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常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-9 14:49
标题:
常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...
建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如 ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
. u6 e* Q. I2 ~5 X9 Y* y% j
: d% I: j" g7 ]2 o) L8 Z; J
1 常微分方程的离散化
3 [! \0 p9 M* h7 c3 y
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
9 t0 i0 @( O$ w h3 ~ }
" H* P7 ^( P( m: ]4 r6 U
# J& V- P8 E( z a3 V
7 G. ]! h$ W j
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
" j; _9 ~1 b" m0 x/ ~
7 B0 I* [& g5 ~ @ [
0 W8 Z: ^/ K8 T' h/ ]$ H! m
# t" m! F" B& m: `$ C$ _; h7 s& u
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
0 P$ I; p, t6 R& q2 n# C6 V
: I# |3 N3 {/ L9 k. _, ~% Q
数值解法
6 Y9 _% Z | C, D9 _* J, _
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点
% n; P% C( a1 m/ d+ c6 Q, ~6 h
I4 l5 P7 \) a. b; ~9 |
, p$ z I, \( I6 g( h
3 f4 N6 }7 q9 L
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
# T& l) K s. W- o9 w3 N! G
4 G t) I4 j5 y4 S
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
1 T" E) \9 u: N5 M* G
1 {$ d, {0 C' F6 D9 {$ f5 m5 l6 C
! M% {# o1 J F
1 D k; ^% A) [% n- |
l0 n$ K! z0 @9 n9 S
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
3 K, V9 s& y& `8 Z
9 Y- R) h7 w6 f
（ii）用数值积分方法
7 k0 m: _# |6 o( l- B+ P
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
" c4 O1 a+ g. G6 r/ y* C- w
- K. K+ Z8 l: {0 X0 L. V: R
; l5 \3 {6 }6 a8 I& J
$ _& [- K3 d4 k& W* U. j: ]. K# F
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
! u9 S- R4 f) w$ q8 Y' F' P
- {+ ^4 @: Y/ W, E1 K, x; j @
（iii）Taylor 多项式近似
$ U! ?7 `; l. A, [3 N# I
( k# k4 a) |- R B( m! D
( a# T9 @$ i# t8 P7 D8 W/ w$ b F, [ R
$ I' J8 F6 n6 I& J; Z+ L7 Q% {
以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
8 }5 [* \: E" J9 h5 }
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5 s2 p. [' z6 X* k) X7 s- u. w
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原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703074
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2 k# O3 P% G/ a9 w! C
8 w8 ] E- U. X7 _ f- J
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( a# T9 @$ i# t8 P7 D8 W/ w$ b F, [ R