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标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏） [打印本页]

作者: 杨利霞 时间: 2021-7-8 15:06
标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。. ^  G! t: G: n8 l
边的结构体声明如下：- n8 [! J$ a' _- r- \; i8 L7 v
struct Edge {" X6 n% T8 y  b$ f+ c1 R
int u, v, w, next;
7 a1 W0 L6 g$ F; l. G; R9 ` Edge() {}% R7 d8 ?! S. ?5 N
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :* m/ b; k5 s& }! A( ^' U2 p! C
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) : T* J+ u& C$ Q, a* P( x- \7 [( K
{- H/ ?' q) ]/ ?1 P0 Y+ q6 _8 D
}
. h( Y8 u( J3 M0 b}edge[maxm];
" U9 b& S, t7 }15 Q2 F  u; i' X
2
7 y6 H  w/ V7 C+ Z3; l* k3 K9 y3 U; {2 T
4
, d- O$ {7 j9 M0 K5
+ a- t" F  y" F7 U6
- [8 M# t" Z. `3 C: E% G76 z: p4 Q3 f, J2 D7 i8 D, V/ p$ F& f) ?
8
8 e2 z0 l# h$ d  H* U" A初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
, }8 @' r  _& I" r, o% m每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：' |5 F4 h9 }8 I; \) J
void addEdge(int u, int v, int w) {
, H5 h$ x2 ?: t( J  V- c edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);8 D2 E! Y/ ]) K
head = edgeCount++;
! U; Y+ o2 O8 L3 C6 d}
6 z: G3 M" F% {7 t) F, N8 K+ A1
# u. g. Q9 V% w% ?8 I& p7 Y2  n" q! F, y/ Z+ u
3
9 e8 J' ?; B" k4
8 Q5 G+ F$ V5 C+ t1 U9 X: K这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
  [) [+ j/ S1 c6 Q8 Z" Y9 a调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。5 `9 j# ]" v% J6 g0 `3 B
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {( E* a+ q8 ^7 f1 ?" B
int v = edges[e].v;! \+ H/ p' n0 s" N' c0 ]7 n+ {% J
ValueType w = edges[e].w;$ V& t5 Q; [4 P4 l
...
5 T* Q( }$ H1 ~' f9 w# f}  O1 i7 m' S+ g5 L7 Z# D
1
+ E3 g/ Q  V  L- `- h6 s2
& ~+ J! r- d+ g0 Y1 o6 k3& u$ q: ~  l2 d8 {& C
4
9 {; [; z6 \* q- X) z) J; D# I5 m54 ]9 b7 s( P$ w& S0 d
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
! J. q& k6 u/ p- R0 A4、算法入门
3 a8 y9 D. W4 o4 K" \算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
) N: b4 [! i( X1 M# O  T& W) B1 z' {: L

! G- H. i+ w( U! T; |' ]  V. I入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
& ], _! v7 V! K( q7 |$ @9 S对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。9 V/ D. |) c. T! s/ Z- L' k2 W# f
1、枚举* G6 O$ L! k3 e9 D! S4 f" }
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
; n! T) Z7 U- M8 P" o6 p- {对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
% Q& {: W1 [: }2、排序
' a" E2 t0 x# K* f: j! y  R; \" m5 j既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
. x# z" `! f; [) m- |冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。/ D6 j; z5 U+ }- x* D
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
2 p4 w& P# I! G. O* B3、模拟1 |0 L) \/ s# j* M8 _/ z& M) }
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
+ Y. I; p/ i1 {, v( U) a2 O) v不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！8 s2 O% s$ L( c$ ?
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。- r9 Y  P- B$ m# V3 Z
4、二分
& X* p( C7 _2 N; r5 P二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。7 g9 f; q* \9 L' N5 c9 ~" o7 b
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：+ \7 R8 o0 B% b8 ~1 [  {
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
" ?2 E6 S; N. E4 N2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
! u* s7 V$ G4 i9 Y4 p. F5 v 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；; |+ E$ |) t7 T
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；) D% j. x: d# x7 ^
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
5 {! r; ?% P; i/ I1 ^4 w3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。$ f' ^$ g. V! e0 z$ T4 J  v8 A4 F
5、双指针
, r7 s  @" A- a! A* _5 G# J4 D双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
9 H7 b5 l8 Y; }
( c5 }, n0 S/ Y5 b! p2 h& l9 Z0 i* I  ^; l/ A
6、差分法
% k6 p; }& t+ b- ]2 ~差分法一般配合前缀和。
9 X! V$ h" v, k8 n3 Y2 f' e对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
. v' t+ K8 E! P/ g假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
4 o9 t, m: |( L+ L+ P, @# Z; hx- f+ v2 l, }5 z$ j( Z

