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下面将围绕大学数学的两大基础部分进行交代。% N3 `7 M! M1 Z+ E6 G" d
1、数学分析 ; C c, ?4 z. ?% {# Z" \2 s( `5 R0 x( Z, H" D0 ]% @# i# j W9 F
数学分析（其粗浅的应用部分又被称为微积分）是大学数学中最为基础和重要的部分。其创立一般被认为是由Newton和Leibniz完成的。前者在研究瞬时速度时引进了微分（对一元情况是导数）的概念，后者在研究切线时做了同样的工作。无论从瞬时速度的角度还是切线的角度我们都可以看出那是一种在非常小的限度内的一种非常细微的变化，所以数学分析又被称为无穷小分析。3 X- l& Z* L L3 c
5 k9 V6 d, [/ D虽然由以上问题所产生的微分学能解决很多细致的问题，但显然在理论上并不具有严谨性。请看下面的例子。 2 I( M* Y5 u. B- t4 S& K ' t0 X* P& q, P" H4 F& I% A3 Y% e$ l% i: {& F
. m5 E1 i5 Q/ V( ^+ e& t: S + x) R8 g( t- J0 ` ) A6 n' q7 Z5 B0 j1 T: B# C, b6 i 9 v0 d" l: v. O( ~* }# T 9 P1 V- T5 P5 P/ y从图上可以看出，黑点所在的位置有切线（黑色直线），而在蓝点除却做不出切线。于是便要对所处理的问题提条件。当这种条件足够严禁并保证了某个必然的结果的时候，它便成了数学上的定理。+ b' a9 V5 v. p/ l, W8 H' F
* F2 z. Q/ R' `- [然而人们对严谨性的认识也是个渐进的过程，如上面的例子，如果对上面的曲线提条件，如要求上面的曲线连续，或许就能做出切线了。（我们要求每一点的切线是唯一的） 4 ^0 D' v8 {- h) x ! ^2 q$ _: b! l! |但是从下面了例子我们发现这是错误的。" H! p; q9 ~) O. u8 d. g% a Q
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: w& S( T5 B# d, v+ m3 R4 M" }) E + s+ w Z' f4 c- x" [ ( W& [+ n2 a& v) o. e5 B! Y2 n( n8 L: I" N; G
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上面的函数是由两条平行于x轴的直线和一个与它们相切的半椭圆构成的（非单值参数）函数，其中椭圆与直线相切与黑点，从黑点的左侧看图像是“尖”的。但该曲线在黑点有切线（可导），即与椭圆相切的直线。（这里半椭圆上侧还有一条直线是为了严谨，使之左右导数都存在且相等，否则只能保证单侧导数存在。还要声明的是，可导可以是对一个x有两条斜率相同的切线，不再赘述） N. _) I0 P% i2 c# {, @7 ^1 V! D. V
从上面的例子可看出，“尖点”不一定不可导。要将其严谨化只需将“尖点”改为没有唯一切线的点即可。（这里将这个问题转化为左右导数的问题，不再赘述） : t1 Q) h( E$ @8 w. ^8 X ' Z0 ?+ p! n" g3 z数学分析的例子的下一个启示是中国在数学领域的潜能是很大的。如上文所述，无论是微分学还是积分学最后都统一到极限的基础上，这正体现出数学本身的联系性（上面对高等代数的介绍中，因式分解及唯一性定理与整数的唯一分解定理的相似性也说明了这种联系性），东方人虽然在数学的严谨性上不占优势，但以联系的观点看待事物的习惯加强了中国人对数学从总体上的把握和认识，从而为联系各部分知识的实际应用创造了有利条件。( S/ H% ^6 ~$ J2 P
- C* C) A2 r. t7 u. x对高等代数方面的介绍，其目的是借助n维欧式空间（线性空间）这一概念说明中西方在数学方面研究的侧重点不同。n维欧式空间在实际生活中是无法触及的，但是西方的数学在很多领域都是在追求这种“理念的”东西，甚至在数学理念不再完备时出现过数学危机（历史上共有三次）。而（古代）中国的数学重点却在实用，这一点可以从中国古代数学官员的品级及古时传下来的算经内容看出。中国古代的算学官员虽也有一套选拔制度，但官阶很低，他们的工作不是解决理论问题，而是解一些类似方程组的实际问题。 `( i. Z( T! z' y7 J/ K - I! N3 M$ I% J% L6 B7 J2 e2 W 4 b$ f0 q. G ^2 [0 k% U. m, [' {$ c 1 e% w$ R5 q5 F( q) Y7 o
