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标题:
排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-12 10:01
标题:
排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型
当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
B! @9 a% j3 J Y) x: ]+ m9 O* z
( k; Q- H; i( F0 j5 @
1 损失制排队模型的基本参数
9 m3 G: L* E1 I4 J
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。
2 p: i8 D: i& o3 x9 {. ]
2 u) _6 k8 }- |8 C
* q |. r; L2 R
9 E; F+ |, ~6 Y: ?1 b% d
7 q. L$ E3 n6 a; F1 N7 ]! ?' N' \
$ y4 N! }' o' {0 q; _3 H" ?9 X' e
2 损失制排队模型计算实例
6 ^; D# a* m m
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
: v' H! \% y8 t
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
/ Y& p8 j' h+ |
, P. v5 W/ F2 ?! J1 Q
' p9 |. n% ? i: A" ` M* ~- ^6 ?) q
8 R: k% y' A; d( j
model:
; K9 Y% c% G% {& K/ s. p
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
# |; K/ ?2 _. G$ t0 n
Plost=@pel(rho,s);
2 P+ o* j& h/ v$ S' s. D7 k
Q=1-Plost;
. r- Z" U/ a K! i- w; Z- x3 C
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
, j) W; u( _3 h
L_s=lamda_e/mu;
2 @; r5 m. G$ W4 k! q% n+ d
eta=L_s/s;
& @! c7 s# X% `: r
end
) b0 z& a# O" c( k/ y! N% @
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
7 u# n- _9 \$ h S
7 l9 A- V5 e4 N" @7 r4 v
2.2 s >1的情况（ M / M / s/ s ）
4 ~, D3 X- G9 d1 Z' i
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
& W# u% ~; p+ e! x# y
4 w. `( ?3 ~: I0 f) e) W
解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
5 q+ _) N, b$ ]( M, w+ W0 O
# K3 X# _$ D& p) ?% a
# s9 ~0 o; x; H9 {8 m
$ f" e! ]1 N3 X
% u4 z9 D) p/ Q3 |
8 E( t% l/ C! Q4 n: G
由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
1 M/ V. f5 `( U: {
( W4 }( p/ h N9 d' Z, V/ A: P
model:
6 q! z7 z- v/ D! d; U1 V
lamda=200;
* ^6 J9 J# _9 {& X/ \7 @" ^% c# e
mu=60/3;rho=lamda/mu;
7 K0 t' O( s. c2 c6 u
Plost=@pel(rho,s)
lost<0.05;
. G2 L6 _' o2 i5 m' r1 w
Q=1-Plost;
' ?# S/ p/ @3 h2 |. z
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
8 x! q$ n: A" w, h
L_s=lamda_e/mu;
1 P" Y0 Y) f0 ]& n! S1 w5 m8 k$ h7 N/ {
eta=L_s/s;
- d, G- j: U8 J: `; }1 l& E
min=s;@gin(s);
) J4 c: R) L2 J4 s
end
" q7 H: |' t. p5 D* L2 j" ]
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
8 }+ n3 t5 D: F6 Y8 ^7 i
' P& {& J, x# Z5 Z' g5 y
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
( E" I3 ~+ K0 H4 p
. J( ~& S9 {- C9 @ L
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
, N* X0 @$ a( S; J' |. _ R
! ]3 \/ ?$ o4 p" J$ l
model:
& R! e0 C8 o, A$ K8 _
lamda=200;
- Y) d- H/ e+ w9 A! Z% Q. ?
mu=60/3;rho=lamda/mu;
* N* t! A4 Z$ |9 t1 b: G/ L
@pel(rho,s)=0.05;
; L. M" v0 O8 m+ v2 H. M0 o
end
5 [) ^/ ^, n% h$ ~& N, R
求得 s =14.33555。
8 R: U0 m! _; Q3 R
: ]6 f$ D# t+ U# T4 S
第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
/ V, L6 g6 v$ W+ F6 d
! j* h. P* D5 F' o \0 l7 V
model:
" x$ w+ ], @0 f" a8 M; ?
lamda=200;
% Z- p6 C5 _' e- e
mu=60/3;rho=lamda/mu;
8 u* o% q# k( E% |
s=15
lost=@pel(rho,s);
9 ^! t4 b6 G% ?: _4 G
Q=1-Plost;
+ w8 t# b" ]! T5 ]* Y- _' T
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
! e& g! x5 v, ?' s1 C. v8 |7 V
L_s=lamda_e/mu;
$ P' G* {/ c6 S! R
eta=L_s/s;
! G; |, U' D* l) M+ l( B
end
: Y3 n: i; n" ^* r
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
- k& j% Q: t4 x$ K: e8 \& F
————————————————
% s$ z) u0 h+ | K; Q. }
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5 L# W1 o+ y! I9 v( {
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; L# v6 M0 W2 m3 ]; f
1 k+ h: W0 F; y9 }
" ]* w5 Q/ l; A2 J$ {: x
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# s9 ~0 o; x; H9 {8 m
lost<0.05;lost=@pel(rho,s);9 ^! t4 b6 G% ?: _4 G