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标题: 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插... [打印本页]

作者: 浅夏110    时间: 2020-6-2 15:56
标题: 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...
1  拉格朗日多项式插值
% A$ }9 `" x, t, V6 |- o6 Z1.1  插值多项式
$ W/ Q* Z" i" Y# [' u
% ~7 q+ s) r$ h! n$ I2 `/ e- Z
8 ?) @+ H: o8 O+ M! w2 r0 ]/ J+ n4 B- [4 b4 m! d8 Z
范德蒙特(Vandermonde)行列式
) Q3 a1 m( U; g4 G& o1 t$ M/ L, J
) U( O6 G; c' y0 ?) p# ?4 n) v
" r- C( V+ ^" H7 _3 u- Y. [; i3 H% h* `8 B
截断误差 / 插值余项( r% r) ^- r/ d& N4 w- _

4 o4 [; e" C. Q6 U6 o7 ~
; z" v% M6 t. ]# O$ P8 Q) {7 k' n6 y+ @1 @* x% d- f  N
; H& _7 S) s; D# x9 R0 m$ H
1.2  拉格朗日插值多项式
7 k; ?. G$ ^/ `$ I% |+ _. N  ~* H7 f; c% Z2 I) q
1 [$ Q" Q; X; ~/ i8 G4 B6 m1 b
1 @  L0 t* d% [' M/ }
1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值
2 l8 c3 s8 j" q9 q; X, D( o# jMatlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:
( H- j3 d/ H" Q
2 g& [; Y. \7 o2 Efunction y=lagrange(x0,y0,x); 7 G2 v5 L- {9 A" a
n=length(x0);m=length(x);
! `! m9 F, V3 p  b) `$ m7 Kfor i=1:m    4 @0 G7 I! `5 P0 }: E% W' Z% j
    z=x(i);    * ~$ }( X4 b/ q* s( `7 o
    s=0.0;   
9 k) E2 h( o+ [0 B' s    for k=1:n       ! X7 _* F( ^  C
        p=1.0;      
2 p0 f6 D0 `; V! Z9 {; ~        for j=1:n         
6 N9 H- X7 z! [- W) ^1 p            if j~=k             ! `' ^, K" H* t% L
                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));          5 ]- i3 o2 R; U2 G
            end       + V; G( m8 D+ Z# ^
        end       ; V; ~/ c# @$ B2 C" o0 n
    s=p*y0(k)+s;   
# M% H0 x; c: M    end    , e: Y" p- G% ?" x1 n) Q
y(i)=s;
8 w2 q9 J. A# H0 l6 T9 H6 {end
7 x* m- ]1 a* R' {5 {  _
- L4 B7 {" H" Y# o" T& Y2  牛顿(Newton)插值 4 F( P4 |5 i, I/ `8 c% T
在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。2 O9 ~) ?7 C+ y, x- F# _

0 q7 P, f) i- D* L  s7 ]! S 2.1 差商 : 定义与性质
- X# _6 w, Q# R% U; C9 s
( `# C- x2 ?% h
. q6 ~" ~9 s  i% t. y; b8 y+ f" l" z/ ~: \. ~; Y
2.2  Newton 插值公式
8 ~  g' L) ?9 E3 ?$ P4 j3 |( B  |. q# g

. ^; w1 l- S2 \3 s1 p
/ B8 }2 t7 F2 {& q1 d1 O1 Q
# O* U2 d0 F( _; {+ K& W' dNewton 插值的优点' B' G+ D7 m$ n! J5 ~: W
, m0 |+ D6 O% S% g! f% U6 }& F

. L* \7 P  e" H( E+ l" i! s' n
6 j% d% [% y. ^0 Q2 t
% p( O8 A" F: S( T差商与导数的关系
% y7 X" i# E, V1 ~2 n& X
! c2 c- `' v* s, R( T; f' O5 }1 i. U
& [( q" Q" G! b2 Z4 Q4 {: ]
2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分/ ?& k; g+ |* p; j
当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。
' f+ h8 k7 N" y6 t
" U, h5 N: b  E9 c" r0 ]7 N: ?  U: `& h3 I) J
. r# }. B5 n8 c1 k1 b# U  \
; }) }' j9 _9 W6 U: b( Z; u

2 e  ]9 i4 ]# O7 x差分的两个性质0 S: ]# `, C4 k3 N2 {7 @# N
(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如
- K; C6 s9 m) D+ F* ]" E6 r3 @$ X+ l. ^8 N3 o# M
- X1 J& |5 O$ T# i% U  y

