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标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏） [打印本页]

作者: 杨利霞 时间: 2021-7-8 15:06
标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。0 N( [# R5 G* J8 l- D# n0 I3 t( q! G
边的结构体声明如下：* q8 T" R, O/ Y# _% f6 s* Z
struct Edge {
/ v, D7 l( x" J$ g* _  u& d$ K int u, v, w, next;' a4 C4 s8 G+ X! ]
Edge() {}( O. F. R2 C' x6 \
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :) p7 F2 u4 ?) k. I8 y3 z
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
4 S# L1 k$ c* F+ g, G- \- v  t {1 j5 [' @3 p/ `2 X
}
. L% l5 D& v  f1 r0 R}edge[maxm];
+ q0 q0 F# X! }$ D% W& e' X1
+ Y6 }  p1 ]) F2
1 E* u$ P  y; p. t3
2 J6 o- e: R! T, s5 A4
8 X4 ~' ^$ W7 _9 F5
; A6 ?6 D- r- _8 x6: k3 Q5 Y8 I* K9 b5 K5 s; i
7
8 G/ u: S3 ^: [, @8
7 j4 |9 {7 w+ @  T! }6 F' ~初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
- a5 ]- c; x$ h& Z每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：1 {0 A7 O5 j: f- Y! s
void addEdge(int u, int v, int w) {( ]  H: P( x* Y3 n+ L$ W$ ]
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
4 H3 o( p; l/ Z& k head = edgeCount++;$ e9 P3 r5 z) ]* O' ?+ i. T
}- G) |; x* y& l
1
7 S9 L# K& h5 v' m! ~! C2% Q% s9 X1 B  K0 W; Z) Q! u, L
3
! V' B, ~% Q! j5 g- a" ?  o0 B+ s4
; K, F" w3 V4 ~8 c8 D% K6 h这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。& |7 J" i$ |  X" |2 _8 r. i
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
' h3 P* h8 T) a1 yfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {- e! C" S, R- T, q' P0 x8 t
int v = edges[e].v;
* |- s' [9 \* v1 R ValueType w = edges[e].w;
# ^! @( F4 v$ y" G0 L ...4 D$ N0 k: x4 N# t+ G1 h3 d0 c
}! U/ ~4 h0 F9 e( ^
1
* ]9 w, J/ `4 K8 A4 v28 ^1 ]7 v5 v  T! s$ `4 ?2 y! ~
3
1 X2 }0 f# `: l2 g; C4
% l/ P' Z8 H4 I3 Z3 _# X* \7 ^5
: S' G3 f0 ^+ c# O% c& x( S2 X文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
/ B1 j, M% F6 ^0 C  y9 }, [/ M4、算法入门% I! t1 a9 a; k( W4 [8 N
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。( M4 }+ R4 |2 n- i1 F
% O9 |' y" D) m, P! N: ]. I- |0 b

/ O3 _; D# {. x; N; x( E2 b% m入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
% B3 U' T8 k/ L8 _2 t: C. U对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。. j* ~: E' w$ g9 H
1、枚举5 H" \! o7 g; e6 @
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
* j6 i( Y5 c9 a& C对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
7 L$ a: {! ~$ r- j% @2、排序
8 z. j1 k1 a" R既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。- S2 t6 s, M( y9 M! ~
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。' O4 t6 P' o8 b+ \* N6 P; D% y
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。* \" ~+ _3 c" F
3、模拟
& I) D5 l" G: i) |2 l6 J0 E模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
7 s/ r& D9 y; m! z7 |  e不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！: U! ~* x, d) R" v! l9 @* }
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。+ o/ d* C6 g7 ^: k
4、二分1 Z% D9 m0 z' k
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。$ Q) I, D6 n. T9 y* U: i
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
, g: o$ g1 a' }; f0 D1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；8 ^, t% [4 C/ c/ n
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
2 X$ H& B1 w5 W' D* x  s 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
/ V& M: U  U! L7 u+ V 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；$ Y4 M* H  M# `9 ^1 d0 J% Q' I
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；- S' ~- n" D  M, I- G  f
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。/ R2 B8 m7 @" v8 w5 P/ n. A
5、双指针: G% R. ?' g, j4 v6 A
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。0 o3 T' A& l7 s4 k& q

