数学建模社区-数学中国

标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏） [打印本页]

作者: 杨利霞 时间: 2021-7-8 15:06
标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。9 w0 H, I  F" C9 c
边的结构体声明如下：( z' l- Z: e' B# p1 v9 H
struct Edge {, |; z6 Z+ b, E& z8 o, g* D! T. X
int u, v, w, next;
6 i4 ~! P# n3 S; N) a Edge() {}
) P/ v" P, w* T3 j( m Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
+ s5 I$ n1 H3 p, G; D- T4 @       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) 8 g# d) `- j% o0 i' m+ ]: [
{; s) d1 [3 W6 V5 Y* c: X* i
}
1 M/ ~$ d9 x* P" P% p+ g. t}edge[maxm];
4 X5 X* C  F* }  h" H& h, j8 M18 ~9 i& {" m! v$ F4 J( O
2  s' I7 O4 N" [
3
6 }7 L: Z/ x1 K" F" n2 O4
# u+ H& m6 ]5 ~& {# R. G* z58 Q$ l; d, g3 B% S
6
" D2 V# g+ ^- T0 }' k7
) I4 V+ w, e4 Y0 z' P( F; X8
; [% \& m9 q/ A1 i初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；" k, R( h6 m# X6 Z' J
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
. f% v6 N. S! G* k  z' `void addEdge(int u, int v, int w) {
5 R% A& P. p2 z  B  F/ s9 E7 B edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
* n: b: b% n6 y! G- C head = edgeCount++;
1 V: t' G6 r  i8 V% u}
) c. S4 q9 f+ p3 @4 Z1
2; ~9 B' n7 x* B/ d. ^' k$ n
3
* E( p% g, Q3 ~4. P; K* E1 N/ W7 [0 r8 Z+ `
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。5 Z) r7 s6 }, M+ G8 `. E
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
6 G/ q2 a0 [* j5 Xfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {! i9 l5 T* j2 A, F$ ?9 }4 s
int v = edges[e].v;) V$ c! J! C3 S6 n8 P, F* z0 n
ValueType w = edges[e].w;
$ `# n4 I; I% g) r( t ...  W0 G9 L8 u6 Q" F" D& f8 p
}6 |3 @' H9 b6 B: @0 f
1
% Q/ g  {' j" x29 J+ ~1 q2 @  l6 {. A
38 b3 n) e" n' O+ K+ [: t' x5 O" M0 s
4
/ \) J! t5 i6 v  g/ M55 X5 v8 k+ M9 D. c9 k& B9 i
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
# f. _% j0 X% _0 i$ |9 w' L8 e: x4、算法入门6 L" C3 n% b) L' U+ _# @
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。" c/ t$ X0 m# D' K3 `

1 s6 }/ J' O; m0 C" `
+ `" Z7 x: ]6 d- O3 s1 S& P入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
, i& N, c' {3 Z  w, s8 G+ M: f对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
, F0 Z* Z  y( K5 O! w$ c1、枚举
% H6 j- s0 y1 l$ Z6 M% E5 m: i枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
+ a( t. F/ p2 \, R对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
8 ^, J, N5 D* S4 B1 E2、排序' ~: J# A6 k, j: n
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。0 H6 S* L- v5 ?# d
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
) i% }' t5 n# J2 V  [  x# @C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。4 ~" {' @/ s8 n! Y
3、模拟0 j2 }0 m6 F" g9 G2 v+ h
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
9 v+ b& @' P+ _$ ?; X1 Q' t, w, U不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
8 z: j$ c* z$ W- _* \但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
, x( P- X* H# U4、二分
; j; Y# |# e+ E+ h8 ^/ Y& Q二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。! J: f" N* e2 G+ `( r$ Z
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
! T: X( D/ I0 p! m- e/ L1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；( V  [/ R* S6 ]0 Y8 N
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：. y! z8 Z& X2 z/ N
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；4 E) @* h8 \9 q
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
% H; S3 T% w8 M( d0 |& f9 G 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
2 a1 L% U2 F' T3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
( i1 W9 j0 p6 y9 y; `5、双指针, |9 N; p( J; s- y  f7 l7 d4 h* e
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。! K9 |" m7 b' V2 _