( ^" O' }; x7 \(ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下: * S- M8 \, V. X; g7 X5 Y
* W* F; h: x, l- [  r9 a! U5 l0 X
2 h0 F3 L- b5 S4 }  z2 F& Z* I

# s, i" Q" x" W; M) `- }# Y9 b6 v2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式
7 b0 y9 u; W" m/ N. U0 K2 e- A% A# @. D' _. u

2 C( b% w) R; t/ y4 Y% Z; s# ?' @) _3 Y' z8 e+ H# J1 V
3  分段线性插值 8 z9 K( C/ K* J+ k
3.1  插值多项式的振荡
4 \4 u0 X# ^5 v- z& M0 Z% {) p# e( z: f* v3 g- x

9 _; D; e$ c; l0 o. `* E! P% n. o& v" ^* Q5 }) R

1 S8 G  l7 T' h高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。 ; ^" N+ r& K9 F3 H

3 c9 r" r7 t- \+ x) i3.2  分段线性插值 0 F1 ]3 g+ H8 f

, o3 W) q) y. g& q! A, i; R6 @1 @0 V
. c% j% p# @0 F6 l+ B2 ]& Q2 F- x" w

4 R: i6 ?" a0 c) }$ z" R: `, F, c: o7 o/ @/ A

8 ^3 q2 P( V# J# ^9 W( k用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。
- m" i/ W$ {- a# r* ?) L; h2 \! V' l) J- h/ Y, E! F/ r
3.3  用 Matlab 实现分段线性插值
7 M+ Y. S! ~+ g# F( _; R5 ^; V% A用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。
; Y) D: }: N* L. L3 M
5 l  I7 I5 h3 ~) p+ E! h8 Wy=interp1(x0,y0,x,'method') - @2 }* K/ O* w8 d% j
9 J6 t( Z2 z! \' g* k  R. c
method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
4 Z; l) o! g, u/ E5 g8 Q; l+ ]
5 p! |9 B3 k) B! f/ Y2 v'nearest'   最近项插值9 b3 O8 e" j  i; `& G& }( \

, @4 V5 U2 m# p; j% K' u'linear'    线性插值" a. Q$ [5 \! _5 b. ~$ U
0 N9 x! K+ Q* Q, `# e& e
'spline'    逐段 3 次样条插值
5 M2 O! J0 D! q- T5 ^8 g. f2 l
/ b. r& u# g+ w, M9 G. Y4 C! k'cubic'    保凹凸性 3 次插值4 s# z) }' P  W, I  D

8 |6 r; _# _# G5 Z' X* K/ R 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。; U+ P; r) j* e; o

/ J% m7 G8 T5 g8 X/ i) U4  埃尔米特(Hermite)插值 4 l/ `) D- \" @/ }6 k4 r7 |
4.1  Hermite 插值多项式
% y. {& X6 z8 l$ O) `如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。 . X% j; i1 t# M

* O$ {3 [  c! q$ G6 T7 ~0 h7 i' C
9 i( m3 b2 C3 X9 y7 t  ?/ @1 {  t7 ^( i6 l
! r* }( t: \7 N* z. {8 {

: {, v; h/ |( n8 d$ T  j$ V5 A4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值
% H, I( r) G& F/ |& w0 gMatlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。 - x# o4 M0 `) ]
- ]% H. p, I1 o+ b* ]1 M
function y=hermite(x0,y0,y1,x); 2 S6 N5 q# o& i/ d
n=length(x0);m=length(x);
! D: N2 h; ^* Z" z3 jfor k=1:m    3 Y, D% U3 b! `9 J/ T& m! p
    yy=0.0;   
- @% r# [2 Y0 B$ M8 D    for i=1:n       ! [! d2 g1 \/ |; a8 ^2 G
        h=1.0;      
6 k" a1 Q2 l$ ?  o        a=0.0;      
/ V* w& Z" G$ X9 x; \+ L& l( E        for j=1:n         
: `/ A4 h: O0 w% |            if j~=i            
1 r$ q6 Q/ d1 _9 @5 A4 p) K                h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;             : F0 L2 N% c/ U/ _7 g: ^
                a=1/(x0(i)-x0(j))+a;         
9 @; F1 @$ O3 x, r4 n3 L* @) T            end       / ]' _* o, ^# F4 \
        end       + k8 m- A5 g: r7 y- i  D8 k
        yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));    ' I4 l* t6 T" \/ }- C  `; v
    end   
7 Y* Q; B* m7 B5 q# y+ Z    y(k)=yy; ' Y" Q8 z6 z( h/ a! z& w
end
, w  b" p# E; _9 K9 b* i7 z" E9 Z9 W9 w/ ]

