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标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-15 11:39
标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D 的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
7 T! S: C! w$ W5 Z( A
. j% l2 D0 z3 t) u3 q) c0 T
6 Y3 b, y) y" w# K4 v$ }% r
6 l* J9 g+ p+ n, ^$ V" H5 G
3 `- A5 E5 |9 _" T
7 s9 F. @; O0 w5 y& y' \
（1）问题分析
9 k- |0 b! {4 {- P% i3 I" c
- ~& ?3 |* T( o/ L! w1 X3 y
新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
7 q, N9 P3 x- C6 T4 }" Z* b& m) n
U3 X8 X2 D% M9 C- j
（2）模型的建立
5 q! X6 v' d; W. z2 o
' {9 |7 q- @0 M S+ w: e
记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 . 因为是稳定状态，所以应该有
8 U! e0 [0 x! a+ y8 \
" H7 @* q6 p/ e0 s
（1）
* d' H# G* E, m6 a' v2 c
: p* `6 O2 J" i, V3 K: ?" f- F
不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
3 n$ M! Z* _% g$ E' F
9 I# V: h3 {) o
5 Z' S( D+ c3 m% |* O
（2）
. ?7 V( m# Z* l
" J5 m0 o5 l. A1 L8 E, D
可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率 非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
1 G5 ]$ A3 }& ~: V6 [
) b9 Z4 ]% C, |& E( g s0 ^( _
（3）模型的求解
2 X# A- ^% i) }9 V- ?" M' Y
! z1 Q* r& @$ p/ {" L
LINGO程序如下：
0 l; B e: X* N$ {2 ]
. V# g7 C, |) \' X# O- }% P
MODEL:
7 g' |" {, o# Y. j
TITLE 新产品的市场预测;
7 g5 E9 i$ R/ l3 `' U n- ?$ S
SETS:
1 M. w2 O# T$ b
PROD/ A B C D/: P;
|) ~, B) e: i4 \
LINK(PROD, PROD): T;
% D/ r9 |- a7 E3 F9 g& M! U
ENDSETS
' h* G& {! f4 n8 p3 {6 {: R
DATA: ! 转移概率矩阵;
! n( a. [1 B- F4 F P
T = .75 .1 .05 .1
/ Q/ t: ^/ `0 {6 |7 Q4 R1 S% i% Y* e
.4 .2 .1 .3
: s; {1 j% q4 M3 z2 R" r/ R) y0 `! T
.1 .2 .4 .3
3 [4 C2 m ]" \# Q$ |) [
.2 .2 .3 .3;
( e9 k7 `: C" |
ENDDATA
" {; l3 ^* X. V" e( K/ M* l
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
5 C8 W) |) E) v3 X0 t4 o
@SUM(PROD: P) = 1;
2 K7 }# R! d* f8 ~
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
$ s! m/ K4 Q) ~- Y1 x3 P
END
( C+ }4 t! ^& ]; o4 z7 p
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
?4 B- F3 E( {' t* }: E; g& Y4 Y
: u+ O3 m& q6 ?6 [
8 n. U2 f* F. T3 s1 Z* c0 D
8 V7 g0 o' \: H
习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
( O6 r7 p* }% C# A
2 [" ]8 X, `0 h9 b/ B6 N8 d
5 o- A0 B [& q/ m- a B& o* j
, j6 e! L$ U% | o W. a" Q
每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
. q5 T0 a( m+ X" v5 L
————————————————
/ N( |) D$ T1 `1 p
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: \( \3 ^0 C. p; m" f6 V& p3 `
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0 A& ~. D$ H! ^0 G
' g B0 r9 s; g7 ?% a3 I% h* c
5 R3 X$ N9 A/ Z' ]; D% b
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5 o- A0 B [& q/ m- a B& o* j