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标题: 数学建模----SARS的传播 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-5-30 09:36
标题: 数学建模----SARS的传播
本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
  _, @* Y! u3 ^' u9 B( B. M8 b8 f9 R9 Q( ?
本题主要使用微分方程进行建模。
! x4 t& ?* `% ~; E( ?: J' g! d; }$ g( p+ g' b( Q2 {
（一）梳理题目
. z! G9 ?( w6 @6 v$ m, t' d
7 q6 O( h! r; u! i* f, U# R  \
1 x1 b" L9 s- }0 S$ @' J" I  Q3 R" c$ r, i) ~7 o) e' H) ~- O- ?& B
# w. }; z  u  j1 e$ v; ]5 s

6 Y- O$ O+ @+ t- O
) m0 T3 [0 J! c. L( ]8 T（二）Highlights which makes this paper stands out9 Q* r9 E( r( c( u
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析) K* S" n( ]" F3 L+ |7 l3 c
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。2 L" R8 O5 [1 Z
4 |, F6 P# I3 M8 a

! T$ C# ^6 H2 d
( V/ d7 I$ G7 G- Je i是第i天的计算值和实际值的残差: O2 o5 G4 X" F9 u  T
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
5 I( c6 p* l8 `* F/ Q+ s标准化残差服从标准正态分布
: s4 ^& I: l1 _* H7 [6 x0 B美中不足的是！！！0 K3 j. G8 h0 ]* L
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
& ]* e2 F9 C2 W" u1 K1 n; l1 c; O4 S5 [% z
QQ截图20200530092404.png 9 J' S& D! x8 b, g- C* I! [

! a" S' Y; {* u+ {  v3 c
1 l7 ^2 q* @' w8 w1 p8 r如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢; E0 `+ Z$ m) W' Y4 z
1 Z* a7 c- M7 r& v; i
; j1 R' n0 v' b- m

; G6 B& F& K- R$ p$ {) f
% C: m' _. o& N7 ^+ {论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
. E4 O; w3 j1 o& s& T4 g" |/ c* b6 Z  H* m0 t
（2）模型假设和符号定义
5 o2 F8 v/ _4 k$ E0 b$ e- y5 |4 ^+ Z这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
, H9 q" R$ f$ P8 @7 Z/ _( e! ~) C; p% t5 I& y! j2 l; p% D
2 T/ K0 b% w" D: L' g
+ q  o/ v3 P4 }2 J' Y: }

+ B9 u( G+ M1 V1 l这6个关键变量的找出，是不容易的。  \8 y/ w& e1 b/ J

/ p( b) A+ C4 j$ k8 k( {
" p5 B4 w) B& Q' U
. x3 t3 h. Q( a（2）基于SIR模型建立新模型5 s; X# z) \4 a8 d
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。" {* ^. _& a4 R6 s
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
$ V; z2 W* z; O, e3 A1 }( {+ x) n7 L

- f/ i4 p& d: ]' Z
3 B: f. [8 B( L$ Z% D- g利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：) ?: Z/ G# [$ {* }( l8 Q
( p% q+ [4 l% d% l3 Z3 b+ D
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. n0 b' f) _: U3 b" O  K2 n8 N6 ~5 b
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
1 s- \  s) u* O# h7 {! k( Y其它数学公式论文中很清晰3 m# h$ R7 x8 [1 q) S# G0 W: E

3 S# }$ C4 `8 n3 Z
- W; N& g$ d" l# ^4 _5 Y7 f
$ I) I4 n& G% i3 S! z+ I! B$ }' G, R
（3）求解模型2 ?. ?& i' g* T% J/ M& n) I
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
7 Z& {# O, S4 X7 |1 L; v
. D* F) @* e5 j: U QQ截图20200530093348.png
! i5 `! N4 l/ f, N7 p& C' Q: K& b) f
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  Z8 S3 p, b' M' F- Z6 M3 T
! m: g# d; f, t$ d+ E6 L% ?' ]: A
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
& g$ ^7 v4 K# R# F/ ^
& E8 u- c) j3 l! m( _1 J; j0 y
& G) a" a# T8 o3 `2 o4 D$ O( t( f2 j  Z& k
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段1 q# O4 N5 |* T( S& [* ]
7 E! f) N9 Y: e3 |, b6 v7 o) F

2 K% Y0 t. f& q( n( D
2 n1 \. h1 V* x5 U, U1 P" j1 K/ o6 f* w6 a+ N: _& ^$ ?% X9 ]

! l; S5 U: b7 z, @, s（5）根据实际设计三个关键函数9 i$ h# V3 W. d$ i
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
! a. _0 S5 ^" f3 ^" C1 k  P, ^5 g论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
# w0 Q, N& r2 v
$ w4 I, Y0 x8 c3 v平均传染期函数：9 s& P$ [# F9 P* Z

/ h$ s' o) D8 R! t7 {6 ?* q, C1 E; v* A  c6 [

  ?/ H* m% [* v) ~& ~* C. L就诊率函数：! A0 n3 c4 `# t

: e1 e! N9 n7 I; _$ _* M1 m6 ]5 j/ G# d* w$ w

  C: T  q) @3 S* C平均接触率函数：
5 g: B+ Y8 J  @. w3 E
. O7 @* r1 Z4 u% m6 ^
$ f0 {# V7 M6 N& x% W/ B. E9 l
2 E( J, L: `# f$ A  |模型预测效果图：
2 l# h6 F6 H' C4 x5 W! `4 w2 `4 ?$ r2 h
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