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标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏） [打印本页]

作者: 杨利霞 时间: 2021-7-8 15:06
标题: ❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
2 P' w, b! D/ J3 r  ?4 d边的结构体声明如下：& T" i; D0 y4 x. y, g1 t
struct Edge {
4 ]4 |7 z1 I; y0 p; Q int u, v, w, next;% d: q' A2 G5 c+ _! {3 A
Edge() {}/ f  t# i, E% O$ S& ^
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
2 r" i+ b0 ?5 c0 X) q+ a       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) & r1 _" y8 G0 s% V8 [- a
{8 D; ?8 e4 E  A* M) A0 x3 {& e
}9 _! }) t' g. n/ O6 g# T
}edge[maxm];$ n' S4 m2 D9 E& B- ]/ e. s/ V& y
1" q% \4 S/ |4 _1 v$ M
2; N+ \% a! \- n5 x  p& C, y
3$ m; D5 V1 P3 O6 F
4
: N  T+ O1 W. L1 u7 R! H+ A5- c! u' T( Z6 f! A% w+ r
6
0 ~- z. t2 L. F& |# f7
! H% ^( N% I  n6 J: @! c8
* P7 B( a- k; m初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
. V" J4 B3 k* }每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
) \, m; w8 e6 `" xvoid addEdge(int u, int v, int w) {
1 v( y3 k. \) @3 A& H# B edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
+ \, F5 v5 `8 c$ Y head = edgeCount++;0 F& \, C- V( b- I$ k6 O
}  l* H* Q1 L6 t8 X# J) D1 c
1
4 b( g2 L& Q6 S- \. u6 |) L# [2. ^1 L& P" j2 n' q; b% e0 |+ K, s  q
3' K2 _1 z, r) w! s) |
4
9 L  t+ k% {! @( U这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。8 Y6 s8 w6 }" i0 j7 f& p8 v$ O
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。8 T# M$ b( j0 J8 ^) W
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {* v- |- d3 ~9 N! E/ }. F8 [
int v = edges[e].v;
, a0 P+ g- c* o5 P: j ValueType w = edges[e].w;3 \! K8 [7 @$ F4 [9 s0 }- ^. _
...
3 ~- f: x9 W- m$ M) b$ S}
, A9 m+ q# S! i: o' F1
0 `# k& k0 |( O* s2
2 W! b; A+ p! `0 W! f3
9 p0 Q3 D+ G* W% Y) _4* y" H: K' j7 V  \, @$ {
56 j; z' p' ~  D4 `8 t/ F; d
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
& _3 F" g. S8 Z) E$ E9 j4、算法入门
7 w' `3 S9 t3 V: l' g$ r' {算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
  `6 i! U' T# L# X0 C) {: v8 z4 O6 e1 j- y% c" h* f
6 e* P+ B  _' Q. T1 W
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
' ]( O7 I7 e- \9 x! ?( z* N对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
  _0 G# y, W; V9 G1、枚举! T6 Z. X0 I5 v8 ]
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
' v( T) E8 E0 O4 U) d/ m% r对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。1 r: ~$ O8 ^- d
2、排序
& r5 M+ O7 U6 k! S7 ]; j6 X/ I既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。7 P& q" R4 _8 @8 t- p- \
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
" c5 m/ ?3 B0 F0 u1 F2 U& V$ _% WC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。: s2 f) w6 t9 P8 R
3、模拟
6 I' F! O1 `6 H! F模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。+ i! H5 n" b0 n
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
1 b, J2 |4 Y( ^+ N但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。1 ^- W8 R: e0 b
4、二分
  F4 K( T* T7 O5 k0 ^3 }二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。3 l4 J  w, Z& ~; {2 \
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：7 a) G5 A/ O2 P+ s! q* d3 o2 x
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；3 m7 o) b# u4 \) n* g1 V! @
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
2 }  E; f) i# c/ o* ?! o* L 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；9 G- c  \  m. z7 ]8 |. n
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
# ]/ ?* L+ K" O+ H$ ]) T7 |% E 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
8 t; ^1 n1 G0 n' H) Q3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。- B4 M+ P* m' G3 C
5、双指针
$ ^9 C2 P+ |- M5 o; Q! X1 H双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。0 \! k  ~- \+ Q" M. z3 p
: m* m# E5 w; g; h6 c: ]: P4 V* w