( n9 V  S: ]* {$ a: C" O" i0 J
0 S) b8 _/ `; \, L7 S7 {3 x6、差分法0 `* {3 O, U2 r4 \4 f. S$ N- F/ t" t
差分法一般配合前缀和。
! |% L2 u. V" ~/ s4 d对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
) A# [" R6 i* R% j假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
) v9 B4 V# O6 a2 o1 Xx
5 ?7 z$ D; N# O8 }7 G
/ s6 B! Z1 i2 e: u6 Z( r ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 1 I) G8 q, Q4 D' X1 E+ W! ^
r
: A' U: }; w9 r9 r6 W  C
8 b5 }/ T& ~/ u1 ~. o% W0 t0 u( `+ Y −g , v, M/ o6 g5 Y8 Q# d1 q9 w& j
l−1
+ n- E- a) h  J+ @& r* |0 F + O" A$ p. K2 F( q
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
! Y% b2 O) ?' G' P. y/ N3 h" Gr/ q' B, r+ b0 c1 ?  O5 ~5 g
9 O/ J8 r2 ^. C% q4 t
  和 g l − 1 g_{l-1}g
& O+ J" H5 P. Y. p, [3 V; ml−1" O: E( \( v9 N. |) x7 R1 i
- [9 R- q2 V4 P" V0 |
，再相减即可；! ]; ]1 u6 s: Y: Q* e0 J9 `3 _

7 K7 l( E6 T/ N4 l0 w
) f9 a" W4 Q2 p" Z/ A% D, d7、位运算
" _7 S% h) T1 ~" `6 p位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
; B( \3 O# A+ i位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。  M5 f- X( b- e4 `; h
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。* _! _5 ?7 b- G
如图所示：" \0 Y2 @* {5 A0 X

! j" g& k. q$ G0 A9 Q4 @0 u% Q( x
- y5 K+ Z1 r6 e! Q4 `' u位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
9 t3 s  p: N- o) K" o, c& N7 u. Q* l比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：5 H; A4 Z8 d) C9 k2 _7 v6 x, ]
!(x & (x - 1))
! d) B- ?0 j6 S1
9 R5 O0 g  u) U6 ^& Z& n/ `2 o8、贪心7 H; Y' k. S1 V; I/ u
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
4 a- C' t! s+ ?5 r所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
6 E  ]9 D+ c" t6 q3 P9、迭代
% v0 _. m5 c0 J* o每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。4 [5 q5 [+ k4 g; ], }
10、分治
) w, {' C& s; `( W9 E& r" [3 [分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。& W  Z. ^; m, E& o1 f* L* ~
5、算法进阶7 c7 a8 S1 P3 {$ W" D/ q2 e
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
; t9 \- f+ N4 A% C如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
. _& @3 a5 `5 j7 G, ?) X4 p) H& ~这个系列主要分为以下几个大块内容：' ^6 n% j+ w0 n% ~7 k4 h* j- Q
1）图论
4 m( K1 n! N; y+ {/ _* w' G 2）动态规划
/ d. [$ {8 D! F$ D+ s 3）计算几何6 _% x0 w" m1 G/ T8 K( [
4）数论
: R. A" ^. L/ ]' A+ C! O0 }- M6 d 5）字符串匹配
* V  b* X0 Z" A2 f/ [- I 6）高级数据结构（课本上学不到的）
  p% ]7 `( [( T 7）杂项算法
) A% h0 P: t3 {  r' }/ j% x
0 H3 ?9 H% R! h% V, a$ f
  B, v4 V6 y/ Q. ~3 e! _3 m' p先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
6 G# M( S4 z; r1 ]+ ]2 X# T6 n: I/ Y! t6 P* A% p) O- G

; c+ g$ H0 x$ z1 }% C6 _
3 w3 x# j' G- S& ]2 \+ W$ X) B  H( J2 Q/ ^0 L. W
1）图论
4 Y- u1 U% b$ k" E" N, |! _' _1、搜索概览( {3 c4 ~( z% k/ e
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。' g6 g# A+ B0 D) M
( R3 i, ?4 o7 o: Y" \
; I7 z9 o( D; y. x& s; `
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。  u) W6 T; n( B# [2 p- E
2、深度优先搜索6 p2 A/ R1 `& b9 K. s
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
) n3 a2 D! n$ F! _原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
1 F9 z7 G! g: G/ b7 ?: O0 \- u但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。; k1 S7 N' i8 w! [
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
7 _" G6 v( V% y4 R' d! i
2 S$ q- y; |) e; @) O$ S" B( }- j# r$ a$ q3 k
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
# i+ G6 J4 N+ r! _& y; O6 l5 x/ J# _ 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6! W0 O) f, G% f
1) f! N% {2 N, e- s. v, |
同样，搜索的例子还有：, k+ P2 j. \: p# @. [8 r8 p