' \; _: U/ X% |: F- n* M: M% B! q' K' P% y# N+ A
6、差分法
5 Z/ Y( K8 o2 a9 u4 B% M差分法一般配合前缀和。
  d$ Q( {& H9 P0 Y5 d1 u对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；( m! Y* y$ N% ]' h% n
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
: ?) M! h2 D" u; m% Mx
$ y, u. t% V+ y3 E
( V1 v: j1 T3 s9 M& l) f' V ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g ! H6 L7 b/ |% c: F
r
! E0 c+ m# v/ ~5 \. Y% ]: [ 2 |9 I/ p: M6 J' ]% }
−g 3 s  H. c& o; S; W5 J- m" ^' L  {) m
l−1
! x) V% ^; f7 u, f& J- m  p0 N0 G ; n4 }6 M% R: m7 t
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
$ X1 Y% d' x. v, Qr
: W+ A4 |; a: e2 {/ I4 J* p, r
" _3 L# h9 m9 |  和 g l − 1 g_{l-1}g
/ O' l5 a* Q4 b3 r$ j4 ]0 V" c9 }* Yl−1( }( F/ g4 c2 q: f; K- v
% Q# V1 R" n' ~. I, @$ c7 F9 g8 h
，再相减即可；
* ]- l7 u/ u. N$ C7 k2 W2 n1 X8 J5 [: V9 |" A

/ c6 x' W, J% v9 U9 Y% M3 P7、位运算
8 \9 B8 W0 ?' P$ c8 j3 G' n7 }6 o位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
/ H) y# ~  Z3 {- z4 ?. ^4 u5 l位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。" q: A. t! t4 b- d
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
3 u& I8 k, _3 \$ f+ s4 c  K2 j" q如图所示：
: O/ \* H5 n6 z+ `6 ~: g( A' G
1 F7 k* g) ~; ?1 N1 d1 i: R1 F/ T, f' w8 q
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！9 J% a6 G* h* v4 G8 K# @9 v" _
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：9 {  X; P: h0 A5 s8 a+ e
!(x & (x - 1))
1 \3 b" \7 k- T3 K1
1 v. W: I  Y4 U8 I! M# W& [" k8、贪心6 G6 P4 z, }* T4 ]- @& r2 L
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。! T: e8 A! _) Q  o
9、迭代" f, D) ~2 B% q9 b
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
) m5 X( M& u. Q% F6 ]* N5 p10、分治
( p& o+ `# h; y, r; Z分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。- ~& H1 o  \' j: F7 k) [1 e9 H4 Y
5、算法进阶
$ H6 W6 q$ f* q6 h* ~/ f4 \算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
; Y/ {, q' x, O4 E$ K2 j9 `如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。6 a3 e' U2 k- \
这个系列主要分为以下几个大块内容：
5 Q7 F3 H3 P% U6 Y3 p5 w 1）图论- X2 b* }  U) a: i! V* i
2）动态规划
9 q6 ?8 G  W2 }  }( E6 X 3）计算几何
8 R# u( t$ F0 m9 v, ?  }$ r" ^# F 4）数论3 N0 b; ?: i+ B' M, a
5）字符串匹配( _" ?, c& Q& F
6）高级数据结构（课本上学不到的）
3 j+ ?+ _! v' e; F6 P 7）杂项算法2 `; H+ W) v+ F1 n5 g" n
) L$ Q$ g% q& Y" R& n+ V9 [

9 T) s$ @2 Y4 L$ K先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
$ }! c! K0 o# \9 Y& Q5 }5 F2 |: @5 i1 Q

2 L6 m  b- T& m5 t* n0 [2 m& {, s0 V2 [, Z5 g& o
5 c% `3 |4 `4 c' g) D$ M" a
1）图论
+ g% T8 P: Q9 e* }. I0 v1、搜索概览0 c8 n+ m. m% b! j
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
4 k  C9 z- e4 d( D3 Q6 Y; I6 w1 V: e. T# n1 z# w
  W# }' l1 ^% f1 r5 R' @
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
2 g; o5 U: r! s8 E! N2、深度优先搜索7 J; I2 U% V9 D' q1 x, d) N% L
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；! g( ?9 f3 m% y% ]
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
1 ]0 z4 _( H, ?但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
1 |4 m( P8 m  k如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。: U2 J9 o, O# j$ f7 d

