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标题: 数学建模-常见模型整理及分类 [打印本页]

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作者: 杨利霞    时间: 2021-6-23 17:24
标题: 数学建模-常见模型整理及分类

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
" b. m3 q5 m+ l# `: g2 s1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
/ t8 P& f! ]+ H型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
( {( ]* D, F% X% w静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
3 X! a* |0 G9 H性模型和非线性模型等。
! H5 m/ k4 }9 O0 Z" e$ q. ^3. 按模型的应用领域分：
  I+ a3 P+ v9 w. S4 ~人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
# N8 z* |2 @  C  s: e3 C) L4. 按建模的目的分： ：
: T" n  s' T' x, b  @+ h9 R4 x% i预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
6 V4 ~6 g% I- v) r1 E8 D一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
! p% X( A, M& M+ u( p% U6 ?比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
+ c9 C" X7 D$ x% x国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
. ~& E7 t$ z, H- x数学建模十大算法
: g( b: l4 R% @: k4 L9 k) `1 、蒙特卡罗算法
0 K% ]3 Q, ^  A0 m该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
" h* I2 d7 b0 M) i+ r3 [2 h" u比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
/ Z: @% N8 \) T: ]9 N" A通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
/ U6 e/ k" u2 d法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
3 \. o, ^0 h' U+ E1 d- o这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
* e$ k! Z; Z; c0 F, f这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
. |, k2 E( R* ?( J6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
& G1 k# \4 d+ p这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
1 c) N6 _/ P# s/ R2 C当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
/ C' ~2 D& U' O  S$ e" b据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
8 h# Y( R% W9 @9 r; ?9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
' w: _$ d5 {3 P. G10 、图象处理算法
- R, `$ J, p' D4 q; [" S" B赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
# p2 S2 U6 H$ T6 E! h的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
( `" C3 n* A3 ]" K% e! n3 O# @行处理
1 P6 H2 K1 b; j7 d. |; v' M算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
# w2 j, |, {' P+ f解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
* b/ r0 E& k! d- M: y9 s& b( @! ]①数据样本点个数 6 个以上
/ j8 K. r- w/ D- |. L: [②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
0 x; `. d/ n' K; T0 J4 o5 E2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
, f, K- \2 e! J( @7 j其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
0 {& }; E& s3 G找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
' a9 ^4 X' f, }1 k3 、回归分析预测 （ 一般） ）
1 Y2 C% d" T% d( |8 F; n: o求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
, {. W9 s1 l6 h化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
3 \: P8 Q4 P: y: D1 _0 B②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
# u7 T& O: h, t1 P" L! ]% P2 @6、 、 小波分析预测（高大上）
  ]. Z8 ^3 ~2 o* g数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
) T% p( r0 J5 I( v' I预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
& G0 q4 h8 U3 |7 O6 L( Z& A预测波动数据的函数。
2 `! r5 f5 B) Y  u7、 、 神经网络 （ 较好） ）
0 e" v$ v" B! }" U) @8 y大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
- l8 e3 E# `; r# q* B适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
" D0 h) k; }) e( F9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
) P' C: ]! c& G' T作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
# z# I" l8 g- X! f优化问题，对各省发展状况进行评判
* m; x* k# z% {; P5 G: K# s4 k13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
: A8 K$ Z3 Y6 M; o- @14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
5 Y! U+ B1 V9 s- ]7 i其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
+ _; {+ e+ Z7 {* C& |解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
0 h/ Q' \4 n/ M- J' `+ Y( j. w# g15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
6 X4 i' r0 p, y6 M0 s6 B% F可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
" A- _6 u* H- a1 _: e- W$ I+ E该方法做评价比一般的方法好。
) f: O5 }/ I3 Z# p' O1 o16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
+ ^1 x2 c  I3 K8 t; h  z5 J. y量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
' x( w  I, B7 c1 Q# f* @2 x17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
4 P4 h+ v0 o5 E- o& \模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
! \) a6 f) Y. m# r  b7 |优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
& P6 t, g) H1 R' L19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
: q- y& t  T+ b7 |4 a5 B有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
' O& s) c* h$ L0 L# x1 q/ S般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
6 M3 C: d9 P% C) G! Y7 {MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
; ]. h, J' f9 n& x2 P例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
# Q* y2 t6 T- U$ |支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
- a8 ?: H) M. N; b射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
* ], U) \! m, p0 ~) t/ b1 ^1、聚类分析、
2、因子分析
0 H, Q; c+ O: F. q" n& m  D3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
: m1 o; E. X7 M2 V4、判别分析
% L3 R# t0 y% X5、典型相关分析
$ |& e+ a  W; B( a  U* V7 |7 v6、对应分析
7、多维标度法（一般）
7 k* x8 q! k5 x# J8、偏最小二乘回归分析（较好）
3 b- S8 ~* N& a$ }- I  G24 、分类与判别
0 Q* w5 W# |, r7 Q主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
0 q( c8 y+ {# d( _2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
$ V7 A( [' B( q9 ^5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
6 ~' g* T2 ~' ^4 M# A8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
2 J; W$ a) j5 _) w/ w5 p7 s4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
2 V2 l, O+ R1 G1 H5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
3 h2 ?' [/ c2 U: U: i7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
) _5 ?/ a( A9 u# b1 S! h; ^8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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9 f' E) {8 t& e0 o/ _+ M原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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