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标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-6-13 09:50
标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。  u! y3 o. s, l3 N6 h; j8 j: J- I
  k. q' M  h3 X0 \
变分法简介* z: g; [( k$ R8 J5 z' }; d) h4 m
" z& {; r9 m/ @2 ^- K
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。2 L9 r) H9 j0 m" t  }9 F. ^
6 h: U9 u! _+ \% X: D; t* p
1 变分法的基本概念9 M) l5 _" I$ E( j+ e
1.1 泛函5 q1 N0 [" A5 z; t5 i

' v  U9 z/ f- z& F# W3 t4 F0 f% i) H/ B+ o0 S
" ~/ Z4 p* X; C
2 s" J  `/ p  R9 f2 V% Y% @3 c7 C, I
1.2 泛函的极值" }0 l4 N6 |; ]: v8 J0 ^
/ _( K4 f, L  o1 W, _& a

6 \; `) [' k% r9 W6 C0 q$ N
/ c4 B$ _  q7 X6 R$ |* H# o1 @1.3 泛函的变分& R# }1 P5 t! j( a* j

3 d2 a. J; p. F' Z6 o" A/ _; O
2 r6 F' e3 u! g' \6 B  i$ t
3 s1 u+ B0 L, \7 W, W
, x, Q" G8 L7 f8 |" z! r
1.4 极值与变分
) B0 ?" q4 F/ W4 r, E利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：' I# J4 H: [/ ?% l( @

6 `! z/ D; b" ]3 ~& c5 f2 `. ]9 h* D9 ]  [& r) _4 W5 Y; S

' m. H$ k0 H5 X+ P9 U+ O  N1.5. 变分法的基本引理; v1 n) A; E( m' }: R5 U$ @2 E5 c
3 r, @: |, a3 m7 @8 u( ~9 f. j

" _8 j5 h6 G' [% p( ^6 s4 I
4 ?8 X, b3 p8 |6 Y1 b/ _2 无约束条件的泛函极值# B5 Y. f7 x' P/ l: ]1 `+ Y" u
+ t; b- I( J; A9 s
! ]; K3 v, P& L  C

6 L- }) L7 D2 E  ]7 |2.1 端点固定的情况0 m  ?! r# j, f
- w9 P5 y9 x3 x- }' G. D
" X9 n/ }2 |) A$ J* s. R; a# ?- R

$ c, G- n, t8 d& {7 t7 ^3 T% {1 {  M( d: k8 W2 y2 M
2.2 最简泛函的几种特殊情形. Q7 H2 Z8 N2 O9 r

/ g3 N7 U! e9 {! i0 }2 n9 t: w8 Y
- {/ ~- a+ `$ L2 ?
# [/ t, q" B6 X; O- `2 c
* A# q$ s) e5 ]7 D/ }  a例 1 (最速降线问题)  
7 y- n  T; W& O最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
+ j0 m0 N, W0 N, H/ w, M5 J' w5 _3 Z! V. \: y* G! b7 j* u

6 @" J( V# q4 C4 k* m5 _* I; o6 B
+ O  y( c% d* Z8 m$ X* j; {; N" E6 ^8 o  b$ W# |) N( N
! C9 U; I6 k" g0 F% o3 k6 e
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程7 e' T1 B$ s: v! n
/ v( x0 I6 `$ U+ p# b$ f, n7 r- O9 Y
2 q" ^4 _- w7 g, s
8 e% K1 {, H# }8 a! s0 F
2.3 最简泛函的推广
- k& X7 N+ U- G# J! o# P) j; n最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
% Q. |! |5 g  o% A% _) Q, ]& b8 |- d6 A0 e5 F. {" T7 m, e$ ]
（ⅰ）含多个函数的泛函
7 v: J; x- G7 S; v& M& b
0 C% G1 W2 ?& r2 ?' ]! |/ \4 r; H6 [3 p4 @
7 W. N3 f/ l! o4 [
（ii）含高阶导数的泛函
. o5 @8 c! C5 S
8 p# t! ?4 {. h9 M- A  l( C0 D/ }! U0 a8 A+ C: m' o; j& B

6 a( h: v2 d6 B7 K  E& Y（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程& P2 s; B. q4 V& s* ^
( Q4 E% U- D( Q) k

$ m4 L" ~  o3 @6 Y* d: u. v, a2 A, j$ {9 M' o% O
2.4 端点变动的情况（横截条件）& |$ |  A& Z- B0 T- L- ^

* n" S% t6 i' t
# G# `& J/ `: y9 F+ k4 u
" p( g/ L& N% S0 o! n% R* h$ M' D" D
横截条件有两种常见的特殊情况：; {# c* H% Y  @3 I9 W5 }. q" a' \

4 s8 O6 b9 |, g2 ?) ~' o% f; D1 W$ b6 s
: X$ X- t, j7 j
+ n+ r. m  S# @# ^- w- }  ]注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
' W. x- d8 {, g8 ]) K& u6 B6 s7 H: k1 k4 s! n3 x& G
3 有约束条件的泛函极值4 O* ]" z1 N: n, g: |/ Q: W1 q
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统% M, r4 n* w9 i1 P3 B* _5 Q

" U! {6 t, r+ l; [/ e
% P- d9 P. \# f7 q0 X
; x) l# l' n0 J" o, u! ?# t2 v6 b9 n+ z: U

3 f; V# r3 x. o/ Q/ u( b/ v5 d1 u- L% p

# Q3 ]) h/ ~: F) N$ `% k( p5 t: u- A. P4 j

* c. F5 @6 {/ V2 b4 最大（小）值原理
4 @3 N. L- }9 ^2 ^6 `/ z
/ Y' r- Z; Q9 S: y0 q% R: X. X" J! q+ `7 p- k
6 V0 ]5 k, |3 M2 x
————————————————0 t- c- A. J8 F* Z6 A
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! S3 |& R, W, p) b/ z: p原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497+ N! ?% k9 G9 z- X) A; E- X

% A1 q# s0 B  t: L. ]9 z4 f
. s  I8 e4 K6 k( a$ {



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