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标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
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作者:
浅夏110
时间:
2020-6-15 11:39
标题:
市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测
某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D 的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
6 ]8 M5 C: R: v9 w) E. M: s
% A2 H+ j5 d3 i& t
5 d" k9 E% G' z- v0 a
! w$ U- z6 g% G& r% N
5 _& }2 b" G {0 B$ {/ x) g
5 l; a8 o: P$ j: B, {3 P( s
（1）问题分析
0 y* i% {, Y. v; F' f
; Z" }% z% C- }
新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
( X& l; a" B0 r; [' G8 q
) p& @1 G5 {1 r# F1 Y9 L% Q8 P9 p$ c3 I
（2）模型的建立
$ K# e2 q: p- t2 R+ D4 y
- Y. S6 g6 y" i
记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 . 因为是稳定状态，所以应该有
: Y; q! s2 v# y$ M3 Z4 z! |6 ]
- n% @3 _% H5 ?1 e
（1）
4 ]* S/ H, {6 P6 A' v
3 x2 L. k6 e# z( f1 X" L
不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
$ x) T( q- b, ^! ]$ [# E% |: c
+ Q i/ P. l8 }7 V8 t9 T6 g
6 l: h& p) ~" k1 d
（2）
- C+ T- H& t7 n# Z& S5 i/ b, J
3 m0 [8 W; `+ m5 }2 i( @" X, @
可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率 非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
S$ d3 b# H5 \5 W, a
% M) e: t p2 ~2 F8 u
（3）模型的求解
; [* q& u' U" E$ m9 g" N9 P/ X
: F( y2 o, c5 F, I5 G$ {! Z( }9 l
LINGO程序如下：
) [% ~9 g* \ b) L: L1 {
* [" ?4 ^+ q' s0 N t2 U5 M5 l
MODEL:
! Q2 R+ K& n& d
TITLE 新产品的市场预测;
9 N/ t8 V! `' o( P% F
SETS:
s1 F9 E1 j* z+ ^' R3 q9 i
PROD/ A B C D/: P;
) w6 A- p& x6 H* `% T: D' G
LINK(PROD, PROD): T;
5 k3 M; H- p$ e) u5 f% H, Z1 s
ENDSETS
# S- }* h: K8 ~1 H( ~/ ^% K5 r
DATA: ! 转移概率矩阵;
( e7 G9 ?9 o x( J. `+ z# F9 g
T = .75 .1 .05 .1
% @% ?- @7 p: F7 ]+ k: s
.4 .2 .1 .3
( d% {' {3 k0 J4 N
.1 .2 .4 .3
- N) p. L' k7 |3 w
.2 .2 .3 .3;
4 r& G* }& b- g1 |8 f
ENDDATA
0 q& M: w& @8 l. v7 x, C
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
( j8 S: D( ]& i" _1 Q
@SUM(PROD: P) = 1;
9 V5 a8 j+ v9 F l9 [6 X
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
% W8 D+ p7 B/ J0 _
END
' R7 u% ^# K/ K0 H; L7 Q! h7 a
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
# n, b, X/ o; d
6 F5 n M! N* j/ P9 i! d
2 m6 Q8 Z0 a# s6 f4 Y/ K
- y0 S& i. |7 ?1 ~* d" Q' d0 P2 s
习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
9 S9 F" f3 }) Y$ d5 ? F& g. f
" A" {1 V6 p0 y& Y! R$ N) z
6 z p) @# u3 M5 y# r! p
# o& f0 Z! r* @2 r' f
每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
; s( T8 z# \2 R* F
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5 k9 K" y2 k0 O. r/ I
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! O8 e# S! {2 }% M, V7 {
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. i1 I8 N: I! u8 T# Z' _
, e6 D+ t! G; G) K* p F% f
/ `8 O h- o* J+ Y' I
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