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标题: 稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介 [打印本页]

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作者: 浅夏110    时间: 2020-6-11 09:33
标题: 稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介
虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
3 }% R( w5 u( S8 u5 |) j
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。

自治系统、动力系统

6 F  Q- Q& a$ ^( Q

, j: @  ^3 T( H4 V5 f# L9 x
, G9 ^; T; e; S: ]9 J; V! V
相平面、相图、轨线
4 Q0 ]# W5 n1 G% O. U6 x, j
# z6 Z; s/ R& C) F! G1 l! {
+ w3 _! ^( E6 h9 w& L# A/ S
奇点、孤立奇点
) |: k0 f# A" O. \5 I

% |5 c/ V4 K8 q! i

' |' T% f( s" O+ b+ F% }
定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
$ d  h* O3 H  s6 ^: P4 L
定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
5 h, L; e" m6 m& A
6 E/ L0 z$ u; W, Z5 [# A) n（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
0 F9 y- j0 z/ P2 Z
9 n4 S5 u. e* }# i) G8 O（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
$ q) n3 z( u, p, C+ |7 P  n! O
- _2 m  E' M, C定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

4 p- O( m1 S7 C3 [# K$ j. Z) c对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.

- p" v! D6 [9 x$ F4 D5 b1 e
: j; T4 s4 y: W6 ]
称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

8 H. }8 O: W6 n4 w& S定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
& Z! N  H. U- g. |
+ b4 A8 g5 h8 `+ B9 R

1 Q, P7 j0 A) ~$ {8 S

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