6 e! B/ W7 R2 g5 K) r4 h9 ~+ N% w0 _! N% V
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。4 v) s- P+ Q: U* X. R) W
3、记忆化搜索
# ]( n1 C9 o- E9 B  J' s/ m/ S/ o% V对于斐波那契函数的求解，如下所示：
. W8 }& }' \4 k7 F: sf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =/ h/ M5 ^! L+ W! B" K+ P; c& a) C
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
* }& X, j5 w7 v{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)( y$ Z7 D+ K! x6 _5 t# K
f(n)= 7 U7 Z" E, Q2 J" I
⎩+ t9 _6 ^& d6 u: b( n
⎪
, p+ ^4 m, B' P6 Z8 l: R4 e! O⎨
8 t3 V! f3 h0 i; V! K⎪; J# @4 ]. x5 i0 |: L# ~, ?
⎧9 }+ _- _- G% v' }/ z: B$ C6 _

# A- @5 K) b$ [* U5 }. O; d" w3 B0 K: b  * A7 F3 K: N0 G* o( c
11 m# ~4 O  {% a
1' H5 p' l9 Q3 [3 T! a" u" R
f(n−1)+f(n−2)
7 F9 R2 E- C) h. a7 ?1 L
4 K4 c6 w6 E$ q4 y8 R3 h# x
& \  o& A' K; [(n=0)+ t3 f- c; R% K3 f* u
(n=1)
/ o! N; y6 i! t9 Y(n>2)( A% ]9 B0 [: x* J
8 M9 D5 H; k% q
, @. s3 [! a9 R: L+ l
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：( K7 J% ?9 `. F4 p* t4 f
" W8 P+ V1 s/ T, Y+ Z
' ]* r+ M' }  B( j* _% Z# X. Y
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
: K2 m3 E, V9 i4 A) r1 m  C: R, J我们通过一个动图来感受一下：
' ~9 t) q: |" E& e" b5 q& S' }0 T) n7 L- G/ `
9 i1 j4 ?" H4 u4 c! p
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。5 l8 O- Y. Z5 x: [: M( Z- q$ Z
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。& r0 s# `/ T6 t8 C3 Y
4、广度优先搜索
; }5 D* d: J5 J3 h单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。9 i# P  ]" _# p
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。9 _# @2 i- ^  L% e+ h  y( D
: o, N9 L6 R  [' @
1 F! N5 h% y# J1 [( d
5 v9 ?$ t! S4 I. |( r

. B, x7 Q. t5 M+ |从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。+ z$ r: a/ @0 v# B
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。1 f6 x; I# [" ?+ E
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
, M9 k: S) K2 W0 d! K2）动态规划
+ D; d' t4 w# `7 w8 C9 T/ \, B动态规划算法三要素：: }/ y! x9 _; [' K$ P0 F
①所有不同的子问题组成的表；8 a, M4 z4 ?* i2 j3 {
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
8 T& J  j) U2 K3 I2 r+ Y ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
, w' L; ~! m5 m5 f8 w5 K6 W( ]4 X! ]5 t3 i5 ^2 {7 m" H

