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标题: 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插... [打印本页]

作者: 浅夏110    时间: 2020-6-2 15:56
标题: 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...
1  拉格朗日多项式插值 4 X, T' t2 E' z5 `
1.1  插值多项式 % n- ~. `. `+ I& z7 d% x
/ g3 u5 C; O) |6 R

: s) V+ W7 K; y) u$ P
% n1 A2 N9 ^5 ~3 i9 h4 ~范德蒙特(Vandermonde)行列式
( W: V2 x  i: I/ p) B3 s9 f4 ?  x6 x+ A/ t5 C& x

$ K9 A& ^( D# H7 S. D8 v1 |; `
' }8 R  x/ ?% m, J- C. r8 ~截断误差 / 插值余项  {" i' Q, C9 e" `* K% K& q" o
' ~" H; U) z! P; r9 q9 D
7 S& e2 [( Q+ V" {+ g' e5 H

. T6 Q( w) F" ]
0 ~* a* ?" Z& `4 G1.2  拉格朗日插值多项式
) \- E: u$ [2 s( Y! _6 ^; d
; o8 b# G* i/ r: b7 r/ U& s2 f! I, K

' ^% T* ?! q1 |: v, f; K4 o1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值
$ H& `5 Q7 J* }  [% p% HMatlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:/ d2 L8 H) b* L" E% H
  p5 ]7 F  g# i( c: l" I2 B4 K- k
function y=lagrange(x0,y0,x);
$ y6 A+ V7 b' Y/ d$ Zn=length(x0);m=length(x);
) p% \( T/ e5 J5 Bfor i=1:m   
$ O) A% q4 ^* j! m    z=x(i);   
3 |; I& }# e+ R    s=0.0;    1 a. w, O, e$ i$ C: _
    for k=1:n      
& R! o5 C3 g  w9 Z& r* R6 G        p=1.0;       5 q+ ~' A. K% A/ z+ i& l9 V9 T5 \
        for j=1:n          " j4 u# _4 K! A/ S
            if j~=k            
8 G) a" {, j  M( l0 S0 ~                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));         
1 j( ^' q7 z2 W8 S            end       , o2 W- ^1 b9 h% n# q
        end      
7 [% G- W0 L/ @: r; J% s    s=p*y0(k)+s;    + P! B, E# T8 a# m3 |# r5 {
    end    1 p5 e% ]) X) o3 J
y(i)=s; 8 y1 c! v0 L8 t- J3 P8 B% B
end
' A* x6 @( f4 T0 b* P
4 Z5 G+ E! ]+ s1 h1 n6 J: ^8 s2  牛顿(Newton)插值 0 {7 k$ u& ~; M
在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。
; D- F# Y+ Q) x; T. c" r
" L( ]0 V; }! k5 j. D1 `, r* r 2.1 差商 : 定义与性质
/ w+ `" t9 n, `* {. b  P7 j
" E" q- u+ e/ K+ L: K) ?. i' |# S$ \$ U7 ^" }
. P6 C# Q0 k  U: J+ ^
2.2  Newton 插值公式
1 d& B$ x' C2 I7 Q9 s+ D6 t, Y" ]3 A# r

4 g1 q0 R5 K5 l/ ~/ F
6 F, ^$ k4 Q& F+ r2 V/ e$ J7 O9 C0 B5 m% C, E
Newton 插值的优点" ]7 n3 Z2 R$ _* w3 h  B" ?4 h7 v% M

; `8 I3 G' T8 a' x4 y7 B' _8 S5 D0 r& [* {

# p1 b* K) E: ~+ T* Y# @* S0 Z
2 V2 b, K8 [0 p- Q& K差商与导数的关系 1 U  f4 O0 R8 Q9 k" l8 b2 p

, m/ j' Z$ x$ ]# ^" g4 |$ T
0 h, d  x: N, M
' o, u# r/ g0 e2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分% ~+ Q+ `$ j$ Y2 W- c/ z8 Y$ W
当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。" Y2 I3 T# N6 K/ z+ p; C  O

% ?) @% k. k* ~1 C& R2 c" j: @8 Y9 ?- I
4 V4 P" z- c) Y, S/ t6 ]6 J7 z+ K
: R8 u- o$ `6 h; [8 a! l
" n4 V0 i; |0 H2 m) f
差分的两个性质( c( E7 l# d& D
(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如
% N' q8 C* Z8 x0 A) K% i8 e3 H: G1 p8 X! s& n% M

8 h6 ]  V' K; j- o+ L: z& X+ q7 p" \- j/ E+ t* S7 j
(ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下:
1 U/ l/ b3 t) z( s$ ?( f) {' i' ^& I; @9 i- X  y

