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标题: 数学建模----SARS的传播 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-5-30 09:36
标题: 数学建模----SARS的传播
本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。- L) H; N" t$ \$ F" A% h& _

0 F) @5 a9 _: u5 v7 d$ E5 w本题主要使用微分方程进行建模。7 f$ A0 z' T- H
/ x5 V" y- E; W& Z( g
（一）梳理题目
5 Z0 }1 A! C/ q3 {+ d& p4 O& p( T3 e$ E4 l, P

: n2 B& s1 T: {8 O3 k. y. p  P1 c0 W6 F5 O( T$ x

7 o! J3 M$ ]$ B
4 o( d5 J5 ^* f$ b7 u& d4 \  }' S- ~4 z, g# z# c
（二）Highlights which makes this paper stands out0 x+ v1 R& s: D8 x, v
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
5 L, E) S/ q: ~# A拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。' r/ U6 v) F5 m* X8 R# H

" g) j' k0 S: k4 ?; _5 W7 S/ k  t6 H4 E

! s) m" Y8 F6 qe i是第i天的计算值和实际值的残差5 z$ B: D* \( ?3 Z
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差0 E' T: M& f. d& e( d- ]0 ]: Q. U
标准化残差服从标准正态分布
: K" e; p# Y: S+ t  _美中不足的是！！！
7 U# j+ [! f; I( o- t9 X4 ^) b没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
) `, B, }5 _7 R3 l, ]1 I9 J7 o' M4 H/ h+ j1 g
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7 Z, Z7 S" h7 y1 B: i
# l: \: B2 b3 N+ m7 u
) L  H% y, [( H% ?6 y2 F" g% D+ x6 L如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢  `& Y- G. c6 |; z# g: b3 q# Q

7 H7 }1 P6 e7 C+ z& m) d* z1 C( v- f/ I
* A' S8 |0 Z) `
) Y1 J/ q9 j" O  d
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。6 x# ~  Y4 m6 {
: z$ Q2 i. {' W8 _- E4 |" {
（2）模型假设和符号定义
8 C  w, {( Q- T4 c+ Y4 g7 ~这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。6 S/ ^+ o7 u0 G, i- V1 ^, n
6 R0 T8 P- {7 D' {5 R& A( _0 g
6 X7 e$ k& v3 Y/ g% @, e
8 |' H! n. |; x7 ?, r/ `
: w- b# N' W! ~* h1 n7 p
这6个关键变量的找出，是不容易的。
) d) x# H5 M8 f% Z: `5 t
8 s! \( z" e: U' D  Z7 H; g3 K, u) p3 |! M

* ~2 O  k0 q' \0 X7 P# O（2）基于SIR模型建立新模型
* j; x' a# H! O2 N基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。9 `* {3 C$ t4 Y3 b( P: n5 v: c# u& k
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。2 x/ i% ?2 `( b* P* Z" t# h

( N; n8 a8 x& e3 q% t; D
8 o5 [3 D6 I8 V; g" K" x7 |4 r# L1 j! P4 W0 F6 J* _. o5 b
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
% V7 E" V" C# P3 C" z& V7 j( n# x$ k
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, G8 [9 {; e8 W7 e, ]9 Y0 T* ~, u% j3 c7 v
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。- j2 G/ s. Z1 K/ O
其它数学公式论文中很清晰
" P$ u, Q: }( D0 g. m0 \. C  n' {3 `1 \2 C

5 u, K0 J) b6 R" j
. Z/ L5 o! T. s" ~) j% N+ n% I7 E
（3）求解模型  u* ^( l/ n: M
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。0 ], _9 a0 o) y% t

( Z+ H- h: Y5 _2 ~$ I QQ截图20200530093348.png
$ s( C. v* V' \0 x2 b( a
! K/ y& k# A( ?$ [: l- C! A- @ QQ截图20200530093426.png
. T# O- t2 o3 e$ w
+ N% V8 l) k3 c3 c  z' R8 p
5 {0 ?, t+ V& l  O然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
7 @3 T4 `4 e/ ~( S; z( j' |  ]9 q4 H1 ?

: L" ]) V# Z; W
1 T# v, p4 b4 O' \# o（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
5 ?" ~, M7 |2 m7 d3 t; F8 B3 P3 J% s: G

/ S4 w% u6 |. {0 L! n$ Q" n1 i4 r/ S3 s
. ^3 ]' I& S, _. T5 Z, `/ q

$ Q, `' }8 u( Y! X' r（5）根据实际设计三个关键函数4 v3 ^4 m; N5 \1 F7 C4 C/ T
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。2 I7 g" f  f- A1 K: L8 D
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
6 N% j8 c" P/ Q1 J
% n( q' p2 h% v# `4 M9 [+ I: Q9 u平均传染期函数：8 q- R- V& h# {3 a: F

. @# O* f# s! Z0 _6 s% T8 ~% m2 F% P/ s
5 I% T7 I' |1 ^' K$ X
- |" J- b  e6 c+ ?# `# d9 K+ H! {就诊率函数：
4 |0 S# q8 g: W& W2 q
4 U% J7 J3 V! j( O
: y1 Z! u8 w- G7 y
7 c( a# A# @# T* ~+ H平均接触率函数：
7 i. z9 H# \# I
* C# I: R* [2 m
7 W& O8 v  I8 T9 T7 w8 ?( b: N" Z5 G0 Y- _
模型预测效果图：( q( M$ {  ?( T! b
/ i8 I! B# n: Y6 {% O
# F' V1 U" k2 |2 ~# m( @
% b, T* |! V1 X" P0 X" {
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( k7 Q3 D( w; C$ z3 t( P6 T
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