标题: 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor... [打印本页] 作者: 浅夏110 时间: 2020-6-9 14:49 标题: 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor... 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如 ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.! A, `3 L" ?% E. I: i
% r6 L* T! ]2 k. j, P* t1 常微分方程的离散化2 X2 ]' |! ?5 y& a( p
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 - z, Q3 k. ~5 M$ U& r% t2 K' e- m7 L5 a 5 x- G, Q8 s) w, v8 x b) o8 V8 J# ?; o; g# V' C
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得2 h2 H6 ^% L8 D
( a, |" q% ^/ D* s# A 7 G9 H3 I) p" o. X* ]9 m$ x1 g4 _3 j, R3 U9 ^5 s
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 / S( j' s. u' A0 x, ^1 u9 A6 B \$ Z( \8 z- W$ |" k0 ~/ W
数值解法0 M/ F2 v* w' r/ i& l. G% o7 v
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点 * Y& W# P5 b% u8 `
0 a Q: B# F# O 9 h2 {( n+ G2 T. h1 |, a' A7 A, I; [* c$ P
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： 1 I* A3 U. q* r: m( U" k& x . Z/ P! G, q- O2 h* l8 d（i）用差商近似导数------差分方程初值问题! [0 i1 U7 \% E& z( K) r* e N T
$ D- z3 p7 ^, _) G' h4 g2 k
, y4 o8 N- K7 v% u( a: L9 W