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排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-13 09:31
标题:
排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型
1. 有限源排队模型
7 M0 o4 U8 e: S3 R$ c$ j P; ?5 `
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。
* w. a) k/ ?( s S7 h: \9 o; w
3 f" v, ?7 T% n; u6 W8 c, ^9 [' U- k
: R2 ?2 E0 K8 S6 V3 P' \* [
! S. p' p: z Y1 f) p$ A
关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为
0 _4 g+ ~2 ~9 h' r1 `
/ C+ X; B7 c1 _' P+ ^
- j) s4 {( N3 @' \( c, R! Z8 m |
1 I8 \; v5 g& Y0 ?6 x( J3 P, i
下面给出系统的有关运行指标
) E6 [" `0 p* I7 ]
, s' t k; p8 f* z' e; {/ t! W5 D
9 D; S1 r9 i4 r$ n) l
; [1 t; q" q/ P3 K' N8 |
例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
2 A2 O2 ^5 T( d, o% b, z# B
4 P; A2 r) ?" C$ ]0 ?
解 用有限源排队模型处理本问题。已知
0 m( ?* C* ]! [8 l: e/ y
' w' ~0 ` P! B1 G4 T9 s( Z4 j* o
( [% l: f" r0 u
" g2 a* J1 \ I% E# e( b A
% W; D- Z3 e7 r7 r g8 U7 \1 w W
! |* [$ b- J( A3 B5 ^# E' P9 g
即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下
( u% ^8 D5 L- M
3 _" x8 q5 p4 E9 X. [) q9 ]0 B+ u, o
model:
4 N Z _$ g* l, O/ s. i, z. s
lamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
5 D6 U3 U4 B3 {* A
load=m*rho;
8 [) r; P B$ w3 Y9 s1 z7 d7 K
L_s=@pfs(load,s,m);
6 s$ X2 |% m& a. P c u! D
p_0=1-(m-L_s)*rho;
5 v/ @; Q) H! P! y) S
lamda_e=lamda*(m-L_s);
; I7 \$ R/ q) b- l3 U n
p_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
4 K+ E* P" [7 V" z5 K; ~2 g* w# j
L_q=L_s-(1-p_0);
$ u7 ?, `7 w" P2 x% c( A
w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
3 M0 U7 c e( r+ Z
end
# y! @6 c+ ?- m: @. f
2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
, [0 v" s' ?5 L: E3 ~; I; E* a
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为
# ^8 ^! v0 A F8 v6 X
: \' p. ^8 F( K
% s7 B! {/ r! Z" p. L3 B j3 ?% g+ ]
) x# p, [) P, i- V& c- e& t
7 e L" S4 Q, J6 L( f' r0 g) Z
4 k1 G, g/ V8 u# z
: ?( c* B6 X+ `3 n4 v1 D
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5 h+ `: z6 y" i
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. N; \- l* p/ o
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