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标题:
排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-12 09:59
标题:
排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型
1 生灭过程
5 u' i3 ^" v1 G
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
' o7 U. }7 s1 s: d; {2 m
1 R: Z7 W$ ?+ V/ y; j
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
1 ^0 t Y. m z$ F, v7 I7 V+ Y' ]
# M2 N( ?& V( p$ b1 C, ^
7 l9 C; V Q" X% {1 i! o
; X+ ?/ u! w5 Z( V% Q3 O/ }
为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
" a5 a* q. I9 ~. |+ L8 h4 d3 o
. O3 z9 c6 g1 Z/ T' M
: M. g5 p) T$ e3 ?* p, p
6 n" R: Q8 y' W) I
1 |1 A0 c A$ N. ~" I
9 w/ L7 C0 H6 l
述公式得到平稳状态的概率分布。
: m0 e; z% B" y d( ?# k/ }
' ?8 N5 C+ Q& j5 F6 P9 R% @
2 M / M /s 等待制排队模型
- I5 J0 R% j* c1 ?9 H' ? f) }8 `
2.1 单服务台模型
! j7 j3 L; X F0 X
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
# R& ]/ a. u6 {7 ]3 p) y
\" d8 y9 b1 a/ O \1 i) c
2.1 队长的分布
% K7 Z) k$ ^/ P- ~! Y- Z" ^
/ e; X1 O* ~6 r4 h3 L6 y
! p6 y1 ~# C) p3 i) _; |
( R0 v- g: x, r+ v& S( q. ^; h/ z' u
2.2 几个主要数量指标
) H2 j; o3 M4 ^* D
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
6 c$ |( C$ j% v8 h
! m$ S. k- y/ A: E
% O( Y( F' L8 k- A
2 c$ `: N; e7 @# L0 o+ x/ Y
9 |' }7 d! }! O: C9 u4 N! p
9 J0 y* [& o8 z' o7 l" o
式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
! a% L* S" i. b! d4 Z1 t* K& i
7 o1 k$ u* m$ t2 ~% g
2.3 忙期和闲期
! _5 Z3 b) x( M+ {
! A. B: u1 r; ~' f! h( D2 l: P
5 y. j( x% E0 V9 a( L# w
/ `7 k! a( C# z3 P6 o- I
个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
; I7 Q6 v* x9 t6 a7 ^
7 E7 m% l5 u4 _6 k( r6 e7 w
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
7 m7 c3 Y# K5 F" u5 J' n& y
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
3 K( |/ T. u& v$ C Y0 W
) [ ^) H$ Q9 ~. O: t& `; Y
（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
5 X( X. X+ g! Y" W/ h, t8 b/ D
" v' r: X0 T+ J3 O/ ~9 h
（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
+ \7 q4 m7 d6 y+ s- Z: I
2 b) ~4 ~8 |0 A" Y
例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。
. ^+ L7 F8 c: Y1 F4 ^1 e
6 x9 {$ Y2 W- j3 m! w
8 u+ Z- S1 a. U6 i3 v/ A
" x- e. f: i( Z3 c1 B! n
编写 LINGO 程序如下：
4 Y; ~' C9 S8 d L
) j2 |# x9 G' ]( r# q8 _
model:
7 P7 r% a" F! d' g3 r2 T
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
# f. G; ~5 j( E6 z
Pwait=@peb(rho,s);
& s t" Y5 s! S; A
p0=1-Pwait;
' b/ x4 U# x5 x. O) S
Pt_gt_10=@exp(-1);
2 S$ c4 W% m r5 x
end
' ? x( ]3 o9 U) Y; M/ J
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
! m6 U& z$ t. h( t
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
1 Q8 b- P' r+ R# k) _1 {3 F
( v3 E& W2 V( B# D) N' s+ b8 b+ o4 D
3 x3 E1 e1 `3 L- d* F+ l6 P
; e& v9 y: b6 W+ p3 p! F' j& X
公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
4 A7 | N' U2 @+ ]" b) _1 j
) n9 K# ^! ^. Z' W( i( \
' b/ _& U7 O( S/ M
+ Y8 F) R7 t: v9 w4 z3 i% k
式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
/ z, y6 J; h4 B+ A/ V& m# A
! n% a9 T; [ Q7 n
. ]8 q5 S/ y; }- D' \
, b* e4 _& a0 |; V. I
; i) Q. A# ~9 \+ n3 a* f
" ]% t4 u* v4 W6 e' |
对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
, T9 {' y; p8 c0 N/ {
& ]$ q) p7 O, A: H
( X" K( d- C$ [8 w- f; F. A4 Z9 r
7 M/ M A% N1 p
例 2 某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
) P3 ^, u- o( o
: F' N- H7 M& I" [* k, H7 _
M / M / s/ ∞ 系统，其中
% D- h; o5 R# ?" x9 J8 c. E
4 L; a2 X' [0 n) \' J
b, w) Y4 R4 m8 j
% p! z" V p; \8 T6 m& z( E
; f" ^! Y1 C) n
( i" w3 d" Z( g7 ]: N8 j' L
求解的 LINGO 程序如下：
/ [$ g3 z' e: g7 ^; u
7 w X4 O; k# [8 s
model:
! v' r9 R, A! ]8 h& ?* t) z* `
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
' J5 G% ?1 q( c y
P_wait=@peb(rho,s);
( K# x: v) V& q; k
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
# A" Y- c! E1 j4 _$ _
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
5 z0 ]( p9 ?& |& w& Y' R4 b0 w |
L_s=L_q+rho;
% W; j5 r* I! D8 g9 G6 F2 ]8 z, a
W_q=L_q/lamda;
3 A8 ? D" F) q7 M2 H( p& j
W_s=L_s/lamda;
5 b8 }! ?% y( C$ j
end
- Q. ], a5 w U1 E( m6 v1 V% E
6 n% z: ~7 h8 t7 ?# E; r6 Q6 H
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' k6 _$ L, l; K9 M$ N! Q
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# P: Z- |9 q7 @* X& Z; W* I
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2 t3 R9 U; Y. U" K
% _& }$ @' J) R! G0 n
( g( Q* ]# P2 D/ H4 E
作者:
SHINee0525
时间:
2020-8-17 14:46
感觉很好 很实用
$ g1 t4 V* u8 y
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5 y. j( x% E0 V9 a( L# w
8 u+ Z- S1 a. U6 i3 v/ A
. ]8 q5 S/ y; }- D' \
