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标题:
排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-12 10:01
标题:
排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型
当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
8 ~5 r6 B3 F) u
; V$ R$ A! j$ J5 C- u
1 损失制排队模型的基本参数
- z- v5 B# B) U' `+ i
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。
$ W# n4 U1 D" X! |5 M+ s
% ]9 ]3 c, q" D, o8 ?
$ e$ [) T% }* f/ g
& x6 U! [- p: V% D
' p7 O, F9 B3 U% s0 H
; o" U: ^- f8 `, v: E9 D
2 损失制排队模型计算实例
; I. @) R3 I3 E
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
3 w* r# u: n/ x% `& j
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
e& q# R4 d/ _+ h, o5 \
" B$ [7 F8 m( S) N6 W1 F i* F
- z) N. q) N% U% n% i; C
: y: a z- @/ N0 I1 N2 {
model:
d* E; h$ m% n7 o2 T
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
1 b, H2 u( p: z: }
Plost=@pel(rho,s);
. b6 @+ o0 ^ y* m- P
Q=1-Plost;
4 n& l) e$ q6 U# h* D+ ^
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
F, b8 ?6 S1 `3 s
L_s=lamda_e/mu;
0 [$ m. O7 V8 D' b
eta=L_s/s;
2 m$ N% m+ o8 F A; S- P+ [
end
9 v# ?% V! D$ A7 j/ E6 {# w- s
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
1 t4 L) c% K6 I& k6 C
" c1 K0 C; z9 _, J. l, l0 ?' l
2.2 s >1的情况（ M / M / s/ s ）
9 E" B' t$ N; C# }8 Z
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
5 X3 j5 {: n) x" U$ G
+ K1 s: C/ n' n7 F5 J6 n; i! b
解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
9 c. i7 v* C, s& Z3 t" l9 J
/ J* \8 ~7 G0 ?& t
# ~! Z, ?" Q2 B; @# `4 s3 O
7 q& B# [. O4 v' H% T) s
1 r: t1 H4 t/ b# A, u8 ~
+ t4 W% l0 h3 Q5 ^3 G$ i
由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
9 w- X; s" M0 ~$ _
9 ^- q2 X) m/ c0 M
model:
' T' {6 K$ ]- K9 b4 F4 A
lamda=200;
- ] B& D) g0 a
mu=60/3;rho=lamda/mu;
- R Q4 A! I, d+ H( ~8 E
Plost=@pel(rho,s)
lost<0.05;
( ^5 W% w7 ?7 h; b) ^, ] I
Q=1-Plost;
4 D7 H2 @! i7 ]! y
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
- }( }, w- g' a# }( J4 M% [
L_s=lamda_e/mu;
* T D2 g) P) Z6 w1 Q z0 D
eta=L_s/s;
/ _9 _* r; s L; Y$ b0 \' _# J
min=s;@gin(s);
! \5 |5 T- F$ t9 t; M* q2 k& e4 N
end
[( x# A- y7 W; o
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
0 C' h7 W5 k. Y
- v, x, |9 r; \6 |- n! g# @
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
& \; Q' k- _7 E0 d4 U) g
# ?7 m' c/ B) ^9 j( N2 C, L% a
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
8 e5 L" x6 j- w9 b3 Z! A9 d2 B9 ]
$ B. u9 s+ A$ O+ v+ t
model:
2 v8 ^9 N6 H( |9 `' n* e
lamda=200;
: N; W' t( u& h4 a. {( E
mu=60/3;rho=lamda/mu;
! T! D3 R# o3 c- ~5 A* \0 @
@pel(rho,s)=0.05;
2 g$ {3 I" o3 L9 H0 u6 D
end
, \! P& B" K; \; ?
求得 s =14.33555。
+ \1 o1 c( p$ r. p. O
& W* H# z# O( |5 L
第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
5 h7 E7 p( z* m9 I9 _
* F( {7 H# Y+ ]; ]2 I+ R7 E) \
model:
* I7 V6 ~" C. E L" f$ @
lamda=200;
' Y2 C1 f [0 j- y+ n
mu=60/3;rho=lamda/mu;
* o7 V) G' ]. }2 S% y, x% a
s=15
lost=@pel(rho,s);
2 F5 J8 n S8 i$ \7 J0 Q: s
Q=1-Plost;
; c) Z c' z; m" Z( G' b
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
% J. p, H" c) d0 J* g6 P/ o! Z% @% E
L_s=lamda_e/mu;
# G/ w. f0 `% f j; ^
eta=L_s/s;
' z* ~3 }7 V' Q8 V! |
end
/ F; W9 }6 Q* g ]# s1 h
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
! t6 ~1 O" b0 _, \1 Q4 @- x
————————————————
" E- O2 Z) x7 u& U2 S; e" I
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, ^# C2 Q8 F# b) I
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" J4 K. h! \+ o4 {
8 f' |# O; o; U9 P d
9 S2 Y3 Z7 A( W8 F% q j g
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$ e$ [) T% }* f/ g
& x6 U! [- p: V% D
# ~! Z, ?" Q2 B; @# `4 s3 O
lost<0.05;( ^5 W% w7 ?7 h; b) ^, ] Ilost=@pel(rho,s);2 F5 J8 n S8 i$ \7 J0 Q: s