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排队论模型（七）：排队系统的优化
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-13 09:34
标题:
排队论模型（七）：排队系统的优化
排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
T6 _# b4 _( I! S% @- @ P
) T( I5 k. C) A4 {6 U9 F
在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
: e. X- J) h% ^9 o; Y
' {" s: \2 c, ]$ O7 C* M% V6 F
1. M / M /1模型中的最优服务率 μ
7 b) a3 e8 S o8 t- U( Z" [4 R# F
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
2 P7 u, C2 }$ Q9 @
- K2 w* c* L$ S, X& S/ j
! u! J( b' S2 H6 {- S( U
& t; r T) X# b. a& U9 @& Y
3 l- F) ~7 C- h" @4 z$ I$ z/ g
5 w# K# l* s- P
5 ?0 {* a8 A: l, X9 B& D. H
: I6 t; ^5 h8 ]5 A3 x r" f
编写 LINGO 程序如下：
) _3 V% n6 j! Q5 t! F; j) h9 j! N! q
0 i# {* y! i$ E% A/ p+ [% {& {
model:
" l& M( ~ B! g9 w; y
s=1;k=4;lamda=1;
9 b8 I' d% y3 \' ]7 J
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
d* {$ F) u' v \/ q
max=100*(k-L_s)-75*mu;
+ \6 |, S( X" Y/ R; s i$ h L3 s
end
. b( B' A" Q5 W' i+ p* }
7 O, N; o3 {5 d1 n' u! C
/ g0 v4 h6 n! F& i
1 J, f3 l5 m2 q
9 s% l8 ?4 n1 B( x8 o
编写 LINGO 程序如下：
5 M+ \2 @5 m1 [# { T6 w' s; e0 [- j
+ g+ T8 t1 q$ [0 _+ c
model:
" ^. C/ f' O) \& R. p3 i1 ^
sets:
, w* t8 {5 H6 s
state/1..3/:p;
3 W! Z5 Z# f+ U5 A% G' F
endsets
/ A3 w1 d" L. @+ R- o2 {3 E
lamda=3.6;k=3;
" q. C" v* v# f
lamda*p0=p(1)/t;
+ m- {6 R" N$ A% z0 r
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
* ~ |; {, T# g( w
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
) d# i/ U6 i' t2 L y9 v+ R
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
1 m- p- b. b, C5 ?0 u( D; A V
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
/ ^1 i8 A3 w- l5 y. _
p0+@sum(state:p)=1;
; b5 C9 K' B% m+ R1 y% _" l% q) `- \) u
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
4 w% @& |9 v5 ]! ^+ I9 E
end
& n/ K' n3 n+ a% ]! q* B
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
6 G' k! e6 y7 V0 n. W! v1 ^! @ H k/ B6 H
W1 o6 u' J8 w' k5 j5 p$ l
2 M / M / s 模型中的最优的服务台数
) |! K+ t! W0 a/ |
/ V- r T C( ^
- y9 H2 l/ d, V. I+ G
4 C& W# ?3 ^+ ^6 e4 M& r
]: p. q! }& x# S5 M
例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
1 r. ~2 d8 L6 H8 q: E4 L
( p# L, u% n B3 W! d& V2 }
! Q+ E* I3 _! F- _& F1 y
3 t- R/ z5 h' j% F- S+ K
求解的 LINGO 程序如下：
6 Y4 Y% I+ |; |% S' f- b( u: c9 V
! }# w8 {) Y7 z1 A9 M
model:
8 w- y5 k8 s% H6 _
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
: C6 ?/ \6 ~: w. V) U2 H
P_wait=@peb(rho,s);
: @ z2 \. U0 X6 b' k1 ?2 ? \
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
( _3 K+ ^! j/ k6 m
L_s=L_q+rho;
: O# _: h, H5 i! M7 J2 I' F
min=4*s+6*L_s;
2 ~ B* _- I2 V) p% ~' a
@gin(s);@bnd(2,s,5);
7 | t3 Q5 Z3 _
end
# c" H6 k" I" o' j& o
1 X/ C( Q/ ?7 `- s! q
————————————————
7 s# m6 D+ @: B" F0 Q+ R H
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8 ^4 a! g# x* T8 R
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) s; s7 H! P" A ^1 `8 n! {
6 w0 F: C$ q9 r% H1 |3 g
I" L) b0 n2 D* Q& z
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& t; r T) X# b. a& U9 @& Y
- y9 H2 l/ d, V. I+ G
4 C& W# ?3 ^+ ^6 e4 M& r