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常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-9 14:51
标题:
常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法
§2 欧拉（Euler）方法
% N' R D5 @. Z7 U4 P
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
6 W9 O- f) o0 x1 f( d
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出 的近似值 。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
( x( _1 m6 C1 U/ [
0 P7 O/ F; r) p+ a
. k9 s$ R7 Q8 ]8 |3 N
. ^; f% n- m1 \- D
2.2 Euler 方法的误差估计
/ j, t3 a4 M% q' z2 c0 X
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的 都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
/ ^' v7 ?7 K, d6 K& H
* |8 C, H- h8 B+ w
+ {. y. ?2 g/ B r; a
6 I: |/ Q5 m) a: s" u
+ Q: G9 Z: U- D9 G: W
$ U: R$ x( X3 ]3 _
显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
! S; T4 K, x, t# A
5 A) _7 l \7 \8 _
§3 改进的 Euler 方法
- s! [+ q/ c* d) C+ G0 O
3.1 梯形公式
; N. ?8 C: e3 [0 O$ [& o# V
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
$ k6 R( M* q6 W! Q* v
5 \8 ?7 Y& ^% Q
( M2 W3 N* h9 |3 g9 V, x' H
# t9 l: H; ]( N) O- W
这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
5 t7 L5 p. H4 _, Y! o
8 }2 h1 Z/ N+ w7 U% X! j
直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
/ q8 V$ P% @: @( s7 [
: u: }% v/ N" \) r7 a
3 N' [8 i' g/ I% l2 {/ z
* e8 u3 `: n/ I4 e" C" c
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
, _7 l" |. y0 z# e6 g
$ d$ i$ t3 V* F5 m- y0 w
3.2 改进 Euler 法
- r K- O6 P- |6 n
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求 的一个初步近似值 ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值 ，即
( v0 l7 O8 M" |3 ]0 g1 s
- F0 T% I7 U7 j0 D" v! F" T
6 E" v! @. c1 L% h# D
6 _/ A' x8 F! i4 v. k
式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
; K& V! @8 V; ~/ e" b$ o* t
! S+ d" D+ I1 d
为便于编制程序上机，式（11）常改写成
) e, H' ]( J( w# d, p
: O% G/ C& G" M# M* ^. u+ x
, ]* d8 t- q8 E$ `+ I4 L
8 C4 [8 F4 f" M) W' u+ i1 O. r& f
改进 Euler 法是二阶方法。
) B4 {9 B" P" z5 S1 x* l, o4 I p9 H2 m
* ]3 N2 \4 v. G7 f
* U) V# F: P1 N. e0 d
————————————————
) a1 g$ u* P- e' b
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2 y9 Z6 M' m/ p* r+ Y8 a/ U+ C. p+ V
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703276
9 @0 `6 q" t! t7 p
( E5 ~8 n& @+ q/ a6 E( G
7 ]% }! J7 W- x6 ~. a& S; O
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+ Q: G9 Z: U- D9 G: W