: B* T6 G" ]; @4 d5 c% q ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g ' X! ~; e+ D; `- t
r+ q, A7 J3 h' D- Z% z
6 y6 [" E+ O3 w0 j
−g
# K8 ], U6 s4 T4 h2 n, h/ S* [l−13 D. a  Z$ a- F' a
( Q% _: h% b. ~& X
；分别用同样的方法求出 g r g_rg - s" b/ M2 ~1 r. q9 J8 E8 w4 E: e$ N6 I* p
r2 u! ]4 e: o& n# o6 ?  e

4 [8 \, b7 F* n$ n  和 g l − 1 g_{l-1}g   M  a1 I8 u8 Q, e( ~
l−12 K+ q0 m* m4 ^& R

& Y( d4 q" C0 }* M ，再相减即可；
7 ~" x& y: y$ k5 N0 c8 F* _7 y1 U8 p2 h& k( X4 i5 w

- C. k* J' O! y! Y) [* v8 Y7、位运算$ Y* S# B: Q8 G- t8 k8 p
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
& i  m5 n- a* w) D  D& Z. \, |位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
6 [+ k) x) m: B: P布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。" y: W6 y( m7 J% p( f; ~7 n
如图所示：% q( u$ X. g# F, z9 w# |! ?$ T

# S; d( b/ ?) U5 F% j: ^9 @/ S2 T5 ~! `% V" \% }$ P. y3 s
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！! n9 z% _* Q2 a  X  |0 D) w
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
, Y0 E. z2 |/ r6 `!(x & (x - 1))5 e  V6 h0 D, z, ~
1
0 B# w; N% Y& }8、贪心, F1 v7 I/ P0 ~7 A  `  P
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
% p& S4 o4 S$ ]/ l* t9 f; m; ?所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
7 h9 z! x# y' A* _9、迭代
* t1 r4 m! {: T' w- t每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。4 n- u% M9 J* |1 x! o, P
10、分治" ?8 v1 s8 s. h' p% f4 B
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
5 A  u. ]- v/ k5、算法进阶' _  ^7 e& H0 V/ ~+ t% i
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。) q3 ~8 z2 P! n" t; `+ m
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。' o" x9 x3 y8 k3 j. J
这个系列主要分为以下几个大块内容：1 J5 c* T& |3 Q( m/ g
1）图论
  K; P- G$ ]& `3 E% w 2）动态规划
) W: ]- A; I' n/ L2 c) s 3）计算几何4 r  t! Q. l. Y7 F4 ~4 `* r# C
4）数论' v3 ~) i4 ?: V5 c8 [! o1 y7 r
5）字符串匹配
# p5 b3 B( O' t6 h/ Z! Q' v/ P 6）高级数据结构（课本上学不到的）/ ^  v) r. h, g9 k
7）杂项算法
$ K) k) `* m' c: e5 t: b
/ C2 Y1 g" f( M3 `* ]* R5 q! ]( E4 E5 q1 n3 y( u- V* h0 j
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：4 ^! U' H$ D( m" N! ^; ?
% b, q# v% A; H8 g

9 x1 e' r; X) c! U8 G4 U$ P# E( b! f' D" l) i3 ]4 q
0 ]' @' {( \; f. K* C; B7 w4 d
1）图论
' M; p6 @6 w7 g! a1、搜索概览/ U+ t' ^3 x" C. J# I9 C4 ~3 t
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
( X- ^# L4 H8 f8 K; H' L! {. L  ~/ _+ \9 e# M! b

; V! x' W8 @/ A4 g/ M比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
% h, Z8 d$ u& j' K2、深度优先搜索1 F, ?- E/ Q1 ?$ {0 Y9 \0 D" x. w
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
6 |# R8 M1 A2 N- G5 a. c/ F原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。, r# ~9 S1 o: |1 _7 c
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
4 h4 x9 P7 X5 r) l# w* _' {如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。8 o- A- y$ _) L7 q
. e6 e2 Z, C  m, N; [
1 Q" w! d& T) C& u# S5 G" S% ?* q: v
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：  ^# U0 o. O5 r/ m) C5 B* ^5 @
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
$ `% b5 C5 [/ [& C. \' G) B1: ]: |$ H8 x6 W. d/ L2 u) Q
同样，搜索的例子还有：8 E2 L9 J- s5 Q7 Q/ Z$ x
" \$ Q1 Q: _) u; A3 y# p: I

