- Q9 \3 D( T6 f0 F& _（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。 : k3 H2 X% z' P/ S' B6 b0 K( {" o 2 O* _ j; K0 {% O6 ^$ B0 Q& e* P（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。 ; ?! L3 r; h6 j+ n8 L, w& [5 f0 V, ~: l
（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。/ G% t+ m* h! Y/ @6 Q* _# D" e
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定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。& N/ l: j6 R8 {* C+ V$ x
. ?2 C+ m; u, G对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解. 6 f F! v( V5 C) O1 C " E0 _% W$ N" O7 C. i$ V/ Z) K$ a6 n4 s
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称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：) |# p1 U( ]. Q, ^ b" z
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定理 3 如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。0 T6 u" X8 o! A$ m6 f2 P4 d
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