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标题:
时间序列模型 （二）：移动平均法
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作者:
浅夏110
时间:
2020-5-30 15:04
标题:
时间序列模型 （二）：移动平均法
移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
0 j; B. h7 k8 C* z" {
, _) p9 B- D. S; E
移动平均法
# V- U3 q! V0 Y8 e- |' |/ e/ w
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。 移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
6 Q" u" D8 o9 \; V$ a1 }
U7 c( p5 N0 }6 V8 O
简单移动平均法
3 \9 [7 s' B6 F( k$ o+ {
- O) R! x5 k) x9 b4 N
4 m2 J5 ~/ m' D5 z) `" w/ P; s7 \0 [
( R, h' E7 W8 q0 U) d) D
近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。
: w/ O8 ?8 m7 o2 v
& _- g# x* M3 b
简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
% ^. P* d' P& B9 f6 g; c
3 u L0 i4 O) [7 G! c
例 1 某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。
) z* C0 ~ @: Q& U" Y
+ [& X$ P- L. r a6 E
$ S: r4 u( Y. X7 }1 N' \
% K4 ^ d, m% G% X% W
/ E% e2 }1 ^! y$ J. _. `
. ^3 T# a: ?" m- ^, l
计算的 Matlab 程序如下：
) g( @: g# N( G& s9 Z' Z0 V% a! J
: H2 d+ W% `; |; U
clc,clear
! K8 \ Q6 V/ D. l$ i
y=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7]; m=length(y);
% U* Z6 m# D% X F; q/ _
n=[4,5]; %n 为移动平均的项数
' w, f2 T: j4 Z2 c: o5 `
for i=1:length(n)
2 d* {7 t) w0 X" k7 p, O
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组
& j0 c O9 K7 p9 ?/ u
for j=1:m-n(i)+1
3 k! M2 t" F* `; e2 V3 |+ O( {* D
yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);
2 O2 B i% @4 } f$ J+ Q
end
& M- h+ s8 |8 N
y12(i)=yhat{i}(end);
7 ?8 m ?0 X: a0 D; L% F' K
s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
5 _2 z& T; k/ O7 r% S
end
- a# c: l9 c/ P
y12,s
2 q- g$ Q" h: T0 T3 a2 c( x- p g
8 Q' e' N3 [5 j' E' r7 }
加权移动平均法
$ N: }* Y6 I2 `% x& }; W
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。
+ U3 \( ^1 I* w7 X5 a
( z- O5 N: U+ x( v0 ?4 B; @8 w. [
0 y7 Y. l5 X! H* V1 W u* y
/ i6 T/ w2 O5 k# \3 t
例 2 我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
6 q3 n! P& A+ R6 v
! k7 d0 h! c: T: B4 ?% K" f
1 Y" {& m$ r u9 K
, r8 g) [4 s9 z8 O3 O& E6 ~4 S
0 M; e4 h4 S( Y3 \. U
* X4 a: o, h6 S- q# F6 _
$ @/ F$ |; X8 H' j9 z; ~
: j0 ]9 `* q) k* q: q/ U- l
a$ u- `$ t7 u4 L- O
计算的 MATLAB 程序如下：
" |5 d! I5 E3 R: y
' E8 D" g: Z, L# C
y=[6.35 6.20 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 9.28 9.8];
; I( _9 g5 n+ q( S
w=[1/6;2/6;3/6];
5 D/ ^- \1 F% I; Q5 ~
m=length(y);n=3;
& E) u+ t A x, u: W1 g
for i=1:m-n+1
/ c; i% Z+ Q7 x
yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
( t6 i! L+ y& s: T# ^! P$ ~
end
. O5 |+ S, t, [% c+ [6 p! r0 }* ?% R
yhat
' P6 O7 C8 _& n+ I9 {0 n
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
7 t& p2 C2 D$ s1 K+ i) q, T, ^0 Z9 m
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
( C1 t: O6 u. A: z3 E0 O
y1989=yhat(end)/(1-T_err)
* m: N; m3 S2 M
8 v7 Q% g6 o, X
在加权移动平均法中,
的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
, _$ h, ]9 m7 ~) S
4 i) X( P# Y6 @. d( ~
趋势移动平均法
" f# s. I3 j" A. f
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。 一次移动的平均数为
* Z4 q$ s1 G4 j w, |
7 V" f2 i$ ], B+ B
. z% [9 O$ q' T: Q" x+ r+ q4 D
2 U* @8 s, U. @8 b, }1 G1 m
/ G( X4 r7 J7 v6 S
) X# c% w6 W3 X: [
/ w% P3 t) y* o0 D; N P# o- [
, X! y! {1 o& K4 T) T+ m/ S
例 3 我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
0 i. A9 P* U1 {7 A4 s
7 q7 K, `# b% W( x
- q2 M5 H1 x2 R' c, ~/ ?; _
: j! T$ k9 E' A2 M4 D
解 由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。
! j# k3 l; R. O7 M, G* `) m
' E9 G9 a' r# Z, L9 m
/ w; L9 s; i' {( B9 P
' ~( h9 Y. w% f1 g, `1 v: a
计算的 MATLAB 程序如下：
/ s5 I$ D: M1 |) L- l; \; c
& o# @4 _0 k. s4 h
clc,clear
# ^5 }$ ~5 `' K1 K
load y.txt %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
4 X7 x# W" V5 k% `; }8 r$ I- ~+ E
m1=length(y);
~* U6 n3 _. b4 O
n=6; %n 为移动平均的项数
& X# l( i, M/ w/ k
for i=1:m1-n+1
( o$ e% K' L6 e- [
yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
! c; }+ Y) o# T' W, y" z
end
( R- j$ C2 H, ^2 M
yhat1
1 R1 a0 `# m3 y* ~' Z [
m2=length(yhat1);
8 E9 y$ I- d2 ]
for i=1:m2-n+1
/ c9 \4 u* x4 ~+ s& u$ [, N7 y) b
yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
; k- D3 Y; ~+ O) o2 E- o) G! r9 U
end
4 |. A3 a- E- }0 W
yhat2
' ]9 e; Q- }# R8 o( g
plot(1:21,y,'*')
! J: P/ Q; d; k+ m& C
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
$ W" f6 q$ _" {3 \0 @7 B* Y
b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
& E5 ?9 e6 r \: P5 l
y1986=a21+b21
. u6 q$ y# b, b1 [$ ^3 h2 l; {# z
y1987=a21+2*b21
$ U. ^ h+ B+ S- [+ q. C, k1 Q
/ q \. U) r3 _. D
( ?% O+ l9 C. w" N$ w+ i
. H+ O# B8 h# {& q3 ^4 X& e
趋势移动平均法对于
同时存在直线趋势与周期波动
的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
' w$ }/ K9 @9 Z* S( s, d7 @
3 n6 i5 H! r/ |& z O
6 N9 S9 [1 X2 m6 }: O
! v, w. `, |7 ], Z8 t
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/ E# f' p! g1 D+ D/ N6 l) v
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3 P- Z r% J' F7 }8 t
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* P7 U& ~3 Z" t( G8 e$ h
& z# l! z3 f+ L1 I+ w9 H
- c5 W1 N! l; I0 f
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0 M; e4 h4 S( Y3 \. U
. z% [9 O$ q' T: Q" x+ r+ q4 D