( A2 Y. Y- @! w  a  l: d: z+ V8 H( {9 g6 {" g8 n/ v) Y# W  e! k

0 u' B( g( o- o3 [- U3 c' Y2 J+ n: \; {
5  样条插值3 v, }- \3 t! E$ E) H, v/ B6 K
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。+ K9 S" }! B  Z3 _$ @  B6 l

* j/ y0 x! z9 a5.1  样条函数的概念' E) S" q1 r$ w% [3 D

% y( |7 v( g: Y所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。
* T- ]9 g4 X: E6 i" e- C8 _* Z
5 T6 I1 y* ?6 C0 l. y( P2 k" l    内节点 、边界点、k 次样条函数空间  l/ z- y) K/ a! A/ m

6 L, a: H$ V1 H0 n7 q2 R: g  `, Y+ \% s& L- k) K: L" A

( b. ]- _- S9 c- z2 ^
  r" C3 `! x1 M0 @
+ Y; K, q7 q; P5 S6 l
6 \$ {. A# F( k( z+ C& x0 W二次样条函数
0 k6 e: D; V  s7 T# J
2 r2 T! k" R5 A- f" h) y* M  J3 z5 B4 t4 a+ u% R( O/ A# C" L
& d4 ^/ @0 r) x+ S* `
三次样条函数3 {9 N4 |3 A2 k4 n. h- e" h3 ]

: z9 _9 v, H+ z
8 v' U) T5 j6 h& {$ N4 j+ X
, w; I( M; h- O& T利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  
2 O& _5 S* i& \& R  y
/ x* R! _* t* D! T, E5.2  二次样条函数插值  
# i0 f: z6 L2 }4 T- |7 E两类问题* x7 {; C" H+ O2 h  ?
, z; U- M) g6 F. E" R: u+ |3 ^

/ x* N& O1 ]; `: G- q/ a$ D, p0 B8 A$ M3 x3 M$ m% y3 O
证明这两类插值问题都是唯一可解的
8 l5 G' M, V" t* |( [" |, N+ v& j0 N2 ~' P. U4 f

  g2 l) Q4 Q6 Y0 e
5 M8 R, m0 L) c' K8 N% @, o, M5.3  三次样条函数插值
5 H' R7 B: f2 T2 F- M, H9 w. \; ^4 u+ a4 ?! D

  U3 ~" a/ x6 p' a8 K; N
( {2 T2 u' M! i7 u$ Z& _ 3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件
9 J) S! A1 \) ?% h  n& x& K5 c, a! z3 I9 R
7 c8 r" v$ n2 l8 ?) n, `

8 N, c6 k' j* D2 {$ n3 }
- C, b/ l: h* ?3 N* d* d; V
% _' U4 r, ?2 ?! m6 }  o
) R1 O9 e& M5 K5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现
1 ^% ?% E, u: y2 f5 F; p7 A* M6 G在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。- E+ n" S- N- H; J/ Z" y
. D. r/ w! X; ~% c6 Z# [/ c
Matlab 中三次样条插值也有现成的函数:; B9 o8 V( r6 ]; G
y=interp1(x0,y0,x,'spline');
6 S" _1 q# A5 v$ e6 `1 `
# K: }  M: K& F& V, Gy=spline(x0,y0,x); 5 e) d5 |$ i. M

$ y  g3 `+ a! {: Q- k" S+ |pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)4 p6 N$ i. y, A+ m5 u8 f" E1 b% [
  x8 h1 G6 p5 f9 ?& Q8 f
- y5 C* b- L0 j7 K3 ^
) G2 [' T4 w% q0 C  x; O  b1 O
其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。
9 B0 U) z) u. h8 d
- D5 A7 A6 ]5 `9 [5 spp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。
/ y0 y* \; C# M! i7 u% [& q5 C& f) u
pp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:* r7 K+ @9 M5 ~1 t) U

$ w% S+ r' B8 q: X1 y7 V# O3 P& G& X'complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件
9 x! m, I, ~5 L# P'not-a-knot'   非扭结条件  
* c; f6 M- z% F4 R8 V'periodic'     周期条件8 d4 v3 y) _% O* u) V. b
'second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。* E; y5 P3 G2 S2 ~% {- x
'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。$ ?6 B, I3 E/ {6 L2 D: }# k
对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令3 i4 C2 o% M8 e6 G- p; V/ r% R! D
! {( O' l4 K; B4 I; _
pp=csape(x0,y0_ext,conds)
* ~9 ]  b! _0 ^) ~4 L( e/ t% i8 y0 j$ J
9 z4 J" |- e) ]+ @" w

6 ]0 Z% a: a  ~" `) d: J8 ]
- K; B$ d& e" z% U) F其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。/ Q: }  Y) |0 O9 W' Q/ ?

