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标题: 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor... [打印本页]

作者: 浅夏110    时间: 2020-6-9 14:49
标题: 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...
建立微分方程只是解决问题的第一步,通常需要求出方程的解来说明实际现象,并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的,但是我们知道,只有线 性常系数微分方程,并且自由项是某些特殊类型的函数时,才可以肯定得到这样的解, 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的,即使看起来非常简单的 方程如  ,于是对于用微分方程解决实际问题来说,数值解法就是一个十 分重要的手段.4 j8 @2 |/ [5 }$ |) J
& G) f+ R& q( i0 j$ D5 e' V% X+ V; Z" S
1 常微分方程的离散化0 g, b  H( Q# h3 b
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题,其一般形式是
: G' D. b4 {- O
5 d! `+ r+ C  w6 X6 G9 l
% N8 q6 ~/ G# \" E7 J& y5 v8 w
2 P" Y1 p$ v& M- O  X" h在下面的讨论中,我们总假定函数 f (x, y) 连续,且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件,即存在常数 L ,使得2 k$ O) E3 _" Y* Q$ z3 S

$ f$ i, M# {5 _% f* D* Y- b# F6 ?0 [: k! T
) N( H& K2 M1 D; Q  B8 f' C* J/ x
这样,由常微分方程理论知,初值问题(1)的解必定存在唯一。9 O$ H: `& l! g$ [% q; v' I

# d/ u8 }) Z0 N! a. T+ p数值解法, t# l* t7 W+ E3 A5 Q+ F5 f
所谓数值解法,就是求问题(1)的解 y(x) 在若干点           1 c2 U7 t) t7 |5 R2 H' V

( e. E5 K* q* g( z
% j" R9 P9 A4 c3 ~0 N: K
$ |8 l- J& B3 W2 }! Y% @建立数值解法,首先要将微分方程离散化,一般采用以下几种方法:, ?4 P" y7 x- j, A( [! ^

; q# C2 H& U3 N( t! H' ~(i)用差商近似导数------差分方程初值问题
/ i1 T- c# t9 I* W" t. F
  u1 X5 h+ V' _6 a7 y/ b$ ]9 c3 [

# H  m- A3 b% t9 d7 o  _. j; H) f& b& z( G  p* @) t# I3 ^
需要说明的是,用不同的差商近似导数,将得到不同的计算公式。- B- u, R$ E7 s9 U9 ~& ~

: g& G* |# S% t  f(ii)用数值积分方法
- P1 T. }7 e' W将问题(1)的解表成积分形式,用数值积分方法离散化。例如,对微分方程两端 积分,得% _+ C' Z. x/ ^% _
; b- l9 F5 R" H) P3 l  U" s, L
+ n/ s3 \: h- k7 |5 F

9 w+ Q* {4 y% Q. u右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
: J- u) S. G- R( \7 I# t2 v+ S  f" l- R/ b$ X
(iii)Taylor 多项式近似
3 E* w1 {1 M, q4 |5 l& X6 N- ]% t

; }' N+ n2 z6 x* w) ~. k8 W% V* E8 Q  S
以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法,每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法,不仅可以得到求数值解的公式,而且容易估计截断 误差。
5 j; b% L4 n3 [9 g& G————————————————0 ]3 U# t( r) @3 t: G. t
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, p: }( K2 S. @$ u& H, J3 D$ a$ G





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