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标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏） [打印本页]

作者: 杨利霞 时间: 2021-7-8 15:06
标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。8 `  f5 a  F& e" s
边的结构体声明如下：
* {2 Q: l7 @  f7 g2 u8 P9 Pstruct Edge {" b$ a! W& B4 j6 z+ I
int u, v, w, next;
$ H  y1 j  B$ d* t' m1 B Edge() {}1 K' }7 c, H& U% S& N
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :1 _0 [0 _& b0 m* Q; ~0 Q
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) & y  s: Q9 i6 U+ K
{
. H3 T8 B" f, {$ H }- [  u$ f+ w2 A' a7 ^6 _( k
}edge[maxm];
+ Q0 E3 ]6 n7 R* b5 F# H6 E1' N* G7 `; y( \' O1 A& R
2- a" k% g% _9 d. W0 @) }% I' m
3
: N) {" Q: t; ]7 ]1 k45 O2 b! V" U9 o- S% U3 Q
5: ~6 Q( ?4 @! A3 X
60 e1 W- a8 l( I, Z
72 l! W4 D* d- b* T
87 O4 e7 @$ f2 e$ a  R1 K+ A
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；; E0 P, s( x4 z0 S) p0 _- L" W
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：/ R$ A& j$ d! n4 J7 F9 b6 A; Y
void addEdge(int u, int v, int w) {
; ^) N3 T; ]" S; M9 D edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
( ?+ s( x& {+ z! C# X  ]8 Q head = edgeCount++;" M$ c  y  D: R/ h, [" j
}
/ |1 ^* |5 m. t* X6 p1
1 }! U# q& u! W: D( p/ x2
' ]- O  {0 _) e; Z; q3
- i+ K% a  O7 ?4 {4
: m  B# d" O' o; I这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
7 L2 N& G. ~3 Q! L3 d* }调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
$ O% k1 q7 E6 |3 wfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
# \4 w( e  B, O0 j( K9 ^* {' d6 t int v = edges[e].v;
" |. t, s7 T7 Z& t ValueType w = edges[e].w;
; e& E9 b! S2 |6 m' ]& P$ S ...
& J5 i4 `( Q7 F( j& ~}
; e" n5 x5 m* i0 R: n! |5 E- ]1
- [# S! N6 c. r0 b8 f3 g1 {2
; T+ R) S+ ~) c* I; \2 A3' }* E% R6 d, y
43 H6 e) |1 _- z. J9 }6 `2 A( P. s
5
3 @8 D) Z$ R! C* l5 Q文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
/ i& M! K  H) c  C. G$ K$ S4、算法入门) r- [/ p$ g7 s
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。( [/ I- [5 f0 d. c

