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标题:
排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-12 10:03
标题:
排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型
1 单服务台混合制模型
7 ^$ n9 n& Y7 y3 `, m2 \% I$ ]
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
3 c+ W# W+ b K
* P: I. j4 t9 S6 B) d7 H
2 F; i) c& K0 k e" S" @
! g% V. e- K W7 ?: b8 s- M
. Y& \+ B2 \7 n7 Y
2 r" W* Q" V9 P7 x, Y& T5 O
由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是 。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
4 D9 B n Z' M2 S8 `1 D
: k- M- U6 F- o3 ?1 Z c' b/ l( P
$ q, H0 g5 R, g8 d; q
- Z9 _0 u9 H& i4 U* o# O
例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
/ p5 q* I& i" [+ K( Y# L L
) W, ~0 B9 H, ^+ L8 p$ }; c
解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
' s+ a' X- y: c- _! C7 y
: H( f6 {& e; H, k# U7 [
$ U9 N* [& [7 D r( Y: L4 d
5 m0 {8 J1 [7 ?7 S
+ ~* c( T, C( L J" m, y# a" u
1 r; @) a3 B. a( e% v: S
编写 LINGO 程序如下：
$ E, T, `% [" U8 n v# @
0 V: b3 k t" b" W) ?
model:
2 H) _+ _/ A- F1 { c! Q
sets:
# Q1 {! c7 O6 K* S. O
state/1..4/:p;
6 |/ A: ?! K- f# [) @; C
endsets
) O, Z9 X% b x
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
+ f1 D1 g1 `# _/ @' k C) v
lamda*p0=mu*p(1);
' c( _1 E/ T0 a# k, V! n/ r
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
5 h" F7 Q' Z1 c z' C
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
/ d0 n! O% i2 M. \
k
lamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
" O8 G& Y% l! @6 s+ N+ E: @3 }2 b
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
; p. z5 m! c+ e
p0+@sum(state:p)=1;
, m1 P& L3 _' t9 \" T
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
5 \3 u- a4 e/ |- I% r f: w
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
% R% ~. U$ r. F% }6 ]
L_q=L_s-(1-p0);
% l% e+ O& a, S9 }4 V
W_s=L_s/lamda_e;
. ^2 K3 d2 R9 b" T6 O& z
W_q=W_s-1/mu;
7 C- u- `6 W/ j) p% s& Y
end
3 g5 a" D& I2 ?8 ]6 W* ~
2 多服务台混合制模型
) K- z/ r( W8 J
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。
' i/ J' P/ G) j( i) k
$ G6 b. I+ x4 X+ |0 e& w7 {
由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
! Q+ H; c& o& Y1 C
. j1 {% J1 G, A' k
3 z$ x) _: m* Z; w' ]. n
& }+ p5 S3 |2 k) D+ ^& v# Q
于是
) |- _7 A: [6 a, g
, v2 \+ U+ e5 W0 b! y" Y1 E- d3 J
4 z6 ^) h9 v4 }, w% ~ V/ @
$ N1 I8 @4 E8 g6 K( n/ p/ D
2 H" }' y% |3 F9 J
; z7 J/ l" V3 x; K
! I' }( z Q. A+ z& h
( K) k7 q" L7 G5 B7 n6 X9 B2 a
例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。
' O: _! ?; I; Q& o# C) F
4 C, [9 d2 |1 ^4 K; R; p# j3 m
解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
! v8 S( y5 T+ h- S/ E* v9 X* T" h+ S
! z! y P5 l" E8 p0 N
- ^, R- H; d) c( C
( {: V# I. X" {8 w
编写 LINGO 程序如下：
2 y+ z! r* H+ P
7 p, g& H7 p1 q/ J K" t: b
model:
3 Q" A# w. }# Z2 ^6 w- |# v' q
sets:
0 O& E! l( B; h% t
state/1..5/:p;
; y) |' R8 m% x. B. a4 {" P
endsets
( s4 E- g. w' g7 S
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
3 g( H4 d" \3 g- S7 a W
lamda*p0=mu*p(1);
! [8 q7 @( `, G, C# ]
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
: f- a+ ?* m" [' Z: w9 P$ i: X
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
. |* U8 @5 P% v% g
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
. \ E6 [ [5 F+ | c1 B; X t7 X
@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
! ^, z; b$ d. b2 S T$ X
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
/ ~. G( d$ k5 E: |! A
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
: y; W) b7 J* B; N
p0+@sum(state:p)=1;
: @" X5 n2 N" j% Y
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
1 p0 F- h1 k" m3 r1 l
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
; k- M- N% P/ a: e* H
L_q=L_s-lamda_e/mu;
8 O+ O& t0 V8 q
W_s=L_s/lamda_e;
$ f* ^7 U5 f" X/ A! l( k# j
W_q=W_s-1/mu;
/ m9 h S( h J
end
# l( a( G; H6 W/ ^& ]6 j) e
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有
. Q* g( {8 _6 P% \4 a; q
3 e# ]; P F, i0 }; F$ \: O3 Y# x
4 r9 p2 `1 t0 A
8 F4 g# e I4 P
式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
7 ?( K# r3 E2 V: ]. o
" s+ ]0 w$ K4 _
对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
/ Q" d7 u1 J' r
/ E: C' Z X1 b6 ^/ W6 s. A N
5 N& O' z+ p. d; q5 i) r! T# M; Y9 X
; s% u. ?4 [& m6 f
————————————————
! k$ P3 s4 @: X% z( b
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9 d% p* B8 d: V9 _. t$ s; O
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3 `/ D$ F7 X- E; L/ y
& K! ]/ G4 n( c J3 d
& E/ W3 X+ t& J- d, y1 J" [
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$ U9 N* [& [7 D r( Y: L4 d
+ ~* c( T, C( L J" m, y# a" u
lamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
3 z$ x) _: m* Z; w' ]. n
; z7 J/ l" V3 x; K
4 r9 p2 `1 t0 A