* [5 T* z1 m# Y: F7 G9 i* B
) G- k9 h+ r7 T+ g; P, C7 m2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式% ?: c" N& `1 q8 `
  g; r  f6 a$ ?, A. y
2 z+ A9 _7 e* R# z4 o3 E
1 [4 x$ P. p8 p% q6 i
3  分段线性插值
: R# h5 E- M$ y3.1  插值多项式的振荡
0 c8 I/ Z! ]$ v3 r8 w/ f2 d8 l8 L; Y5 V2 f/ r$ l

* K5 O& a4 o& k( m6 x7 b/ P* d5 G; b% ^- u) S
9 \& E' y; M* ]' I! o" D) M
高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。 ! H5 }- u: Y! j" ~( v
& B% l; A1 c8 \6 e% t! i
3.2  分段线性插值 : h1 ~7 H# \& J. ^

9 M9 o0 E6 m( M% B0 L) _  ]& C1 m' ~2 E% E) F

, c; J2 b* K, e: S* X
( l! s3 d) h. l* Y9 X
6 B0 [& h, e# s' F. M3 c$ c6 ^: W* G# a4 O7 P* }
用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。 3 @3 f* I, S/ O/ e

6 g2 m! R* L  C! K4 s( |3.3  用 Matlab 实现分段线性插值
9 }! S* R  F8 l  t4 `5 E9 e9 Z7 s用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。  o1 L$ U; O3 a% J# j2 x, _0 E. Q  I9 s

0 M7 s, o. [$ e1 @. G9 qy=interp1(x0,y0,x,'method')
$ t0 J1 k1 Z+ |6 x6 n/ i6 b7 m
2 r# k/ w9 A. G- ?2 Wmethod 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:# P- H" G3 P" Y/ T& ~0 S

; Z; n, ~7 J# z, z# ]0 s'nearest'   最近项插值
7 ]! r0 s* b2 y- |7 }7 j+ o& Q1 v( o, |! ?
'linear'    线性插值+ n( m2 A; J/ P& v$ ?! Z2 `
4 F3 p) C! D* b- T! d& |/ K
'spline'    逐段 3 次样条插值  v: p& L" N$ H2 p2 |* C5 w
8 a% y, f$ v- K7 R
'cubic'    保凹凸性 3 次插值
2 Y  t, L7 r8 X! h; S- }5 Q3 F% \3 ~% B/ K! E5 Z) e& }
所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。
0 U! _. P# V6 g, [& |1 L
8 g; I. r/ S8 ~4 o4  埃尔米特(Hermite)插值
9 |4 G- o8 @! p1 R. Y7 E4.1  Hermite 插值多项式 1 M% r; y2 {7 p& ^$ I; s% B
如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。 + L8 B) x3 A+ V, d" k
: }4 ]# ?; v+ O( G. O

; r$ u: N+ P/ V) p4 v3 {" R
2 K2 \' ?- d! s( H- S$ O
) w+ Z! m8 x  {+ Z5 G+ B  C) X6 n/ y3 v% v
4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值   a9 P, D5 x3 i
Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。 8 ?& L  o4 Q- W& ]! Y

3 W: b: {  l5 H# X! rfunction y=hermite(x0,y0,y1,x); " {' n6 w- `7 M/ I/ R2 }
n=length(x0);m=length(x); # ~3 b: n6 R. A; P% ^8 G9 u- C
for k=1:m   
. Q/ b  e" s% L& U    yy=0.0;   
7 M0 Q+ h& O! G$ ^! @3 d- c! Q    for i=1:n      
( j. |; [2 i/ g: A0 e        h=1.0;         B2 O/ _6 X% Y- J  Y! }
        a=0.0;      
* V, x" m8 L: }* X" i) t' Z        for j=1:n         
) q4 s4 h! L$ Z- \: L" q            if j~=i               O4 ~7 q" T+ r* A4 n+ v2 @- A  u
                h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;            
' }& S, `) j3 E2 Z1 I                a=1/(x0(i)-x0(j))+a;         
- K/ b% a4 P1 p( n' F' i' g' c            end         |! p4 g* S% w. `! V" [
        end       0 ~, v, ^8 M. u7 ]" r5 e" t
        yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));    7 X& n! J2 C) o4 U
    end    # J/ G) X) K& P' A# O6 f
    y(k)=yy; ' u2 ~  y6 q2 _$ B
end
5 ~/ T+ F% i9 W4 m6 H+ y' Y& n5 P. P+ L* R) e+ R+ ^

