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标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-15 11:39
标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D 的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
/ h! Q8 S I5 s+ e& o. v# {3 p
* g- `$ ?8 C& W0 v
1 Q+ \7 E1 @, |% P
) L# F- w% k2 \+ A7 u1 B9 N# ]
% d. |( f9 t/ i4 V3 K
; ~; ]3 T4 U. h2 } m
（1）问题分析
; U# x% H: t V& D2 G
9 h; e. F1 j6 j4 p" v6 [9 J
新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
3 ?% n) a+ O9 L# g& x1 `
2 ?+ `- ?1 ]5 }6 K% Q5 w
（2）模型的建立
1 Z: m" i `9 v# @/ I
+ {0 L7 P6 B/ |: S4 B( u: }( n
记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 . 因为是稳定状态，所以应该有
9 n; w6 I0 g# p3 l7 j* Z) E- J
) j: G' U- b: ]1 Q$ [" F
（1）
* q7 {2 {$ W, c) |6 t9 J
2 f. r6 v) V" e4 r9 W4 M
不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
5 r$ v9 f+ H8 S* H5 T/ e5 J
& ~0 [# V7 @" t& E% l
# K& Q& s% w, r" q
（2）
w. m& n( u! W! y. [
: U- J$ {" x( G+ d. ?# L2 E8 b* \: t
可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率 非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
% O, N# P: n+ d
r$ K8 q! @ x# _' i0 _
（3）模型的求解
v# @0 Q0 m+ f* \5 v8 W' ?
# p8 N0 g8 r' q% ]3 d/ W! }2 t
LINGO程序如下：
+ M; u, ]( O! w% {
4 z; c3 ~* N# z y
MODEL:
4 E& w! ~6 {; J6 E
TITLE 新产品的市场预测;
$ X4 d F+ P& t Q' E* Z7 l2 A) I
SETS:
6 I* j+ U0 b! I4 v4 f }/ B
PROD/ A B C D/: P;
5 l4 e! }" O% D' P) U( o, B
LINK(PROD, PROD): T;
- E. F5 x t; U9 X# s) j- B
ENDSETS
! E2 U- m9 g, S$ T5 b0 H
DATA: ! 转移概率矩阵;
( v9 c. B! H; N( a* E) |5 A8 b
T = .75 .1 .05 .1
. }& W$ v- B+ ^3 @
.4 .2 .1 .3
0 I2 d8 K8 U2 [
.1 .2 .4 .3
6 L% f: L! _% M+ E4 d$ ^
.2 .2 .3 .3;
( e+ K; X0 T5 h4 N
ENDDATA
R+ h' P. g+ |7 m# y0 a* H( U& C0 F
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
! o0 j* {% \1 z) @
@SUM(PROD: P) = 1;
; w+ ^0 f g, v# v
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
; k( V/ n/ a+ `
END
( o6 n7 J) ]; c" c4 |6 _8 z4 ]
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
, B: k A) o' G9 g( P) p
4 Q! h$ F& W# k# N$ }/ C8 R7 F5 i
) z/ v0 O9 i; ~7 Z/ s
" J& f4 _" N! I
习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
( i& ^' |3 }' t3 x C V
l% ]! N; H R+ T2 f+ S7 E" t0 W' l
5 ]/ C4 S: e0 M$ \
& r0 z( O7 l. I! W2 P
每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
$ O+ |/ L1 d+ a
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4 ^) n9 H; |, I4 K) m) T6 Y& c* z' I
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/ N! A2 w/ c& q1 i& D' _& x3 G. K
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