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标题:
稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-11 09:33
标题:
稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介
虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
1 _5 L! [! a$ }7 s% F" s
: U7 a- k) Z8 B$ V: F
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
& J6 b9 p3 Q2 \9 R$ n: M p; n
' s* y; J- H8 v ]* ]
自治系统、动力系统
4 ]. n; B6 A! S: U; h( y
" H7 n3 l( I8 V; \# V! \6 F$ t/ H$ F+ k
. p7 g5 ~: _2 C
/ N: }+ d) c2 @
; O2 I4 W; P b
+ v& r4 ~. t j/ N# d$ G
相平面、相图、轨线
/ b I; y: i1 r- b2 N; r
! F) v. @9 i! y: j& m
3 D( A+ U! F2 X- G" l" t9 q
" e, c8 h- G. I" K) `# r
奇点、孤立奇点
: E$ o" E! t9 A! T f# U" d" r
6 i0 s+ R$ b6 n
# W% F. j* G/ j4 p, r! i0 C: k
) W+ Z9 r- k# P
" g. j: R7 ~* V7 `
8 y* y4 W$ z8 a) Q8 g2 w& i! k
定义 5 一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
8 ?& f# D- _, h
/ @ Y' r: K+ I# h7 K- Q, e+ X
对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
7 M1 x3 D' P4 J2 d
% B0 h6 |' V2 b( y
定理2 设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
# Y ~" M* B3 I; n+ b1 E
) F( {, y6 D3 {% R" S
（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
u% g d, B# l0 ~$ @: h( u$ t
5 m- y# f7 j! b
（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
6 j+ [- W/ V- P; r8 I1 A
+ E3 u/ F4 G9 Q
（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
8 L, l! P6 z* E2 N$ T, [
* y9 \/ ^& B! ]- l- g
定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
. O% x% V) y, O' j! G2 Q
* C) [1 W5 ?# O7 `, `1 n0 @
对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
' F3 d# D# h: k3 @! v
7 B- a! R# m2 G5 U4 \" U
- K: W) w+ q s' J9 X+ E
8 d% k. n' N d+ b( o$ u2 q
称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
+ W' U" Y& c; ]9 s
% t3 `$ ]$ F/ N% p6 e" o
定理 3 如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
+ s) ^8 Q; K+ \: \4 B
, t& V4 f* x- C
. U* p( A- t+ h" a( E
8 o) p3 A% j O5 p% @
& R) U1 _/ b% O8 c( G! }
& C( N7 v8 @0 q) d% J
————————————————
) d4 H' @" p( g- I9 v
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! J: w! M' w3 d' p$ H
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- K: W) w+ q s' J9 X+ E
. U* p( A- t+ h" a( E