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标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-15 11:39
标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D 的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
9 W7 x# S& S" ^# I: s: X! s
6 \& D; d' V$ _
3 @: U9 `9 M8 S* r- h3 g
( B+ \8 i( R) p, g; k8 v) n% s6 Z
& k, n8 u! Y- |9 U ?
: P5 U) X" I# p2 I
（1）问题分析
2 k ?* @7 {" C2 p
( A2 t) R" F9 z/ _
新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
. Q; f2 o9 i% {
& X; R. P4 f3 T
（2）模型的建立
9 P' K# O% @- }5 _
% k, w& C* G* \% j6 X
记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 . 因为是稳定状态，所以应该有
4 ], U' D. N+ J. Q# d1 J
. I" j+ m- F+ z( t
（1）
' x. {" `( I+ y
! p1 O( i9 ?2 \ i% }, W7 ]+ ^
不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
& a/ D) k2 `/ c
0 e1 U0 Z( @8 u; V5 [7 `
& Y7 k$ V2 |# e4 A. Y; j" t/ g1 ^: k
（2）
! s" q* }9 N* @+ E- `
$ F& q8 v4 O0 p- w* C) e
可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率 非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
$ ^) c) q' _5 S' h7 ?+ V/ I
" l" g @- W. a6 D& z
（3）模型的求解
# |" G% v; v" h2 D. v6 V1 Y% ]. I
% b9 b& {6 [: x' P$ _+ |7 V0 q
LINGO程序如下：
6 V* Z b5 n2 S! `7 E8 G3 X
2 `. K% i0 d# ^5 a8 f
MODEL:
! t: G m5 k: o2 O8 X. b
TITLE 新产品的市场预测;
! \/ ^' q* [ V+ q: O; P
SETS:
# d! I& } g! S$ J
PROD/ A B C D/: P;
0 O7 E p# l$ r: M
LINK(PROD, PROD): T;
" l% V; Y* p% X1 W6 P1 S. k- a
ENDSETS
$ W3 r; M8 W( U, g
DATA: ! 转移概率矩阵;
" H! g! r$ f* t5 H$ M
T = .75 .1 .05 .1
/ X x1 }% T7 F' Y
.4 .2 .1 .3
+ a$ d d3 |+ B
.1 .2 .4 .3
- W( b) c# D# S* h: x$ o. C
.2 .2 .3 .3;
. `! ~" j' X, W) z3 H
ENDDATA
1 d3 v" J8 Y' Z6 C6 Y! ?
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
V, Z6 n; b3 p7 P; z/ P$ Z
@SUM(PROD: P) = 1;
% f0 c+ B5 b! B1 u
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
/ A( C5 `3 [+ r6 x
END
: H# f+ V/ l) p/ ]5 p
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
$ J1 }2 d w$ J0 Z; p6 ^- @0 B
9 n: K- C# W, L( H& G/ S! z$ P0 ~
2 C2 w. u) b# S0 \
8 q, \/ ^5 C) J% J/ v/ Z
习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
9 O$ ]1 `% _) _& G
* m) }* T: [ {9 K ~
& r; ~( S/ ~0 _$ u
3 u+ |% _2 s4 |! i6 N
每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
% N0 ~! K' _3 R; {& p
————————————————
- W* T) K P6 z. j7 C3 a
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" `$ n8 X3 s. E; [5 U& T: K" Y
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