: B1 Z) U5 ]. vconds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;0 J- N. e5 D4 [
* Q# L9 d/ K  t. o! s
conds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。
, J$ Q& f2 p/ H
2 O% ]8 t) J7 }% O+ R/ H; t; n详细情况请使用帮助 help csape。 + J6 R7 ~. q3 l# ~- u, e4 P
  P" |% {, _8 P8 w1 T0 V/ ?/ \
例 1  机床加工 * s- Z: z9 w) s, `! x, N) @
+ [0 V6 @( j6 C; C: B, w$ g

- I  T  [3 m* }
3 r' y4 ?6 ?- y2 x8 W解  编写以下程序:
  B5 s2 a2 p7 Vclc,clear & v5 T! }$ p5 v: Q7 h7 c8 o* h
x0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15];
1 A3 P' l( n9 T+ A2 Z- a' t* N6 Uy0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6]; 2 n$ ]. p1 Q+ x: F) Y% H: ^3 q
x=0:0.1:15; 8 C$ R0 t& g  d
y1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数
4 M" w+ \( B6 jy2=interp1(x0,y0,x); & ~' z% J" R& \& k+ U
y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); 2 M* e  g1 [7 ~# L4 X
pp1=csape(x0,y0); ! z/ R# M. I: F3 z8 C7 j' O# v# J
y4=ppval(pp1,x); ' [! Z0 J( C$ V3 x4 h
pp2=csape(x0,y0,'second');
0 r2 f# J- W8 v2 T% ty5=ppval(pp2,x);
! S0 t- c& [" w' m. T1 H+ p9 z% bfprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')
9 u9 Y  j* N! ?5 xfprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n') * w5 M9 P0 z" v1 U
xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
% v4 t  z. a; }1 D* dfprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') 8 N% c1 s  V; T0 \3 Z
subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange') 9 f0 h) }/ ^3 i) C5 f2 _. }3 x, C
subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear')
7 ^" h: n+ @' k2 Msubplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') 3 Q6 S% ]( O9 S- x! P! N) `
subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')
# ?* t  _1 r  }8 Jdyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数
. v- ~2 q% d3 X  nytemp=y3(131:151); ' M7 z/ G) V# p& G/ s
index=find(ytemp==min(ytemp)); 4 ~) K( n% Z! ~' l
xymin=[x(130+index),ytemp(index)]
6 H* I: n: D% f" r4 v9 y* F. ]
1 c; ^+ S1 e& p1 v计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。
: h, P% L  `5 u$ F- ~
* S: K0 q" u1 Z6   B 样条函数插值方法 / \; W) i1 i/ Q. U5 c3 _
6.1  磨光函数 " |$ S1 P& C7 P' |' K$ y
实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。
! h- S6 Q2 g1 f3 Q& n5 P( {4 a9 P0 I; o& P

- P% O& R  `& h7 C7 P
0 f1 k  m: p* @0 E6.2  等距 B 样条函数
" [+ s$ j  ]9 o  \9 d9 B9 m! I6 @0 N5 X1 x9 Y, Q' r
  ?8 d; b* p/ \; l( Y
& e6 h% X8 u5 B* u) j. M; G
( g. F- ?. `& c& `% y6 {9 m$ t
' x% g& D* Q, v8 g3 p' E
- ]2 ^$ g) G5 B: w4 e& ^

8 Y% O( m  j5 n  d; |; Z1 N. z" h. Z
6.3  一维等距 B 样条函数插值 7 Y4 o0 X7 W. B) @. _( Z# _& w
等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系: " o- q4 V1 c* C) e2 m+ P& \# @) P
: I5 o2 @* C+ V% D% F; Y8 M( B
/ `) `1 }4 ^$ @  r, l0 m0 ]

. C! C, r! h, q# R) n1 ?4 J* V, e9 L( b$ _/ ^* A& R
5 [9 Z0 C0 q6 J$ f
, S% J9 g! A! B& B- L6 s1 u6 y- P
; z' p- W: l0 L# r
6.4  二维等距 B 样条函数插值
4 o. f7 K$ V8 l3 Z  G. ^' Z0 @. V. M* Z( @0 U, g1 g# E

* n. K6 a, v2 t# h% p( v: |3 Q1 ^$ G$ K  _7 E) N  v/ y6 S5 d
7 二维插值 ) v1 t$ X) K2 z1 t
前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。
9 A" c8 u; K; h* j0 y1 L3 \) K+ N, k- k. c* l4 e, {- ~
7.1  插值节点为网格节点 ; V. V# X7 Z  p# G* w' E7 I$ ^% [2 j

