声明:本文为CSDN博主「doubleslow;」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
9 E6 `4 Q9 \% H- h- z: Q6 Q原文链接:https://blog.csdn.net/qq_36607894/article/details/92246947% k( v: P& M' J" X* ~9 i4 ~  {

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