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标题: 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插... [打印本页]

作者: 浅夏110    时间: 2020-6-2 15:56
标题: 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...
1  拉格朗日多项式插值
0 ?, v" H( O6 Q& |1.1  插值多项式
9 ?4 Q0 S3 @' A! S+ X) J
) H6 J0 I. K6 L- C
4 z+ ]" E' ]2 r- \* U* X9 b: A# G6 q0 B) Y) n
范德蒙特(Vandermonde)行列式
0 y3 {1 B: x/ t/ E" L* l" X/ }+ u' m+ s6 t. @
# f$ z& v6 K* G6 l+ }2 A# b& u
" ^6 t) y: o8 y8 ], d/ F
截断误差 / 插值余项6 Z+ f, l9 z: @! S

5 ^, N% L* y* Z1 }
& j2 Y5 o! W: R2 i2 L% q6 i1 F1 X4 `4 F! L( o
. M. ?- O. }* r
1.2  拉格朗日插值多项式
2 c/ p+ n: I' E" D0 Q
: n- t, b) n' E9 u# N6 D3 z/ s9 B* r) M( ~, s! j. E/ @( h8 c
% Q7 y: y8 i2 _/ f+ ^4 E4 d
1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值
4 v  W# f" D) x4 v, u" eMatlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:
2 R' [; D; Y& c' V: @* I# \% p9 b' b" l$ S% D, D
function y=lagrange(x0,y0,x);
/ |" w) P' A5 e1 B0 M; dn=length(x0);m=length(x);
& F9 z9 k; X9 K9 V% Yfor i=1:m    / A  N0 b' u# K' d3 v7 Z1 Z+ i
    z=x(i);    . B2 V4 B( F. j
    s=0.0;   
! X1 Q" }9 P. l7 A7 h9 [    for k=1:n       9 r" R. J) y* z: V
        p=1.0;      
0 ?) x' ?% s+ ^+ T        for j=1:n         
0 H& u4 p! R3 T$ h            if j~=k            
3 l  f; M2 Z0 [) b4 f+ v                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));          . M  G" o# g3 ~3 D
            end       # Y- t7 [: z8 K
        end       4 D" ^: l; ?6 t7 R
    s=p*y0(k)+s;    * M) ]; y$ D, @- S7 Z" {( }3 W
    end   
/ D$ D; W% c/ w1 `5 u  Cy(i)=s;
6 N% I, E  A/ D% X7 ]4 n8 p3 l0 _end
" g6 w+ l. L9 J  f/ x9 Z: [7 c2 g) y: W# J- @
2  牛顿(Newton)插值
; D3 M, m1 t4 ]# m在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。! M" F1 H, f- n
' Y9 I5 Q8 U9 ^/ X" F$ P% h
2.1 差商 : 定义与性质
4 C$ j. C! @; e0 a) x  A3 s, T4 v: D. k9 `8 n
* Y- ^. _: F& r

% N& g" _7 x. _2.2  Newton 插值公式 4 e5 |/ H1 R9 M
9 s+ y7 W; `6 f- S5 J1 P' [

& I& D% x; |* o3 t0 V1 l5 a% ?4 o
3 m5 n& M, J; k: B4 h3 d5 W
. X% Z1 d- e, F) u  kNewton 插值的优点
2 I# P1 _' B8 ?& V: u4 T) }1 u* p5 L$ N1 c, g0 m: p8 S
9 e1 d. O% x/ |! P3 J- M' C8 w
- p* B" h! @2 X* L/ |, W8 t& W9 P

+ O1 g, x4 `) b/ v' e差商与导数的关系
$ l1 D- c6 A1 L" Y: |8 e$ T) q5 T
- s( T2 q2 E9 A
0 ?' i. A9 ]; T! R! A5 G0 k8 d3 F0 Y% R. Y: ~7 @+ [5 R
2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分) l" Y) j; p: o: X. `1 c& l8 z  M) I
当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。
4 r+ D$ ?5 |# H2 E, ^- R4 R% F6 B* X0 a, _8 a4 J7 S+ V
7 J  g/ |$ C  J4 l' k

; s" V% G+ g  Q+ r1 `. ^6 P# I7 I1 v8 z" s

8 Q& K8 n* y2 N  x4 r! L5 R9 \- A7 `差分的两个性质3 u  _) V8 E* j5 w/ u, t% V
(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如
% S/ l; A$ }" Z7 i+ k
6 u( v# H1 Y& X/ s; g& \- W( ^$ {# B
  V2 U$ I" a* \
(ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下: 9 k- k% d+ D0 ?+ b9 ]+ N
1 x2 \: V) K8 K% |6 |
9 y: [- x% n  u' z0 V( T* J
1 T4 \6 ?% Y) h0 Y( c  ?
2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式
9 L3 G2 _# l( Z, V& `$ j3 b* [: f/ Q4 m' N' n. X; k% W9 P