5 C0 e! K# b% f- @8 [1 O; l6、差分法
# p& E. H! W0 A; B差分法一般配合前缀和。* g1 Y, v' L3 A
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；4 r5 y6 D% \3 I" O/ m2 y* O
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
: T, G* \+ H7 ~; O5 F  j5 k' Vx
- o- b; b2 f6 m) X9 o4 J
) o& N& [- W; I6 u- i ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g # p0 X# F8 O1 J. U, i
r2 h: K% R0 A, j& C: T

' }( ]3 c1 R' G0 \3 C  I) t −g 7 _& }- G5 G! w! L8 m$ B
l−1! r/ H! M, q6 X* X

) Z, P  M' q8 K* A1 v: ?/ N" W ；分别用同样的方法求出 g r g_rg
, G$ |. A! {- h" `4 G) ^r4 ^8 M1 Y, E5 Q. m
) Y% R4 ~' k7 x$ J
  和 g l − 1 g_{l-1}g 6 r+ _* B, f+ l/ P
l−1
2 x7 r# j: D- O7 ]( `" _! {" V 8 b2 c+ g/ E# Q+ y9 S9 l
，再相减即可；  u2 {+ E3 d/ E+ ]4 d

) p2 m5 i# i9 b
( l) Q% A6 H; T# Z: y7、位运算/ G/ [* ~+ f$ |; O
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。$ N7 P1 j/ T4 z1 |( H2 n' p4 H& E' y
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。5 h- A4 }5 I4 ~
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
9 y% j1 \9 f- \, D9 t如图所示：
! x/ f, N2 s+ G$ W/ Z# t3 v- T: l
9 X( e4 c3 q. |, ]7 F, m
2 K' z6 w% q7 D- b$ I位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
8 G6 \) X! d" [3 B4 s/ A比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
% I% z* _" @: Y- M; Q7 b4 H!(x & (x - 1))2 w8 c$ H6 w' ^5 R' R1 U) S
1
$ P0 s& \- p2 `/ Z8、贪心
! h) Q4 ~  E* ~% y' B贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
( M  G5 ?$ r- F9 w, b* u  M3 Z所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。9 s3 E5 n/ ?) v: c. d
9、迭代
# b* x1 i, S% h. p1 \, _每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
8 c, x0 n( w) a10、分治
$ M) ]& A3 Z: k$ S分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。5 \9 ^1 Q% s7 O. Q9 ?) Q: ]
5、算法进阶
  e1 W7 J5 Z1 A+ D算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。+ R  s, f$ u# A* u  W3 a" j
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。' A- e0 U- k' |3 l
这个系列主要分为以下几个大块内容：" O5 q5 a' M/ W8 ?# }4 }7 ?2 q/ v
1）图论
3 q7 U/ i3 ^  e4 x) U* g& ]# F8 Y 2）动态规划4 o  O- M( Y- k; x
3）计算几何( V4 A# p% l7 E1 C
4）数论) b% w' p# v( E  c
5）字符串匹配
2 d8 \3 n* m! L6 v 6）高级数据结构（课本上学不到的）( j4 X8 Z5 S, B; q
7）杂项算法
7 n* C6 X8 u) X' k6 f
+ l6 M0 ?0 ^9 Q1 [
3 F- |2 ~# _# {2 K先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
# g" h% @& i6 [" s; ~' g5 W( }* I! g& ~. ^% `  T
: S9 }" T+ [0 z0 `3 }1 J- b
$ j( F. {& G5 v' I/ T, ~3 v6 ~

0 _4 A; S5 B0 C: M9 K: o1）图论- y* L' ^1 u& ], P, P3 }0 C5 l
1、搜索概览  Q) V7 b& l$ R. l( e
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。7 u% K# l0 s" u+ D5 K- R& j0 T
: f, g$ f) W) p+ H* m  R

比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。% {- @+ W$ v! L2 ]
2、深度优先搜索1 h2 o5 m# W" \5 y& v0 {
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；+ j7 H5 C9 m+ J  D0 l
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。+ w' ]7 X( \9 C1 ]1 U5 t! [
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
5 |- y) `$ x' C3 g如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
3 _0 P: G/ W7 p9 r( b/ b. Z8 I# {: E' t' m7 E# E3 [
& \+ b' z# F; i9 ?- j9 \$ @
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
( X, m1 O, O1 Z- j' J: ?$ l 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6/ B% F6 o2 q( W* P# z
1  \# B# n1 O. q6 m6 _
同样，搜索的例子还有：* T- ^" x2 |  J/ V3 I/ y4 ^
; f; K9 W  b8 b+ w

