数学建模社区-数学中国

标题: 数学建模-常见模型整理及分类 [打印本页]

---

作者: 杨利霞    时间: 2021-6-23 17:24
标题: 数学建模-常见模型整理及分类

6 g+ U; I# Q2 I, }数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
2 I/ B1 O' n. ?* K: k型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
7 ~$ _- q0 U% A7 L; Y性模型和非线性模型等。
9 {# d1 d9 F, ~- x3. 按模型的应用领域分：
/ E8 a, h, b8 M人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
4 b( t! G7 k& N! K预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
# h' a0 M$ P/ e( l一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
0 C! i& i" f% g' j3 L6 l5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
, I- R- {2 ~4 [# c国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
- R0 M# p! m0 U2 d, W5 [+ M  y数学建模十大算法
8 S9 f; e% ~! Y  E1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
5 R& g$ N" u  g9 V2 w! E2 d  \( ^2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
: M& K- [" w7 A比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
  F' K3 D. P$ A$ R建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
. g$ x8 m2 p4 s法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
6 C" P) r! R- r& z4 、图论算法
3 k) J, C; n1 o0 |这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
% K' s4 M! S# C  u0 ]7 Z论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
. V6 q+ E/ L# ^- |5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
' H4 q9 u& U+ p" e6 \这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
+ k! g2 w7 f- q9 y4 T4 a6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
! j2 W! y/ h% a4 b, `  i5 G2 f这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
& P- \. j0 k: a% O帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
/ Z. h" v5 V7 Z! I% K. m7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
% ^4 Q1 F8 `3 v一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
- U/ `# l( h* P5 d6 e2 V* o. u很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
; Q, k, G$ ~. k! G9 r1 u2 Y9 、数值分析算法
# f. k7 P; e9 ^: q+ j2 M- [如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
, R1 r, Q' h% E1 M8 H& T' P; A& C如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
  [' f1 D. e0 c' M8 h10 、图象处理算法
0 A0 p! c  |  x' y, R赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
' }- z2 w; B$ T8 ~行处理
5 j8 @" T( m3 _算法简介
* w2 a4 |- w( f+ D/ Q$ `+ |1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
6 O4 ~8 E) Y9 ^1 p0 }①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
+ B: U  W* g' C5 W9 Q, B, |/ b+ l2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
+ M. u5 C0 p9 W# I微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
3 P- N3 u( r6 p. n4 _# k) ]0 k& D其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
5 D6 ]+ J: H% n3 B①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
& T6 N3 h8 y% d" o4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
) r3 o: }0 P! \7 Q一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
) i1 ?+ d6 m- x8 V# O概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
8 D) k- T% `% V0 K8 B预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
/ h* O2 j& s0 i) x" V& y6、 、 小波分析预测（高大上）
, t: V& |4 g& r0 B# i. F: ]# Y数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
) _$ i7 G; w0 l; X预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
) n% l% ]! j0 L0 x) w! j4 p预测波动数据的函数。
% m) I/ A: \! s/ F7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
) M' ^2 N: I/ d1 j& V& Y办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
' t. G  q0 L) z. [适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
8 W9 `% S" q* Z* g# A9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
1 X3 g1 C* ]% u9 }- [; k拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
, ]5 D- w5 C' C% N在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
# U' w6 W" Q8 N0 l逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 E8 ?) w! ]2 Z+ p& [% @0 j评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
( `, J2 I6 r- T5 X, U11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
; l& z/ f  i+ J% S# d0 r作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
% ]2 P6 ?% z( t+ t12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
, `$ W7 Q) Z. D& J0 m5 |9 n7 B7 Z优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
+ ~$ N  p* C6 b4 ~: u9 V& p其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
* ?1 }1 r; p- G) P. s' S评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
2 U7 q8 t/ o' m可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
1 e% X4 t6 E6 l, P来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
, u/ d8 h3 K) |3 V+ N该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
% M/ M7 x1 R  a  ?! g协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
0 }8 i! t' z/ V+ q0 B3 ?2 U素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
9 A4 ?7 ^& f3 G( d: T此外还有灵敏度分析，稳定性分析
+ W6 ?+ ^3 G" A; s* a3 Y: z17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
- L! t6 {2 |8 F非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
( y4 \" k# v4 Q% D2 A算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
7 Z; w$ f4 l! R离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
. ]2 D: T' c, `  U20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
4 U7 V9 c' m8 i$ D$ a; l9 @1 h即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
& r/ a1 ]& u' {" L6 W- D2 t有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
, q* s' o% W# t$ Q: _计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
/ W: @' q- ^! t0 u" d4 z! M- u5 C$ M; i般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
  j  I- E  F! F* D8 u+ s7 Y# v21 、图像处理 （ 较好） ）
: _+ m+ e% ?# z/ \4 ~8 q8 k( tMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
8 x5 r) k' G) R6 P% ~; q- [例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
" V& [/ d& |: d& a4 q$ {支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
  Q+ b" ~8 G' M' C- w+ d从而达到降维的目的。
0 D( Y! E( U% Q4、判别分析
3 J+ F, h( z0 P1 o& }+ b2 q5、典型相关分析
/ ]% W3 }% y0 j, n$ r6、对应分析
7、多维标度法（一般）
- a0 Y) V- N  `8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
) t6 i+ u+ _) {7 \1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
, y7 q+ N0 q3 Y5 X( y6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
/ d" t3 g# I! l8、模糊识别
25 、关联与因果
  J  W+ |; M7 a1、灰色关联分析方法
. }5 d3 U' [- c6 s2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
  h9 `$ J8 Y9 x! s! X) B- \3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4 A8 P1 D# u7 C3 I7 J, p/ G! F4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
3 |; e. t  y- b% o) {" }5、典型相关分析
2 |6 E. N, a0 K8 {* D$ k, n（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
* w4 w3 S, t1 I/ K# F, }2 |5 z4 e6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
3 j& j% }0 J% y, a+ D; J7、生存分析（事件史分析）（较好）
' n* c0 k% x! y6 _  W1 ]2 z/ I数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
3 \( x6 t, J; ?2 p; I+ d8、格兰杰因果检验
9 h6 I) ?" c7 u: G计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
! p5 G( o; g1 {/ h! J8 c/ y9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
! X' ?: y! `3 A量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
: o5 v: X3 W, O0 U6 j1 B率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「Data_Designer」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964

  N* n  }0 s5 D
9 S7 r/ z$ `+ ?2 Y0 P

---

欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)

Powered by Discuz! X2.5