# ~$ t$ v; B. }2 E  r6 [) M. s7 |+ n
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
8 T+ D# a4 P+ a7 v9 g+ b% n 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6' B( b: H  M2 t* S+ D9 T/ H/ C- W
1
* ?- p3 g5 m& l; V. c同样，搜索的例子还有：7 Q; P5 _$ v" _) r% e
. E5 c5 b0 Z  O
- o! G" |% U9 v" i( K
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
' h  ]% ?$ M9 ]* @* i8 g3、记忆化搜索# a" ^" _% r; k* l2 y
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
7 t9 p- G# m) @- ]# mf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
/ B+ s& |) c/ H. j⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)0 o5 s+ L; ?$ b7 e+ R- a
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
" W/ D; m( L. @4 M0 k$ Zf(n)=
3 i$ v5 o5 i" G, P⎩
6 c" o* w4 o5 o! ]⎪+ h# ?1 ~/ E. W7 V3 F" W- F3 p
⎨$ U% L# B4 r% {, _0 h: M
⎪+ R- O$ a. `8 m7 b
⎧
( z5 C( a' t5 q6 l. A ; a% X  y/ K2 |6 C& u" K4 a! o$ a
  : c/ B) v& l" j( g
1
/ e* i( v1 _  S1 `1
0 F# M: u. A1 g0 vf(n−1)+f(n−2)3 |' ^+ f, \$ T- M0 j# \$ C

$ ^0 L9 V. W- D  7 C7 [& `- j# C6 N7 ]$ f
(n=0)! W/ i0 j$ L3 r0 K
(n=1)
+ {6 Q' ?& ], J& R(n>2)
% `) B7 K1 u; W3 W& | ' S. V% j! b5 G" y- t3 }1 P+ f7 j
' w& Z& K, _5 D0 B' m+ \! _# K
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：+ l' f* f+ d6 d* {3 n8 q) t
+ v' j3 |) W) I/ g

7 g9 V1 ^  _. g, j这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。" B3 T* q% m4 Q2 ]* o& ~* S
我们通过一个动图来感受一下：
& l" m' L. L9 g0 u8 p7 z9 @* a1 [$ |% s- `/ O

9 k: N4 S5 ~3 P( W6 g( l& [当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
5 t( B3 T# Z4 t: n) G这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
6 ~! {& u: Y" w$ r2 {4、广度优先搜索( d# a. S# p# w# C) ]
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。/ p& N) L- d5 Q" l. w2 }  u
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
) q- O5 |+ j( j" c0 d( r
9 q6 T% O2 a  k! C1 n  w
% `  r( ^3 {, a* K& ?
0 Q9 q. \2 b7 o! a5 Y
0 E0 ^/ \& |. ]5 ]: q# j从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
6 a& h! r8 e, P4 {# X那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。8 V& D$ u4 Z! I/ H3 a; |8 _
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
$ K/ i% f0 g/ Q0 E& Q) ^5 ^4 z2）动态规划; D, D% n& S, e" V1 X" K
动态规划算法三要素：
! A% C$ [+ r1 e' W- k8 R1 J1 @# t! Z ①所有不同的子问题组成的表；: ^$ f3 e# _: e" |1 O
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
2 j4 U$ d& k, h8 j# H ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
! V; F  i" D3 i4 L: q7 [6 j
0 q7 c4 V( C4 @) X! [: v3 y2 c2 e9 R0 f# d2 V& i
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n 3 |2 l9 K  e0 c8 a" T
t
6 T# S/ T) y0 K& a: c6 l! h1 e )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
- a0 x7 l% ]6 ?) a) h; Z" ze0 }2 ]: B+ W5 I5 p
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。2 x" R1 o/ C. @" k
1、1D/1D
: J- F; L. f4 t  R2 T5 A8 |+ Sd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )4 [( S/ x, W3 Z
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)- K" [$ b; q; z: H. A
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：( {  Q! F8 Q, g' [
* s% p$ |9 u8 G9 E  q4 Y

! ]( @6 O- z) N3 \这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
1 M) i: e/ F. {4 p$ z2 Z2、2D/0D, K7 F% l0 y2 |5 C1 f* Y
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )( D1 Z& @. D% I! {* o
d[j]=opt(d[i−1][j]+x 1 I4 B/ N- ?; |. D- Q
i3 S+ D. I7 ~) n2 I( ]+ q, a7 t

