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标题:
排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-12 10:01
标题:
排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型
当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
/ G9 O+ I+ Y5 _" _4 i7 c7 @
& H, N3 D# u! ]/ s# k
1 损失制排队模型的基本参数
& @: w! Z! K4 V. o2 L, v
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。
- N- u- ~$ o2 V9 W) U3 ]
$ z/ Y1 ~1 A. R- H
z, R7 l, d. X9 o* Z/ n
; ]: i6 D) y: t y% Z; z2 I( N
7 T, f1 M* I# ]9 G
% R6 Q* e" ?3 w4 ]8 R; G/ d
2 损失制排队模型计算实例
% N1 n8 ?; c$ _9 l% a& H+ C
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
5 {/ H3 a6 R- l/ M
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
% ?$ \5 C% O! p2 O2 P3 x
! y* U9 W7 [; L' |0 i
, T8 I- I2 X0 Y* ~5 ?6 X' g
9 j; Y) O# Q4 X) Z0 J& c; r
model:
" P- ~8 S U/ {; `: i I; ]
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
0 L& K% U% t& u A' b0 A5 w
Plost=@pel(rho,s);
" H' e! I% h5 _: f' N3 M+ \
Q=1-Plost;
5 _$ `4 @; n, T7 u8 l
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
# x g9 l% A( c5 ?: {
L_s=lamda_e/mu;
- w8 p6 W" z. X9 g8 b
eta=L_s/s;
& Z! I0 \. v5 D, @5 {" K9 S
end
+ T1 P2 Y1 m" N! J" M# n6 ]% O
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
* w/ v. y1 t; \+ f# t( M3 l: }
9 V9 x3 L' f9 p5 E
2.2 s >1的情况（ M / M / s/ s ）
5 [1 j8 r; p: ^/ M _
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
* i' f9 Z4 ^* L
: [$ m/ J. m3 K# b
解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
& g0 ~; r; Q$ @& y
3 s& _, H2 l" X+ [9 q5 Q
- i0 J2 g) f/ h# O
6 t5 E$ y! E8 j' c$ s
2 k" W# V# G, D K
4 q. _- g; ^& P) ]; F3 ?$ t! I- W
由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
6 Y( T* u3 y3 b w) h- D! I/ E
" J% s6 Y! `, h# r4 ^
model:
8 K _" c9 G) @! G3 J
lamda=200;
9 J# E* Z' V: U4 y
mu=60/3;rho=lamda/mu;
. C0 T0 S% e) n; ?. ?
Plost=@pel(rho,s)
lost<0.05;
. j' n/ v* y! S2 P; s e
Q=1-Plost;
) d8 \; |' h* b" w3 G$ {
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
4 K- b( O3 s, R" ?1 q
L_s=lamda_e/mu;
2 A8 Y- a2 n, j% Q8 ^
eta=L_s/s;
2 R* A# r2 X( e" z7 A
min=s;@gin(s);
' m& [( e' J5 ~" Z
end
- X$ E' K$ O! a# Z2 }+ c
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
* p+ B3 f5 ]8 o o I! ?! b- ?9 J
9 u6 G6 m+ J- w+ n0 \" E$ s
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
. F! L( T4 k+ o1 t- q) g" r
. s) n! [8 D' j
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
* H& p% ?8 s B8 x E* X
6 c3 a8 I+ Q6 t4 ~5 [1 `
model:
! S/ q8 O5 E/ _0 p' [; D
lamda=200;
' V) W: p' Y+ q5 K3 }
mu=60/3;rho=lamda/mu;
4 O9 a6 I% F" |2 [ e2 O' p
@pel(rho,s)=0.05;
$ c* g* K! s6 ?
end
4 D# G- y( s5 y: _
求得 s =14.33555。
6 ^) ?" u4 i4 h5 n8 K$ x' P; M
$ H \3 v: _" H# K5 f- q" | ]
第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
! k, O* G) o; g# V( R4 c
( y# u) e* n r, P0 T; h
model:
2 V( r$ t( h$ ?* V6 F
lamda=200;
/ C2 x/ y# o j4 a) Z3 A
mu=60/3;rho=lamda/mu;
+ I! r( [& j% f2 X
s=15
lost=@pel(rho,s);
& c2 I6 S: i n, a4 ~" r; F
Q=1-Plost;
* v1 ^2 f; o) G. |3 N
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
0 N" N8 z# w/ s$ i
L_s=lamda_e/mu;
% R6 M+ G4 k) K% w/ O8 I
eta=L_s/s;
! B6 O9 Z4 k; G ], N
end
' E, Y# E6 L" v& h2 [' O
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
: J% a3 K: h9 k3 \5 C
————————————————
9 d8 O( p" D( q3 f6 s8 n6 H. ]
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2 O; {6 b& h0 J
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t9 c. j# P$ Y
) \5 i$ b! R( C
1 T1 k) M) S6 r# r9 O3 s
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; ]: i6 D) y: t y% Z; z2 I( N
, T8 I- I2 X0 Y* ~5 ?6 X' g
- i0 J2 g) f/ h# O
lost<0.05;. j' n/ v* y! S2 P; s elost=@pel(rho,s);& c2 I6 S: i n, a4 ~" r; F