; y2 d; z# K4 o4 H
& Q# Y. b$ h( I& q3 b入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
( [4 Y4 }" s3 L* }对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
+ N, {! t9 o/ @& @  [+ a1、枚举! a/ M% Y  m1 N0 ]. S1 I
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
+ ?/ F; w0 F( P对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
# U. M1 H! L0 E0 v* K2、排序( y% Y$ R5 `$ E
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
) q2 |+ _3 ?$ K, d冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。. d! Q. n% C4 N; w, P, M& B! f
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
# M3 a3 ~" o$ r% h( o  @3、模拟
% [: ^& B7 \: R模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
! ?4 v8 L0 L! {/ F  ]不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！# p  B4 `% y; R0 C
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。6 g. u: _2 c& z; ?
4、二分) r' V. y. _2 [- Q' M/ f
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。9 t: R8 a" O# {2 T% I
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：8 I! T0 C) j& u
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
5 ^4 a7 K& N! Z. r+ r2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
: J& X! p7 t8 ]1 O8 R 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
/ t& s' T; E+ v3 g0 N, o  W 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；- |+ d- r* T  u) R
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；& q- t/ R3 P% r& P" Q6 t
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
2 Q$ w& R* w2 L5、双指针8 x9 i! V; b$ H
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
9 E, o; m# Y  h) N8 ?
# y9 f% [! A$ P7 R" w
1 c# w+ h# r) y2 `; K6、差分法
/ m+ R7 k* F3 Q0 S差分法一般配合前缀和。
, R5 m; I- q8 ^# m0 k对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
/ \9 v" M, I/ J1 I7 B6 M+ t1 r假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg . e# g2 s' Y. {! s
x
. O0 l7 I  z+ x+ P
, s5 i& d6 l$ p, F5 u ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g : p7 K: P5 }/ @' L+ ^4 I
r# S% V# K: }" L- `9 c
: d( [) S* E5 O; M, @
−g ! n" k2 ?, v* s+ e% ?0 y
l−1' W8 n* \. ^' x: w  u' m) w% D
! h' o0 u6 ^. J# z0 O2 ]5 ~
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
+ n# U3 Z! j' y$ Wr: {9 ?& I& T+ h- E6 u. S' A* L
" L9 s! |6 o& N% @" y$ I
  和 g l − 1 g_{l-1}g
# |. H5 R0 ?4 S9 r  A3 j" wl−1: Y2 A$ ~9 Q! g+ s: n: X. P/ s/ ^- Q8 r
" r& }9 e8 l- q! @$ b
，再相减即可；) I7 L3 l9 {# d' W- \7 ^
& M! o* w0 J+ h- [6 q6 Z, t
0 g: h. q$ [) d: z& w4 k6 ~
7、位运算
7 ^: ^3 \, x! x: _位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
6 @. F' b. s: w$ S' v" }位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。) h# K/ Y- s  |# H9 {4 x/ N
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。/ x  Y! J2 O% l' y5 x: L
如图所示：
( a  X+ T. j# k! i1 H5 p
& u, N% D) \9 T2 e8 l4 P* S+ ?5 K% {. ~! L+ K9 k
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
" I& B% x! n' b0 |9 l" z7 g  x9 a( |比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
# I% @+ R3 \$ b& g!(x & (x - 1))9 q7 Z: k* C' p/ u& Q
1$ r4 o; L) `0 E) V! I
8、贪心
: u, \8 w) l  E" u2 f贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。% A3 ~) a" ^5 R$ @* S* V
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。, ^' R9 M' r1 W( q, e
9、迭代/ x% ]5 h7 y7 |- c  s4 R
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
/ x" F1 X; C2 N( f, [! N10、分治
8 t( s/ _+ g' }  V( H分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。4 f4 A0 {1 t& d+ |9 J
5、算法进阶
* S# Y( N  q4 _* z# @算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
) e4 X8 \% b4 i5 G% N, S2 F/ E如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。5 h0 d8 v/ P5 K! p% Q9 h; M
这个系列主要分为以下几个大块内容：
* c& V: O8 N% r& P" M. F3 F5 x 1）图论5 E/ P/ {- `1 l) {/ L( C* \6 \
2）动态规划& U: A+ n2 K9 ?) o  x: y
3）计算几何7 @! u6 B$ x' G. O3 U4 q
4）数论
2 B  Z; i3 X' x* g6 i  B9 S  | 5）字符串匹配
( q' K4 o2 b% z# T) O 6）高级数据结构（课本上学不到的）" v7 v3 [$ G; }0 }# \
7）杂项算法  l! W' _, [0 I

( n7 e. k+ `; ^/ d
: e5 f! O; z+ U/ s* M/ a先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
- F7 ]" M; b! e
6 M* m! B4 F: E& ^' m1 J' z6 \. n6 c" P" b- X/ [/ H# G  [' z
1 O. A- g0 T' o* N4 i

% f: E$ o& w5 d3 S2 g+ t( |" g, }1）图论: C: Q5 G9 W- x+ b  I
1、搜索概览+ V) b( T& I2 B- P# K
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
# E' X8 p2 E% ?6 w' O9 j
1 s- r% R3 J1 R+ @
7 a; l3 X7 |' p: X+ B2 P$ [比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。  N  T4 L  ?3 I" d- i
2、深度优先搜索
! I+ V* b6 x$ G' k9 v深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；  C8 ?, x. w' I" y6 e, a1 X
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。0 Z& I8 ?( G$ M6 H& z
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。0 W7 g8 e5 F) ?4 U0 ?, ^
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
& z/ ^5 T3 x6 E3 P) a
' s. e4 l/ W9 x" t
+ u1 B/ N9 }( l8 S3 ~6 {红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：+ B& X+ Q6 W5 V3 ]: k( @
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6$ V8 T6 v. f8 x2 _) F3 o" n6 ?
1
; G) O9 `! B- q% U% o0 C- P同样，搜索的例子还有：
9 ]6 t' f# x. i% s# `9 {4 j1 \* [/ J! t1 P' q3 p' w; B+ c

