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标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-6-13 09:50
标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
( Q- s, h' x3 n4 S2 t$ d! ]. {: `4 W& J9 [. _
变分法简介, U# z5 @! D  @1 S. `

7 Z6 l0 r9 f7 N2 k- u* @9 ^变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
+ E* a7 @8 r" J0 R! ]
0 Z$ l, G! ~9 s" D. P1 变分法的基本概念7 y1 k+ G" A7 j$ U& W* X! p+ k- w$ X
1.1 泛函
* t: J: s% I( j' \7 @. e
* w. B- c5 k% b
2 X3 K7 [2 y; h0 U* e5 b- B; f8 K6 u* [# x

7 h% q( ]- S# n' E$ |* ?2 @4 s 1.2 泛函的极值
! d" \2 B. R" F# S& P( x" x" R
. s/ C8 X$ X3 c2 J8 G( h/ ~7 Y" K8 z3 S- U5 h

# ]7 w' A* G$ M3 T' l5 }& r; A2 X( A1.3 泛函的变分% Y0 j! Q5 q- i7 @

- K- _9 H  L1 H
- c- ]! ]0 N7 U. M3 ^# K1 `# ]
. n% p) G; V" v4 D0 g( X- C: G4 I% {& ]5 [7 a0 X
/ Y( [. R& z4 \9 C5 j
1.4 极值与变分1 p# Q. t5 C* k6 t2 K2 Q& z
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
+ S1 \9 x5 W# D( ]/ t/ _1 K
2 H# ^5 k* n* H  i0 [5 a( n/ C; y4 Y- A# e
. t/ f- F6 k4 L/ |
1.5. 变分法的基本引理
( A3 ?' l! S2 ~
9 G, }# [! S" B9 g* m
  l+ A# O# K! T$ H. |$ ~% U. a
: S- `( V" y6 v/ R- V, {2 \: c2 无约束条件的泛函极值' T' N5 x+ X5 }. ^$ e
/ v. g- k4 J6 c9 W/ t1 J

5 n7 d7 C3 }' X. Q1 x
2 ]0 W  I* s' F. h5 }: n2.1 端点固定的情况8 \* Z: z3 M+ _& Q) W0 U, W: y/ D8 w

6 x# g! ]" a1 x# H) R
, U) B# c, \; x: p6 C1 m9 @  o; W* a
0 R3 p& C7 {1 h) r/ j9 V
2.2 最简泛函的几种特殊情形
7 h" A- @4 A* ^5 z: m8 E( k3 i. K5 s6 N" @; u* @

/ _7 [6 i5 ~: |# G  F" Q* |) j( K" n; r8 {& m- Q
. t# w& d5 K% U4 D7 f5 {) a
例 1 (最速降线问题)  
9 w8 K+ ]3 f8 E' U" F: o最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
: A  i! q% N8 t+ F$ r, i5 ?3 A

6 [1 z( R+ m5 m0 l, x! M$ D) e* V: Y% s, A4 X. {
3 @% e2 y& t7 N% e+ Z+ G

$ a& z& L% J% ]" r; A% G- E  X例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
6 U* d; j; ?% H0 A3 ?! D& C5 o- ^) K! X8 o5 r& _/ r

1 V' l5 `& f, h5 m
. Y4 c) M, t8 ?* h5 ]2.3 最简泛函的推广& ]1 Q; Z: `/ Q1 [( f9 Q/ C8 `1 r& W9 E
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。& |6 o1 ?; B6 ]) j

. n4 r0 z" e7 d* f% _& c（ⅰ）含多个函数的泛函
9 |$ b7 a6 `' x9 y4 d" }9 K. s

* E  M- R* R/ k1 w9 S% l
6 c" {- G+ T& Y8 U3 b# `1 n（ii）含高阶导数的泛函) g, b4 P; t+ b. z
2 E/ {, _  B% Q8 b2 e# L

, |  w3 v, p5 T, R; U9 t
# m0 c0 E6 I- i2 z（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
6 `0 O2 }6 ?. @* L! E: i3 E2 S4 \9 j4 v4 M2 e

7 j' V* z, f' i2 I4 V1 e1 X0 A
2.4 端点变动的情况（横截条件）9 e. {$ F' T7 l6 E0 ]0 M

. t+ o4 U; h0 L
" G9 Y) k8 q, s& O6 L6 f
, H+ ]0 j; |" o- c* A% R1 [$ L. Q1 A7 G8 X& _# _; `9 B
横截条件有两种常见的特殊情况：' t, s' x$ K' Y0 d4 ?

9 q4 N0 S/ ]2 A# G
. t7 X9 {% t8 a0 ]8 n: u4 E
2 b* [# ^9 C6 y/ {注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
( d- F8 P) G7 j8 a, k9 f
0 n! O8 Y& Q; X1 }6 z9 b" a 3 有约束条件的泛函极值" u1 B$ J- L& _3 O  W. M0 ]
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统: K5 W" ?/ {% G, s

. u" w. J2 k& n% U3 ]- D; C% w4 H9 G
1 l# D% ?) U2 r) W
* U; M. g/ M8 P

. B: i- w: K4 l. b! Y( w! R" ?4 l2 a! O
4 ?; H6 `: |) \# w' b* J) W

+ n+ ?2 g4 W, V# G6 ]8 i0 W& p9 Z% n3 |0 O& }
4 最大（小）值原理! W4 n8 {0 l$ e

& D/ p1 [& n. V7 O' I' m+ Y9 B& s; c4 Z# X# r3 D
% B' Z& V* f, {! H% V( }
————————————————4 K2 V* N: Z' M
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