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标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-15 11:39
标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D 的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
; t1 e/ o. v y# R( D
' o3 K3 J& n2 F. Q
" x# r7 q/ \9 j9 |" ^5 W
( P5 N+ h& F" o9 a4 Z; _! B
# N2 C( J& t0 s$ C1 F5 B. y3 y
3 H! I! ~. m3 @, ^
（1）问题分析
' e3 V: p2 M* J9 P' J3 s8 U! T
4 ^, I# e! a- H) `4 R. j
新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
' t3 W) u- m2 ^9 j5 Q- P
' t& A* [( f8 j" ]1 a" T/ n
（2）模型的建立
, \$ U3 H; h9 K: ^
0 c, D' Y2 L0 l1 y- I
记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 . 因为是稳定状态，所以应该有
: z; O( K8 n0 \2 d" U% k @, ~
9 d. U8 V$ b# y3 H' Q
（1）
U5 a$ T3 p' |9 N5 w# Q
O" q& }; L6 k4 E/ g+ I( E( k
不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
7 m) U7 R \! W* u- a" _
% ]& d" a5 e$ u7 r+ L' l" P
6 l/ x4 L$ u2 |! I% @! m d
（2）
6 u1 Z% x5 c9 v0 |$ R# w7 a
}. k& R8 i+ F9 ~7 ]6 {
可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率 非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
4 Q7 h+ J; \0 z
# [/ w2 I4 L9 H& U+ s# E
（3）模型的求解
! v: u0 P, f% o# d( |* Y7 `
1 z1 P+ F4 n2 D: A
LINGO程序如下：
* B4 R5 E& ~/ ]6 I
$ b+ d) D3 q2 Z
MODEL:
" k0 o1 D7 \1 E5 Y3 I
TITLE 新产品的市场预测;
k( V; N* L6 Y0 ? [7 Z+ Q
SETS:
: c& I; U% |) |& l0 Q
PROD/ A B C D/: P;
j0 b! V; |3 A" K8 Q& }( S! m
LINK(PROD, PROD): T;
% c5 R1 p9 [3 s9 {# h2 X6 {
ENDSETS
* m' t. d( {/ J( r+ v& b5 V9 s( W6 \9 M
DATA: ! 转移概率矩阵;
; h$ {; b, F% w8 c' k4 V
T = .75 .1 .05 .1
, f3 L2 o* a# h, a( [8 ]2 x3 Y
.4 .2 .1 .3
% ]3 s& ^ F. B3 d* i7 ?
.1 .2 .4 .3
7 m) \: E$ N8 @# P4 u
.2 .2 .3 .3;
5 N' l( D9 p K1 N
ENDDATA
$ p: j1 c8 B$ U+ l' `* R
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
6 Y G: @8 ]" o' f4 L/ q
@SUM(PROD: P) = 1;
( U/ D$ R! ^0 ^, J/ m' T
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
" a$ K' O# a/ z# C/ o9 d6 v
END
# n- {$ i' [4 ?( x9 _$ K
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
4 h v$ G/ {% k- v
/ N* B$ n/ j1 J% m& n$ f
% h r% d, e( |
/ k# R4 e5 s5 l6 ~* R
习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
{! |: ]# i' K8 F9 d, N
' G2 M7 Q% N9 n: U' Z% F
! R( k# m+ n! O/ k1 K) v2 o% J3 p
/ H2 t! }8 e% K2 T' Z
每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
/ [9 _: k0 [% [# @6 k
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. Q( H! z$ M' z. t7 m% L: f1 S
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+ q$ k+ W) Y+ D! M+ ^4 r
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M; x* i# _9 c+ ?0 b; f0 v
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