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标题: 数学建模-常见模型整理及分类 [打印本页]

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作者: 杨利霞    时间: 2021-6-23 17:24
标题: 数学建模-常见模型整理及分类

& l! P: S1 j& p7 L) S& A: F数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
$ C, J. l7 n4 G+ Q8 G9 p5 l2. 按模型的特征分：
% ?/ {) z- r5 O2 R, L5 z8 y# r静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
5 t& ~8 h: i1 d3 t性模型和非线性模型等。
! V3 ]. l! v! e* W3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
* J% n7 J9 C; J2 e* z6 x( y4. 按建模的目的分： ：
4 w9 J5 `" N; a3 n预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
% i3 M9 ~5 \# k; Y* @  x" A比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
- a; f$ `# e$ m4 z1 {4 k运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
3 P2 l* t( W" t  G) o  P& }数学建模十大算法
% h" R$ K0 W2 y( g- R* m, J1 、蒙特卡罗算法
7 Y  `4 E/ {: K' f) T$ O) ^该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
6 \3 [1 v; K, h2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
- w- i# j) s* v3 B通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
6 N. s9 X/ k' X) z建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
+ B3 n& u) R' R* y4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
3 g# p% J. k# R9 _5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
) A7 n" Q# S" P5 l8 Y% {这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
  y5 J1 u7 ]  R; h' |: L; |6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
8 x) K) n/ P! @7 J4 [9 Q. \这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
* p$ |) N6 M+ N7 U$ u% X' |5 [9 I帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
" C" n$ r+ E/ G4 k, [2 h! s6 h7 、网格算法和穷举法
0 k" e# \6 _8 t% H6 O1 a& i9 U当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
) J3 t1 `8 O0 g7 g- d一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
- B8 y0 L, l5 J# A7 G" M很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
" t0 ]5 E* y2 E6 U9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
/ f8 z% K' d$ @" J赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
  K/ F( u' z$ H- E( j" E  k1 l行处理
2 A6 V' F: U& ?4 r) c. p算法简介
" N1 g$ o3 H1 t& R  U$ n- K1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  P! Y1 X5 C' q" e' B* l3 j微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
# n9 M) x: F3 q' ?2 f9 _其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
3 r+ }& D) j! O& v5 f9 R  f  r( s6 @找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
7 K! J8 A% {$ H3 o化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
# ]8 h! t. c8 Y0 _4 a8 e②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
. }3 v: Z9 ]8 s* p2 i7 q5 R: p4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
" s0 }; Z; ~3 g( U! H; h8 `一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
4 M4 }! X) }$ M7 M0 D& Z; x互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
% c1 q# G1 |9 v* V5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
, F2 }' M* Q1 w/ g  u（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
+ M6 ~; W, n0 A% x  R: l数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
9 _8 J% k3 ^/ x. b预测波动数据的函数。
/ T  s5 o5 |) G! p; U3 W; g7、 、 神经网络 （ 较好） ）
. f3 Y: ^$ |! L3 f' p8 F大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
% s! G+ [. `" g7 n9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
: v! V% G0 Q# R9 n) q9 r11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
- i  \) I* T2 e6 b0 O8 N( Q作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
! G1 Q- v- K; P  T" [$ |7 x) T, P+ T13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
7 d3 Q* J! [: K! \  k$ B秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
) f3 A  X& y4 d似。
  ]" _+ r- p. _' F4 o14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
* e' n/ ^8 ^. `. k$ W解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
) U. i7 }6 _$ ~9 C. u. M  O的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
  Z: M  E' ]5 z( j6 ~) P方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
4 U. l: X" S  b9 y- O7 m模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
$ r3 L: D0 w$ f0 Q# U4 t1 ?& ~非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
8 U/ N2 L8 D0 W) m' L, j- ?19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
8 Z% w* A- M3 Q7 [) E离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
: t0 O( S) Z) U9 |% J6 `) l% I/ ~' Y20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
# g% e# i6 t) p9 G# D% S排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
* L1 w; l- o, S9 G- r即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
3 H8 @$ Z. t) J6 T; C有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
# R& O" ~. C  |0 _0 p计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
0 @+ R5 g5 V& |0 `# w0 ?1 J  ?" S支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
: {* n% |8 w; `0 X4 T23、 、 多元分析
0 w) }+ Q  u( C3 l; r1、聚类分析、
2、因子分析
. \$ ]; C' r, M5 {* V3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
0 g, {) ~7 c2 U$ B各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
+ b# v! R3 w; S, @$ X, Q6、对应分析
6 l  I8 S4 z/ Z( R; t$ b$ H7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
6 G7 L* z0 D  V+ [' _& L4 F! R24 、分类与判别
: M; t! V! x* {% ?主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
) o- F0 G1 T. F/ Y5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
+ H8 Q9 n3 K+ Y) Y" l7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
$ g& ?$ i, s+ H, U3 i1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
! J  o+ n8 t% U3、Person 相关（样本点的个数比较多）
- ~$ F: o- ^/ g4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
4 ~  S0 {. b3 y5 K, Q4 w. q; X6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
" ?! g) v! t$ P* k' d# \. D7 }# ~8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
9 _  o+ L! {5 V, b26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
6 M) d/ s3 w- D, z量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
% \) M; L* C. p! W0 Q率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
& P1 f* ]6 m) _" ^- O————————————————
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  l. n5 u( j+ L- A% P8 J: d" D! Y* \原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964

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