! N. i; m) c8 o* q计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
' u6 q6 J- a1 ]3、记忆化搜索2 ^. Q! Z+ w$ d3 H
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
+ l8 ?6 U- ^! T8 wf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =9 I$ @  w8 W1 [# I0 V5 k4 V" l
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
$ k5 ^5 g8 ]# x) F3 D{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
+ M; {5 ~( U5 mf(n)= $ O. t8 e2 Q- _" a
⎩
/ I4 E2 D* a! Q4 b2 q. M( @9 `  v" Z⎪# Q8 \5 v! E# h4 Q9 S# F
⎨
3 p4 J1 Q# k/ a3 g$ `$ ]  n4 a⎪
, W( T! W+ C/ k  C) \' }& O⎧
) a7 Y/ C6 ?  R
. p! e0 F5 c) d" I/ C1 k9 J. S
4 |$ A, _( Z- Z7 [; b; Y1. k% {7 [& v6 Z; W
1  |+ |  V; P$ q5 \+ H
f(n−1)+f(n−2)$ @9 p, t% e/ J# A6 W* @
8 }6 h3 H& g% `$ ^6 Q0 S
  ' Z4 L4 Q9 y" d' Q7 C
(n=0)
7 P; E5 k$ s/ k, J(n=1)
( k8 W2 F$ n1 |5 M) R(n>2): P# C6 m5 U, {8 R$ _1 Y7 V" w

7 H- s' d( c) [- D7 T% N
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
7 b% t, K( C* `4 O
6 J" d6 k( Z' J4 h) r. x9 ]! O7 k3 G
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。# C* [2 O" N2 r; r% _% b7 G4 i
我们通过一个动图来感受一下：" H  U* i0 j! h4 J" [1 |# o0 ~' a

. @! [  {' x) O+ e+ u
% I2 S+ b9 n7 v# H2 C当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。" c: J# d1 S* n2 L+ t
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
! {* D: h" p- l! v. P4、广度优先搜索. W5 t8 ~1 O( Y" ?
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
% [1 t0 @* ^! g  E我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。+ M& g$ n: o% u4 A

) ~0 ?5 ~7 f( Y$ C6 J  E# W8 }/ O8 ^0 r: }4 f3 j/ E; Z: v, G

( K" k8 S; ^' f( m2 x* K5 L/ z) X5 f0 x
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
& u: r, _7 |! V( I2 k4 o- D9 F4 Y那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。0 u- H3 L* @( A% B5 O8 P  x9 `
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
3 T3 J% i; \- `2 L9 a  C2）动态规划; c  W- f3 O8 F
动态规划算法三要素：
: E( X" s* V$ I( B, g8 w9 ~ ①所有不同的子问题组成的表；+ Q4 n  z! D; ?. G
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；' g% M1 t" H; ]: V5 j! Y
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；5 j' y( r3 x" l! e' G- W

2 n2 H  h* K  }$ S* y
3 v& z# W, V% ]- E; _9 K, ]如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n ( c& {2 w. D& {8 Q
t9 n# l, `' Q  C# E+ g
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n ' O2 x: J" ?! H5 m
e
2 x: j$ `: e0 y ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。. K( e0 v& }0 Z: e
1、1D/1D
0 k" J* _9 n; r# s$ j2 b) kd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )& ^# {  @, \/ F
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
" n% f! y- R2 t; E  _3 u
' v' k7 S. O0 Z1 b5 M
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
+ w/ X5 o9 _' }9 w2、2D/0D
( M8 N( V0 R& od [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )1 d. E$ P4 {  Y( v7 x! G. f
d[j]=opt(d[i−1][j]+x 1 S$ B3 @9 O' ]! _! w" K! c& V
i
( N$ _- Z: ]6 n" I$ V) [
* O8 s4 s' X/ E8 o! L ,d[j−1]+y   }' f3 D6 o% Y% ]2 m0 y
j  I- G" U6 x+ R+ H1 ^1 j

