标题: 差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换 [打印本页] 作者: 浅夏110 时间: 2020-6-9 10:13 标题: 差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换 1 差分方程简介 : o: l6 g, K4 X. V! C4 Q: |# I Y9 r" g5 o2 }5 w O% e ; E7 R0 S9 G/ x
3 z8 ?; ?4 F3 x/ @满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 ! {( X. L& L/ P, B' x. H) r $ ?6 y' A# ?- K n 阶常系数线性差分方程及求解( K$ _4 n9 Z0 r
0 k) m/ ~/ {( D% M, p 2 w. `7 b2 T" v5 p c, S% u 4 W9 ?. v/ M8 ?9 t; q & u4 s# |: j' Y# v& }1 A1 K3 W& {. a. [" j# F& I4 o
两个例题- t8 W: u0 ^7 L) B) A- c7 U; ^
- e8 i5 V+ w% S2 b$ A1 q 3 U. l( R* J1 l" ~: i' W
8 O5 g' W; P' t+ d2 K 8 G8 N) c" ~) A; g4 F$ Z7 u1 D8 K) q3 B$ M
解的稳定性 , ?+ T, q( |8 y; P. g# X ) t/ @1 }0 c5 X 6 t2 v, N3 P# z4 y: ]( I$ l. r6 V
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。6 ^" B/ m V. b0 @: r. g0 M
& ]: V! l7 v$ O: K$ M8 s
9 X+ N0 S* u. e9 p1 d 6 X9 l( }8 Y$ n r$ i3 o* s ]2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法% o6 B0 y- |6 L7 W
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。& `; s8 g# A! c. ^8 ~3 W, g( q, @) Z$ l
; Z7 Y. H$ L- | g d - p2 z' n" R$ b+ ^% i' f: Q* t1 ?( O5 f, T
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换5 `( `# N m% J2 R+ O3 Q0 k L/ B
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换: U0 F: P9 m& @9 H1 H
( `& z4 m* p8 U) U4 B5 c% O ; d) J8 o4 C; \# |6 e" t 2 m( v& v& `/ q( r（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换 ' m3 D: h8 s) O) c: C7 @9 D3 d8 U- ~" S A5 T' ]& O ! X/ X- |1 N2 w& t; y6 J' G
3 F5 p( n) R2 I0 b4 U; m
（iii）单边指数函数 的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）+ W6 E7 v4 b9 W) d# G
$ Q4 n3 A: K+ _. k + U1 a& u2 W i/ A5 I- } ) \: m+ B0 f3 \* Q; a0 N2.2 Z 变换的性质 " j3 D ? A8 \; q8 S（i）线性性质% q Z y* H! ?& m) L( W. K' k
" r! k" i |. l& q% Z+ v( Y' D. o6 E7 R# m3 N$ z4 Q5 t, P
5 e! u. i# K$ _) K（ii）平移性 ! d. D/ }1 M# K0 \* @' k % B5 o0 j4 `& o5 O h2 j- k & N4 \6 R2 Z+ P6 \+ {# E* S) {& H. n0 Z1 O, P
例 3 求齐次差分方程 1 z: d+ q3 B. H) c" `* Q- b7 t( ^! H. z0 G3 D& T 7 C0 e% v( R1 o, x; O" ?5 ^. u" {4 V5 b- J
————————————————8 M* Y& u, v, `8 |8 g/ |! T- M* V
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6 E7 R# m3 N$ z4 Q5 t, P
