数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模----SARS的传播
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作者:
浅夏110
时间:
2020-5-30 09:36
标题:
数学建模----SARS的传播
本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
' D# S6 ]2 Y1 I0 S3 f: G2 s
, V9 |3 \0 g. Y5 e* |
本题主要使用微分方程进行建模。
! v- |) O1 R8 _* h Y2 A; |
6 d/ D% n# \, T/ X9 b" i: Q" V
（一）梳理题目
& p$ Z* |' f9 y# `: {# l8 L. O1 q
) U9 Q" C( C. p( K# ~9 q
/ H6 |- y1 d9 @
4 F9 o" T/ t5 n
- a7 O8 h7 [9 J- ]
; K' X* F5 t" p8 V
% s5 a3 z w( v2 m
（二）Highlights which makes this paper stands out
0 z3 H" U8 G/ k
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
3 @( Y" Z3 Q: r9 n+ a
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
' v0 n5 B& l% v( g
% C# L3 M2 _" {7 n! ~5 j7 B8 [3 \ j
H4 P3 _* m% N0 Z8 z1 S) u
/ y! y6 F5 ~( ?3 [. |, a6 F# e
e i是第i天的计算值和实际值的残差
! S6 S: x! [% `2 L3 `% E4 ]/ y
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
4 y- `! U" Z, D. Q& f7 v* O
标准化残差服从标准正态分布
9 Y. Z' Y1 o; ]' S8 R, T
美中不足的是！！！
+ s" l0 w4 ?. i3 n, } y# Y( s9 w* F
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
7 |: @; P* O1 R! B9 H
: Z: e" C# B2 G6 ?: O( b- G' @
2020-5-30 09:24 上传
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3 \5 `- x9 \$ ]( F' W" Z* Y
' F; m. M4 M- M9 V
$ H. B v2 f& U: m: A7 S! a+ v# t. o
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
* g; l7 ^' K. m' {3 v
4 E! ?' N6 r5 O
) y+ {' k/ J N7 p
: J2 P8 ?0 p; `2 d
5 X9 l* W+ A4 _% r9 R+ L$ i
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
4 q0 d* X' P" \ c% H
- o: s& v- T, I8 [
（2）模型假设和符号定义
0 O0 Y' Y$ g: ~0 @& T2 H
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
& R& {2 s! q8 ^( O" s/ N
$ a; w6 S' [/ \1 {# J8 j
0 ?" y4 \* P/ z9 _9 Q, V& f
0 b& ?( S0 F( C; K0 X
; Y; S4 z! T0 q$ ?! n- W) m
这6个关键变量的找出，是不容易的。
: y. x/ Q; J E& A& {! x$ i
W, R8 S. D4 P( |
# b/ d% z4 V' q
$ }' y9 U T: L$ K8 J1 }
（2）基于SIR模型建立新模型
7 } x l& B0 D' x. u! j* o
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
5 p. q/ {+ L) N) {4 R$ d7 o" [1 t1 t
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
: Q5 R; X( o5 K9 _
" R1 y$ D' {7 i- s
+ X4 A; ]* d& T0 ]
) R" Y7 |/ _+ ?
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
2 P& b: w) ~* H& n+ v5 g( u/ x9 @' w" F
7 r' Z9 K+ r" s& ]6 ]
2020-5-30 09:28 上传
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" R; C( t( L" r
3 T. U7 d7 h- j: \8 F
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
9 ]& ]2 k7 j v6 B& u
其它数学公式论文中很清晰
~( x! Q9 J% E' I) c
; w1 q! D$ e6 S7 l6 R
0 a5 G1 q5 D* d8 F' J% b6 g( r
) q9 A, @( |1 N ^) @3 n& e
& h+ z4 {9 i4 Q. @6 L- M) F
（3）求解模型
8 v+ Q/ D8 d* r9 x2 ]+ H) G$ X$ S! P
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
) Y }+ h) [# C/ |& C4 u
" ^2 T4 d' H4 G4 j
2020-5-30 09:34 上传
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- ~ X$ [4 ?1 B
& Y8 u8 w+ G3 l, w" E& j& [
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7 Q; l8 S5 A/ i$ x" c& K
7 a p2 Y* j* H' N$ c) q5 T
) [9 p0 y4 l* y0 F" h6 a& ~5 o1 a
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
& f4 C& y& C$ m3 O
) |$ U4 p/ j+ L( c
3 H+ d; [; e( U+ s5 x/ I
5 @/ U3 M9 p: ^& T
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
2 J) o* X: }# e( n. }
5 U0 d1 m( D# F; U
- ]. {% T1 s' k& N0 ^- m- k+ s
3 g. i: a- [" O) F8 V: x0 k) r
: t5 J; D: C |) }1 L
' @% {. G! _: ?8 @, [$ b
（5）根据实际设计三个关键函数
5 ^, ^2 m1 f7 n& i7 \" V
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
* O- X$ ]& q* d, P4 }
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
. P9 e$ n$ t. {/ `" i4 V
2 P; ]( Z+ t: [* k+ K0 O2 |
平均传染期函数：
$ n( X4 e! [0 p9 R+ G
+ e5 S- \0 K1 f1 c7 Y# V" ~* [) C
- G4 x j+ U/ t9 g1 C, R* V
4 M; F) q4 V6 s9 {
就诊率函数：
1 s9 B. l0 c8 L1 v% |! }9 [
$ |1 m2 U! |! k# h6 L, K
; ]! t# ^- b& c5 O$ ?
% E+ o/ V. v# H0 U: k
平均接触率函数：
3 K. S9 N9 w) y) \6 J+ y4 d% b0 ~
+ g# X8 J* _% v1 M8 I
. t' K5 \! g- B8 s
2 F; ^" ~* [0 l& J9 f; Q A! a
模型预测效果图：
7 N! z5 }% K5 ^) a8 N1 m2 c
/ |$ L5 y7 C2 v# k$ |, _
6 W$ z# J8 E/ F3 p Y3 h. Y) w
8 @" F# d& N' G5 ~% Z
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, R0 H# e. h6 R, q' k# S
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' g: l8 Y. w4 Q$ F3 H7 `
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3 Y0 f* g8 T, F
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0 ?" y4 \* P/ z9 _9 Q, V& f
0 a5 G1 q5 D* d8 F' J% b6 g( r
: t5 J; D: C |) }1 L