" I' N$ [; ~" |& Q2 G
# T, r: l+ S& H( x. A- j* H5 `4 p! }9 f9 M4 F. j9 A7 W- k

+ ^8 u3 e9 U( h& g  `* v5  样条插值" j. a4 Q3 D4 \# Z+ `, j' L
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。# k, }, G% V# Y2 A; q

4 z2 a: `, i3 G& f2 E  v/ q5.1  样条函数的概念. S  p, i& r' |, C

) K( Z7 S4 q/ X  v所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。 1 P( V! E% N7 r4 ]

9 F& T. H" m! ~# N7 r- [    内节点 、边界点、k 次样条函数空间
* M: Y9 ~! c  l# q2 w/ V9 w' ~$ ^0 Z/ p5 P: N4 e0 V0 ?8 X

# e' K+ x! j% _. v' g( C4 y$ Q% B% Y7 D9 n; j7 u# F. q6 [' t8 C
7 @" J# \' Y6 D3 j" y) Y" s' E9 i- v

- Y6 b: v& R% r7 c4 T: V: n: b1 ^6 f0 O' }2 U
二次样条函数
) F5 d2 I0 w" j. G5 C: Z/ V4 V
* M  {. V# ~( j- T( x& q2 v
* O% R3 r+ i% I! l# i5 u+ `  F! s* k7 \" a- e' ?7 b4 o- N6 h
三次样条函数
  ]9 n5 P  e# a* Z2 J& X( T$ F
- j5 Z& @1 k- M! q/ B+ K9 {! v
* Y# f: B' W. F+ `' {  i2 X" K1 d/ Y7 v4 B' H- T
利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  
0 ^$ e- `# }" n/ @; z. G, s4 q3 @3 E' \) v
5.2  二次样条函数插值  
( Q$ P' x" H% h& U2 f* X+ W两类问题- S/ [6 m. T1 N" F5 t6 P2 W: h6 I
& l5 K$ o4 k9 R  m( l$ c% E( s

1 w% G1 F3 o7 s& `
( C! Y' S  m4 P% e' ?证明这两类插值问题都是唯一可解的7 g$ ^  a  x0 @; Z, E

: K9 f0 e% ]8 u5 l- `) F* S! I  h3 \/ L/ A0 v1 E: ^
) Y' Z( }( g+ u2 K" _9 R
5.3  三次样条函数插值 8 r1 o1 ]. |2 L, k! ]  h

) U. i& |2 v, `# }; @1 r/ p( V
9 `9 G; X; a+ E# m+ x1 Y4 [: q9 p5 q6 f
3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件
# g: u+ W" L! w  p4 W! S/ }1 g4 R: A. e7 w0 J4 ]) ?

4 g0 L: u$ j6 M1 `( M- t, N
; e) i- y7 B  f* F; t9 Z
' D; V6 h& f4 T% U3 B7 ^( |5 s, L! d7 ]7 b  B; ~8 U& Q
5 V4 U2 w; L# O. Y1 ?& B# v
5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现 ; Z5 x/ j! p7 T, o8 V
在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。* x5 Y' u  R4 ?, t" h
( n" V! F7 Y+ Q" s; i
Matlab 中三次样条插值也有现成的函数:1 O8 X* ^. ?+ U' @# e
y=interp1(x0,y0,x,'spline');
( j& {& |5 d+ v* G! r& Y0 S! J. _- f+ E- m6 P) A. G
y=spline(x0,y0,x);
  I  q, ~) @# ~
6 L% q# `; L  Q& K/ ]pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)3 S1 Y' B$ i* `0 ?. w8 y
$ T/ Z; @, Q& p
8 i0 b4 V4 \2 d1 ~" B/ T# f& A
5 W. ?8 R7 E# E1 `3 q- O
其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。
6 m9 s$ d0 R) \: ?
- L# s; `- i6 B) F% cpp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。% W  B1 a, i* }% [9 \8 k

( [3 x" Y; ~1 F* }pp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:
2 h) b8 I3 x' U9 f  q* t0 a9 N0 F" h  `. f: U* Q* x
'complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件
# x; P' C" H, f0 }'not-a-knot'   非扭结条件  ! c* u* V9 s  d# ~3 c3 Z. e
'periodic'     周期条件
# h# e+ j& O- L6 z6 ['second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。  Q) X5 x0 f8 _0 M- |, H: o& ^
'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。. c0 F6 O" _9 j6 x; i
对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令
) k: x. e, ]' W
( {+ t- @  m/ f) G) g0 ^" W9 Wpp=csape(x0,y0_ext,conds)
% j3 ^# {$ l. Q* g: y- v. q( ^3 Z6 U
) V. U7 E# S( w- A) z) E
& S. d9 B; W% V: o% f1 _" C$ A- g7 n
, r/ X, C1 n+ }$ M( N, d# F- ~1 g7 _: V! ?$ P8 t& a* [" q
其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。) B, }, A; s" N, @# f