! S! f) r5 j. O) l ,d[i−1][j−1]+z % h5 [$ R% G9 V9 i# T) {6 U
ij
1 `& J7 j  W8 ?/ Q$ G/ `# T+ M
1 H. ?5 G2 b& D3 z )* r- x1 S# r# f5 v
状态转移如图四所示：6 K& y  K  ^* W

3 e% S4 |. a0 O, w% D2 N7 x- f& f0 j% d1 c5 ]
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。0 ^( P. ~3 s4 q4 H. z3 \0 ^
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
) H' ~/ A- ]5 D, u2 |有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离$ W4 [" C0 R; E" {6 j' l* d
3、2D/1D
* e( b6 A- o  Vd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
6 O7 @; A+ [% \3 `& P$ }  a1 Q- kd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])% w2 p! b$ a- }. `4 o$ j
区间模型常用方程，如图所示：8 M5 c0 B5 z- @8 U- {

! N) S) [" R1 I$ x: L5 y0 n: H  p5 b
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
0 m' V! E! k  c( {1 J. {d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j ), A' p; K. p& e0 k4 [
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)# l2 D$ r: k+ [" O( h/ [9 T
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
$ M' U) V9 B) z6 h3 u$ C8 f( X: `4、2D/2D9 ]: U' E% a6 D1 H3 E
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
: p1 Q; G9 [/ Md[j]=opt(d[i ( D- X. }9 N3 y* E$ e
′1 b1 H+ \9 C2 I4 o+ I; c5 ^
][j 2 D0 Z$ s# J  p1 s. M' H$ q
′2 z* C7 D' i; {- c2 u, z# G6 M& P
]+w(i 0 z4 h- H$ T5 k3 _6 E
′. {( ~9 e' u! }, Q6 b
,j
8 x7 i! j0 W8 E( J′6 t+ J( h% V  q& W
,i,j)∣0<=i , d: C8 H2 t% D5 h# O" c$ \
′
# |) ?  o; S( y+ a$ t1 ` <i,0<=j 9 \+ u  o% ~; J: M& i2 E
′/ F9 X$ E- n3 X; X+ S
<j)
& G8 y( K6 b- U6 O5 @% e' g% Y如图所示：
) z. `8 t! j: E) a$ F. @. Y( I* p) H! M+ G0 R

