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标题: 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor... [打印本页]

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作者: 浅夏110    时间: 2020-6-9 14:49
标题: 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...
建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

# {9 y0 e& y  V4 ^/ K1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

' j& f) B% h1 k- K$ x. t
3 ^$ \9 b; o$ X  K- s
7 K9 Y" G- z/ i" i5 O% g( N) f在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
0 y- n! q5 a9 i) p* G3 A
9 Q7 g. j. }1 u0 O) _! j

9 k2 w( O% [6 R8 h% m+ @这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
0 ^  Q1 P3 c8 X+ ?1 ~
数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
0 j' E& V* K& w2 z5 ^: h3 n! D1 L
: s% e/ O1 r, ?3 ~. x

建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
4 h  s) x7 E+ h5 w
2 `# t2 q# v, ]9 c8 ]（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
; t" _& Y8 b0 \8 r
$ b/ E' q0 U# g/ k9 V+ f


需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
% H8 \+ w, f1 v9 K
（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
" |* F5 I! R3 e% a$ j
7 E2 g: v- k2 w, i2 t

右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

1 S6 x" t! K8 N) m（iii）Taylor 多项式近似

* z- F, Y7 [  d7 I# A7 n& `3 M

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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