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排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-13 09:31
标题:
排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型
1. 有限源排队模型
3 E2 x0 y% R/ @0 \2 w# T
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。
4 F9 E9 E6 d! n, J0 v0 r
$ L% ?, p& E, d v# l% S
$ a S) a# F, j: X
) T) M) w/ w S& [, F1 y4 o% Y
关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为
, a; E" n: A N* u9 q0 P
& Z/ L& X2 Q; |& Z! @9 q
) i5 Q& P! V z% ]# @
2 O) ~7 u# E2 i" L) m
下面给出系统的有关运行指标
1 N g& S$ x$ n5 J k+ F6 E7 C7 H z
F, Q$ f) a! s, U
+ V# ?" z- ^1 }
5 ]8 g; z" \# N& o
例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
6 e2 V+ E7 ~, t Z; Z9 `) T$ [
* ~( I, |1 J5 u$ \7 h
解 用有限源排队模型处理本问题。已知
( J. U. X. z; P4 D8 i: ?! l+ f$ L3 Q3 H
$ \3 }+ j: E3 z3 ]8 v7 ~. `* I
3 Y5 S4 Q3 b5 m1 d+ ~$ | q+ y
; h! ]0 D/ S% C+ x- I0 W) x( i; r
7 @6 P# I8 K5 |* Y! J5 E
4 m! ]! a5 b9 _' _" q) M
即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下
0 U& u) X$ s7 J! @; a
3 Y$ ?8 ?! k, h" q# l/ k6 A
model:
1 Q/ m* s! s1 x
lamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
, E9 |/ `3 M [" ^5 {
load=m*rho;
, q/ \2 M. y! v" u/ Q$ |
L_s=@pfs(load,s,m);
: Q* ~& _! d% Q& y$ M1 T. T$ l4 c! }
p_0=1-(m-L_s)*rho;
# C5 V& Y! Y$ } |3 |4 u
lamda_e=lamda*(m-L_s);
" Y: |0 t P+ ~$ J- c4 l
p_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
7 y9 B% p( m8 p- d
L_q=L_s-(1-p_0);
( r- n) ?+ O4 D# N' w( p+ N
w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
! M S2 G+ `! R- g# W- X+ I
end
: I; M( M: h$ E# a3 E# H- T q
2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
# V' d6 E' b0 X6 b2 ]
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为
! r/ |4 k% U& T
+ {; G0 R# N" m7 L& y ?
% r2 V. ^5 ]$ V" U) x# o
* D6 P4 |; P" o+ i" {
' @9 R1 L8 X5 {
$ \4 z- T5 b, x% m$ i k) u
9 Z2 q( B+ S$ t4 z/ z/ `1 ^
————————————————
! y2 K4 a# W4 Z- Q0 X
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, K) B5 T4 K* {% k
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) @2 I+ [, k' Q, x6 `, G
8 }3 x5 j4 q' q( n' V
" {' u' {8 R- z+ O. L5 H
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% r2 V. ^5 ]$ V" U) x# o
' @9 R1 L8 X5 {
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