" k7 j# ^" ]: o" w0 d2 U ,d[j−1]+y 9 x9 a  K3 U" f; ~3 R/ ?# X$ z
j
  \" P2 d: [( W7 |8 {! w: E
5 p# i( V) X! O6 d ,d[i−1][j−1]+z
. A: ?& {' U' o: ~5 Y  G/ Cij% _: Q6 J( q9 e5 q

2 c& Q0 t# G+ k0 |( p )
6 z. }$ L. b, C: L1 X2 N状态转移如图四所示：  ?) G" M; v& i3 h6 h) e. a9 N

: L/ D: f" m% `% m% t/ F% x, I
: r" \% u( w' F% D6 M6 Z% |+ e比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。$ g1 @/ {3 s0 [- ~
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
9 R& Y0 k4 g7 n4 Y: _2 \5 x* F: ~有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离$ D5 a2 s# P! B
3、2D/1D
( l. d4 t% {" B3 |d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )( H  L8 b$ V6 v
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
6 q% L4 w$ |8 a" X6 }区间模型常用方程，如图所示：
- c2 f) n8 H# _, n
. T8 b) K2 z8 f$ Z# B: N, v( Y: _+ T7 U$ o6 H
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：4 P+ u1 J' V7 L& \
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )! F# ~: a) |0 G; T1 \' N
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)$ K9 L( e8 Y$ x/ s$ m
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
9 W& d7 }6 K2 p! w4、2D/2D1 r6 X' [# d( [0 J) P4 H$ e
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)7 D, j. C3 H) t6 t
d[j]=opt(d[i
; b3 t2 p, v) N: y6 w' |- l′. g% O& P& ~) M' t3 G
][j 1 j" U; R$ n# ]
′5 j: D' G! n! H) r) u
]+w(i
- _4 \! P* V! E′
* V5 }) }+ X' K; y4 c ,j ( ~( ^* V* B+ d# a/ c8 X
′
1 S/ T6 c5 `- R8 m) c2 q. W ,i,j)∣0<=i 4 b) p* \- B6 m0 B5 {$ U: u
′
  i2 F! ]3 d7 L+ d <i,0<=j
. D% Z, j2 h" _3 x9 a7 P1 R′
$ V; R/ D% \7 ^0 E( d <j)& M  |9 P3 q# E3 `9 U8 O
如图所示：
* W3 \/ t8 d! E. i4 t% y# s% k0 Z! Y5 E4 S3 l& r  B9 ?

6 d% o! R: e, C) E+ {常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
8 V7 U. Q7 n2 O+ D/ h* X对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
+ F1 ?- }; ^) _9 G& Q. l+ vt+e; }/ U3 {* N! I2 q
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
+ {) `- ?/ J2 lt! e4 b3 k1 \+ B" ^
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。, q3 A9 O0 _. U
3）计算几何
: o  f) \; a+ C" L$ q# `计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。2 I: X" z2 Y# h$ b
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
9 ~/ ]( {; G5 x7 @. q; L" w/ L" A6 V$ P1、double 代替 float
/ ?! ^6 _# G% F) N! Lc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；. k) A! @' m- ~! o
2、浮点数判定
, ]) t" k# J) a" d由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
% {( Z& T' e( O( B1 V. Y0 c* g两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
, P: V- {! w" [  N6 s/ I  [! Gconst double eps = 1e-8;9 \# V- Y* ?- Z- Z1 }6 |" u8 X) C8 E
bool EQ(double a, double b) {
1 F  v0 f7 o4 m6 I; o1 F return fabs(a - b) < eps;$ F/ D3 I# \" f1 A) X
}
$ D  u' t* y' m  F$ B1
  n/ Q( }4 f  k  Y5 d; q7 \, P+ c2
( k/ w+ T% W" s6 b" j* b* l: f* ]3
, w; o- s7 V7 h, g3 C49 Q7 @$ ~- h& {: Z* H3 ?; J( `
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
# x: I# X! A! X8 e% m2 B3 ?: Fint threeValue(double d) {
* J1 k8 |* @$ L9 t) J9 w if (fabs(d) < eps)
0 C. f3 t: w4 f9 T5 o! [       return 0;) `$ ^, i3 G* D' a/ T/ [
return d > 0 ? 1 : -1;
2 V$ ^) d: m0 G* C}& D4 o8 Y7 o5 |5 w8 ]
1
# ~" L1 r% H6 q& G! k4 z3 Y2
7 r/ c- B; Z* a( n3
# O* m0 v1 P1 g* F5 x- k& u4
: e( {# H2 N+ Y4 I5) S! ]/ r7 D+ x3 N* S( L% A
3、负零判定# q% j& M0 L; k* M
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
5 t5 u# ?: {" ^, H% r" l- K double v = -0.0000000001;' I# @) {: K5 g  ?  p
printf("%.2lf\n", v);
/ C9 T( ~4 N9 u& i9 K5 x1" `" f# n* O* t: u3 O; P. C+ C
2
8 @# c' a: s2 D! W3 U. @0 ]8 D, J避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
' s1 X! N2 a% O" Q double v = -0.0000000001;1 y0 x, w$ H0 b# _0 ]) A
if(threeValue(v) == 0) {
6 q3 J( S; E. u$ _       v = fabs(v);1 v- N% ]' l# l& u3 p  m; |6 x/ `
}: T/ N4 i1 X, ]  t6 h- H5 _$ }7 W
printf("%.2lf\n", v);' u( J9 g" @) p. L1 {! b
1
3 l6 M" l( q+ i! O( h- L. W  p2
. \4 y; O7 o1 p7 y- N# V3
; d5 g% q1 q+ u7 _, @- p& c# ?4
+ P( [, z, e1 ]: X5
- u7 x. e3 P* }! B8 B: K: [2 y4、避免三角函数、对数、开方、除法等
+ w7 q: ~( Y0 [$ U$ {: Pc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。/ [5 r) `1 c) {2 T
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
) A: ^0 z& V& r8 a& W5 s7 M  W- R5、系统性的学习
, n6 o$ t1 f  ?+ t9 J( _基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
7 N# I0 m) E* Y# V- r进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
# T3 c  R; O9 ^% _( ~, L, P8 C相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。8 ^: r6 I. E3 w" s; V

