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常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-9 14:49
标题:
常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...
建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如 ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
# _) v; H6 d( k9 \# h6 @
) j, B) u( _$ ?& D1 C V( Q4 M/ R
1 常微分方程的离散化
9 R: f- Q4 n& A& E- U. c# A
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
2 q1 a1 i3 d7 E) _
0 }: Y; ^/ }. K- j4 h1 ^0 p
8 f4 o3 _; b3 K* M
) L0 B( N6 B( e: T$ T
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
9 I- s/ D" r! f8 T) n/ O' G
! O; l1 [$ J0 a S3 s
6 {) }6 o8 K& \( r8 @6 W9 C
/ n8 ~, @4 o4 `3 Q
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
) f! Q/ I$ o3 K# i
' p$ m' `, V2 ~; M
数值解法
) O# E% R! k K) @# L
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点
/ B X2 R$ U6 B
6 g1 y; @' D# i
, q0 w, X* q M5 V9 J4 ^
8 e9 K; |4 S Q* i% Z
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
" ~3 @) ^- h" m/ U
$ H# I* m0 \4 ~8 }2 r. l) b' n5 n& l/ S
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
# q( O8 L. ^; _1 E8 J+ z
) w2 Q# p8 ?9 ^* c
" o3 a" u \) O% O
: t! Y& T7 V' `% ^6 Q
% V2 G# a5 o( {1 f5 b' u2 X
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
9 f* N7 C4 F: R+ H
" X& P1 ]. t4 R5 g9 t
（ii）用数值积分方法
, w- g# T) F$ z
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
. ^* s& R( D- K& A2 m# W; \
7 w. h7 r3 @: v- G' y# W
/ ?; [! p' O5 B: m& t
1 C" S3 E1 o; w/ j" w
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
( c8 W; D+ ^% p7 D
8 d T' d8 t! M9 h/ D' U6 \7 j' p
（iii）Taylor 多项式近似
3 z4 c; I: X O6 e
: b* p+ a, I* l- X9 A
8 T0 @! O- ~, O0 B D
5 c" ~$ e1 c$ T# z
以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
/ R r: G: q' O1 q4 z2 e) d4 ?
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4 Y4 D$ ]1 U" d
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4 T3 ^0 ^4 R9 a* S2 ]
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