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标题:
时间序列模型 （二）：移动平均法
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作者:
浅夏110
时间:
2020-5-30 15:04
标题:
时间序列模型 （二）：移动平均法
移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
4 p* \1 _! O8 K
% c1 F" q) b; V3 N# m
移动平均法
' k" o; U$ G2 i9 h& f/ _
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。 移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
1 {3 t/ m, l i: M. o
5 W9 l3 Z" ^$ p1 u
简单移动平均法
/ L- V' G3 p7 W) u3 p
. j# n4 j l: `, M- F
% k9 f8 C; c. `) ]! [$ ~! f6 |
: {& b1 l+ Z2 e+ @3 \1 \6 g
近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。
+ h# i( M' D- s' h$ v1 ^1 R
- c2 P/ R. |1 a" J1 p
简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
* U* M! O$ p' T: t
6 N/ z( L4 U: C9 w8 x7 ^5 p
例 1 某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。
1 o# ?5 ]& [% K' g
4 q0 h2 i$ Z3 e3 s
6 [% _. x8 q3 a
' L9 J) V8 q/ n d6 k
+ y7 R( ?$ d( a' D" w# L5 [
/ N9 i& b1 r0 C
计算的 Matlab 程序如下：
" @; n5 \. k# p9 X' J Y
6 }( w$ R/ v9 Y: q N+ C9 X% u: `
clc,clear
" ~, A4 |# a$ E) K; D
y=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7]; m=length(y);
+ E! j0 y9 c# l+ T3 w: t, S
n=[4,5]; %n 为移动平均的项数
8 ^9 l7 q, ]/ B8 F1 O y
for i=1:length(n)
8 }! N% D% L: t. g) e( i, e
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组
! M$ H! C/ L9 `/ k, e1 l- m- [9 \
for j=1:m-n(i)+1
k) m: ?$ z7 B7 ~8 y# Z
yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);
, e" e5 A6 l4 W' J2 W
end
& R+ E4 X! l; O1 s v `
y12(i)=yhat{i}(end);
) N- ^) T' i" I$ \1 A: h
s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
6 P/ [, D* @5 e% ] R
end
" Z) i( |$ r2 J# f' E H
y12,s
$ O% @. I6 q+ c
3 @ t) H4 [0 \/ M8 z* F
加权移动平均法
8 x: d5 S Q- P) m
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。
( F1 _! [9 A6 @6 r
3 a \/ s) Q m& h" Q& m
* M1 d% w. J% Y' g5 b8 `3 m
3 }% X% J7 ]" I5 p A# |; d
例 2 我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
+ C( ^9 n( Y9 W+ b% |, |; ?
9 ?" Z$ C( R. ^/ b" B: `' Z5 E0 m1 F1 K
8 Z+ P1 x! K6 c) M4 d
' ?) b1 ^% s: S) M% \% T- ~% s
2 G2 e; l8 j) r- L- O+ b
1 _/ E" J9 \7 {, K. m
8 C/ ]7 k+ `! z! h' d7 v
3 U, i' D o( m
2 K! ?/ A* B( g$ K/ U# W* Y# G
计算的 MATLAB 程序如下：
# A" K% l. G9 @9 v2 U, }
- y7 p$ Y+ o9 a* H1 T# C- U1 T
y=[6.35 6.20 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 9.28 9.8];
8 H, x$ w5 @8 a0 H
w=[1/6;2/6;3/6];
4 `3 l, P L& @. f( Y
m=length(y);n=3;
1 V: l( V4 P( E" J
for i=1:m-n+1
) w7 ]1 M& M/ W( p4 E# U% o' [6 l
yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
( J5 ^( m" W1 D+ _9 @
end
4 w, d$ ^8 I0 O0 w- i1 A% E/ a0 d4 M+ Q
yhat
9 O2 @! e2 r5 e4 c* P( Q2 w
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
& `/ k( |5 Z& g
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
$ q# @8 I' r: V: c
y1989=yhat(end)/(1-T_err)
( b7 b& p2 @" V- y) z# o4 K
_% a5 A. [8 W. T6 g
在加权移动平均法中,
的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
- [% s' N% {1 J- l8 ]4 e6 C4 X$ N) c
0 P7 l5 D& [' s6 m( h9 w
趋势移动平均法
* F- v7 x8 v0 Z
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。 一次移动的平均数为
/ K8 `0 {! ]0 r
2 @- m/ ^. y9 A3 k/ L+ `
7 P0 v2 g) f" r' o# u8 x
* ~, z ~; L6 c v! u7 Y4 E% p
! b. H" u. _! @* x3 c
% g: f" |$ ~2 B- K/ X# `
8 n$ p, ?" u' u, `% ~
7 {8 d* j7 ?, y& q2 n
例 3 我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
' n$ Q/ Y9 K7 ], ^; Q9 @9 J, |$ A
1 u1 L7 v8 L$ ]; E) O6 O- T
2 V: l( h! y$ T! k' d! |9 f
" V6 s0 y" I5 F7 T% C8 v
解 由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。
, q5 @( }* t5 v! w
9 s9 [8 k# m" T+ v
* I* Q- D9 c2 {
- ~% e2 x' t- |( k' @7 \& k
计算的 MATLAB 程序如下：
" G$ \1 x Z E0 ?' K
+ O9 W! J4 X8 J* I+ U6 o- D- A" e
clc,clear
9 G+ f' ~) b1 q$ j. L
load y.txt %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
3 s* b2 p! z4 Y* n
m1=length(y);
& g: V; n$ i* b; d# a# M& }7 r
n=6; %n 为移动平均的项数
) C( B. s6 x0 `: s/ |3 ?
for i=1:m1-n+1
5 E+ F2 D9 D! R! M+ E
yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
( O0 L7 r4 K! m
end
/ a" A9 K3 `& z" b
yhat1
) j4 t. g7 L1 d$ M" `
m2=length(yhat1);
. f% Z! {% S$ s2 g/ @
for i=1:m2-n+1
( M% R7 p; B, ^: A
yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
1 O$ e- r- c2 M, i
end
: a3 r; t4 g5 H
yhat2
% s v8 N' k( G) Z3 W
plot(1:21,y,'*')
4 G4 z( n) U3 A+ l. A3 ~
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
2 ^, Q) E }/ w9 t3 I9 `7 `8 C
b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
1 @% L4 X& H- }2 {0 s
y1986=a21+b21
' i+ e3 F! m! u- [" j1 P
y1987=a21+2*b21
' Z5 c3 H2 A& K, M1 \, [/ r
4 C- H0 X( `; x6 {- |
: S9 X8 s" B/ ]4 l# j9 e
* @7 [: O! Y- y; P
趋势移动平均法对于
同时存在直线趋势与周期波动
的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
) Z. O) d- \# A$ z& U5 G t
W+ K8 T% z$ _
0 c" D) g! ]5 F, Z6 \4 s
% F3 z& g7 N9 u' b5 C
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2 X! r* T( m( p7 j
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& v9 W' c% C; }# p' g
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- T E+ ^: P6 W% h' s
. g/ t6 ?; m$ K
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* M1 d% w. J% Y' g5 b8 `3 m
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2 V: l( h! y$ T! k' d! |9 f