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排队论模型（七）：排队系统的优化
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-13 09:34
标题:
排队论模型（七）：排队系统的优化
排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
# K# u: Z) o6 \* `, {
5 j5 F# E* O) _6 q
在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
! X# H- o1 ]9 z5 r7 d8 P; I
, h' v- |% `" Z; L) f8 W
1. M / M /1模型中的最优服务率 μ
* P0 J; b# R4 z- A
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
; I* s! d( ]9 ]' n8 X$ _
: c; f" c: w. V& s" G( r
4 ]; A* k: ~5 G- N
1 V$ K" G- G+ w# M$ a6 _/ a0 P
5 w: k2 I4 a: {( ?, M
, B6 ~% _7 N2 _8 [ f$ ]" P
( z- U+ _" [: i5 g1 n- e8 I
5 `- `1 Y4 Y0 P }- o' v
编写 LINGO 程序如下：
# _& _9 a, W) E7 A; t* I0 y+ O
* b1 O$ y- k5 u$ z; l% F6 X
model:
) _3 f# p, e5 x8 _
s=1;k=4;lamda=1;
6 t. k6 u) p$ P B+ |! p) {
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
* v1 C* z3 A1 m4 s- X/ h
max=100*(k-L_s)-75*mu;
- }: e4 i) `: v1 L7 c) X( ^
end
/ J- i+ g% d! L/ U% i( x' s
3 e1 [( ^4 c6 x" I" q6 f- k& g
1 ]1 U5 W. p2 e |2 I
( M2 a. b. ~/ O
' O8 n1 b2 e9 [- O1 C* Y
编写 LINGO 程序如下：
; S5 E T* ]* l
' |7 a9 M4 Q5 a) c6 g. `0 T
model:
4 B0 p7 y6 t" p' E) ~' T
sets:
1 J+ b- F, I9 z9 X; G
state/1..3/:p;
( ] `& @, z1 z4 Q
endsets
& o" s+ @( ?) O4 d3 E; v
lamda=3.6;k=3;
# X7 O; k) Z& W M) D
lamda*p0=p(1)/t;
% U1 }6 j! }. v. O4 h/ P
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
( [6 [0 H# Q4 W) L2 {7 P
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
, Y9 _0 \0 q7 ^( Y' V; U, L6 u
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
I- J* R; N, i- h: j
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
$ B5 L& @6 R" j9 x5 o" t3 T4 \
p0+@sum(state:p)=1;
$ U# O" F8 _$ B( x
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
6 I) w, ?% y) s% H
end
6 K1 O7 V; c* |6 v: X8 ~
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
8 H! q# P( [- i: ^
! n6 |: l! R. _! J+ | u' O
2 M / M / s 模型中的最优的服务台数
6 N3 X3 i; w/ B8 j+ y. T
9 A$ a- Y/ r/ q$ p
/ R6 L- i7 t9 ]6 F. X: g& q1 r
7 w R# _0 G( \4 f
# D& \# e# G9 j& `/ v
例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
8 [+ }0 _" _# R: a5 ^
# W7 X v, O( S- _7 P
( r1 k6 Y8 F/ ?7 Z
, N, V0 e0 l+ A1 n
求解的 LINGO 程序如下：
9 ~; m5 M0 ~; L' T |
% ~; s \" t1 A, z3 s
model:
) N2 J, p8 H6 g- d
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
, R0 R1 a% o) r/ p- R) k5 `
P_wait=@peb(rho,s);
4 A- ^. ?- V2 z# o2 I
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
0 a' h! V/ B7 b W# u. P! c
L_s=L_q+rho;
+ F7 r8 |! ]' h2 |) J9 A
min=4*s+6*L_s;
, _9 C1 \, W- c( R# ^/ }. J
@gin(s);@bnd(2,s,5);
% l9 I4 |' k$ F3 C; ^% U2 _
end
7 r$ [3 |% O9 J3 I7 h
& p. f) G: @/ L5 z" Q
————————————————
) o' i, r* k0 ?+ o! H
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+ }* y+ ]% H4 E* [+ J6 b+ X' y
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89736116
. ^$ P. K, f K4 |+ r
( F0 {1 W' p1 j' w x
* d1 M8 ]9 a h% ^* T* G
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/ R6 L- i7 t9 ]6 F. X: g& q1 r
