数学建模社区-数学中国

标题: 稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-6-11 09:33
标题: 稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介
虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
# E0 C& t2 t7 l. d- T  _6 S7 ~' k+ S1 ^! O% A. K& A
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
8 j$ B. \, @0 v  w8 L3 u+ @  y) z! M/ u; n
自治系统、动力系统
! o* g7 q8 y; B; }; e1 M0 ?8 J% d* q
3 N! R+ M+ ~3 a8 T' C, |
  Q. t3 `8 F# \6 x& `. j7 I: s
, n3 g+ E( p! |2 f; i9 t: T0 u0 }
: w. p, G0 h- Z0 Y4 [. P
相平面、相图、轨线6 y$ u4 b. X+ p5 M
5 Y+ Q6 ~- X2 g: J0 h% {7 Z
2 B6 F% u- U+ C/ L$ r

) Y1 y" U* T4 |奇点、孤立奇点
  F5 _# N/ A4 N8 y
; q' ]+ `5 f$ S$ {8 |
0 W$ |/ Y1 K/ |3 i( W! J( O  G9 a$ A2 o
4 V- k3 u1 `( Z% w: Q8 |6 a$ |

7 [5 q& T9 A2 V5 I' S 定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
( U' M7 Y  m1 l! y6 K: Y& j  M# v$ [3 i
对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。1 R$ q9 K5 [4 r& w

0 @& @/ T7 m) G# b; \0 x定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
, h2 [4 d; f! Q9 p7 G
" t+ i9 ?/ x  b3 o3 n（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
: t) C0 u2 p  T- g8 ]5 ?
) [; N% Z" Z' j& J9 J& c（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。+ O) l( A& K( p; }: Q0 q7 C1 E1 p
' N$ t, g  \+ W6 Q$ [
（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
$ Z8 w3 ?: r9 c5 l& @# e; w
" Q3 _2 j. k& U3 H7 o1 i; }( u6 S定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。1 i  W4 s0 T( B6 v5 M
5 D) |! [* F' k& Q
对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.! r/ g3 b3 o! K, T1 Y
5 P% }4 v+ U, W* z$ f
+ F# N; C/ Y9 ~6 |. U7 J! d6 Y

! v. g% Z3 s3 i. O* v称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
8 V: O: S4 z  ^! s2 z
+ S* i% ?) }2 f  d8 {: Z; J( g定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
; |8 A  f4 G4 P" _6 I$ U3 S& C! t) l) }- z( A9 r: `
. E8 r* B0 E6 p6 e2 x6 A

, A$ F! J8 v+ e) l' M% S5 a* J; C5 o1 r/ E" B; o$ d2 x, t; i
5 L) ~. V3 _# e- c" M* x
————————————————
6 U+ x" W. \  A# ^1 r版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
5 R# X$ g2 n' S. p7 u* n原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89715602
; g: y$ K* L; Q* `  u9 v2 w& `, ~3 ]; B! m* g; i' {( y
0 u+ T# t) V: _; E) B9 i




欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5