* d2 A1 d" l1 `. Y3 ]
; d* k1 ]9 Q  R+ O2 x3  分段线性插值 9 s4 H) {$ n' O) @& t
3.1  插值多项式的振荡
5 _& ]$ v) W8 ]: v5 b8 I; c# l3 k5 c, w

" l, y  ?2 U& \& V+ f0 X5 o) p% i6 G3 m5 a
5 Q- {7 ]1 |( u; k) n
高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
8 F4 D" A! b3 E( {  `
' n+ F" V4 I; a/ {' r3.2  分段线性插值 9 B0 z4 x' g) _$ R
- g/ h+ K4 L, w+ T% w1 n+ z5 T7 ^) V
% x/ v& B; {: Q2 j* m4 }6 S

6 a1 H7 i, \* _& h
# z& L* `" p# x  j$ J+ `+ |% B' Y' H( j* j3 O1 ]' a# g1 r$ D

5 b1 d" |6 k9 L. H; ]% Q. d' a- O) {用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。 5 P3 |# q  v" z4 i+ g
& {' d  C/ r3 |
3.3  用 Matlab 实现分段线性插值 5 `$ ^2 h. ~4 L, |
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。! O( t+ K0 m0 m
; B! A" O" Q4 E' ?! Z  s/ A" d! Q  D
y=interp1(x0,y0,x,'method')
- H' M  T; N% m6 ?4 W& `5 q6 _+ }& H& }9 ^. J2 s/ ?' n7 {
method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
& P: I3 E0 [( C* M4 @9 a# J1 |% C8 i
'nearest'   最近项插值: c  o! `' j* c- ^" q2 N

+ ]5 y$ O% d# l# h% J- n7 T'linear'    线性插值2 m- k8 k8 q2 H9 D3 y* V7 y
; p' p3 e, O) i+ [* _# D. m
'spline'    逐段 3 次样条插值1 ~0 T# H+ |: W) W

+ D7 ]; R1 X( p1 ?3 r'cubic'    保凹凸性 3 次插值
! ~' B" H* Y' i5 j% z; ^) B9 G
- X2 U8 \+ F& h# d6 f3 t+ W 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。8 G! t; Z3 q8 L+ J% O
/ L  F  @  U. A
4  埃尔米特(Hermite)插值
8 K) C- G/ K/ P/ i; J* b6 K. z- g4.1  Hermite 插值多项式 ( h4 y6 L$ {7 l- B7 K% @$ B" L9 _
如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。
; y3 q9 m$ y  u! z( w: q7 v) G5 R+ X: P- S9 `, ^9 T: L0 e9 v# z

1 y1 |+ X" ?- f* O3 _( @/ I- D: e* v% p
. q  a+ f& `, [6 [# Y
7 i" i! P; m( }7 q! a
4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值
' V& c3 e% W. P8 qMatlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。
/ h2 f6 w8 U  `' @% d" Z
5 E- ]" H8 a  m) z/ L5 |function y=hermite(x0,y0,y1,x); . ]8 R$ c2 |" T& \4 x
n=length(x0);m=length(x);
, s; @! S# U( yfor k=1:m    9 Y; A  `  F# W, E
    yy=0.0;   
4 ^7 O" @+ K( X! q4 U. w4 o9 I4 f    for i=1:n       1 B( w- Y8 H' I( C. g; O6 R3 ?
        h=1.0;      
8 P" |* i) M4 d+ N4 R) @5 T        a=0.0;         l; m5 e( k2 Q! X$ C
        for j=1:n          5 z  w6 n% r' q) I
            if j~=i             / o. ?+ t, U. Q& o; [& E% e
                h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;             ( q  y' I: `3 l
                a=1/(x0(i)-x0(j))+a;         
; Z9 k4 M$ R( _, e) c. |* `            end      
% U, _% P8 E0 F1 U) f        end       ) U; l2 B  ^/ W2 p: G2 p
        yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));   
8 J6 ^' w) B; w& M* G& h1 p    end   
& p1 Q2 M6 E! e  l6 z; ^, a2 \    y(k)=yy;
6 e2 D: |) c8 X! }end
9 Z" _+ f1 l; q; T, o. [
, k* E" M/ `* V6 d1 Q% Q
9 V9 B% m( f  E0 p, V2 e$ g, z& R) Q& D+ @7 l% }: m