$ ^- S" I; m, W9 A: \! y$ n计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。* N* L2 P, L6 C. K  f# B; N
3、记忆化搜索+ M) M/ P( V) Q: J6 N
对于斐波那契函数的求解，如下所示：0 ?; d3 p6 g7 d" E. j' T
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =( }/ m1 l. L0 x, ?
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
% Q. L. `9 C( t. ]$ [, W" s{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
8 t1 b. S+ \( d" r. @0 s  E- pf(n)= : P: l9 C3 {8 Y( U. {( w
⎩
/ f" G, M* L7 M0 M1 S9 l⎪$ z- }& K& V% @0 W4 F  ~3 Y
⎨0 R4 f2 k2 y4 K
⎪
# M5 i) P" L! O4 ]⎧
+ D$ \, |: o8 r+ t8 f3 Z7 D7 x 8 v9 z. D" Q4 P  g; \# j

6 ^9 v, R) Y4 g1: X: N6 ~( `! @& v8 ^1 i6 X
1  h$ j) b5 n1 s6 C/ V' d
f(n−1)+f(n−2)+ I5 `  T- W! w$ W" t
' S: I$ ]- M7 x6 a
  5 d1 B' @2 e3 f% z# i
(n=0)# |% P& l+ M$ e/ v2 o8 a* a/ s6 v$ O
(n=1)- W( T/ Y7 V4 e0 O* g4 Z
(n>2)
9 w6 }, m7 l  i4 l, ] , A" v2 @( D1 N6 |8 z2 f5 H2 x
. N; p; k8 ]# A
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
1 D7 {: E0 B# \( z/ C/ e& r8 i+ o9 S: v; H+ `

! p% [4 t4 N; A) r9 d这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
# j4 f6 D% L8 ?/ X8 M- p; |8 f7 F我们通过一个动图来感受一下：& ~$ B+ s. [2 o

5 ?7 t) M! s8 s
9 |9 [  S: q6 d当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。( H% Q, r4 n8 O! r
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
: ^, b  v9 A/ B3 d: ?% v* R; V4、广度优先搜索( H, x/ E2 L- O6 S$ I% Z' ^2 b
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。% Q" T; B9 q; `7 W' C" v
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。/ t: V& g% E0 N6 N
- G; E: K# o) Q- H6 G% f6 W5 `
/ k" Q! T- C: i0 E. Z2 S' C% E( A: ^
" \" B' W# U8 f- T% ~
9 \: f8 H/ W) y6 ?- B0 s/ }
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
; ?$ c% R3 T7 M/ b7 d  u2 t那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
- {5 l# F' f" a" K: C这时候，算法和数据结构就完美结合了。
1 K3 o* r8 L% ^/ |- K8 g2）动态规划/ p3 I% e+ _. ?8 S' q1 N
动态规划算法三要素：! v% N2 a* ]# ~: W
①所有不同的子问题组成的表；
9 M# J8 G+ i& M1 L1 ~+ g' F ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；1 @# t! O, I  V2 t0 S, H
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
# ]- t6 }0 h. e5 n
2 `1 a7 I+ P7 \& Z) z' E3 [
0 I+ _0 |$ U% N: k! G1 S" E如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
& i- f: K+ N$ v/ c4 I% Ct
& z6 X3 S" K: J) F! Q )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
! |  Q: l* e$ d8 j7 d" a# F% x8 k6 ^e
% i8 _# @4 O1 `4 _; Y" ^* H7 g) `- Y ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。: U$ n& u# w4 ?4 R0 P7 |
1、1D/1D
2 ?4 s! a7 x. e8 L+ Pd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )7 |$ a  H; i! `: y8 Y2 Q- w
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)5 n, q/ E, Q; e+ O; x
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
2 f! N$ d: E* d0 s! D* P9 h+ C9 C( v) t% N5 R
$ {* _( b5 n/ i6 T" r8 C  F" i6 @
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
( ]/ v7 S2 A9 j  A- s4 N7 G2、2D/0D+ w; c: Q& \1 p% ~
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )) f3 b3 Y5 I2 Q, E5 c" |& f8 D
d[j]=opt(d[i−1][j]+x ) B+ d7 Y2 E1 k& \
i- }4 q; r' [# W2 m$ H, }% |
& C, K/ P, D% C  e9 W2 ^5 i3 L
,d[j−1]+y
2 h; h) E9 {% O7 ^; Cj2 w; f: Q+ }, M1 {& U' N7 }- p! V