- J: }& V$ l% M( C) J/ i7 N常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
: Y6 ]/ ]$ Z4 R, n对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
+ W: k& [4 t: \3 Q- `& R" xt+e
8 _! K5 s+ Q/ S) Z! t9 F3 b )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 4 _) X' n/ A2 f: h
t4 i4 c; K/ m$ h, _6 k) \
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。; N& V  L8 J2 n
3）计算几何" v) C; _7 W1 Q# A4 O
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。' w# G; A$ @+ I1 v/ @1 [" |
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
  Z' v3 Q: Z0 j+ K( \7 j6 s! E1、double 代替 float
0 j- P. p/ b1 W: k" Ec++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
$ `) m5 R; }3 |* Y) P2、浮点数判定- ^* P; L" ]( G
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；: n7 q4 b  \- j
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：# l& |3 }* |) k- M+ X" a9 Q# d4 G; N
const double eps = 1e-8;
& {* V4 q/ a3 `; O, ebool EQ(double a, double b) {
* x! q1 I. z, u( o# v+ _ return fabs(a - b) < eps;
  Z, i# b4 W7 ~% b7 p}
% n! U* @$ z9 ]# t" d" o1
. g& C: S, z/ B2 T( ]( s6 H2. H5 O8 _& T6 L
3
5 [4 Q' g$ W% p) P/ j, X0 T5 U4
( f$ x2 d; {2 U1 o并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
0 }$ i- t: D& `% f' Wint threeValue(double d) {
2 v" S- ^% @, t+ f& q( s% ]' y# |0 ~& J if (fabs(d) < eps)
5 v1 P% y! v2 o5 [6 {$ W       return 0;% a5 n8 }- j% B- U
return d > 0 ? 1 : -1;
2 L$ m5 S5 c9 F, L' ]}
% J; A  u; P: I* J13 F- N" F4 m4 z; a" M( U
2( U# a( E/ W- B9 K) e! a" X0 }% A6 z
3
( f' X. D4 l( C. d* W4
/ U$ E3 v) ~' ]+ T5; V, O4 L6 c( J; a  Q9 ?
3、负零判定3 z, o2 Y! A$ m3 a% E- z
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：0 n* e$ O! _/ R5 L
double v = -0.0000000001;
* V. }, _, C) ~ printf("%.2lf\n", v);
* j& q2 |% E+ K, l7 I5 U- e1
( t0 }  N7 t) g5 r0 W+ L; L' w2- ?6 S; z0 H% r( ?
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：7 p8 u( _; a% Z! e/ P% A7 F
double v = -0.0000000001;
) n5 }" i& ^+ l3 t6 \8 @ if(threeValue(v) == 0) {
# k6 [/ ?% J1 E( z7 T. b$ D/ d! l       v = fabs(v);
8 S; `# d' H  d! _4 d }; m5 _" |. F! z; l; T
printf("%.2lf\n", v);* K, v4 B8 S: b) G: t# ^
1
# X* O$ Q4 E( @4 c3 P& }2
; W3 q$ S# i9 j6 ]: {" p5 }- ]3$ S3 Y3 V3 O! k, U: \
4
# y: n2 c  j+ @+ \! s4 u5
* L' J3 w, r; p) ]( ~4、避免三角函数、对数、开方、除法等
) S  H: u: s% M; U1 @, g* hc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。' @) K* f/ O2 k6 F" U2 G3 n
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。0 G- `6 o7 }& t2 P9 s; ]
5、系统性的学习+ K( C% J) e. e4 @: N
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；* e8 w' @- H# f3 z' @; @
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
! q" f1 Z* ]; X; M3 K  W7 p相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。# L' t# H- ]& V' q. X& y$ K0 F# Z

3 v* Z: w+ o5 C1 B8 _3 A1 K$ e  i# Z# _7 H/ j5 M7 C$ ^# W% n
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。0 @+ H- z, M, m, H0 e
4）数论
" R* P4 ~: v9 ~+ M刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！0 J2 F, \; t8 y$ c* W9 ?
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。) n9 s1 R; P$ T# `
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。' k' ~- x4 R1 c9 `
1、数论入门; R! v- c+ P# g7 N0 g3 ]$ R
主要是一些基本概念，诸如：3 n, [  c; e+ n$ \1 y3 C+ W
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；4 B+ h" |0 o& `% t3 ?' n6 i# b
2、数论四大定理& N0 O/ R1 K' I7 H- K- Q
这四个定理学完，可以KO很多题：
  p: c$ ^' A9 c2 h欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理* p- @- G9 p9 S, H( G7 k2 k
3、数论进阶  P* n- U, N4 i$ ~- c) h
系统性的学习，基本也就这些内容了：" n& b* @% ]6 ~! t9 }" L. B# ?! x
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。4 a& x' m! `* p5 r" s
5）字符串匹配0 j! A$ {+ Z* b3 x5 S- f
字符串匹配学习路线比较明确。
, Q2 U3 t7 ~# [$ @: K先学习前缀匹配：字典树。2 r! f- {! r7 D3 X  P* i
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。9 S4 f) `; a8 o
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
5 W* @0 g# M- F3 D) u实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
+ P2 Q2 V' o2 c# b) [然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。- ]0 a1 E' d6 z) M( V6 k
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。& ]3 }0 }  m/ }0 ~1 U0 I
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。0 k+ \* \0 ]8 X
参考资料1 J; X& S6 `3 G& P
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）  Q- I4 L6 ^  i, [
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）1 n6 O  m1 t2 B
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）# W9 u  f. l" H" f. t" E1 s1 U0 _; J! _
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
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作者: 1051373629 时间: 2021-8-17 17:14
太难得了
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