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排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-13 09:31
标题:
排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型
1. 有限源排队模型
7 c9 K% a$ J* M3 _
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。
5 p0 t) l. i3 { z- [/ _1 t% X
, d4 n0 B2 |: V5 I% `# ]* N
& y* x+ q; _- k- f [; }
0 F, B5 a; W- \: C
关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为
7 b+ b3 f1 ?/ a4 }; \6 ]8 Q0 K: W
. b1 I! c A. |2 b* U Q" }7 q
( U/ V: a4 x0 p _0 K% A# Z, t* B
- \) v% |( H |) ]/ k% D: s
下面给出系统的有关运行指标
3 m& F- b$ n& H. E; y4 |
7 b; U1 T' f% ~" H: Z d4 }" U# \
2 }$ R: j' t+ k9 F _
; [6 e2 Y& Z( S c* Y& Z
例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
. j" H5 ]8 \. x5 Y+ q, b
; X, F7 J9 R# k) e
解 用有限源排队模型处理本问题。已知
' a! a# s r8 c5 ^. `; S- i* ?
+ [( D2 w/ S; p i! L' ^
" q; w2 ^/ y: h5 A
. z5 h( j) F- \& k! e6 I
& p4 j5 U% z: x/ K
) ]; A/ i9 V7 w! B/ e
即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下
2 U! Y U$ {" H* A- T1 ^" s8 o+ ]
) |$ L5 Y2 J# c% M6 b; `2 r- D
model:
; y5 B0 E. ~7 O
lamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
% t5 ~2 M) p# k! c! F" l$ }/ n2 ?
load=m*rho;
; ~3 e' b. `" Z9 X
L_s=@pfs(load,s,m);
, ?2 H: P7 S: N8 M$ _1 u! n R0 v
p_0=1-(m-L_s)*rho;
7 V& M. m7 K: ]
lamda_e=lamda*(m-L_s);
3 k/ C. l9 }6 V U8 _# Q% }
p_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
' S/ g+ H) k% {. ^- _4 O
L_q=L_s-(1-p_0);
" I; K, `) s0 W1 e0 m/ H
w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
. F" u6 D/ O4 A# P8 Y0 o: `; X
end
9 M/ F1 x0 c6 k. z; }- ^) P" }
2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
9 G0 k4 O" r1 [
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为
* j" D# T' [" {/ \ y: g
; z# A5 L% E, S4 D
4 M1 t- h4 L0 \# o5 A
, |8 r/ Q+ p1 x1 i+ Z0 K
, C5 ~% }* F! @
' ^! @' w) q& v+ A, q
" K: R7 {7 U: h: g* u* @, p/ x: i
————————————————
3 f- N% c+ D: h* n+ q, B+ w
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- h1 z7 q$ R6 d# H; |
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