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标题: 数学建模-常见模型整理及分类 [打印本页]

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作者: 杨利霞    时间: 2021-6-23 17:24
标题: 数学建模-常见模型整理及分类

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
9 d$ i; b; F/ d几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
! {) g  a; N- C  x  T4 m静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
% @8 s2 X5 W0 E2 W6 j$ p7 Q% Z3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
) G/ M1 r8 Y# H3 J& ~/ Y一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
; q, s; [# M7 I- j5 f1 l1 K# {1 H' T有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
" a% ~5 N8 o. {0 ~9 V比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
/ R2 R. J3 E7 L, a* @6. 按比赛命题方向分：
7 f* K2 J$ I3 L* v& c9 c: j国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
+ X: E4 T" h# T' V1 、蒙特卡罗算法
* Q2 U" ]% t: T该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
. _8 d! z& O/ X$ F( e- U2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
5 ~2 `7 R3 e) k8 J通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
+ b: D2 C0 v9 Y: P. v+ _建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
& }$ d3 B2 X! `, y$ q! c3 w这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
. B6 u( T( _1 F6 L论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
7 I) l8 Z8 G2 P. ^0 U5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
8 `/ j8 y3 o" ^! P帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
/ ]2 y. W% N2 `# H% E- \/ g7 、网格算法和穷举法
; }, s, A) r- L) `当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
" [: `# k) v( v6 ]一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
. d! V* J" k, M- d0 T6 r很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
: X2 \. U" \7 ?2 q* D8 _9 N9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
: l) R# l6 V1 U: k6 R# G如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
$ z  y5 G5 c/ y( x8 ?10 、图象处理算法
8 \9 i; [1 u  U. O0 {, `赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
* Y5 ?& \" c- J' L3 U4 f* f算法简介
+ N. C$ E" z2 g7 k& e/ c( l/ k1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
# X5 R1 m! {9 F/ H解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
9 T3 s4 c& A& w2 F个条件可用：
0 S( a5 I/ m  P7 a①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
* ]9 J1 s, k8 I1 A微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
! Z4 R" E, z$ M( n9 ?3 c' d8 s9 Z其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
2 Y9 v8 M3 Q4 `, M找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
0 u7 R4 {& k- `. }/ Z! S2 X  o& }概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
. ?" T% c9 k( i! q% `5 [5、 、 时间序列预测
7 k  ~6 G$ [- t1 J8 U' @$ g2 q预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
& i: K& s. P8 I  a; m数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
! u/ z" r& v* s, b7 _9 y' f预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
7 F3 d- y' |& ^7 m& ?预测波动数据的函数。
/ q3 {4 t' A; f- m+ r% N5 v7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
$ p9 K0 o0 J8 p- n8、 、 混沌序列预测（高大上）
5 u" c) l9 S$ b$ x适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
5 S8 z) j8 V2 U/ S( q拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
9 n" k* K6 _" U4 l7 q. m  W在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. B7 b' x0 |4 e  S# V# v: b* ?评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
1 I: Y3 ^/ l3 w! v' L( J* s, a2 v12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
+ ^9 z: L# a  R( K# G, A1 s9 a秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
4 ?- y" o7 b" I3 o4 U, V似。
/ h/ B" U7 _6 B( L4 N14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
  h' ]+ d# s# Q: Q5 k其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
% f* Y4 v% ^9 F. k  b! }$ r评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
# v5 t- Q# s" F6 R$ H15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
3 L( P1 W* ?6 D该方法做评价比一般的方法好。
, F( d- [# L; i16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
4 o( h- P) @" l( H3 B量有无影响，差异量的多少
. U/ |( H; H# R5 j- d$ z$ L; ?协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
( O' d, ?8 j, `" K' _, L素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
! x0 \/ J; m. g) T$ V% K模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
! w/ p/ f, u% W6 G" b( n; V优解。
7 e4 p* v/ K. m% F/ J- a' `% ]18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
" F* {7 v" L2 z; i8 T3 e8 @/ U) X0 E20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
+ q* V3 H3 a4 v5 a" g. Y$ v% e即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
5 @( w% k$ s2 U# ?9 v9 C! ~' E21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
. r: `. e6 u2 O4 {1 y$ \5 Z射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
9 p$ X+ q+ b2 M, o0 |9 D23、 、 多元分析
1、聚类分析、
9 E# e; J6 i$ X  O3 q2、因子分析
9 c6 n2 _: f( Z3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
1 I; P  S8 b+ ~9 G, ]4 g: V24 、分类与判别
1 W9 v4 M, A  u; h. U" Z( l3 t0 [主要包括以下几种方法，
. m: }$ M+ A; R1、距离聚类（系统聚类）（一般）
( t  Z5 f7 C$ `; ]2、关联性聚类
3、层次聚类
) E1 r; l) V+ l( @4 }4、密度聚类
  B3 l  N$ M1 }0 X% z0 [7 n6 O5、其他聚类
6 O9 J6 V  w3 E6、贝叶斯判别（较好）
2 ^% d; c" _! I( m7、费舍尔判别（较好）
; [5 k3 W( J* v6 I. y' K8、模糊识别
0 g$ j$ }1 G& _% h' S2 p25 、关联与因果
/ _1 Z1 Q5 e4 l# U5 I% u6 k1、灰色关联分析方法
5 o! g# m3 S1 a+ G# O, z4 D2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
. D# }6 i# i' O# W( U3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
; L: B( y: c, q$ X1 t% h; {; v5、典型相关分析
( H" Z5 s) ?, R. ~! T  z( w（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
* |( I, q! q6 ^/ W1 x; ]一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
! m' }" q* ]1 e7 l- W. S" D6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
2 u: A$ P& z! t. R- d7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
" f# v: K' J+ q/ ]计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
9 g) Y, F& a/ U# T! i4 z率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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2 l8 P+ D* K% ^2 l# q& u5 o原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
# e/ u7 A+ Z/ v  e3 a" a" Z

6 D5 u1 D& D' Z, M( ]- F6 Q

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