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标题: 常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法 [打印本页]

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作者: 浅夏110    时间: 2020-6-9 14:51
标题: 常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法
§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
$ i' W8 R4 Q" c2 y4 M! S
5 b7 v! m9 D9 L- b1 Z$ w+ f% C
0 [) k$ y- L" d' y# @. W8 M
7 T+ \- N" d* ^2 k$ l' n$ Y2.2 Euler 方法的误差估计
- r; p* s$ o% X# \' f; N; z对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。

) w# _3 o3 l6 T- c4 a

9 O# e6 c/ L* W. T. }, G
) H: L" p4 X# w- p
显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
. f/ q0 v+ {8 i% s4 E8 o  P利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

/ o& D/ s: ?; I# q

4 z( D, O, z0 _这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

. d/ P$ c5 q8 B. B$ U2 D直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
/ T9 [  l  e; |- C8 T3 f+ U# m


如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

5 ~) c5 _8 Z* i* Q& c3.2 改进 Euler 法
9 J) @5 J6 i! v1 L  b按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
; \4 f5 `# L, x1 O. T
) A6 g! X1 R7 O( g: N3 j
3 O! Y3 G: ^- O4 F$ |
) r; |2 l) Y% f4 V. b' {% P式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

/ }/ K/ v9 \! P) ?  p. d9 S5 z为便于编制程序上机，式（11）常改写成

' d/ i& T0 @, B6 G

; l" [; l, `4 [' p  Y改进 Euler 法是二阶方法。
2 ^% j2 |" X9 {) j/ v! p( B0 U
9 t3 q/ t! P, L; N
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# `7 @* `) M/ s/ L. U原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703276

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