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标题:
中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
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作者:
杨利霞
时间:
2021-5-24 15:59
标题:
中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
; G( a3 A3 z; X
微分方程问题
6 _; `9 l! ], Y+ f6 ^
微分方程建模
j0 q- X- k* ^2 c6 `0 v
1、根据实际要求确定要研究的量。
: r, P% z; t$ z0 P, Y
2、找出这些量所满足的基本规律。
+ m9 z1 @! Z; o4 }( Q8 n
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
- ]" _+ ]% F, n
常见的列方程方法：
( f. J# Y2 h6 O8 }+ S5 D
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
: c/ w* [* D) \1 q
) ^# k) d. k) q$ h* X+ C( p2 W
9 R' F/ d. O' F2 K
几类微分方程的应用实例
7 y! p: z/ Q1 e2 Z% Q) L# y* M1 d
1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
! }2 p, _* Y4 H$ q$ Z
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
5 `2 m B2 a }; s- c; ?
例题：
$ ^ Z" G9 S6 ]1 n
! g+ L) V* b+ Q( i: i1 l2 l2 t2 J
% \0 \4 [+ w# P8 n# [
第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
" y1 X$ F: @0 k+ h
. `, w7 y5 @3 q1 L* g
2 e+ f0 `$ R5 |0 j
clc,clear
2 e, Y) X4 }0 Z( s
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
" _( C+ H( v( _0 B/ M
x=a([2:2:6],
';//提出需要的人口数据
2 j- d# v' q" T: p7 W1 d/ z+ ?
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
0 i. r/ V+ p- O9 V, ~6 F: g# P
t=[1790:10:2000]';
- q" E* ^8 ~; G$ L8 i
t0=t(1);x0=x(1);
$ a/ H# f4 D: h$ o+ c3 J$ X
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
5 |$ `! ]: _8 i% h) X
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
* l7 j3 h3 I: @
xhat=fun(cs,[t,2010]);
+ Z+ u2 Y' F7 o) d8 ]
1
2 D5 O/ Y F/ f3 h8 k, x
2
' O0 f, D0 Q! l- f0 w5 S g
3
7 W: y* Y) G9 f; b4 Z& Y
4
3 U9 p" o+ ^" `, N2 I. K& g6 h
5
. \/ T7 L; e; ~# Y1 Y. {* B0 G
6
* p2 n, q0 e8 w# |
7
7 p4 r6 {2 R- i3 X1 j6 A0 w! ~. x
8
" k0 x8 u# K5 P0 b' K
9
# s" d* a/ Y+ B' D' t X
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
# ^% x Z3 J* X( g" M O0 R. h
2 S8 f; M8 ^: U6 P# T; \3 s
2 u8 W& z7 x( ~6 e( w9 |' ?
& y! o1 D; h4 U
& d: @7 f: G, O1 H/ g5 K7 U, J
clc,clear
* d9 R8 U# N- {# R! j" b0 ~$ Z
a=textread('data4.txt');
6 f5 |( Y5 r( L( w9 q
x=a([2:2:6],
';x=nonzeros(x);
( D. B2 [5 l7 e+ K" P
t=[1790:10:2000]';
( Q) x9 q P' \6 Z7 n) F* f5 {
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
5 ?1 E, _, t, _6 E: `7 Q) R
b=diff(x)./x(2:end)/10;
# \9 {9 q8 m/ z
cs=a\b;
3 a/ `6 h- |4 c2 D: N0 V
r=cs(1);xm=r/cs(2);
& f+ f7 ?& e/ ~4 w5 B6 C
1
/ D. r& u! e% t+ Y; g, u& q2 ?" U
2
2 p+ B: c' O: H# z# I+ e) X7 a
3
) |8 T: Y/ W' t- n2 F3 d
4
! `) }8 K7 W0 ?0 b; ` F& h
5
% p Y3 E6 A9 ^5 o
6
8 c; O+ e2 H# a6 J& T* U) A
7
1 G; `- z, m5 v' i: W1 e$ f, w
8
8 I8 X4 G6 N; t5 i
+ M4 x/ u5 u3 {
3 O e; g( p. K) d
+ W; \: L$ _0 I
: ?/ a# Y7 N5 s5 N& \6 U
clc,clear
' n2 n6 `9 Y! T6 N
a=textread('data4.txt');
2 n0 z: N) S$ y/ P P
x=a([2:2:6],
';x=nonzeros(x);
1 ?: `. D' n- { c5 |: V! L( @
t=[1790:10:2000]';
|0 [* J7 v3 s I F. C
a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
! L* \4 ~9 B7 I3 Z/ D1 E' @
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
% T: g8 a/ i+ G" x; b- Z: }# V
cs=a\b;
+ V! ^1 M; C; s5 Z& s8 s! j7 o b
r=cs(1);xm=r/cs(2);
7 d$ C2 y% F; A: B R @& [
1
" f/ N& q {, o; X& p
2
( G" u# v) M. Y0 c+ _" N1 }
3
* a, y) I& U$ B- ?) b
4
) l( d$ W6 s! y' ~& \
5
2 H+ ~& b( i2 K# k6 ?3 y
6
7 E/ [& }/ D5 N- O% z$ P
7
q- m8 M/ K i3 g' j
8
_6 J8 @: w: O& ?
参考文献
% `8 w. I6 L) H
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
; T& h' {1 v5 I
————————————————
" \9 I4 |3 E0 P
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q/ R4 P: }3 y8 a- W/ q$ ^0 d% K
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/ M) f0 t% h/ d' N
4 g: s D2 g- K7 j
9 c2 j6 s0 {$ d! w
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