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排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-13 09:31
标题:
排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型
1. 有限源排队模型
" }4 R8 [% ^& V) _
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。
8 O# |- }& X. \$ f
+ l4 @+ {; a1 \! j: H& O0 a8 O
0 Z$ o* R( k* u3 i
, U, ~& b" q g J, k+ l
关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为
8 i* `9 v2 p0 H: h8 ^' ?, z
- r2 f8 j( ]" G4 }+ _
8 z4 A$ j' g5 x# ]& V+ t
! `6 i8 e) u9 ^) X/ j6 t7 A
下面给出系统的有关运行指标
# E7 q* y) j# M
# ^; d6 T2 Z% b2 N. X2 M$ `3 e
# Y1 q5 b* t7 Q0 w( X g3 t- r
& l# h! o* m. ]' q5 z: b- e
例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
$ i* \$ ~0 h4 g: q- R, ^
$ a: o3 n' Z l3 M' x3 F, ?
解 用有限源排队模型处理本问题。已知
4 ~: a' o, ^7 i- J
* h& n) `$ I' ?2 D3 b& ~
8 m6 q, {# [- [/ I' N6 D( Q
K0 B! _2 B9 K/ r
/ H1 p2 S J" C* P
% ~1 r4 [3 C, x* t7 b# I5 X
即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下
2 z0 f! \) M) B7 w4 v
, m8 r: A2 W$ y @4 |; l
model:
0 h( S* L& [9 q- Y4 h4 H
lamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
: t- D: f- l& e0 I- N* ~
load=m*rho;
$ O, N% |# a) Q: a0 I' k
L_s=@pfs(load,s,m);
& j% N6 c: x" A. b/ @& h
p_0=1-(m-L_s)*rho;
' _; I, W/ |/ f
lamda_e=lamda*(m-L_s);
! |+ E- U9 J# c9 p, D; O
p_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
$ z7 `+ Z; M, A
L_q=L_s-(1-p_0);
' a( \5 P( _+ I
w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
3 u& l- U- w& q
end
# I1 O4 o1 N: R3 H
2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
, o+ e7 f Q( ~5 k% h; }$ ]5 ^9 S
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为
4 Z: K; ^" X- d0 k9 v3 L7 I
! t% n4 V3 c9 W! x6 X
2 v# D) a1 Z7 n8 C. y
6 R' x4 s1 ~9 G
, m/ V0 V, @/ O
, n5 m) f' t& B8 ?9 f7 {9 ~
7 `2 a, \' j; ?: m1 M
————————————————
* Q1 f4 j) o& M T4 M1 a
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$ D+ R X! Z6 K) R6 g3 @- t
+ j- G5 O, I9 Y8 F" F+ u- b
8 K7 S4 B; B. V; n( v/ |% N- w
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8 z4 A$ j' g5 x# ]& V+ t
# Y1 q5 b* t7 Q0 w( X g3 t- r
K0 B! _2 B9 K/ r
2 v# D) a1 Z7 n8 C. y
