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标题: 常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法 [打印本页]

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作者: 浅夏110    时间: 2020-6-9 14:51
标题: 常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法
§2 欧拉（Euler）方法
2 O( A( W. V. n! Q" ` 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。



2.2 Euler 方法的误差估计
0 j& _/ f, T* w+ K对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
7 v  r* ]4 f; r3 m
% J9 ?4 `4 j* C  E6 m


: e+ C" M* m* S$ j, E9 S1 u
显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

3 P4 |9 T  S) p8 U; @& c§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
9 m  d3 l3 k1 y4 Q; W) ^7 H利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
! D9 p; a, e$ E: e4 `7 D8 v

9 ]4 }7 N9 M) |
这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为


) L: p- K5 C# g) B5 M7 c
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
2 G. N6 e# I- w0 X
% o* R  S9 j4 n; E9 F- ?3.2 改进 Euler 法
' h& r8 Y9 z: `$ c: ~0 K: T按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
7 L( g; x% m$ o* G/ t


式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
9 w9 J6 [, J8 b
9 c; c4 n( w; Q$ F: X为便于编制程序上机，式（11）常改写成
+ B3 O3 `1 v( Y/ A7 t" Y8 s


3 _- o* j7 J+ D" C3 B  @6 c改进 Euler 法是二阶方法。


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# w* ~* |$ ^. |; C7 l1 A

7 u5 O! K- m4 D/ ^. D

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