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标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-6-13 09:39
标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
& H$ J6 j, ~3 ~) X) [
( @! p: i0 j, `, X3 x0 \变分法简介
! `8 `* P( |( |2 z7 l& [, I9 K
9 Z$ f" m: a+ n! d变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
" @0 s+ ?! M$ u4 G/ h% c/ _. _6 h; `6 ?* F/ a8 l9 j
1 变分法的基本概念
& T# k- {; n9 s# O1 ]& ]1.1 泛函& `* P: ^% ~7 z& E; i+ K' g
7 i9 W* o# r0 N3 S! ?- e" ?

1 S$ ~% G- \* ]5 O9 U, \- p! b, H+ Q; x( L  X$ C
1.2 泛函的极值
3 C+ l) _$ E" _6 R, K* |' [
2 f) I4 X! n1 t9 O# Y, L  s2 V# O' H6 J7 i8 F; _

, ^- y; H( n# x9 R1 c& }4 N1.3 泛函的变分) i7 T+ E  s0 k1 H! b. ^1 g

" ]9 K! {+ X- ]+ k- f0 i, V
9 X; F) Q+ X+ h. F0 X2 R* m4 R4 ]/ V$ y2 o' i1 Z
# o0 O, G/ X" s9 _
1.4 极值与变分
, j3 {2 [6 s7 w: H利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
% W! q0 g3 k" r2 n. Z* T- e
( o4 Z1 k/ w" b' u' J& ?( Y! _4 g9 R8 {" m0 V, ?% w
  c; B7 W" J4 I9 j
1.5. 变分法的基本引理$ n0 X5 i/ h' D, X3 E# `# ?

- e; O: z' p+ T% P
' s; i) S" b  b  D9 L- Q, ?5 m2 Q" E& q
2 无约束条件的泛函极值9 ]9 A3 d" r0 N

2 q$ w- {( ?1 q0 t: l. X
( K$ o$ q, @" _. H' r5 u' Q! o2 H# m$ q$ _4 e" O
2.1 端点固定的情况$ R1 s, {. o6 G$ d( E' _6 j

1 M7 t+ H: x% |, j# c# ~
# ]. x% S3 U) }( [
; ~9 T( n6 b2 c+ ~
7 R. L" }" h( _4 W, G2.2 最简泛函的几种特殊情形: T; S- o% [8 i3 O6 C5 h4 a
! L5 g0 P% X! w
" L( ?6 }: l; g2 l

% f2 D. U0 ~$ t9 J( p, I
5 {! P- A( j$ J' ]3 p1 f) h# @% l1 z+ M# ]2 l) d' `
例 1 (最速降线问题)  " K" X& f5 X" H" \1 ]$ b% W& i! o
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。3 e$ V2 F' T( _$ z0 b& \6 }$ W7 Q! L
) X1 w- u2 F, O! Z4 p
: _1 u# J" H0 z7 V) h
9 c) F+ n, f8 \! R) w" }6 P9 a
  @- {- c: X+ n2 Q& |% k" Q& ?
) n( _' q6 ?( h
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程1 z: E( b) b; A0 O

8 T4 @% f5 g# [! {, U& i$ t7 |( x- s
& j- f" n# D4 p: F7 o: |2 Z4 T4 P% t4 k. ?- K$ a
2.3 最简泛函的推广. L( V$ m! h7 t' n" U: S
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
5 d* u. R- h" H- h% ^) ~
' k3 e# \0 u- ?; v: `( [; P8 ], I  b（ⅰ）含多个函数的泛函  Z: _; @) g5 |

0 J/ e& E9 ?" e" ~4 b3 |
! F% y0 S0 q$ }. A$ E% g
, w+ r( }# q$ k3 a/ i. ^7 V* T7 h+ D（ii）含高阶导数的泛函
* W6 e. }+ O. v0 w! d: z
# r/ N5 N& f2 ]$ Y6 q6 ]0 |/ f1 N2 [3 \! k

6 P5 S4 j* t6 C（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
% s* X' h9 I. r$ |$ S0 L0 C% y, b1 R, N
0 {7 K6 n4 O  D8 ~8 G+ p% L* ^
7 p* u  ?3 \% `0 ]; P. V1 ?* j
2.4 端点变动的情况（横截条件）$ u; Q  ]# s6 Y- K
) R. U  ]- ?+ l) m

5 X, [' ~# i+ c9 l$ T$ s4 j0 a
! _& P9 F# f; E
横截条件有两种常见的特殊情况：
* q" Y! ]  G: i7 K. J: l/ K
7 _% k2 T5 E3 D: n
+ J/ [0 g" n) f4 q3 y! |
1 C$ D) a( I( F1 b+ X0 N5 M0 s: S注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
& o, }: _# {, e
4 S. z4 r0 o+ I( y0 Z3 O% R 3 有约束条件的泛函极值3 l, N" i# |2 W  d: w4 l
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
# `/ W, ]- N4 V4 t; d% P0 g- W; j: {2 S
. \! A4 z" Q5 w; G; h

6 _/ V& z3 o, y
) M0 T6 r5 u8 D# c* @; B! b% y' _+ T& `
. b  X" U5 {4 J1 c$ D
: b0 F; y/ l. Z& H1 C
7 d8 q( g1 ^+ J

" t, Y/ i9 i) L& m- N8 i4 最大（小）值原理* p+ e  t# v, F  P1 M

$ S6 z% k0 U; C/ W( W% |
3 l  k- y7 I" h; }! H, a, w2 i) b' v# r0 s  }+ p
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. z* J. e4 V" {! r+ o
+ c. ^2 {) L. `) b+ l8 l0 i: [, l



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