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标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-6-13 09:50
标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
( }  O9 ~7 P' x( K7 \3 j+ o) c2 e& t8 e' G" G: {- o/ f
变分法简介
* W3 o% f, E& |) g* g; l; Z8 t4 @8 c: U( }0 N7 V6 J4 V/ l
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
0 T( i" V# I7 N3 n* u1 J
! O6 O4 @6 B: A7 e% r1 变分法的基本概念! ?) p# `' h- C% h6 g$ G
1.1 泛函) f& g" {' S2 ]+ Y
2 q& w# i: [6 h: y( V$ c0 c
9 a/ d1 X; H( `2 U6 B" ?8 p2 l
7 O2 n" D# Q0 z8 o) `

/ \+ B% f: ^1 X5 ~: a 1.2 泛函的极值3 j- k3 Z. B/ \. f2 y
/ Z- Q0 Z& f) G

3 ~) P' r% r) Y. A9 h* h3 {
( ^* K  ]& B! a" f8 f( K1.3 泛函的变分
( i: Q' ?* O! V" D! Z+ w4 R! q8 Y7 [
% ?9 D5 u* O- O# [( |) y

# _& A0 x3 W0 j# A+ M# ?3 R+ B- z( i: q' i/ u6 e) c
' f! W- B9 x! ]
1.4 极值与变分
! s9 l/ d1 H5 e$ I; b利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：' h4 m& Y9 a. c1 O. B, ^* i5 c, r: h

. L; c$ w, P- S. B; z" w& M6 _9 V" }/ z$ z3 Z
: z& k7 C. _6 E! s
1.5. 变分法的基本引理
% c. |! r( Z( z& a' n* a7 G3 J7 F! [$ Q0 r: d5 R  I

/ _1 F9 {" y/ B3 `# ~: R0 Z  k/ m. N3 }5 s* x
2 无约束条件的泛函极值# e" T6 {. f$ ~' R$ Q

; x. K- f$ O' Q* o3 ~& u; O: U& z- h8 J
5 C3 Q8 |. F  V6 b2 S
2.1 端点固定的情况# @' [$ M* c" H* r; G
; _. a6 T% g2 k+ ~

7 t+ p* Q; D& G9 [' G: r' ~& w2 S5 q+ x0 t' c' J

4 N7 F* a" R) H3 F0 s+ E3 s$ K3 p2.2 最简泛函的几种特殊情形0 z3 I7 O7 A. E
3 m2 m/ Z9 o; Y$ |
+ V: p1 u" s0 w8 n2 E

8 d3 W5 }  @* t4 |3 z3 s0 k1 F" U' ^8 F# G: n. }: J7 A
例 1 (最速降线问题)  
0 k# p+ r: Z* `$ `/ A) c3 K最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。% g" ?+ o- T. }2 c% t0 ]9 z

# V; f1 M0 S; o# W# p6 |% P. U1 K- s5 b- W, I, s; x
+ Z9 `/ q3 E2 s5 B
, o+ m* y: n1 i; p
. t" M# [' x8 J. F
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程2 j" V$ L% {# E6 S6 j7 ~

: K. a; Y( ~+ a
: e5 Z* t/ P  g$ j/ l! N& }* w( v1 ~! ?6 m' G0 o1 V7 }' \
2.3 最简泛函的推广
7 e% d6 T$ k6 ~/ l最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。: r9 y4 ~/ \- [; f. c
) f; H; G& A% Y7 I9 ^. y" D+ V) ?: I
（ⅰ）含多个函数的泛函9 q- t$ `1 e2 ?; }+ y1 c* }) G. X

  `, {& m. G' h8 \9 s, x! g& {" P/ j8 P. t. C- N2 x
! d! ~: E, O# V' E& J8 ~
（ii）含高阶导数的泛函# }" c! Z3 _# z, I- q/ V9 I
# Y# }! Z# ]7 F
/ n( x+ z4 ~& N9 q* K% j

) {+ D3 X4 x/ o! H5 \5 I1 [（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
6 y8 L/ @+ N- Y9 A7 `" B: g' }/ m
* I& A7 g0 g; O  @( y+ f
9 O8 z6 @4 J7 ?5 [$ ]9 y' {; {& l
2.4 端点变动的情况（横截条件）0 C4 y: N6 y! l8 b. W! |; W; N

4 R: ^5 P2 [( X( A3 ~1 U1 w0 n  O" Z* ~" ^0 t, U$ u8 D
* V5 r& w# `: ]. m9 T* S) q! o
8 j) D. u: Y3 L. {  l0 W- j) V
横截条件有两种常见的特殊情况：4 w8 q, c' S. V' @
7 j; n3 f! G5 j" ~. S: z! u9 p
0 |/ j0 K6 j' u# Z' A% F: i' q6 n
7 m" W, i5 U: Q
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。/ c/ ~. }7 M: h( e3 }

0 N; B6 F/ I9 r& V8 J 3 有约束条件的泛函极值4 u- j- _  b: p. J
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
9 P8 _/ i7 L9 y  n' |
8 `2 J# y9 }: W: n$ w& n& l7 z+ v
' a1 g3 `3 G2 s* T: K2 o3 \7 @4 Y# I% w- O- m

+ o4 _* E( q+ p7 W* K! E' q
5 R( d5 B. ]3 Q2 ]& F
5 z% u5 v* {; t& [  m2 g; _6 T
% P% [" K3 V8 o. Y6 T4 j# M+ z5 H# t/ X1 i, s( r

% J2 b7 l1 o: U' t$ F4 最大（小）值原理
* f6 I. L' n0 A, {) Q7 _% a0 |
# t  d  L  K: U3 x! \
0 q* C# W8 e9 r( C7 ^& d4 L
6 A8 a) E/ @) P- E3 h; B————————————————
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