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标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-6-13 09:39
标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
7 a$ }# Y+ Y9 r8 p1 J5 s( n# P, p& v. r5 j  F4 c: Y
变分法简介
- W+ n' _$ [3 r9 M, ^2 K: O! C6 ~3 h0 ]  F
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。( F, G, U6 Q3 `3 G" o) `3 @- z
. \6 H& R% W3 K" w. Z
1 变分法的基本概念
1 `! c- e' D* x4 w% w6 O1.1 泛函: j  x0 |& [* G' Z
3 L; ~+ U7 L+ Q. O$ j' l

5 z7 v7 v; g0 q1 F  F$ o  S* j9 |; K- `# A% y4 Y
1.2 泛函的极值7 |8 v3 t5 |6 V+ C+ k; }

7 B7 p$ x) Y+ E! t4 C# n' n9 a. t# X! k) V& c8 p
5 `) y( I; _7 ?% ~( m# ]  E6 \. Z
1.3 泛函的变分9 @2 a* S# ?6 k  W" Y' O5 A
7 }1 G, w; J) j6 ]6 T

" a6 r& L- i6 |& R8 e) Z4 w: V
" i7 H8 y" d' p1 t% J0 I
& l  q3 Q7 m1 Z5 w- r1 A1.4 极值与变分9 ^4 z7 V/ p# s/ U6 b5 A
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
$ |( m* l& X8 O5 ]; ?& r9 C: S1 B# n0 u+ Q# _: o* \
9 b( O& z: ?3 {7 ]- P2 O

% q$ `- j3 k- n/ K3 U( m1.5. 变分法的基本引理
( a1 B  G! t; q) K& M
8 k# d& x/ d. h$ @# }" o
9 e/ n1 x  r4 W6 R9 l9 B  W, V& F& K  Q- E4 B, y# G
2 无约束条件的泛函极值/ ^% O9 p7 ]4 v: K/ g
, @( \' J3 L: R: T5 A; C
" P1 i$ w& r4 Q: @9 M

. q0 v' F5 m3 f8 U' X0 {2.1 端点固定的情况
& c4 ^& M1 S( ]" l. P2 V/ i
" c+ B4 v* o7 ]- x- m
2 g& O' G, T% P( s  w9 k9 D, K% i' b8 {+ A
! L& ^2 w! I* O! n
2.2 最简泛函的几种特殊情形5 G  G  f, ]4 u- C2 `2 s7 ~
% y4 e: Q2 Q5 @  [0 s! n

" P8 |& K  P& z# w. y) _. z: P% G! {9 t, }6 @
+ k. B5 q" }! U$ |# C. z
3 V: d. a$ b* _# B
例 1 (最速降线问题)  6 t' F; D# I5 D3 ^( x" U
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。# n5 b6 h$ J, F7 u7 W6 ^' G# O' N: D

5 |0 J, A8 t0 X  [" }/ p6 S6 s+ ]/ p( S2 G6 Z& ~3 v: P) _+ \- Y
- \' C1 a1 Q' E/ p. e7 o

* ^1 c. r$ Q+ Z! r
$ C& |# q# P$ q+ }8 m- r9 U例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程1 T; V+ b  G+ I# w' Z
5 [* ~* o# p; q* t/ I

/ I8 z. g5 o4 g9 W
* t9 c* C4 w8 \3 k2.3 最简泛函的推广
+ ^# |0 M; O9 I; a0 x0 W最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
9 \6 E# d% `3 g1 J* B9 ^
- E& N( f0 z2 M, |) A  `2 p2 a# _（ⅰ）含多个函数的泛函( b% l, s+ q. |* }; d) H

' _4 V' ~! I7 |! Y/ X* W. S' |: I' d) B  y

/ i1 h3 t' A+ \  R& @) @（ii）含高阶导数的泛函
$ b/ g& M. L# V! Z2 z6 f! U* ?" h
$ s" E  v- G, o' p- D' J2 o, w" i8 Y9 S- y
# u. q0 I+ o' L' u4 S
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
2 H& \7 P9 n  q& l& V1 n/ W& o
& L% p) H( V4 Z+ h; [; a
. O1 t* }2 }8 q* v
" ?; g5 o/ j; U  s* U; S2.4 端点变动的情况（横截条件）9 K. E$ J' H3 u+ Q4 H/ e

$ ~, ]0 U* r4 S! z( T% }) y+ ^7 m) T3 H& C1 D# d. s: F
. c. Q* m  J0 O- w+ ^" @$ b8 {

/ ^, |6 R" w, D3 ]3 Z横截条件有两种常见的特殊情况：
2 {$ }* s9 \) |* m" I' o! T3 q8 p. I2 S# p3 _9 y9 m& ^
$ v/ a! A7 g! a4 X7 B

. ?* d" P* m( S注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1 y5 L7 @, u) ]! c- F3 Z( }
& E3 G; n  `, Q
3 有约束条件的泛函极值0 O( r: {" D, ?  ^  z! S4 P
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
* x. U- x7 u5 ?$ E0 K" M( m3 O
5 w! ?* T. C7 G5 k) x/ n7 ]
! T" U# t' h# B  m" F: w) c' o) Y! e
$ S7 |& z7 U2 q( E+ p4 T, a
$ O9 o: R, V3 J7 ?: K
* s5 C7 Z4 x: ?: E+ I  p
9 m) ]' f7 u2 e; \& w

" u# c# R4 ~6 q* H5 R9 k) y+ R. K, p. p$ H4 Z
4 最大（小）值原理9 U% [4 I, R* y6 Q( H% ^8 O5 l4 A
5 S$ m4 t6 g9 o- |1 U5 _- w8 q
0 x& ?9 g, m: u! q- M% e" z
4 I4 U8 L9 M( W" z4 {
————————————————* ?7 X1 w5 m! r' F, H
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+ |- P) A! Z0 \6 X' M5 c: [3 E  D$ f9 T* o- Y: _0 J1 S




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