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标题:
中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
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作者:
杨利霞
时间:
2021-5-24 15:59
标题:
中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
$ y7 v- a; k! Q& h0 X+ ^
微分方程问题
! o# ^1 g, u1 v1 D" Y1 ~) p, w7 H
微分方程建模
+ \3 P* {- m9 W) [9 y
1、根据实际要求确定要研究的量。
1 q9 o5 S5 e7 q: Q6 c, ]" P/ j" p) [
2、找出这些量所满足的基本规律。
# v @8 O( i T/ k8 T
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
0 U& S5 Q2 \! A) I i8 K' x
常见的列方程方法：
, Y p) r1 n1 @2 g7 m5 k
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
: A) H/ m, h1 L6 }
1 ?3 H' H6 } I, A
& {5 L# c2 Q* g
几类微分方程的应用实例
1 |1 M; M. L, g/ L! N3 P+ _
1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
4 q/ E4 i! A+ s5 q& [( g
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
3 _' z) t6 |3 A: }6 {, B
例题：
. V6 |3 o" A( ^- E0 y2 W
- s, E9 Y3 B5 N$ ^7 O% v
$ k# f$ H3 j) w1 O: D
第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
6 S2 j' R3 c1 P0 U" ^4 x, d3 I. k
+ I- }$ A' l( e2 e( B6 _* l0 _2 u
. n. n. X B" l# l. [
clc,clear
8 C! Z' i: P. i4 a( s8 Q& R% _' ]
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
3 }0 v0 K9 r# m9 V. d# W* t! [ ^) C
x=a([2:2:6],
';//提出需要的人口数据
a/ @0 k; d" P" _7 k. A
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
0 s! Z3 n" H7 K. }7 i$ x
t=[1790:10:2000]';
5 t. Y2 U: H! i7 [
t0=t(1);x0=x(1);
& t2 {6 ?- ]8 C; ~! r m
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
! {) i) M! O' d# ^1 T# |! P8 @
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
# m! G9 t% @* d; ?, m, k
xhat=fun(cs,[t,2010]);
( ~$ I( h& t- x E# Q; B
1
1 Z' d+ S+ N% L- I* x4 ?
2
7 E; t* {) }; [& X; ^& D
3
; ?% Q q* O' y* ]) i
4
% G7 {7 M T4 c, K0 |0 O0 `
5
& C2 e0 z7 i' @' t5 H3 z, F( o) \3 z
6
! S5 F( M9 j N+ E S
7
. z( |% p2 H" r" m% d: q+ C: o
8
/ D4 X' z. `$ i% Z. h& w, k
9
; ?' m* t/ r9 x. j7 h' q8 }
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
" R/ S, Z9 C" k# |! |% E2 J9 N" L
0 x r/ ~% A _2 v! v( B5 I0 R9 v
9 P/ ^1 }% R% Z( p; m5 I- h
* {- u% \, {+ h7 V0 p2 f4 H
/ X- |, g9 A# E# x! c
clc,clear
0 Y; c- y' w: p: Y7 A
a=textread('data4.txt');
# o1 c1 s& d# U* N
x=a([2:2:6],
';x=nonzeros(x);
/ M# Q. N9 ?% `+ Q- _1 o3 e
t=[1790:10:2000]';
+ M- r O" E, o# {* [) o
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
; f. T5 S) U. c! y/ L' }
b=diff(x)./x(2:end)/10;
8 Q* K1 @+ s' L# J6 k b. L
cs=a\b;
3 S4 B0 Q. [6 `- R8 ?5 U
r=cs(1);xm=r/cs(2);
* Y# ?9 t7 A( p
1
- ?/ o/ `/ e; c- t+ w: d
2
7 s: m% v4 V/ x* p
3
, s" p" m9 b0 d0 q, U
4
# B' `, a. @. u" }7 c
5
, R/ x B' t. z. a% n. F( ^
6
6 P! I2 |4 i1 q6 ^
7
# {0 _ P$ q# Y
8
# U* I( G, m6 b' D! W2 O1 \0 o
* \) E5 x$ c* ?/ f+ k, f( `
* y5 H" T+ a1 Z6 m: K
6 u- i0 q5 N K2 B; g8 h' A
) a& {1 ]+ r8 X
clc,clear
2 F4 G& _, y- t0 }1 T. h% r
a=textread('data4.txt');
; f; ?+ n. f. f
x=a([2:2:6],
';x=nonzeros(x);
4 O4 a& }5 \" y; v2 c. T
t=[1790:10:2000]';
) _; J u* K+ i0 m3 {
a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
% C! B( B1 y L. i% t
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
+ y, d# x6 e& x$ ^
cs=a\b;
# L \; ~. z& L
r=cs(1);xm=r/cs(2);
) G; D8 c" ~+ r8 M
1
@6 y4 n U9 i3 n
2
5 ~6 @1 y* g [4 `. b @5 {, l
3
# r7 u9 E N9 F* y& w9 C1 n& |
4
) g6 z/ _+ O: m, n \
5
D( N9 \8 j4 Y( l/ {: Q
6
, v. [8 c9 Z6 l4 L4 S
7
9 O9 J$ |7 Z O- M
8
% D* M3 a1 f( j) b. F! n% C1 {
参考文献
1 E8 v# s% \ \, S" r& u( f
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
# G V, d4 }5 F, D8 f; ?
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' j M- C, c: e2 M6 H
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/ W: h# a# }9 N
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2 g' ~, u& }5 q P5 E$ h7 i
9 S3 u; C0 M! p/ j4 b/ P
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';//提出需要的人口数据 a/ @0 k; d" P" _7 k. A';x=nonzeros(x);/ M# Q. N9 ?% `+ Q- _1 o3 e';x=nonzeros(x);
