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标题:
排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-12 09:59
标题:
排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型
1 生灭过程
" `4 v' {+ M+ b, V( F
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
. A$ q) j8 y0 ]+ X& r
2 ]! j( H* W9 {% ]6 q: H* ]: ~; p9 z
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
0 ^# x9 }1 P: m K5 i
+ o, v' B& R! Z X3 j0 H
3 L( j$ H& N4 ^: v7 L; j3 t. V2 h
9 v' q& `0 H# K# l8 a p$ _
为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
' {; X9 p- o0 F9 J& b1 r( U% E
* F. \! n, F7 H |2 f! k
' c, {/ b8 [/ g/ ]9 d" X$ ?8 d% }
- ]5 p0 @5 N0 S
3 g- N, n0 J$ B. e) d
: s( [. E, d6 l( g6 S R W
述公式得到平稳状态的概率分布。
# O4 d! L* W% r8 Q8 V# S# e
, z, r6 f* M" D5 Y
2 M / M /s 等待制排队模型
# d3 H8 l) w6 V2 J* a$ w$ J* C
2.1 单服务台模型
2 _. u1 ^* Q( o/ N0 o: [" \4 n
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
2 W$ Q5 n3 z9 z- P
( ?5 M/ `' ?9 G: D
2.1 队长的分布
: S) _( ~! |9 w
9 a$ C! G2 ]# Z6 L! f4 J
: i# D; r! I, i& w! y1 I' `, I+ _; ~
6 P0 n+ H P9 n
2.2 几个主要数量指标
0 M0 K$ |6 r1 i; x I
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
, I' g6 J' j9 t8 @
& v/ q8 O" a' [1 ?
7 E. l; _' h3 V! n
& ]: ?" t0 B6 c, l
9 B W8 R e+ t) p
* \3 b+ {2 @( g
式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
4 y% j- b, m' [( O0 z
9 S" @ r4 x5 r* z
2.3 忙期和闲期
- O2 N9 D# x1 C! t: C9 z L
9 p9 o- D& {4 a% F: W" q5 Z# e: ?
Z4 A; q; [7 j, e
5 U& \9 l; u9 y$ L
个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
: j3 Y5 F; D( t/ G) N4 D3 z/ D
( `. c/ k1 T; c+ b: R. y2 i
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
) r# G- l3 P+ \) {+ ]
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
: d& v, r# o8 O
3 v; G" i- U3 n4 u- O
（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
( P" t! l. b* q
# T4 c6 A9 Q5 l# p% l
（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
# w% e% W; I* Z2 V/ M8 X$ A
5 Y' j6 W0 [& D. k
例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。
: u9 K e/ [* r& q' o0 N9 u1 u
3 q. B! L, L0 d% F' A
~ l# P8 T t+ p6 q
" z/ V) N7 S. S" A
编写 LINGO 程序如下：
/ y( g# A( \' ?, U
; w9 G4 l0 F5 l2 b0 `3 D
model:
4 i5 v; I# N5 r' ~ o P
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
! w, L2 f- E; K( O! Q+ b3 x( u
Pwait=@peb(rho,s);
4 y' \" m0 A7 z
p0=1-Pwait;
% n3 @3 M% `" s+ e1 n! _: b3 r' Q3 A
Pt_gt_10=@exp(-1);
, D, v5 M0 q+ x* @) a) B. j3 Y5 d
end
+ L! @8 `" d/ X$ E t9 B( x0 c1 v: s
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
1 I3 f8 n# O0 ]" J- P
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
* F; }) J& } |3 |! j5 _
7 @$ j4 {7 m+ u0 b( P. _
; h: ^. }/ ]; p5 D* I0 q# E/ i1 i, }
8 E% s1 b/ O" G) D5 j6 U8 d* i- w2 K
公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
6 X7 g! r" D( y1 n! C7 d
5 e- \! a) W* t; n: x
! M: M9 e1 ?" _! ~0 d, T( a
7 `. N( C' y8 p9 T# d* F& G* \
式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
$ O: |; @! X) Q1 o) z: S3 X
1 A# \/ R9 c& {! z
9 M+ a- Q( t) |- ~5 r8 X; N' ]
; l) ]) S* w U& J" J- }/ h, W$ K
* v) v" Q9 q8 G& D$ ~4 K0 R3 ?: B
8 I6 u2 B$ K6 O# w1 E& k
对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
" D" d6 C; |. c' d+ U \
% Y: Z# r) p' \) ]2 L7 R
6 C, `. r- @& F; H/ ^
. i7 _$ x: {0 n( ?: }3 P
例 2 某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
' U; B. ?& {& o, m0 o, u$ \$ B, o
0 t# F$ D3 v, Y8 p+ Q9 l0 u
M / M / s/ ∞ 系统，其中
7 x$ O. |& M, {8 `
5 w9 O, l: P% X3 d# s% D
: l3 M) q1 f2 V! `+ j5 o& M
* s; ~7 h- ~+ M j7 a
: \) g. J$ L3 `* ?
1 e/ m, }% j9 o: ~; {1 R7 x
求解的 LINGO 程序如下：
9 j( Z- ?( E7 r& a. q$ @
4 } |# D, i3 E% I! V' t2 ]6 x
model:
! N3 X. Z8 i! s8 H8 n; {* S
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
$ ~' \0 R6 D0 v5 V3 K8 }' ~
P_wait=@peb(rho,s);
# l- }6 X+ M0 `/ j2 B X; T
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
/ |- D5 \9 ]" c/ d3 p+ X n
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
+ s1 Q' C# [' f+ [1 S9 J0 y. I
L_s=L_q+rho;
1 B- p. p2 N. W- _3 [/ \" T
W_q=L_q/lamda;
& P* C0 T5 _9 S9 {7 a$ k0 I% M5 @
W_s=L_s/lamda;
d/ V# X: J2 j# c. Q7 X1 @
end
3 c) I* P; l* C
+ U. \0 z- I. ^1 d& L# B
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( F. I" H0 ?$ N- L
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% c6 |5 P6 E8 g5 \0 H& B, V
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0 Z2 J/ U0 v7 m1 }
' _' X5 S- ~, K% g9 [& @1 H% V
4 i" b: D" P% v! @
作者:
SHINee0525
时间:
2020-8-17 14:46
感觉很好 很实用
2 A) l' O% L' _( g
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: i# D; r! I, i& w! y1 I' `, I+ _; ~
7 E. l; _' h3 V! n
; h: ^. }/ ]; p5 D* I0 q# E/ i1 i, }