" q6 z& T2 `$ s0 V如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
. T9 W+ z- S4 O- N$ X$ gt1 Q" s+ E% i; m6 @% |+ N
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
: J1 `2 r/ w: r. D1 I( l6 e0 K* ee
) L3 K8 ~; `8 G! V$ c ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
! }2 b0 {) C3 e8 ]1 W; A1、1D/1D% l: A( _1 T2 I& C/ g3 Y
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )$ z3 M9 k) ~2 @- f2 i0 O  \1 g# }
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)3 W, k2 M, U  Z0 L( T
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
7 f  K) u; G+ t6 t& m4 {
1 q+ w# x! y2 `- s5 N, U: A
9 ^+ P5 d! A! R% N& L  G这类状态转移方程一般出现在线性模型中。8 U1 }1 |4 H7 @) R, E% z) t$ t
2、2D/0D& i- B4 f% k  A  t' q$ w! A
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )" W* V  {2 ]% `  J
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
( ^" m3 F- ]( J3 [i
* m3 [( w1 P+ M- m- x/ ?
# Y1 @# a: S+ n ,d[j−1]+y
/ N: x4 D5 {% e# H! s4 jj
$ I& q5 x; L& ^. |/ u
6 ~. v, P6 p& h* q; N ,d[i−1][j−1]+z 4 L8 q- g' B$ N  b
ij
! j! w% z( W; i$ `" j% i
/ j1 z: i1 M5 Y# w) g9 K' t- L) B ): F6 ]2 r' P( d8 [) S
状态转移如图四所示：* A$ c* V" ]+ L, G
1 N: Q; W$ g3 V; A; H) {1 m
9 z8 f4 w* @( B9 X$ H5 \
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
; ~" m) _( J& U' N: ~  D. U; i有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列! W" [" k6 W3 f1 ^3 d
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
2 `' T5 g3 d* k5 e5 \3、2D/1D
* q3 z( Z4 ]9 [d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )1 s6 c" \4 b1 s7 s7 o
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])4 I; l' q. u0 }
区间模型常用方程，如图所示：
2 P. y: m$ A2 C4 m; D+ }. z3 w/ V' X6 ?# ^2 g0 m0 O  `/ h
, U' W* L, `+ P8 ~! q* w: e( B
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
9 z: N+ u, T1 S/ [7 W, R- B+ [d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
: s: @$ G5 o! n; u8 N* od[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)" }4 e2 w, q1 ~+ D( [
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP) [& e% J5 c: P2 m; M
4、2D/2D; S7 D. c8 {, A
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
* ~0 P9 c0 O5 t/ T' A7 E9 y+ ud[j]=opt(d[i
$ D. z8 R$ l: l4 e5 S$ G* f' i′: o3 U4 m: i) |+ l
][j
3 ?/ q/ w! f$ _( a′
$ X  l) k. N# J# O( R0 c- W ]+w(i
$ n. s7 {% w% R5 D: i′
  p3 ]' O$ N4 J ,j
1 o% @7 n& R  `5 B1 B′1 m6 T9 |; x" F. D
,i,j)∣0<=i
. k& B6 Z# k2 J9 k′
! \( s) t( v! J7 n <i,0<=j 2 M' V8 F  H$ e# |
′
  |% M' E5 V1 P <j)
7 ]% u+ I. r: u# y0 i如图所示：% C4 G# \7 v6 A2 Y# d2 e0 S