& h  g2 T/ t2 Q, @+ k& }6 G ,d[i−1][j−1]+z
0 [6 {/ K# e3 L8 {# ~8 [6 }0 X2 G' ?ij
; H$ M% Y- I1 r# H! G  P6 y
: d9 z$ V, e7 G2 u3 O7 U )$ O0 B, ]2 N2 F, [
状态转移如图四所示：
; A/ z% j) f. e9 k* i
+ n9 g4 J% S) P& H8 J  v
5 P( Q9 j0 a3 A) h' l. w比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。2 `: h: u% L& _$ a
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列' G9 f# z9 f0 u% @8 K+ }+ ]- F; {) V
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
- [, J: m0 T4 \7 F& ?3、2D/1D
9 H+ p4 F0 p, ~) o. O0 Gd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
. L1 q( e3 Q" w  a2 m6 ]d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
* V3 S5 |3 B/ S  Q9 A5 A5 J& k区间模型常用方程，如图所示：
0 h- A, j; s0 R+ C2 ?, ^( t: r
8 F' G1 g  S( D
# O( p- L( S) ?/ ]0 ?+ O0 C另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
) S$ L5 C) b+ d2 M! ^$ k- vd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
( F# _- P' B; g% nd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)5 }$ `! Y$ E0 M2 o! R
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP& S; z0 |: r1 M9 e: O- X
4、2D/2D) q' A0 Y. q" z1 N
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
, g& Q9 C8 ~4 N: ^* A5 Y# o% sd[j]=opt(d[i
* V5 ]/ [* t/ w" S8 g- k′, [2 ~$ G% `0 h# T) D& [- m
][j 2 Y: T' Z8 D# o0 A$ l% \8 k
′
- `8 q7 x2 U4 X4 g& w* B3 j ]+w(i
: m+ b& Y/ @9 m) w′& B' r7 }; J$ ?3 Z# w. [* |
,j . y% j1 ]( i! i& S
′
9 H5 F" w9 p/ o ,i,j)∣0<=i
7 g/ c5 m' h! ?# o' K2 H. ?( w′5 h' q- X; X- F; z' H! ]
<i,0<=j $ d  B: I8 ?: s7 b  E; S
′
/ {5 X: Q% R! l; t <j)
9 L* P7 _6 F  l7 i如图所示：
) Q! d# u5 S  H3 Y, E( E5 B, n: ], Z0 k: Y7 Z9 D2 Z$ }

