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标题: 排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型 [打印本页]

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作者: 浅夏110    时间: 2020-6-12 09:59
标题: 排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型
1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
3 y. Z* c( x* G. ]9 s


为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：





' R* E$ i7 Y7 C- p. [& b0 z8 M0 h, u述公式得到平稳状态的概率分布。
) o: Q1 ]2 F9 w+ w6 s
! O0 i, d4 g( q4 |2   M / M /s 等待制排队模型
( ?, Q* y2 S4 w/ v. u2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

7 R- j! T3 v1 z' ]5 P& c9 y! D  S2.1 队长的分布



2 o4 b$ V, Q. J( s* y- c2.2 几个主要数量指标
9 k; N8 Y( w8 v5 L; p 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
- [9 \: i! a( G, ]


, e  c8 p+ G; r) o+ m% A
& P% H$ q5 B8 @0 R2 H: `7 K
式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

2.3 忙期和闲期
' Q( _8 m% U. n

; C' d6 q3 B1 V/ a5 [+ h/ _
个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
: ]( S0 }+ j) [; u# w+ ^+ x' i
0 S. Q6 A+ M, K  T1 _8 \) g2 r3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
3 d) R% j; D; d7 r（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

4 U3 O1 X2 v! ^; z7 L  a6 l（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
2 s+ m% |' s+ o$ w, R/ |* j
: H& }. T' _) a0 O（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
7 ]* r/ {* I! _: L8 |" h0 r1 N
! A) E; @. R. h例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。


2 c8 [! n& |$ f/ N* ?1 G% i* H, a
编写 LINGO 程序如下：
0 L7 o  u) c0 j4 ?& \# e3 D7 \! r, z3 N
5 z) ^' l  i, @5 Z' ]8 {model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
' P% E' i9 T5 K1 }& i# a( lp0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
( S4 F: W/ C. V5 u  M* Q设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
, F& q6 ^4 ?! N3 U+ h
% \: Y7 u( O1 Z+ c
1 A4 p  S2 @4 z& V# o6 V9 v
& r" o  o5 ^* z$ l" a# |* @公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记



式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：


& B, h  u, c9 [/ T: ]+ {


1 G; G! ?$ t& s2 M2 r6 g0 ]对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

% L9 Z% V" t* n# T: X: k/ i2 E

例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

  d7 b; |4 t' O" A6 O/ t  \M / M / s/ ∞ 系统，其中
: C1 `3 c1 ~7 c5 A6 Y' l


, l7 a+ }: ]9 j( m7 e5 W

求解的 LINGO 程序如下：

3 b# }+ Y8 z1 R" F2 S- pmodel:
$ e$ d+ `7 H8 v$ R+ C0 ms=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
; ^8 }5 U! b$ ?# i. F" UP_wait=@peb(rho,s);
/ _, C5 o# D' Tp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
  h! v, O* v) f* ?5 X3 sL_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
9 E7 x( b2 a; c( _5 K7 M+ aL_s=L_q+rho;
! S* E# D5 z# m: L" u2 h/ a8 J8 OW_q=L_q/lamda;
" c+ ?/ z5 y1 g% Y& o. ?. ^8 M& S2 ~W_s=L_s/lamda;
- q1 i, v# |8 C6 z0 E0 @6 w) `$ tend

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+ i, H7 [9 x& U$ p9 Y& K1 _0 l原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349
; F+ g0 M9 f- s
' \8 }" F6 W* m  P' W' f# \

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作者: SHINee0525    时间: 2020-8-17 14:46
感觉很好 很实用

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