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排队论模型（七）：排队系统的优化
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-13 09:34
标题:
排队论模型（七）：排队系统的优化
排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
: x' V- k- b- B: d
6 }( g Q* i# V; K8 D$ V* W+ Y
在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
0 p& n: q' r1 k4 q2 L" O
1 b/ |, l. L+ I* l
1. M / M /1模型中的最优服务率 μ
) \+ z; J# C8 w6 n" H
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
+ ]% W ^& |, e
6 b/ n, {5 z# }, X& l0 }
2 _; w. Q' ?3 x
( p1 c/ Z/ J9 k( Q. H' f% ~: E
5 [, G5 _+ {5 m; B0 G, n4 Y
1 L* p% _$ y' k: t* w8 a- s
+ {3 h k& i& r3 }( P
$ a1 M" f( u4 N$ s: d" ?/ m$ ^
编写 LINGO 程序如下：
/ V! u' l! _( G8 s3 O# L4 Z
( \( a; P; X( T8 [, P
model:
: C: B$ v2 V5 D
s=1;k=4;lamda=1;
4 c# L7 P7 ]1 m- a& k
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
1 E. ~6 }4 K4 Q
max=100*(k-L_s)-75*mu;
- L! B" `6 {: y" h! \/ n, o x
end
2 Q$ m) f8 @2 h0 R0 Q; o0 _% P0 e- s/ h
6 h7 O, u* v/ A8 o" ?$ a; X
' ?& I# \, R8 J
2 m% \+ x ~5 @1 S6 [( x, E
) I( _* n0 p7 V
编写 LINGO 程序如下：
3 M, ~3 j0 z v2 l3 f2 Z# e, z+ j# F+ R5 n
1 w5 n2 n, B. H' G7 \8 L
model:
! i6 E a. n2 S! d: j
sets:
3 c7 g, m9 `3 ~& Y2 g9 N$ g
state/1..3/:p;
5 d0 s. N1 N# k/ j
endsets
' p$ i* n7 e8 M u# p+ m! P5 } ]- M
lamda=3.6;k=3;
6 M0 H* [( r8 }" u6 i2 N
lamda*p0=p(1)/t;
* `' W2 y& H; y: z
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
1 P# [% Z. d N4 H) B9 D+ K7 p2 ~
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
8 G9 T. M* M% H f
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
; E% f6 r5 H: e* p# @9 [
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
1 ^# b3 S$ o$ E" h6 x
p0+@sum(state:p)=1;
. J+ ~ e& K) G0 R/ ?
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
* V- E& r2 P5 _, x' I+ h# z
end
7 @: A* i: w( f5 c5 ~: b! I! J( U6 w
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
$ Q) q& Z5 W) U
: D7 Y9 p( }3 k2 F
2 M / M / s 模型中的最优的服务台数
4 Y' R% ^! j) v' D
7 z% z$ t X9 b s3 A$ a
9 G2 f5 b W1 E$ p5 ?) B
3 R; V, n. j; C
2 Z, H+ ^4 f* q
例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
/ s& d0 n" [' S$ N3 x# [0 m' Q
- T. `6 f/ Q$ s' z
* T7 }! R9 [/ ], f+ C
; c; }& B. E5 x8 b4 T# {$ l& f, O
求解的 LINGO 程序如下：
7 r. j' z+ k6 U6 K. D
# r8 _: R5 m9 A
model:
- B3 J, t% ~7 v$ M, g: e6 _
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
& x, R6 G% A" F2 p8 m+ P
P_wait=@peb(rho,s);
6 h5 T* m8 [/ P) @: d3 e
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
0 P# E( B# C/ U. f' _0 z8 y. D
L_s=L_q+rho;
0 q, L; g7 e$ b& @. e
min=4*s+6*L_s;
: Z' G% L' p: U# q" u$ a' S
@gin(s);@bnd(2,s,5);
" u7 ~$ u o/ t4 j0 G* \0 D
end
7 ^) [& I8 V+ D- J2 U0 T! |6 f5 h
- G1 k8 p$ |9 v0 n
————————————————
) N2 Y9 R, ? T! Q) I* B
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( u6 a+ J( v e+ O% s
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" h( S& m K) S' X# ~
7 r- z$ A4 p3 T
1 U$ t3 z5 P, f) u) C
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2 _; w. Q' ?3 x
' ?& I# \, R8 J
9 G2 f5 b W1 E$ p5 ?) B
3 R; V, n. j; C