& |8 _( S" r7 ]6 M: }常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。5 N5 _- ~/ o; n+ }: h0 S
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n 3 w& l2 G- ]  w" m
t+e
9 z; d% H) |" y1 I8 P )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
, T/ s5 X$ G. J2 Wt5 P  ~, E5 l; L" v; i
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。4 _8 w8 `. ~+ Z# R
3）计算几何$ {4 x3 ~& F7 z8 L. m$ W/ o6 X9 J
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
# e1 T! l! v8 D: H" B9 l如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。9 E8 V0 b) n* W/ G% I# d
1、double 代替 float
! g) X5 P  `+ n2 ^, k: M& `# S4 `c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
) c4 @0 a2 ^$ f2、浮点数判定
+ J0 E  p/ p, i5 G+ d& v由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；" S! V% X/ A' b
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：# r, z9 p; M  O+ F, B
const double eps = 1e-8;! ~) a+ k) ?5 @5 s, ]9 ?- R# D- M
bool EQ(double a, double b) {
- x  n; e, G' x/ v return fabs(a - b) < eps;
# w- a; t3 P5 Y( S" N}
: J  k1 T$ L- _) S1
0 \- g' R: L: F& t; S# u# `23 S% {" n  L" l1 u  ?  q( q+ D
3
5 k6 \8 V+ k  U% d. _, v: Z$ w48 i/ q2 a( E+ m$ }& W. V
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：. K5 Q! q' }. Y" J: f! v1 j* t6 I
int threeValue(double d) {
5 {! K) H0 [  F* F, e9 U if (fabs(d) < eps)
* i. Q! ?- X6 s6 J* [       return 0;0 V% n, o9 N4 U
return d > 0 ? 1 : -1;2 z9 M) E9 w/ G7 Z2 b% h
}
1 U  \! L' A% M9 a1
/ x0 ~+ _+ L4 E1 [3 B27 m3 \$ f( z7 m/ n" \5 f5 d$ `) [
3
+ ~( n6 W& i/ F3 `43 K- H+ V$ f0 v% A1 V
59 E1 _# F9 N+ ]7 i7 `
3、负零判定$ a# |+ V9 T, e, O# x2 P% r
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
0 p6 `. z: K; N9 s) u. Y& }$ T- W double v = -0.0000000001;$ H9 E2 R/ i; G, u! Q
printf("%.2lf\n", v);) M, y& i# S. J7 ?; c/ Y5 S
18 X# [, i  Y$ ?% ?7 E! ]
2
' d& k9 j* `: A+ l8 V- X: W避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
% ^: i0 t9 ^' v: Y; s1 W4 d double v = -0.0000000001;
- q: Q! y; [, f if(threeValue(v) == 0) {1 U; o  Z( e9 y5 p3 b+ x
      v = fabs(v);
7 P9 V6 f( H- ~% V" }& V }' l. O5 j7 ^) K. V$ E& `
printf("%.2lf\n", v);
, `- ~: `3 |$ [+ o( N7 k1
, _; y7 u7 Z+ N6 z8 y+ Q2 j( f5 G! ?2
; r9 F9 F8 i8 _. Q( O3; j7 B- r1 F* n
4& i9 a: u+ v* c/ ?$ v! x9 L
5. ?5 w! q8 i/ H+ H
4、避免三角函数、对数、开方、除法等
8 c  ^$ P7 j9 {- ?/ }c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
: n/ u+ m/ ~; }除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
" `! P: N6 X  X  _, c5、系统性的学习: _# p7 ?6 e" \4 E* D% k. H4 ~
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
& s0 a# H! t! \& ?0 w& G; K进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；& E0 d- J! }# r! ~" p( h6 \: ?. \
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。1 b' H. G: h7 K. Q1 }

5 Y3 Q; p6 I( A3 i2 U* v
* s' l7 N) s! u: Z2 U学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
; @3 A( }4 ?: Z, R3 Z4）数论. o8 [6 U, `" o) D" ^+ B0 y/ ~
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
; d+ a  c1 @- q数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
6 M( E$ i  v0 @9 q6 \' j当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
: R5 o& Y- x0 ~$ @5 M, s" e6 P1、数论入门7 I0 v, w" O* m: S& q
主要是一些基本概念，诸如：
$ T8 `1 x5 @1 Q+ G1 c" C1 p整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
3 e' K; T( ]+ Y+ |+ M! z' b3 W2、数论四大定理) l" Q) L) D4 ?; k% [5 ]6 X
这四个定理学完，可以KO很多题：
, {8 n6 U) l) ^1 |# Q: u4 W. r欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
# G' g) Q8 {/ C; e1 r3、数论进阶  e- f1 w; P4 R' c$ g. g. s
系统性的学习，基本也就这些内容了：
* N0 R; r& L& R4 f. `& _( q- t扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。8 k9 H* V. ]* A$ g7 a! t. `  P
5）字符串匹配( o1 i5 W4 I2 H7 M; a7 ?9 {7 T0 N& B1 L
字符串匹配学习路线比较明确。  u) O8 x# k6 r6 b9 n
先学习前缀匹配：字典树。
: A3 a9 G# O5 w& d1 U  Z然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。0 |" L1 S: x" k' g+ D, I; f) m/ s
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。, t7 J  w0 E, p* ~! H* {. }/ ~
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
$ J: ^- A& y' I9 B. N* ?( f然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
7 ]" E9 c! p  j' u关于算法学习路线的内容到这里就结束了。$ C1 d( S: ^% H: S
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
1 m) M0 H% N) D! Q5 B4 V参考资料, h% N5 U$ v( u; C. ?4 v7 r
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）4 c3 G6 O# Z' O1 ?5 `
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）/ I% W5 G: p0 R5 {/ t0 z% l+ N6 [% N
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
; D( ?. @; q; i' s% r2 x【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
4 U3 j  ]( T. O! \7 ^( L$ \# B4 \+ b————————————————# s: @) ?7 L$ u( L5 T* J3 X
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! s/ z; F. Q% U& `原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228
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作者: 1051373629 时间: 2021-8-17 17:14
太难得了
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