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标题: 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor... [打印本页]

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作者: 浅夏110    时间: 2020-6-9 14:49
标题: 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...
建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
: G' D. b4 {- O
5 d! `+ r+ C  w6 X6 G9 l
% N8 q6 ~/ G# \" E7 J& y5 v8 w
2 P" Y1 p$ v& M- O  X" h在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得

$ f$ i, M# {5 _% f

这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

# d/ u8 }) Z0 N! a. T+ p数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           

( e. E5 K* q* g( z
% j" R9 P9 A4 c3 ~0 N: K
$ |8 l- J& B3 W2 }! Y% @建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

; q# C2 H& U3 N( t! H' ~（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
/ i1 T- c# t9 I* W" t. F
  u1 X5 h+ V' _

# H  m- A3 b% t9 d7 o  _. j; H
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

: g& G* |# S% t  f（ii）用数值积分方法
- P1 T. }7 e' W将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得



9 w+ Q* {4 y% Q. u右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
: J- u) S. G- R( \7 I# t2 v
（iii）Taylor 多项式近似
3 E* w1 {1 M, q

; }' N+ n2 z6 x* w) ~
以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
5 j; b% L4 n3 [9 g& G————————————————
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