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标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分 [打印本页]
作者: 浅夏110    时间: 2020-6-13 09:50
标题: 动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。' H# K! J! {+ d) ]8 I% s' B. D
9 |  V" u% ^; c- V' ~9 w
变分法简介" o7 e+ g6 {& E& B! J9 R( t
5 b2 Y. w4 T( L$ [# @
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。0 H4 b+ _$ d4 F- ?- F
* f) R- Z2 W4 q+ e& g! O% y& H
1 变分法的基本概念
/ t  l3 V0 m$ F* C1.1 泛函
3 L6 Z! R; B2 v7 G  j0 X# G% E8 d7 Z( T; [

9 N; R; a8 b2 N
. F& Y# k0 T% p/ A* [* h9 @
7 |$ b, f9 D' t 1.2 泛函的极值7 |" |0 ]# l% |% c7 x

6 A3 h* i6 J, V2 E  `8 n& k! k
6 [3 [% }+ M3 N3 w% f5 u# F; U: Y. d) C, r% j: T( o- n
1.3 泛函的变分/ a5 Z3 H! [- `: T$ _! F

! v; H/ ^6 ]7 K9 z; @* c) c- S+ R8 Y' ^* ?: v' d7 j

: O* j( j4 }9 f- S% d6 f9 O) Y5 M4 w+ c5 C

5 }# g- L$ z) _# q' h: B1.4 极值与变分; \* _5 w# L/ `- h" s  x  a0 K
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
/ l9 A& t4 @- N% ~
' F  {: K. M( O3 `* @1 ~* W& l/ O6 ~% K4 X6 w
+ m1 d) K. v& ]: [: W" C6 T
1.5. 变分法的基本引理
( E5 ]1 X& X2 L6 [9 T) F
9 J8 F# {6 k, p2 Y& v% w9 v
: j/ S, G- U0 p- \/ H* J5 d9 f& w+ i( C8 m0 ?0 z
2 无约束条件的泛函极值' g  N( A: a% l8 w# ]% C

2 C1 Z3 |) K8 k" b* B, E) p8 d! Z7 f: f8 k0 c
: A- q$ Q% s$ v8 k. c& Y
2.1 端点固定的情况
/ o$ R4 \; k6 O3 N  a. r7 G
& r) p  }$ i( u9 M3 I* y* {. M+ q2 u# r1 \; N% G% L4 C
3 M( K2 r3 D# b

+ s4 X& n9 I8 V$ Z2 w2.2 最简泛函的几种特殊情形- z9 m. L( W, u9 k8 c  b

1 _3 `0 e5 H$ o! L0 D  E& F. h) C* k
6 @( S, ~/ @9 ^# e& s/ N) n3 m8 Y
5 |. j" f/ u3 Y6 K7 U8 c2 ^1 O+ p2 A. o' h$ N- F
例 1 (最速降线问题)  ) J6 h4 W5 T& b8 M  q$ J% _) E
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。' p( t) p0 Y! w& N) x
; D9 r1 T2 L$ S) o

8 l' E$ I! ^. Y: {4 t* P
7 ^" I# q$ E& b
0 [. _9 z# X3 a) q& q: x( C
+ d0 }1 K% l- t: s% _, V7 q, d例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程* Y; P# D+ P2 [

$ m6 s) K% @9 A  Z  w) [( o& {
8 ~: J  X; |+ w  X3 w: n; f! w3 M: q
9 J" r8 C- f, I. r0 }2.3 最简泛函的推广, w4 ~+ `  R4 r5 }& X
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
; m1 [; n  X7 e, s9 @
4 @$ `0 s& f$ K（ⅰ）含多个函数的泛函
% @- a; Q7 W. I/ o. U
1 ]  `2 j2 K4 i; n" v; z, g7 C4 c; v' V- E; D, b

2 z2 @/ b% k  D6 n; r（ii）含高阶导数的泛函: \( y# _# K& g9 z% s

; I4 L/ Y  S% }, _2 m3 G3 p- M1 k4 h. D1 V9 F

7 f5 d% q4 |) @- z# n  g! G: V（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
  r8 I5 }* J; K& _. G0 v" j( B5 S  G! N+ I- Q

0 f1 |. l4 W6 a7 E) G  C1 T
& g% ?6 p& _0 m& R! z4 J2.4 端点变动的情况（横截条件）
! G! @2 w: P1 X; L
1 L* D. B6 B( V# C8 F
. r; q2 I* i  y8 z* E* f: P3 @. k* J: ~& O

! U/ x& Q' `% j3 t% Y) E& n6 O- n  j' W横截条件有两种常见的特殊情况：. B9 q2 c% y* k$ P- z& q- L. b/ u

- A: R5 I$ R9 L1 e8 o6 j3 K* z3 {; w+ ~
" [1 V. i2 {: f9 R; i
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
7 w; A, Y" C! p6 ?% Z$ ^( L6 e$ B
3 有约束条件的泛函极值5 U8 ?. t, ^9 [5 D- R# g
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统; y2 f- {+ C1 u7 C

9 t! ^0 i: n5 K% V- C$ l$ F& v% i. O( K3 G4 u# r% Q6 A8 v

, o" K: T* A0 P: i3 o- {
8 l$ \$ s) W' C. o' G; C  J/ h) f! N! Q; l! K, e  Y

; }5 _% J3 I& I" U; ]4 A6 z6 ]& C3 k
3 E4 Y5 B# n6 M; M, b2 Z, `3 r7 u& }
5 l! i* w5 J6 H7 n- P9 \( _
4 最大（小）值原理) e8 `* M. L, y

8 E# T" {* P' {3 c3 o  S, J
/ @5 x* N9 `6 I2 s$ w2 V" j! \/ p
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, |& W. O9 M- b: K- c+ G
9 G6 {! V4 p8 y. U$ K; N




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