- U3 G  E, c; a
6 L0 [+ O; J1 L, w5  样条插值
" l- a, h' N: l% r许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
9 J( o# w9 D" P
0 ^8 J3 h9 @. ]4 x: [0 E- x' b' k5.1  样条函数的概念: H. C8 b, N) a$ f

0 k4 U+ B. D9 t" i: S; `& Y. W所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。
" h5 k2 V( I6 O8 o3 e3 t% _: J$ W
) ?* H9 F0 o& x4 J8 Z4 V    内节点 、边界点、k 次样条函数空间
0 n' ^1 o6 q# Y; R: X
$ l6 J0 I8 D! L2 l: U% H; c6 P( c- Q" k# M7 Z+ z( c" p

% x! A' }. [+ w' n
& C2 U- `8 T( p; ~* F
/ `* |0 S8 ~3 i: C5 ?/ ~$ I% [- D  ?" `& A' G
二次样条函数8 c! N1 X% c: V: L

% d  ?: W- I2 r" C+ l) i$ m6 C/ V2 D; h/ Y2 ]4 k5 ^

# v5 m' b; G# n, b" u# Z3 B7 d: ?三次样条函数
0 Y- a7 ]! R  ^; Y+ c9 ]: ]# p0 |7 G1 _" Z( s3 z) x
: {" T) F2 H3 c8 g  \& \
( F* `! X9 O$ J$ K( S% c
利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  # i) b2 }$ H9 {3 t8 j
8 J6 Y6 O% {0 p0 L. R1 p
5.2  二次样条函数插值  ( S3 b5 m9 o2 o: \4 I8 }* M
两类问题
$ q& ?- F/ W/ L) ~7 a" M' g! N$ v/ O2 g, I) C" O  i
; |! C# G! e, ~% R$ C$ A
6 g( n1 U. p- [8 }2 [
证明这两类插值问题都是唯一可解的
5 i* A9 h4 U* u' V
( {5 f9 S7 t& \1 C/ J5 t, E0 f' E# m5 n/ K/ q1 n' c

" r: ^- l$ |8 D1 m  W' @5.3  三次样条函数插值
9 Q8 w* E1 d% t. m4 A5 P( l9 G% p9 ?% ]5 C, h9 J
' e" L9 L* w0 y; S: @, u& z
9 ]. q$ f7 a  x9 o+ z$ z$ A" I
3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件
% \% J( B% G7 d5 K9 p5 {7 I. _7 V& F5 d9 Z( f0 L& p* |5 C- u" z! u

# o1 U* }. K: g5 P; M8 s2 S" d8 X% \, j8 R( q, W7 j) Z4 c- ]; G

5 A7 M; d: ]. `. [. @) M
# u8 a) ?% W! P8 W4 `! w
( O# g4 z2 _1 @" P, q! k5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现
0 l3 V- C! D, w$ G$ d+ n在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。! _# t; D( [& ?; ~- h$ `# F
# Q! x0 |9 ]) f# p6 ~% L# n
Matlab 中三次样条插值也有现成的函数:7 T8 E) b. Z8 ?! R
y=interp1(x0,y0,x,'spline');
+ V$ ~: J8 }  K
2 [$ ^- V' n/ i5 d& gy=spline(x0,y0,x);
9 K+ A) A3 w1 K- a2 z3 C% l7 O
! P" y8 q$ t, Ipp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)
6 W* T) s) t. {4 A* ?
$ y2 a  i2 p. S9 ?* B8 H+ [! k8 A4 m. q* v" K( l- p( o
' |3 \- B/ \6 i8 q, G. @* e: v
其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。& T5 b6 @# t* a

" ~; s$ N! ^4 Q: O4 J6 spp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。6 G+ P/ D, K+ l/ x) \2 _9 T

  S5 V$ G/ g# l/ C/ Y! a( i4 Gpp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:$ l0 C# g! m! Y) f

3 [, ?! {* A8 ]( j% E* w  w3 |'complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件
4 I9 \# A& t8 O$ Y4 J" @'not-a-knot'   非扭结条件  
' r3 X' G. R' `. Q6 k% ['periodic'     周期条件
5 }" [: h; @2 u% I2 E7 _'second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。& F+ q. j1 O" `5 q# F1 b
'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。; K) H' f" R) H6 |  c
对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令3 ?0 g; P' N  O" S5 d

+ P( m5 a5 _+ P0 A1 kpp=csape(x0,y0_ext,conds)
- t9 l6 l% [4 H" I$ x1 Q/ D% E: t
1 s) e7 W, Y3 N' {! ]( ~0 Y6 K( X! O  ]0 s9 y5 ?
3 j: X% u: H% Y! p' J) \
$ r  h0 [2 G0 s2 Q. ?* ~) Y
其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。8 ~/ F2 e2 N; \, E; Q

