数学建模社区-数学中国

标题: 排队论模型(四):M / M / s 混合制排队模型 [打印本页]

作者: 浅夏110    时间: 2020-6-12 10:03
标题: 排队论模型(四):M / M / s 混合制排队模型
1 单服务台混合制模型, |) A7 X2 i1 H% N
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指:顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布,服务台个数为1,服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布,系统的空间为 K ,当 K 个位置已被顾客占用时,新到的顾客自动离去,当系统中有空位置时,新到的顾客进入系统排队等待。! _; C% Q% }7 L# I/ O

" e0 j6 b& _" R
7 x  m6 r# s: H) t3 P
, G7 `. Q# t6 z' t3 c2 t, d- ?, z) r* r' S3 n" E" r% T% C
2 Y8 a3 g$ R; i/ T6 _  S+ h, Z) H: q
由于排队系统的容量有限,只有 K −1个排队位置,因此,当系统空间被占满时, 再来的顾客将不能进入系统排队,也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率(单位时间内来到系统的顾客的平均数)为 λ ,则当系统处 于状态 K 时,顾客不能进入系统,即顾客可进入系统的概率是  。因此,单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为:
# [' }4 |- a- J0 Y+ D: b, m9 M) t- |3 j8 ~, {( H  \

1 G, S- E7 J; p- N1 f
/ h. |$ m" O/ Q8 I9 M0 Q4 `" h. I例 5 某修理站只有一个修理工,且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站,平均每分钟到达 1 台;修理时间服从负指数分布,平均每 1.25 分钟可修理 1 台,试求该系统的有关指标。3 j5 Z  \) t1 Z# X' S
9 V7 K: I  ?% N9 w
解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统,其中* _# N5 R5 z5 x8 @) N& m2 X

! s  T# C) p, p2 [' u
0 S) h9 Q2 R0 L1 w' \
3 L! ^8 N4 o- N6 T) H+ K  X
; n0 g# B& n& R" J2 {* J# b+ N  j, d  n, ?5 S( S0 u  d4 w5 v
编写 LINGO 程序如下:
3 b  p; f6 l, Z7 V/ X
" W5 p% v$ C+ S8 |  ^. ^model:
6 y/ y3 y) f- T, w4 E2 Dsets:
- v! P! a/ i( v0 X, Hstate/1..4/:p;
8 {7 Q. o) I! M& ]# m; b% N# @# fendsets( ?; l5 K7 ?  u2 q9 Z
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
1 F/ A3 m$ q" H5 B" Slamda*p0=mu*p(1);
* ~6 f- c  A" i! n! _" m  a(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
' i7 u( H8 {5 _! G! ]@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#  M# N# Z* X+ F2 W  e
klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
+ u* h/ [) G5 o* x% ~! slamda*p(k-1)=mu*p(k);
) F, |7 `! z+ H2 l  a& U- }) Hp0+@sum(state:p)=1;5 h9 X  L& ^$ k) j+ x
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
8 e& R" g- ]( N) a0 T  f2 T% K4 g- F& oL_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
" u4 P2 c" j' ^: kL_q=L_s-(1-p0);3 D" m5 a  K1 q8 S5 ?- ]
W_s=L_s/lamda_e;
) r% G4 [# x  s& h$ [2 z+ d) cW_q=W_s-1/mu;: c+ Q1 c3 E  [/ \" P# T
end
  t3 E8 j2 Q* M' i8 S! x/ p+ l' A3 y2 T2 多服务台混合制模型7 N; g  w( w- Z
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布,服务台个数为 s ,每个服务台服务时间相互独立,且服从参数为 μ 的负指数分 布,系统的空间为 K 。* b: U* C3 M; m  O2 |/ c% T8 u
6 |7 v' O2 N# A# l# R
由式(4),式(5)和式(6),并注意到在本模型中
" h! ?" M9 f- q' `- G' f; p# Z& }' m. x$ V# ^

- S" V" ?; x7 j2 l$ |: }6 m7 M/ a6 w0 h' z- e/ ~! S2 R! u
于是* p5 l' P" d3 g% ?8 \2 d
( C- r% s! w- }8 ]4 G+ X# E

, ^6 N* h% C) S% k9 J" e: ~$ e( j* i& t! w/ y
) B# v2 B- \/ z! B) u' ?, j' ~

3 }& V" ~% e6 u
: j2 @, o+ @  ^
& B' f4 W2 b7 X例 6 某汽车加油站设有两个加油机,汽车按 Poisson 流到达,平均每分钟到达 2 辆;汽车加油时间服从负指数分布,平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车,汽车到达时,若已满员,则必须开到别的加油站去,试对该系 统进行分析。
& ~% [# Y0 g2 H, E
$ ]. t% }, J  F/ Z* t2 u/ k解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统,其中
+ ^/ q+ @/ v5 R" {8 m4 x- F2 i, i
4 V6 Y) m! s& ~4 y& F" A+ Q4 D( h* k; N; H, @7 A: O: @( x* Y

# `0 W- @, b( C" O: }编写 LINGO 程序如下:9 [9 F3 ^- M# _" ^1 D# C/ M
  Z& i8 P" [) K2 X8 w, f
model:
. x+ f8 q% m* ?% E& G  ysets:
- U; ~: ~8 z2 M4 p8 J, j* _, {* pstate/1..5/:p;
  f5 I- P2 c- O- \endsets4 v: n2 T7 p. w" c
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
# [7 Z4 i% v" z0 ]! T* ^$ Olamda*p0=mu*p(1);; q$ s* L+ d6 U" x
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
9 H2 D& [6 m" p, m$ u4 Q@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:8 m+ r" ?- [* v0 v1 t* z6 i, P$ v% i
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
/ d/ M( B2 e6 A9 P& c4 ~@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
( e5 Q0 _# U# U6 i(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));3 ]" ^8 }& `" |3 }' v
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
5 Q- @- B( b' r% q! e7 b& Lp0+@sum(state:p)=1;# l* Z4 }% t+ X; X! x2 S
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
& L9 i6 l" G, t; U  p# j2 nL_s=@sum(state(i):i*p(i));1 D( _! w. ]. e2 j  a; s
L_q=L_s-lamda_e/mu;
/ H* Z" [* f3 WW_s=L_s/lamda_e;
5 d( ]. H1 Z$ SW_q=W_s-1/mu;
% f- l, |- [# C  }5 ?( w, L/ a) e" Vend# c, j0 E3 \& h" f  M1 D. L" w! V
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中,当 s = K 时,即为多 服务台损失制系统。对损失制系统,有) G9 o9 m9 ~. i$ ?( m! v- [
! B, ]5 x6 ~  j2 {4 O! M
  A' C! P. Y& X% p

, k7 \- y' J7 H$ ^* C- X+ z式(52)称为 Erlang 损失公式, B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
7 d: v4 I0 d1 ?3 l& j/ P1 m
4 X8 P! K" s: n, j对损失制系统,平均被占用的服务台数(正在接受服务的顾客的平均数)为
- b  `" m# f. b* j* R  A$ P3 \2 N; z7 v3 b( G, I9 u
1 m+ E$ _# V4 L8 U+ g, t& t4 n  Y
4 _" b) {6 M1 ]/ w; h/ i
————————————————
5 v  s  o5 u7 N# O: Q% K版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
; J) a5 z5 ]. J原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/897357288 c; ^; Z. \4 A" ~/ T
9 ~! p3 c/ A+ X; a5 {) u; a* o2 S

; q* g/ b3 E; R3 O3 H




欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5