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标题:
稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-11 09:33
标题:
稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介
虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
, ?4 N; p& ~4 x, A
" D- {: s2 ~4 d9 Q
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
; L$ j8 Y7 t8 _( V
! z" t. G2 `) S4 g& D: h5 F
自治系统、动力系统
, M1 Y- J$ t R. w. ]1 B
) @% i1 r4 p, t+ t! z9 B# I+ @" A
6 `* m6 m6 c3 H: Y2 D) |
( u' A4 k0 N6 W, }. H5 S
4 M8 T& c5 ]* w s) e1 R
: [) ?* X& s/ |! `$ T/ V
相平面、相图、轨线
. e3 m' N4 `4 f1 E5 R7 { n
; W; y5 k6 O4 c) J6 N2 w
; m) }; j* t n. f0 `0 k* S6 N3 l
1 {0 ~9 O+ E, D% _5 t# T# z
奇点、孤立奇点
) e9 V* s5 f3 z) W, _* _
' m- @1 g/ l$ T; C9 {
B3 W1 |6 B& {. f' N! c5 g' w
9 {: }4 J5 e0 b& d& R
7 m3 T* O2 q8 i" p7 Q$ `1 n7 Z
9 `5 z& x( x, F1 N7 y9 F
定义 5 一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
& ?, c# \0 z1 q) }+ j. f
+ j5 c! D7 W- U* x) N j
对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
8 q* F9 H5 M" V3 [
& e" x- i5 l+ S# [! }
定理2 设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
: ?% c9 B* O- C1 A" h$ ]
6 C5 b7 r7 a) W& ~' I
（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
. U$ o& L+ o/ ^9 H. _' v0 P1 M
3 e4 N9 s/ T- p) L4 z+ _% P: n( S
（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
9 |! `. N5 I' @- a2 o
5 C0 l6 R! i" l) U
（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
; w! q/ \( x- z( k" D1 N% J+ H
- A) I0 A* R9 N0 G
定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
- \/ W, l, D2 L9 J) s
I5 Z- e2 _$ V7 u, H, \
对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
5 R" ]- n% v# G" e' i
# G) @% \% J* z$ @- `+ w4 Z7 z
' o" V. N: c1 y! M
. f3 ?2 X8 w0 N* m/ ?
称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
, E# F( }/ ^& E# @
: i0 F1 v7 _ s! p' b2 Q" a1 C+ j
定理 3 如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
' [( K# {: h7 f; p$ @
; Y: K" F z* {. w/ A3 w# `
/ K9 Y' h8 W# A' I- [& N
& x' Z( }( Y' K/ R* D7 F7 W% @& S# _
8 }5 u! j4 F2 Y5 S- k" y$ y1 `$ C
) m! r5 n6 P7 p5 s( L7 |# Y
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7 m3 T* O2 q8 i" p7 Q$ `1 n7 Z
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