  }6 t- f8 @9 ]. J7 }conds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;
* `. l) o  I( C4 e% n$ W1 O
, }5 M1 X7 G* R3 n  r) p9 Q8 hconds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。
* G0 f% l6 r- Y1 D& M0 B4 {6 a/ ?; w6 D3 U0 G; U2 J7 D
详细情况请使用帮助 help csape。
( \6 }, K; z! v
  x1 {& b6 H# e# ?例 1  机床加工
* f. _+ ^$ a6 Y, D( E: g* R; w8 ^+ c% k4 n5 p( A2 V% F
5 J7 e# P$ f: m% j+ k4 Z+ j

# u+ `- J6 V% t+ R. d8 |解  编写以下程序:
& g% @" o4 m0 |: Z4 Cclc,clear
3 p+ U7 d! N5 h8 b3 |+ E- j8 Q9 _% Y2 _: `x0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15]; 3 J, Z! Z  ~& _
y0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6];
' `" E# g1 E% M9 Q. |. U# Q) m* \x=0:0.1:15;
8 S' o0 w  m% E/ j6 R' c+ `' p( u- B) my1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数
# d; i$ {! N+ V7 c& W+ ty2=interp1(x0,y0,x);
! u7 ]1 b/ Y! [" G2 h5 ay3=interp1(x0,y0,x,'spline');
9 C5 B( N* @+ @- D+ mpp1=csape(x0,y0);
! Z) K' p0 B9 G" j2 ly4=ppval(pp1,x);
4 y+ x9 J- k! i/ q0 A( _+ b" Bpp2=csape(x0,y0,'second'); ) R' w! S6 X9 ]
y5=ppval(pp2,x); 4 w) X2 L8 o$ }  C
fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n') ) O0 r+ W  g. [/ [2 p6 i, Z  f( x+ R
fprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n')
. L0 p) g# T4 S% |5 E$ zxianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; - U2 X  J+ N" d! @9 K5 x6 |6 E
fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') ! X2 ^0 J) P5 s- L& z/ V
subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
* P/ m0 f5 d, F# Y* ysubplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear')
9 F, m) o4 I2 e+ c8 u% j0 r( rsubplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') 5 Y' `. z# x- J; T& u
subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')
" W" p" P6 E2 |) Q, a$ O) R0 odyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数
( @! k& i/ S! oytemp=y3(131:151); % j  d2 Y  ?* h& ]
index=find(ytemp==min(ytemp));
% {: ?+ L' I+ ixymin=[x(130+index),ytemp(index)] ! x  u. j9 k) a9 \4 o8 {$ O6 H
% I, ?) ^- V) |) r0 R! p
计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。 6 A$ I$ l  |0 s3 C9 T) [# H
' K: q. C; V6 V& g% J0 E8 r5 n8 Q) r2 ?
6   B 样条函数插值方法
$ W& V5 b% M) J$ h6.1  磨光函数 3 A8 \: E7 O; F  ^3 ~6 K
实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。
0 p. t1 Y: t7 ]& C8 e1 [
$ e' X! ], v) I5 J  ?0 h4 \# Z
+ |) c9 F! w' t6 v, R8 W# r. |
9 \. F2 O2 X  l5 O. K$ t: ~% V, s/ U6.2  等距 B 样条函数 * O/ O8 |; r. k) H, A; X: [( `
$ c2 ]6 O1 a: ?' p, [

5 L8 e' h, ^( W/ _4 S; Q
, `( L& W3 }( Y/ @0 |+ I6 ^/ T
5 e6 k; }; p0 M* g8 R; A  m: V& X2 f, P. U: @: ?; I' N* k

5 l+ @/ z3 J! v% K
$ o( @5 F6 v1 o, |
* y, d: p- c1 U4 n5 }. C: `6.3  一维等距 B 样条函数插值
# z0 I6 [1 L3 I; m  q- }, N等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系:
, Q$ J0 Z' ~0 I6 n4 K
* t: m2 D: E4 l
: |% O% o1 s2 F- p
9 \3 u% ?$ i- d2 l2 Y, O7 x3 X
2 m2 [4 s& L% y1 I1 A, Z# E' f% S' b9 |& @: q  m4 {+ I
- ~4 K7 g7 h; ?+ v  M* K
% y: V# V* ?3 L4 o9 ?# T5 J
6.4  二维等距 B 样条函数插值   D& x  [7 b: e9 @! Z3 H
) ~: A" ]2 ]  s/ G2 n1 Y0 z! O8 l: ?

