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标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-6-13 09:39
标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
. }; F) N  y1 s
# K* Z# K" q7 j变分法简介: L: _1 h5 [7 x( H4 M

& P2 Z  m' p5 h6 M' y变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。/ N  U- r& M7 F8 t) t

. S9 s9 C9 E' ?$ ~1 变分法的基本概念; ?( g0 a2 W$ `3 w  Q" I
1.1 泛函
& J" j! x  A) E9 e
" H" A  ^1 H+ E1 ~
, ~/ z+ P* n) i4 P; S8 T5 V$ n( j3 x/ M  T* k# u
1.2 泛函的极值2 g: N( @0 F  i6 t: f+ i5 e8 V

4 u$ u  R7 Z4 G- W& ^- e1 W1 ~" z. \: ?2 i& C0 @9 _

/ L8 ~# T: k& F1.3 泛函的变分
6 u" T4 Y6 _$ Q
8 q5 ?$ ^" C7 S' Q/ y; J; q4 g- M8 u
& [# f  Y! w4 @* S0 D  ~) Z0 ^! @- R. L% o6 K, U
5 Z! C; Z7 s0 \- @' E
1.4 极值与变分7 |, U- e; w0 m* M" T6 e6 ?% c3 n
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：3 }  l( R4 A1 V$ T

" b" ~0 ?1 d9 a( k; h0 U5 l8 W: t0 y$ I, ?5 R! @% W
' L. [. _- A1 ]$ D, }
1.5. 变分法的基本引理
( S" k: G; C& o; I- m% \; v" l' n0 B0 n3 M

, ]9 r. a9 ~. ?8 w9 x- ]  n( n9 i
5 P8 ]: B) r+ b; \. I/ O2 无约束条件的泛函极值
) x: E# j' O- l6 Q, @' Y5 u/ i- U6 i. f
' V, O0 G1 }! n& t. J

4 _) T7 B8 p' e$ V# I& v3 G9 G2.1 端点固定的情况
5 P# {" v+ `% s
1 O: S1 W. f1 J1 v$ D" Q* r' e3 D9 y
: _& a% F" r* H+ Z0 z* @3 z

' z! ?; b* B4 x1 |2.2 最简泛函的几种特殊情形
1 n5 r* y9 [7 v5 J% j
8 w; K' s9 J4 ^
* h' C/ b7 \* X$ [8 h$ j& l
/ u' g. C" \& N8 R. d( x, m  ^( F/ B  c: Z" j5 c

/ U; r0 ]0 S6 w& ]8 p例 1 (最速降线问题)  
9 z, z" F! d/ [  i最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。5 @2 s/ Z+ o* o5 ?0 D" e2 h+ m2 M/ Y
5 K+ _4 j- y+ @% M2 Z$ X+ _

$ [: R* ~; C3 Q: E- |" J) y- D7 t' Z3 d! R

) s1 ~6 ^. D) y2 X! T
' \6 x) U% {; ]& c" g) H1 Z1 t例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
' L! _  u* A6 N0 Y. s$ n7 ?6 s5 s$ X8 F% j# \
& S' b5 p7 T9 P
  h4 L$ q. {% i' |  g
2.3 最简泛函的推广
4 P9 J2 Q8 W- W最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
$ q) J% a- x. a# I, F8 H( _2 R0 [: [1 O6 R  [- ?2 O
（ⅰ）含多个函数的泛函* j/ ^$ P7 U/ a

) y9 n6 `0 J* w
  Z' P) Z& Y' L. _
% z+ q& Q: g. |. p$ g) v（ii）含高阶导数的泛函
% Q- q9 Y; w8 ?/ b
% S  |8 @  f7 [- Z  j! w/ C. `6 t; a% S( s3 N

& Y& L% D4 W3 j* N, `% M6 I  T（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程+ X5 T6 }' [1 u% O" H; `+ I% Q7 g
$ F3 {9 Y0 E& T( ^- K  m" c

! [( n+ V4 @7 {* Q; R
4 X! m& @0 T7 \- t. Z6 ~( Q; n2.4 端点变动的情况（横截条件）
2 g6 f' @% [( P8 X' E
( X/ O% q3 K  K' \
% ~: v7 N; x/ `' p7 Q8 [+ o  t
( N* L  L5 o& Y! k+ H8 H. e' t) h( {, p! z# m
横截条件有两种常见的特殊情况：# W1 p, P7 O' I$ t% `

0 T. H+ d0 A% r1 p, Q- _& o' r
$ h: Q7 b' n/ W8 M8 U( l2 d8 r
, T# t; s4 u/ `7 {& Q注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
; o3 `+ a2 A3 N* r9 D2 [3 i0 x. Y! x) ~% Z: I, x( W: y0 ]
3 有约束条件的泛函极值0 c' F! x, D" w8 h# e  ~9 T+ S
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统9 x1 [$ S4 R7 M9 D

1 R( Z; X: t0 T: r9 N% W  b  I+ h. t, ?% S, ?' D
  ~2 w- F$ }" p, C  I& x: D
- A; Q' J) t8 H+ t/ E
- K. {+ l7 E* D3 |9 q/ X
& Q3 ?6 z' K% \/ \
- A- n, D# L/ C0 M# H1 l/ O* t

& s: `4 R6 N# Y. G) b$ V6 N* W) P, n: j0 I  _
4 最大（小）值原理
! W; K. M, l) C9 @+ k& T0 _. N
5 U8 s4 ?5 a6 w' R- |2 A" [) U9 h, J4 l& G  ?7 H+ Z

! H3 L4 V9 K+ K+ \( g————————————————
# E7 h7 n  [! }0 S- a  [% W( K+ X3 J( T版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
9 q: l/ }) C3 l原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497! y- N2 e9 x8 u3 r: H4 g4 U

7 W2 G/ R6 P8 `5 W, b; y7 x6 N- z3 I9 \( \$ ^; `; q. k




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