* Y: E: @" n2 }5 n- j: J0 T+ o5 g% r. j1 n0 _
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
- G/ @% l- K  P7 Q1 s4）数论9 y5 |8 ^. t2 s% I) M
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
) ], q4 Z- g) X8 @4 n数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。$ Y$ i! l1 j( {5 {/ O
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。- @: w! b/ m: `, h+ E) E8 j
1、数论入门
. L7 R, e9 I. t主要是一些基本概念，诸如：, E7 i3 N9 E* T
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
8 P% v$ {8 Z' H& H2、数论四大定理
! c2 n, {$ A0 R8 i这四个定理学完，可以KO很多题：
  j7 q+ S/ Y9 k1 N2 K. E* X欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理/ h6 t, r9 y6 G, {. D
3、数论进阶2 Z" b' R' a) O2 |! N( o; B
系统性的学习，基本也就这些内容了：
) q3 b3 G& K: o) Y) p# S; j' p" l扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。' {0 ]$ E) f) [# t: I
5）字符串匹配
8 e3 K3 R+ ]$ I! F) j& [字符串匹配学习路线比较明确。
5 j* n% p3 S9 f* `/ w( H, Q先学习前缀匹配：字典树。
1 @, s- ?2 }  z* W8 \/ {然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。/ q0 |: m6 B0 {! X; L% }8 [
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。3 c8 R+ P* C5 A8 Z4 X
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
/ C& R6 l0 a: j然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。5 h7 T- [7 ^' C2 Q4 O% L2 g
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。( ?& q4 Z; X3 {/ f, \6 W5 k4 r" e9 b% {
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
  p) A5 R; m2 Q; d7 t0 E# R2 f参考资料+ N# W, N" G) {, @0 ]/ p
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
! }0 i6 l5 d' M' [  H% e【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）1 l! E& @& u7 i) q$ f0 u5 e
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）4 I9 b+ f& V! h
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）" T7 w& Y  a7 b4 p; c( s
————————————————
$ W) ?/ J6 X- t$ }版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
  Z8 A# c  o4 e6 G  N: w原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228- B; I0 m3 e5 n: `6 Q" w& K- ^) Q

0 D  x' ^4 v% @2 n# B+ ^) E# a- I$ O+ k# k+ a& ]

作者: 1051373629 时间: 2021-8-17 17:14
太难得了
+ R" E1 z; i! j4 H2 {( ]) h

欢迎光临数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5