+ p4 K5 g& Q( j8 D3 _4 o2 ~
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。- a4 Z6 d" i+ Y# Y, P$ s
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
* n1 w& V0 f, M; I: T7 Ft+e- h2 e( t5 ^/ O- @3 r* Q* m
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
6 J& {8 X: j3 ?. f, m( p4 ut, o, `) S# O# O1 g* I8 b  D* z' Q
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
  G% a. H# N2 d3）计算几何
' E: S: E' S4 y计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。( f( Q+ t2 j2 f0 v) K
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。7 W& w( B& o; f& a: w! e9 X
1、double 代替 float
' U& L6 Q3 b! ]2 K9 o' g, n( |c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
; w+ P/ b5 o; ^' Z2、浮点数判定% k* B0 n( E$ `
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；5 {) |! H% r" X& h
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：0 a/ Q" o. a- b4 D, B( d8 w* t
const double eps = 1e-8;9 D- Y. V) C8 c6 K( s( }
bool EQ(double a, double b) {1 G0 i, q; t5 n9 z+ K
return fabs(a - b) < eps;) |( `- X1 L1 f0 n
}. ~6 L0 S5 p2 w* x: a5 a
10 x1 k; i8 A7 L% t
2
2 M2 V3 \" Q0 A% a) ~3
: k0 Q7 h0 V: ^, l3 J4
1 x% G8 v. `. [2 v7 S* A0 \并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
4 B8 N. k* `2 Y* Iint threeValue(double d) {
& y& l, A3 m" Y- ^* u if (fabs(d) < eps)3 Z, U) l2 k( Q$ v
      return 0;8 v8 |; \! ?% ^$ j7 O
return d > 0 ? 1 : -1;; l& O! X& _) V
}# e1 G) Y' Q- n, q4 Z) J
16 J( E- E$ O7 H0 P& G$ I  G
2
4 m1 q$ ~& F8 h0 q. E9 i34 c" Y& g  h2 S' X( ^5 ~
4& K% J. d8 ~9 j! O
5% B: |  q9 e0 Y0 r$ _& w; h
3、负零判定
: Q$ a5 J+ R. H! \: J2 M因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
7 i* f8 |0 B- V1 {9 e1 i double v = -0.0000000001;
) b" Z. U9 ~8 [ printf("%.2lf\n", v);) t3 Q9 p5 D* m* d3 p4 g# a
18 O* B5 ~5 ?* |( K# x
2
0 K  W. l* G6 r: E6 g2 Q. U避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
' C. {! p9 `  c6 P0 n0 s double v = -0.0000000001;
" x# X4 d4 n! o! b) b% i* x- m if(threeValue(v) == 0) {5 Y2 H) z& u7 W* W4 N$ f
      v = fabs(v);
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+ x/ G+ C6 ?3 Q9 U! e printf("%.2lf\n", v);
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) T. Y7 ^4 g, @6 H) y' t38 e8 Z/ E0 S: u! J6 E0 F* R
4; i% c2 p, N. Q& H$ E* J: d- b  l
5( T: w- C* D- Z8 n/ q; q: V
4、避免三角函数、对数、开方、除法等
- b% K0 a/ G+ L/ H1 S$ pc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。& N4 U5 c8 ?9 k1 r+ k& }
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
1 e0 [6 [- o  R" W/ w9 ?5、系统性的学习, r' J8 B  z5 o0 c% N+ b2 {
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；2 A/ j! z; }* ^0 q4 o
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；* \5 r: L% X  @/ e
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
- s1 g/ X' y* o
2 k* o, G1 d5 ]# `) \- [- ~8 W( l
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
9 w' c# @+ f. m4 `6 X' w9 z4）数论8 @- `1 [/ o5 y4 D
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！: N% Z, F. K* Z2 k- X
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
6 x9 ^& m5 B" j2 [5 t当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
1 ~' A5 F7 T- t8 ]. o9 m+ n  R1、数论入门4 w" {% V' x; E5 J4 O* P0 T9 v
主要是一些基本概念，诸如：3 l$ X2 W  r1 u. r0 h
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
; v0 y' j- l# _1 j4 h2、数论四大定理/ K5 J, p8 p* X" g5 i* [
这四个定理学完，可以KO很多题：7 g3 Y/ z) k2 d7 d
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
1 p) Z- v' O: s$ B+ ]# I3、数论进阶; x- D! Q) F7 t! `* g( p6 `. q0 v0 P
系统性的学习，基本也就这些内容了：
" W5 L" H2 N% k扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
5 v& e2 y$ S7 P+ @5）字符串匹配
. U; ?, e( Q2 j0 P1 `* }4 P字符串匹配学习路线比较明确。6 j' _% V2 Y( x7 d) i: f+ `
先学习前缀匹配：字典树。
8 t- \+ X  ]8 |2 M  E5 F6 z2 X然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
0 E( p7 M9 e, Z& Q% T5 a4 p以及经典的单字符串匹配算法：KMP。/ l  K  g$ l" p2 n4 X2 K6 J
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
# x: @' S2 g* u  V然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。2 d1 P, b8 Z% R9 p
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
7 w% e0 f2 `# T+ z0 e# I  N如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。' h0 {( S8 l# s# w# |8 g
参考资料4 q7 T& \- I$ S
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）! e7 C3 h& O# G4 e* B2 f6 h- t
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）- W! [: E! c3 D' k, I/ w# j  }( s% ~
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
2 e  Z/ ~6 N; j) v; E) }【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
% s. b' a- @; O7 H————————————————' j4 L: X7 e6 x; g8 j; {# c# h! \
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作者: 1051373629 时间: 2021-8-17 17:14
太难得了2 y6 ~" h1 K  V% P! ?- T

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