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标题:
中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
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作者:
杨利霞
时间:
2021-5-24 15:59
标题:
中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
5 P( @- K1 n6 ], Z8 x, `- y2 X
微分方程问题
# E8 c* u1 G Y5 J3 K% e2 g
微分方程建模
2 p9 _0 l, R+ d# l
1、根据实际要求确定要研究的量。
6 q! [5 |/ \ I
2、找出这些量所满足的基本规律。
w8 Q; z b3 X$ X
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
& i/ \: o+ U1 m8 C' H( {' ~
常见的列方程方法：
$ } v+ h2 Z% Y5 A% k, z, e) H
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
: q9 g* N5 X# U- F1 u0 O
3 H; W* q6 R/ B! S$ q
S" f- [9 X" |) m u
几类微分方程的应用实例
& z& I9 d2 K9 Y0 e7 D5 T5 O! d
1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
' ?+ T7 ?: Z! S
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
3 M$ l" w1 a6 r+ u
例题：
7 F) s* x* [! I) y
: |" n) T; x+ N1 r6 Y$ T
4 h) ?/ a$ u2 K/ @6 L2 L' k& ]
第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
4 S! z D/ Q; |" O: b9 T
2 T- G# T8 G+ u7 P/ x' j0 @
8 x* z0 C B* r( o* v& }+ n' |. `
clc,clear
0 K3 V0 F2 L& I6 E) y, Q$ J; m
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
) I2 P" M2 o' u1 p" c2 ]
x=a([2:2:6],
';//提出需要的人口数据
5 p& `5 Q z R: ]3 O; d; E3 A
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
/ K, f$ u9 E# K( c0 o
t=[1790:10:2000]';
3 x) B7 L1 c+ o) K- I5 z
t0=t(1);x0=x(1);
5 E4 U% {( O$ v4 @4 F
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
- E8 v0 W( u" u* x7 H6 I
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
2 X+ j$ @2 s5 ?9 @( p
xhat=fun(cs,[t,2010]);
" O6 w+ R5 E% B( v. ?8 J' Z% d
1
. _1 h* m" y' f. n: D+ F! `
2
4 S3 L$ |- A( }: F# R2 a# t' v
3
% n9 l$ f( l _) y1 w
4
) z' t( Q* N5 b9 S
5
7 I, H+ ~9 H6 f+ r' Z
6
, {4 `; N( S7 I, r
7
. d& V% m/ W9 \6 i9 s$ t( k( X7 ]. e j
8
+ e5 c: q, X/ ^: o
9
; V8 K& O- t& |5 \. w3 {! t( T
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
& n4 C0 B6 h& I! L- P% B
2 z* q; I7 d1 h5 h3 |
2 I( [1 n' }8 [
3 A# O% D* T, u3 c
$ y- K/ D2 {/ G; S& D, ?* n
clc,clear
/ C3 p- H' g1 [/ F$ w- ^ S
a=textread('data4.txt');
' Q; z; @2 n) N: ~) |4 a3 b% T5 C7 H$ B
x=a([2:2:6],
';x=nonzeros(x);
! S) x+ { Q. `& B: Q
t=[1790:10:2000]';
* z1 h, M2 t( q
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
4 _8 L& {+ e0 D- d
b=diff(x)./x(2:end)/10;
: ^% {; a w! @2 t
cs=a\b;
4 l1 o4 ]& E; g, h
r=cs(1);xm=r/cs(2);
% \6 y4 K' G6 n" P" J
1
; K5 e# m7 [5 y. {" U- e
2
1 l R) A X+ N9 R
3
?- h* C" p1 v! Z2 O# W' Q! p
4
7 l1 J1 `7 z P* f- ~0 J
5
0 s5 d+ X0 V* u
6
3 l" x5 E: L' H/ M, _
7
& ~% @/ |, K+ @
8
2 H' [; t: g/ m$ t9 }, |
' t) B, j8 Y% z# ~3 q3 P
! [ I+ T: _1 p8 W' |7 @0 Z5 [
% P/ E' s# ^) g3 M% M
- l3 R$ d( @4 _7 r' f( O
clc,clear
! o4 L3 c: I. r2 p* B
a=textread('data4.txt');
6 y6 a5 P, M9 n
x=a([2:2:6],
';x=nonzeros(x);
* M% Y4 ]4 m( f, L# |: d0 z
t=[1790:10:2000]';
! b1 |# q/ ~9 t8 k" l) Q
a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
4 B" `' E0 p6 c0 G* }) R6 H
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
- T9 e# u& W! Z% y1 E- D) v. A9 l( E
cs=a\b;
9 ^( Z3 k' H/ U
r=cs(1);xm=r/cs(2);
: Z6 j8 C: l6 q, b, \1 U% q- {. q
1
; @: q8 x9 B# ]" b
2
: g! \3 u+ e4 {' i, |4 N
3
% d: R' K1 Z/ c+ k- e4 @& `
4
8 P2 _$ e* r) B! R" f+ \7 J
5
+ A9 h& |, I" |$ h% Y1 L
6
( f% O% ?% {2 D5 `2 G: \
7
! L2 c2 L$ ?# C1 I8 k9 s. D! t* ?
8
; N1 q/ O# T4 C
参考文献
6 u7 W% o) V! Z4 N% H4 f+ [
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
% y4 H. O% C" L4 V: O! b
————————————————
; q- @+ G) h6 v" x0 W) H% H
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. O& U q9 Z- f
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# L4 f- k/ P/ {1 G
) F/ Q; |) x% }" H
9 [% s+ k9 g9 Z t Q* W& D
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';//提出需要的人口数据5 p& `5 Q z R: ]3 O; d; E3 A';x=nonzeros(x);! S) x+ { Q. `& B: Q';x=nonzeros(x);
