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标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-15 11:39
标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D 的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
( ]+ B! N1 d( j7 b
5 ?% ?6 J6 G' I; v2 R$ H
3 d- L# I9 Y# V Z- n+ G# w9 U
9 J* O* o ^4 f3 }
0 C0 r) I) u, \$ n
: R4 S( Z% f: h1 i3 ]
（1）问题分析
+ J" H2 ]6 x- G- n
) |8 e) P3 W( x
新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
; K% O M! b5 i/ G# v- d" |
$ T8 D" H% O' E, a
（2）模型的建立
7 Q+ Y: W, U: C9 e" }4 q4 [
4 G+ N$ c3 x9 l$ X; \
记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 . 因为是稳定状态，所以应该有
% `0 C% l7 }/ i) |( j
$ ]! {7 U3 z$ Q% o( X7 [1 G0 x
（1）
% I- K. b' [- m( c6 `* T P, E
6 K3 N* Y" e% A1 J& g
不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
8 p) [9 F4 q! Y, ^% k h" m
$ a& W9 P7 A- {
! d9 N' c% ?1 o3 K) s) d: N0 D; t3 i
（2）
- k& ~4 z; ~$ z/ _
6 u, R! ?% u) q% Y+ O; D
可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率 非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
& m$ u G. N2 m+ [) U- l! k; v) K( D
- q+ Y# y6 ^3 K4 Y
（3）模型的求解
4 z2 z* p; B3 m% @- s5 _
4 d* J8 R1 c( g* {
LINGO程序如下：
) m+ A, u/ |' ]* Z2 I! }. u
" q% h' |! O Y! a
MODEL:
8 O o; f' j% J2 D8 }8 E
TITLE 新产品的市场预测;
% d7 W, W) O2 G9 U& A8 w& v3 f
SETS:
0 b: F: a1 q/ r
PROD/ A B C D/: P;
* I, j& m+ A5 H- g" R$ z! ~2 E* I
LINK(PROD, PROD): T;
4 @) b+ {6 r4 g
ENDSETS
1 k3 H% U7 [4 X) n, c, v2 ~9 @
DATA: ! 转移概率矩阵;
& G% E5 g# e- A" {3 P, R
T = .75 .1 .05 .1
6 C0 g! T; s& K, F) X; T; g
.4 .2 .1 .3
! r! v$ q! t0 f. G! A6 m$ \
.1 .2 .4 .3
7 |, J. d3 f) s6 F
.2 .2 .3 .3;
0 `; I( k6 ^) v" r9 u
ENDDATA
( T3 l2 z; Q/ ?, ^' `
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
_# ?6 n8 E" ~; g
@SUM(PROD: P) = 1;
8 ]0 s5 D) r ^$ b, K
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
7 O% P* b7 p9 h' @: @! P6 X) `- h
END
3 z h* Z1 Z: c5 W9 N8 Y* @2 K
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
: Z7 X8 _; o; L) X' ]
5 I t) J% P A5 l5 @
) D" r2 w: V. N. @$ Y0 E
q' J9 m) {4 P: T" x& t" `
习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
: @) ~9 i0 s( U6 P, Z* j
8 W$ X5 J% `5 y0 D
' I# M. Z1 h, T5 H2 J4 x
" z4 a& V1 Z$ |1 J( m6 ]% {
每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
1 J A3 l7 Z& I% e- J* v2 r! K! q4 ~+ }
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' Z1 h) E+ g6 l7 N9 @/ Q
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- R2 W' i4 q" q) {" B
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8 l- z* d% `6 r: X/ e, N7 h
% e0 T7 J$ e, e! O2 O2 J
) D" I6 t N( U3 P, }/ Y6 _
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