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标题:
排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-12 10:03
标题:
排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型
1 单服务台混合制模型
7 A% l6 u0 i: j% W- @% d
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
% ]* |: l0 y9 z! ?, v2 B
/ Q! o: n/ Y x7 t5 q: _- F" b5 d8 ^9 h3 `
: f; Q0 I7 U" z; | _
) D. g7 L5 I3 D8 F* b
{' i2 o1 s+ O5 _1 C1 p; `
+ u& p. C' C2 f) s7 g
由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是 。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
# j) _1 B. d3 `. z! R0 l% b1 q+ n9 x& `
0 F# {" }! m( P1 k4 g% M
1 p) o& p% O& C
2 p% M3 X: ~8 t! f
例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
$ ]3 J# v4 \3 {6 A4 |
7 u& i' c& m3 y2 i( C: @! }
解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
+ o( R7 H+ D6 P% S* O5 Q
# u; j5 R& O V3 }" u
+ f# C4 x7 }, L6 Q$ D/ Q6 F. s, P! {
9 P+ ~! S4 E) ~! p% f
& p2 d6 o; ]: w2 U' F/ Y
+ t# Z$ H2 y1 R5 _, S
编写 LINGO 程序如下：
6 u) Z. z, q' {4 J
4 z! G4 W9 G7 u& P) |; Z( f
model:
1 o/ ?' N1 p* P$ {! v
sets:
+ ]) e+ m: r$ t
state/1..4/:p;
8 j) d( ?" K2 }7 p- Z2 @* A
endsets
5 s. `8 I$ l0 t3 S( O$ ^
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
9 { l+ U3 H$ r1 M/ S
lamda*p0=mu*p(1);
3 l7 ]( K1 b [( u! S$ h2 x$ j4 f
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
P* Q8 G9 Z- B8 v! m
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
. A/ r9 N ~0 T8 s# N+ y
k
lamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
. f1 W3 d4 x G. @5 e, y& b- ]* I8 \
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
3 v& @& B+ O+ y$ W1 E
p0+@sum(state:p)=1;
2 L) V/ D9 K. H7 {" {
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
* n! G2 [4 Q( S3 g1 T% m% R
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
- z) q% ~( f- z
L_q=L_s-(1-p0);
5 @8 H7 G4 {; i
W_s=L_s/lamda_e;
% h4 P- e, i5 f
W_q=W_s-1/mu;
' _5 I# Z* M# Y; l
end
) v8 H* J5 k) P m9 H& }3 T( T, l8 t
2 多服务台混合制模型
# K9 y$ K5 R! y3 x7 m5 @# d
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。
( @) w( a# P) e5 M! H, ~( v
9 x! s# t4 K/ n4 b
由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
3 Q) R: F/ P* P! ^# I& i! o% s/ L j
" T) V% y; |) ?
4 ?0 K7 d3 z) F, a+ a. |' B
+ a4 r: p" o% y, x- q
于是
7 Z0 \: @/ [% K; i0 y1 H7 s
( k6 _/ ~1 {. n7 L6 U. }& o
( ?) e: ^1 U3 h( |- {7 C
- @2 q# J3 e' {# W" O9 |
6 V; O0 S( q9 V- ?* w
, F4 `, N4 G& E4 @3 j) Z3 c
! t' V, o# j- x# U# G+ J
' j5 d: A3 c5 v; \0 z
例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。
! X- s4 [3 Q' i- G! D
' m4 H4 N4 @1 d/ k8 K q
解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
, `! E; n$ `" |: {$ {9 p/ K/ G! N
% c W! c5 l y1 R: I/ E* N
! J1 z6 ?) W% S. V9 I& h5 T; d
J6 j5 o$ {2 o& q
编写 LINGO 程序如下：
" C& U0 S5 t- l1 G
3 {% U' I; s/ R! ~" h U/ J$ W* e4 l
model:
* F7 x) B& m& H4 k. b* m: J
sets:
6 h$ I9 C4 w: V" u7 z; b
state/1..5/:p;
2 Y7 p7 J& g# B- t1 h
endsets
* C F5 q. v, C% |+ x
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
2 f8 {" ?4 h% T
lamda*p0=mu*p(1);
' Y+ c+ G7 U2 [8 Z. w6 e6 O8 E8 \
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
( T" X: e. P& v4 o1 s3 ^5 L( x
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
7 [" O6 ~# Z6 s
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
0 b& f( V: [$ Y
@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
, }/ y* j0 G5 C" j* V2 t+ ~
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
; ^! C, Y- q0 G. M& w9 `% l3 A
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
: V/ p- R3 b6 [3 n% [4 M
p0+@sum(state:p)=1;
3 h6 s) B% x% m: ]) \
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
& A- m6 e2 R0 c6 S8 B5 W7 ~
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
. K( s# Z- T7 x6 p) K6 H
L_q=L_s-lamda_e/mu;
( O; \: x. }/ Z3 c# |
W_s=L_s/lamda_e;
, [: x: X: n1 z- W6 e% B4 T% s- I
W_q=W_s-1/mu;
- ~' y0 L6 l n j+ o8 B
end
" R2 T+ I! _. y `
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有
q. L/ m/ f+ q* h+ M/ z
2 T+ P/ Y% F0 x" r/ d% ]
! s% q- _! m; M
. Q4 w7 ~ P7 [4 ~9 M
式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
9 S' X( z9 w/ u) N' w0 n
4 C9 q% _# T9 y
对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
0 ]6 @& _- z+ d6 v% |
+ j* x2 U7 m" I8 O2 P
2 Y( l/ j$ x: Y
) \$ C) A/ V4 @, h, s0 g) O9 L- q
————————————————
$ g/ \9 ?9 s, e& Q) V/ c
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% i" M; f( ?# x2 W! ~. K, w# G" }
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- ~6 R; l k$ u
/ r7 R4 {! ] H9 Y3 z
# R, H9 t1 H: N; u" K
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1 p) o& p% O& C
+ f# C4 x7 }, L6 Q$ D/ Q6 F. s, P! {
& p2 d6 o; ]: w2 U' F/ Y
lamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
! J1 z6 ?) W% S. V9 I& h5 T; d