% Z2 n; E. Y( o1 Z/ \6 s2 s; c) H& Z

$ w$ \) f  T; B+ l4 ~. A, ~Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如  . P& X; Y' o. d# `1 }% _0 \; ]

% V! R7 a/ `8 h' a0 O$ |" s7 R* ~: n$ q- V9 Y) r' G( ?" ?
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') 5 b) ]' _* s" G

6 J$ B2 l9 v! l% @+ _. q& s7 H. ?# w. w0 ~. J# D' Z6 ^( ]
$ O( U8 [( b' w8 z
) a2 p9 O& a+ h. u2 v  n
, z9 j2 L! D" d' z
7 k0 R# v3 Z6 S6 I* t3 K+ x/ e) A
如果是三次样条插值,可以使用命令; T( U& J. z+ s( S, B  h

1 v- r( r4 k! u1 G5 i% [' opp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})
5 A4 m3 Z1 I3 n8 a+ v! ~" a3 D
  r$ B) M- z0 O8 K  b8 v7 F
! l& k1 j& Z- F( J+ @: c+ ~, M  ]0 I) U3 f1 Q
clear,clc
# U" }; z# {  K5 b: @2 d, ax=100:100:500; * v- m- T2 V! [' @& ~
y=100:100:400;
0 b$ D/ _( F% r+ [  |5 fz=[636    697    624    478   450      
$ u0 }: L& T9 r   698    712    630    478   420
; ?( c* q9 D0 ^9 i   680    674    598    412   400    7 `- P( y! [* J+ r! z) f
   662    626    552    334   310];
& ]% L6 l4 I6 B4 N9 App=csape({x,y},z')
. W" |* W- @7 Z( |1 bxi=100:10:500; yi=100:10:400 / z9 t: H) ]4 L# R( ]/ N2 m
cz1=fnval(pp,{xi,yi}) # b+ {4 T3 {5 d
cz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') 4 Q, [: K2 a2 Y8 M6 `
[i,j]=find(cz1==max(max(cz1))) 8 S' F, L: i- r# q( Z
x=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j)
* \4 ^  ~+ u; K* d6 l! Q! Z; O
0 @5 {! k! E+ s- @7 A/ V" N( D+ G% V: b* \9 L# ]% f! q: Y

2 o- _9 V4 p2 |! b& ^4 l6 `7.2  插值节点为散乱节点

对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:

! H( d$ e8 U: h8 K6 K
ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
0 Z6 l! L6 Y8 k6 G' w+ P- g
4 j- t; J& o. p  _1 }% J
/ @+ s% m1 W' u# r. t
% n& |- o# O8 m9 \# q5 J
4 ?( [* ^2 f) o9 K3 q; C
' O$ k# G5 ]5 c$ T5 O( J! o: A4 x" `& e/ W5 \9 y* K  ]& ^
5 [5 q% @9 z; W+ U4 L
例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。
/ p1 r! _+ R9 w# X5 @* o: k
3 [) b$ v0 v5 N  o
! ^+ D& r# T% s! o! c1 t, U. R3 C$ e
5 Z. x/ d8 E, Y解  编写程序如下:
/ F1 z4 I! x/ S7 s& B  ?
5 b( T. n& q2 |6 O) Y& h: L5 w: \x=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5];   O- k# }% b- V: u7 Z3 ~( U3 }& u" J1 P
y=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5];
9 K# i) {- A) P, _/ A; _, D2 Lz=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9];
. u$ z1 {8 {) n  e* B, x! Fxi=75:1:200;
% ?% o" V3 j6 j5 Z4 L/ C5 }yi=-50:1:150;
9 {, T* S2 A: c/ d8 L# N% i% _zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic') 0 z0 Q3 G) V% U% O
subplot(1,2,1), plot(x,y,'*')
9 i1 k, j. n5 h5 O+ T9 a6 F) Wsubplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi) 0 K1 E  h2 {" V2 |6 T

  T% y' V( w2 i5 g& j, z
4 J# R; `  j: y3 b+ R习题
/ q4 [; k3 k1 p2 D; {" n1 {" e! @8 e# q

% s7 D8 V* T; f$ X6 m" d
" E: J5 |4 {, n, I1 o1 g. L' S6 H' U9 g6 N
————————————————" ?6 G' o$ G( G
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9 ]/ E5 v/ ~6 o
. D  j/ M  H6 [7 Y1 ^5 W" ?
2 C# s+ n: k8 i6 D- y# D5 L




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