- \% q( }6 t! K& Z' C- C3 c
4 s4 ]" K) Z$ t+ Q; Q5 f7 二维插值 8 M4 n4 G+ T8 j. W1 a/ z
前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。 8 C) r% m$ F/ G  q# y1 @& b
+ i% h1 |1 x1 M# H0 V
7.1  插值节点为网格节点 ) b# e2 ^7 {$ L8 c" U. _
& F0 {( T& F6 w- |" u& E( u+ m3 O
3 s+ K9 @" x- r3 ^4 z# c4 h, s
/ v$ h8 B: O) L+ n
Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如  
0 B1 ^# E4 H- X4 K- x, `0 v+ b3 T* Z3 C0 S5 j, q

! B/ w% p* A1 q0 zz=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
2 z& u  {# @& F
7 s& c9 o) L& a- d; u" L# k, t# t  J

( o7 }. c7 O3 C$ e7 T7 y# b1 z$ x# [: }" L7 ~- Q

( C" Q& K" h8 t0 A% B0 m! P4 E/ q6 x6 W3 i" b* l# |
如果是三次样条插值,可以使用命令6 B- S( ~$ I; B5 k
1 {: I" N2 [) ?- P( B% Z
pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y}) ' b( }; K6 N4 z; h: @% o% ^0 ^
) V. B1 a6 o' ?' \3 B( c1 W2 b

% `2 Z% j+ W4 K9 v2 {9 j/ {5 L  I) l
. ?' k$ V* e9 k2 b1 d  z$ r/ zclear,clc % X9 ~) g! d$ u) J0 Q
x=100:100:500;
, x/ ~! Q, A$ {( N4 {. P' U' ]( Vy=100:100:400; 0 }6 }  S& Y9 c
z=[636    697    624    478   450      
- B5 u- W9 d( @, d- {   698    712    630    478   420
6 |1 x5 Z3 P/ N& T4 y6 M2 I9 y1 `   680    674    598    412   400    " I% x) w6 v7 X% W7 L
   662    626    552    334   310]; 8 ~2 |3 J$ F5 x5 v* }7 K0 E
pp=csape({x,y},z')
  N7 G. ?  o4 l' y+ @xi=100:10:500; yi=100:10:400
4 O! o2 O/ i3 i' ccz1=fnval(pp,{xi,yi}) ' x  [5 y* }  }5 \0 |7 ^# P$ t
cz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') . e) r" `3 i/ j( Z: |. d
[i,j]=find(cz1==max(max(cz1))) ) M" ^; z( ?2 t# ?9 \2 K
x=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j) , b0 ~8 r1 _$ e0 I
! N1 O+ N1 |( s
: e6 H1 T; H4 L+ R# c
% ^2 j% w5 l1 C4 ~7 R' ^' d
7.2  插值节点为散乱节点

对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:


2 S' q" S0 q6 A- S5 sZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
4 ^' N9 f2 `# R
5 v3 o9 k8 _3 T- v/ Q6 ~0 a( \
! K) b7 R) t' Z- d0 C- g0 [+ w0 n3 I5 p+ ]. C

* Y" d! Q0 A7 }3 Q1 m8 o$ f9 ?9 ]) Q" V) f1 r! G/ s6 K/ a
) U2 `5 l; f+ t, B

2 G( u  F! I. h* y例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。 9 x% c) r7 L! c% S
4 l: ~: e9 U* m8 N, ?. I

% [9 U: }9 |/ @- I( Y  }) c' N( o- S  h  p9 p
解  编写程序如下: 3 o' D% I6 j. B

$ d# p5 _6 j2 p3 N4 Vx=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5];
6 S. G, m2 W1 U( Jy=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5]; : P- H9 c$ n* I
z=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9]; - K6 R8 g7 l  @9 g' X4 W* q
xi=75:1:200; * a0 V1 |! g; l! Q( K- m
yi=-50:1:150; # Z6 [  K8 M' T9 g8 [. x. e
zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic') 5 [% Z& [, e' U* x' n7 |
subplot(1,2,1), plot(x,y,'*')
- D- u  K* c- I' f: }  Usubplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)
7 w5 S6 V: `6 g3 p! |8 ]; r6 ]2 L! {* F

' x0 G" y# j* L* S' S8 G习题
/ `) J. y2 \+ d% h5 {9 E
/ @: m& O& x! q, A& h
$ q) b3 I- {2 S4 G8 R4 g' D! ?' R" G+ W, v' ?& R
3 r0 \$ I* x% L) f$ ^8 W/ N. a
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