, m# I$ i) p& T% E; ^& B' bconds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;
' V9 P5 u. x0 G) e9 F# \% [6 y
, A, \) p* x0 {7 i% E; L: O  Sconds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。" a/ [2 w1 U) j$ J

/ E+ R- W, ]3 |6 j2 }详细情况请使用帮助 help csape。 # `% H5 x8 [/ ~! z1 |

( |  F) t$ V5 ?# e  T例 1  机床加工 ; e" ]$ _. W: N* D6 B; i
; W- {7 l$ [0 }) [. Q5 Y0 t$ ^

3 G  Z6 W2 F( P8 V, u) z3 O/ O
+ K: {2 g2 ~9 z( D9 O" f9 z解  编写以下程序: 3 X; w7 b3 w# C4 G" _* T% f( M
clc,clear
2 }: n; Z& [3 d, S& Mx0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15]; 4 e7 t6 S% L% H, s0 e" C
y0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6];
$ H* l# t8 K/ u9 cx=0:0.1:15;
7 r2 v5 b/ L; \' `) F1 \& @y1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数
" Q: M  m" F3 x5 e  c  B2 j' Yy2=interp1(x0,y0,x);
1 q9 R( a) U7 x6 t5 \2 By3=interp1(x0,y0,x,'spline'); ! X4 L! U' G- f3 Q: v
pp1=csape(x0,y0); + [! l2 x+ N) i' v" B
y4=ppval(pp1,x);
$ @' n# D% k; E9 F1 @pp2=csape(x0,y0,'second');
' d3 V  H5 ?' ?7 G) ]y5=ppval(pp2,x); : s4 y4 F3 R$ s9 f- [6 g! D- v
fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')
, W' c- ], S, {% u5 O$ K, m+ J' t- Vfprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n') 1 f, M9 ?8 f# `
xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; : u. t' W  ~' t9 w8 }
fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') $ O, ~1 @) P& i! W  c
subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange') ( u, i9 i5 R- \4 c( q! ?
subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') 4 C3 ^) T( K3 k- I/ l
subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1')
7 |/ U2 M: S, O" u" {subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') 2 u' F) o0 }( e4 p
dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数 3 N, X( S7 {4 Y
ytemp=y3(131:151);
8 O' C2 P' p8 I1 a  d# T$ U9 s/ zindex=find(ytemp==min(ytemp));
) z; C( p6 z  pxymin=[x(130+index),ytemp(index)]
. a" R2 B# Z) {, |9 `: h7 g, u8 A' }2 V2 e+ T# T" ?4 {* n
计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。
/ |; A. R) t& h" H6 O) E/ A7 |& `8 o0 f) R5 h0 l% K
6   B 样条函数插值方法 3 S. L$ @' T% W& \# h% D+ F, |
6.1  磨光函数
2 @+ h8 `  A0 ]& ]% K: D实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。 0 Q6 {  P  ]/ k$ t

6 w% y/ p3 p2 w1 F; _0 K% |: C! D5 s  d' D* b  [" |
3 [' z+ y; k, a9 ~
6.2  等距 B 样条函数 9 k% L# g' L, |! o
0 g& d% z& i4 J/ K3 V
4 T' ]: I4 [" ~, i& N

$ v) @$ R$ a# G' p- |  P# b
, i4 L8 w0 ^- Y8 _3 b2 @7 J) I! _, g+ F$ ^' W! r, I; D- \
. {+ l. ~  V7 j0 q3 Q! S/ V8 J
' U( _9 q7 m3 _0 |
' j$ ~2 B, G. D
6.3  一维等距 B 样条函数插值 ) \# x7 W$ C6 r. t6 p7 t
等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系: . N! w) s1 y: l9 }; I  y9 }+ s
# t' d7 _- Z6 e5 q2 x
/ [, f* Y0 @' k2 v0 l
/ p/ |4 r, H! ]7 z5 s$ z

% P/ V2 q0 f; j$ m1 D1 B# D6 h
. }( `5 Y- A& ^. d5 B. p. S. v$ e
8 e; T, Y& a2 W. X' R
% P- i1 X8 r: j: a8 V6.4  二维等距 B 样条函数插值
- K; x8 `1 O: _- p
9 Z) p5 `4 N; r. `" Y& v1 ~
% j8 R- J$ Z. d6 [! K0 x' n
7 Y, I' @+ c* }% F7 二维插值
7 H2 l4 C$ S% O; f6 b前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。 ) @( a' K; K( V

