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标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-6-13 09:39
标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
) N8 l# P) ~1 K% n* I8 `8 K' X4 a; K0 C8 z2 ~1 O7 e! e( Q1 e  M! M
变分法简介
9 ~6 W; F, G0 [1 `
0 |$ R  w+ e! n# n变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。- B! [/ l0 s) Y+ m- Q; E
9 Y( K+ D* _) a9 B/ [4 a: Y
1 变分法的基本概念+ O- A6 s7 l" n9 p# `1 M9 y
1.1 泛函
6 f, n( x7 F* c. d$ L
+ o4 b; _/ n0 r+ w" U1 q
' D. Y6 q" M% W2 K2 L! e: O$ ]) g
1.2 泛函的极值
' i2 y) c7 J2 \+ Q- b
0 ?% ]. s' }5 s2 M. u# x& Q7 A( |* q1 |% ~. M

3 r. ^4 r( R$ {" T! l# U! }1.3 泛函的变分& @) P1 l. s3 Q7 m. E8 J
1 ], O' I0 H2 s3 l
; A+ h: H3 T' ]% z

. `! a. q; z( Y4 J9 Q- U) q5 Z1 p5 p) u9 o2 l2 z0 K
1.4 极值与变分/ f. p) Y0 g" _% N% l/ h, m8 R
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
# R. O3 \& J/ B3 d# e( k$ ?* ?4 a* K; {, l5 i
! g* Q# x- V+ f0 d
3 [! d, C# h8 \2 \
1.5. 变分法的基本引理7 q/ X+ o$ X, g. l1 i# z
: y/ w1 S  h- u' j* n
: Y3 t% e& o# v  y& ~: @

* n! ^1 O3 b0 p+ x: e% _$ n2 无约束条件的泛函极值
) ~$ k# B1 \# I+ n
7 c1 s3 ~6 v9 ]4 V9 K# k' k# ~, x5 \. M) W$ J) V9 Z. `$ S
% t1 D' p. c+ x/ ?: |
2.1 端点固定的情况
! k+ l( Y$ F* }3 k2 b6 }4 H; f% S2 }4 K$ N( J

+ u! J- q" E% p2 o, D- n* }6 c1 J4 z) `. K
' j* M8 Y+ w7 x0 U6 O0 r! |8 o% E
2.2 最简泛函的几种特殊情形
! A0 P) J* T. c* @. [
; v9 r/ i! g3 v, a1 w  O( S( N: `* s8 M1 ~7 M9 h
% H; i# s8 ]; ~  j# k

8 s8 D, M* E' b+ Q; d
5 m9 W- s& S& B2 i例 1 (最速降线问题)  
% B% w: A* J; E/ a; B/ ^最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
% Z' M1 f; n. y. w  w2 c0 g
, T2 Y& e8 y( ^; }& F6 |* ?9 h- d: r; X  e* k5 j* b/ V/ B5 D

& ]5 V$ L  y  K) ?  |/ Y
) R; _, X7 V" S# H  _% z; d+ M$ c3 T3 y7 W4 s1 m9 H- _
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
5 {3 z' a$ m/ Q6 P3 p! V& @7 f+ W) v: o7 [, {' M% n
/ I0 ]2 N+ F8 Q1 Y

- Z  h2 P4 h/ I; K2.3 最简泛函的推广
! ~+ Q% Q# Z. l最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
9 N& f! c& f+ q- v( W6 p; G% U0 O; T, H" m. `% G
（ⅰ）含多个函数的泛函
0 E/ P4 u5 W& u* n, Q' w! O; v* S

, r$ N$ M' d+ L( Z3 O
# `% ^" V2 b7 t; D2 h1 w$ }（ii）含高阶导数的泛函
4 x# o" ^! B! D3 I( ~# J4 d7 D  X) r# b2 d/ `, H8 G
3 l) y5 X, m% e2 K; N) ^
" J" z$ D( f( g+ c8 e
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
6 ~( e# S" d0 l2 p4 @
; S5 a+ q( e" n# k5 v! v4 Y# M& k, w, B4 J* {4 @# u

4 _7 V4 L- t% D/ K2.4 端点变动的情况（横截条件）! n& o4 E8 `0 q1 f0 @# X

0 Q& M6 w9 O- o. h% b5 ]& Y9 M9 I! k7 M2 _( `

% P  L( {8 h9 `- b) z4 [' v5 M' k7 O& a& z8 C" F8 v/ a7 O
横截条件有两种常见的特殊情况：& d8 O  T- }1 ~/ a& S1 J
+ U# J8 r2 H  w9 ^$ v( A7 v+ B. L
9 W5 n/ Z% \% X9 g9 }* X$ S2 H! d* z: F8 s
: y( g  D0 L0 `6 ?8 B" s
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。+ X; w5 w4 r0 b; y

: R9 f* l2 f9 p+ D0 @ 3 有约束条件的泛函极值) M# p  G$ H4 ?9 L- j+ p. g
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统1 R7 b7 B6 W8 ]* b* G- J* t' p: b3 ]

* }5 {! Y2 D" ?9 d- a& W. T: g- _. F# J5 N1 S+ k
: f  i4 x( o/ {: m

( X1 ^1 U4 E; }4 T( ?: B( d# I) |+ j2 s; b

. b: b, y3 V/ s9 T/ b3 y" r* ^/ c& l$ G7 T" @3 j  m7 t

5 L  S1 T! q& ^9 E9 |6 v
. x5 a7 r. R& K$ ?: J! j4 最大（小）值原理
- f/ P* b  p* B5 V# N- W+ T
' |% k5 {: T: F$ B1 w  G( d% U/ ^" k* t3 s8 ^0 B9 |

& N: |$ h8 V2 ]( f————————————————) l1 e; ]* l0 ~) x% V
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  Z- e' b2 m; B( o# n% y原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497
+ n' D5 r5 M( l4 [8 g3 ^, v3 Y0 O
' T6 q) L0 u8 Q0 l2 N
, A' n- ?8 W9 }. K+ V* u



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