5 t7 X. D2 i+ Q% _0 Y7.1  插值节点为网格节点
/ W; @  {! j9 l# H% ]' i2 j% X+ h
! R* v3 F  r+ I0 |' N9 _
" {, o1 l+ @6 v: a4 k
# Y! t) a: \7 }; ?3 S. ~Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如  6 B3 X) f. a1 }
3 z3 E) w/ Y8 z* }
$ _1 G3 c9 M; l% q9 d
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') 0 p8 V. r5 _* f  E  v; V4 h6 P8 z  S

( S& c- G8 p; y9 W: Q! g1 L
; s4 ?; ?" D; J& A0 H4 D5 c8 j1 W3 n0 R" w6 S# j  z+ r( M. N+ M, j
; y1 v+ o& [! s; l" s

1 s1 {8 \5 o$ |2 ^' ]+ w' \- H0 m/ }5 D% L; }0 ]
如果是三次样条插值,可以使用命令
' r5 P9 ]  R1 m4 R3 B
2 h+ l) w* ]6 N, b% Zpp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})
5 m0 Z1 f1 d, a2 ^) r5 H- j1 {# e# }

% n8 z' ^' t+ |) ~5 K8 |$ _; ~2 v4 R2 z$ w9 u+ f$ P
clear,clc
" F' G" C& X( v4 s' wx=100:100:500;
, c6 M1 H, a$ k- \' ^y=100:100:400;
# ~1 m, y- M& ?1 Gz=[636    697    624    478   450      
% {( p# Q) M$ h' n   698    712    630    478   420
7 i  j1 {' D, K  e) ^9 Y$ R* f   680    674    598    412   400   
: y% W' X/ ]. B   662    626    552    334   310];
' s/ v. {) }* p) y! P- ppp=csape({x,y},z')
, J2 f! z0 u: F! m* _xi=100:10:500; yi=100:10:400 - t# c9 M* ?2 D1 r
cz1=fnval(pp,{xi,yi}) ' I! U" r4 q% n6 H' u! E# d& G
cz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') 4 q0 C- w% q1 b
[i,j]=find(cz1==max(max(cz1))) " }! r9 X5 ?. W0 T/ \- o+ \
x=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j)
1 K* r, F6 ?+ c; r* ?+ T, l  ?' o8 A2 h* N6 }8 ?" L
6 f$ g# k8 i9 a8 |4 W8 O

" {7 g: m* |) z# e! U$ R) M7.2  插值节点为散乱节点

对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:


4 x8 C4 b' p2 H$ X# uZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI) 6 ^6 t* E, |3 c, g+ K" v  C

) \- B4 \& ~+ g; s1 K/ W3 @, X+ I6 m* Q/ Q, s( |
- G* T+ g- C: M8 I5 P
$ y9 ^, C$ q8 G) [( ^) m
2 E4 T5 Y# T) I: ]1 q+ M3 X( V( c
. t$ O# t% Q2 F% F

: u# z/ w0 k2 q/ {例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。
) U! O5 W. G! F  _( W& X2 ]9 {% L% k1 g2 I1 ^
+ V3 }8 x3 V/ Z& f
: e! e3 V, u. B/ g
解  编写程序如下: / C% b6 V: r/ c" f( Y2 P  K3 U
; |3 L7 B+ P% O$ w- H6 e$ z7 {' ~
x=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5]; : _0 N& P5 L& i2 C* Z0 D9 u
y=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5]; % K: `) O1 y0 J1 W6 y, w7 N5 N
z=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9];
0 g  q& k( y9 v6 ?1 Zxi=75:1:200;
% C* X, Y. c) l& T6 |/ `5 i9 C1 ]8 ~yi=-50:1:150; " s( F/ \' B" @) t
zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic')
5 S3 G. d. u! j9 \4 ^% a, @" gsubplot(1,2,1), plot(x,y,'*') 1 K; t# y  G% i, a8 H' T
subplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi) ! I. X1 f" M4 P/ \( I
7 [+ y, j" T8 z- T% K( p5 G

% Z: e  ?/ F% t, F) \, }习题
  D+ @* P( w6 O# ~* v6 _) c
5 J3 o: W( Q4 ?& y2 I( W& K: }& E4 v0 ?
& ^2 n. n; @  p1 `- H
5 _) F% M8 }& M& z3 n( }8 w, z% ?0 M4 K4 a
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/ y# s  ]8 h; I( [2 y原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89504179
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