" Z0 @1 O1 ?* `# T3 e计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
+ y+ E$ x- H$ i- ^# E9 |- s3、记忆化搜索
9 d  N8 g5 o% q' K( b8 t对于斐波那契函数的求解，如下所示：
( t+ N, `! U# o' [; R# S) s0 xf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
8 U- Y; q' |) D5 m⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)3 T6 q" I* G2 g8 n  A+ j' K; s5 g
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
' D; T& X$ m1 g- jf(n)= 3 O. N) L3 [$ \. z
⎩* i4 q2 e6 o% K5 q/ V" m; l: R( g
⎪! z. w$ U2 P! ?$ j* d  {$ d
⎨
3 p; v8 D! O! X+ V5 D8 l! u⎪
1 Z: B3 \( A/ i  T% w0 d/ A⎧) a: E1 n4 c2 v+ _, U9 N; d
3 L" `4 w' B* ]3 a5 a
  ' F; I& Y' K/ ~- f' r7 _! Z! N
1
1 L9 X6 A% g9 F  B- Q8 D8 V1
# e; j/ X- i. P2 U* Vf(n−1)+f(n−2)
' \: s- X% u2 [3 i
. d" Q* ]. E7 q; j2 G  ) @9 U- b9 n! L- {
(n=0)
' R# j" A7 |+ M* C(n=1)
" n; e2 T) g* L6 t! p7 L(n>2)* D6 Y* N% e$ v  j
4 `' |" O3 f. m- o+ m2 |0 R: `
+ K. j! T" t( ]* i# R+ P* V& r
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：# m% ^1 S, M2 A6 N% H
/ h0 {' O/ L7 l: l( ~

* f- U7 X* W' i6 |/ J% f7 K$ u这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
" p  B  Q3 X- [# y' ?  Z1 a我们通过一个动图来感受一下：7 }6 k' S% p8 L" J9 B# m! O

5 F. E3 M1 E% N+ _. u% ^
6 |9 B. m% t2 M: i. Q当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
, v, i( t) C$ J+ V! P+ f% g  w" j这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
; B2 A2 H' b8 L1 k" @4、广度优先搜索$ g- ?& {! V. P: s" F, |: |) d' t
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。( r& a+ b8 J; W: z1 i$ C
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
' S8 [# T- [& Z! F4 L8 a2 I7 n& I  e2 U  g3 c# \
* [2 c! n* \" A6 C" [- u' ]+ H) H

9 F' z& C0 i8 W# k4 _5 j# f" k
# v; ?* h) I, B7 N- _1 G5 {从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。5 o' I8 L7 Y8 R5 f4 `. E) w+ A* @
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。# @% m( s5 h; Y5 Z  S2 C
这时候，算法和数据结构就完美结合了。0 i6 z6 W5 [5 D0 i3 j
2）动态规划# ]! s) c/ U7 M; P- V
动态规划算法三要素：' a% ?* z4 D: E+ A: u; \. R4 z
①所有不同的子问题组成的表；+ B, F% b) [2 d" V! M
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；* b- E1 a: S" |5 i1 I+ y! l
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；( h" _7 i3 \/ r1 m  g5 T" F) F' e

: \, m# ^* B: K
- Q7 H' o) b4 C8 ]/ T如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
, J* J4 }2 q5 Gt2 \' d1 i8 y8 m5 n
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
3 Q0 k# H  M5 [( W7 S. S3 t: `e
! o1 h1 u0 N0 r7 `# H9 t ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。+ J" t1 f$ F# K3 ]
1、1D/1D+ c1 H& b+ M5 e' K+ v" T2 n) n1 H6 t. S
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )9 B; v) S* {5 f9 J
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)& }+ S( z5 w- `" e: ?7 o3 r
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：+ O( i. j4 C6 R" N9 W
, n  {/ h2 M- Q4 ]! M" O
0 Z6 p; F) O# J9 \: S$ v
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。7 ~) K8 m4 ?' v) Y$ u
2、2D/0D
1 V3 u- R. V( A2 Y# N# t# J6 _d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
" o. q5 b7 H, p6 O: u$ s# X" }: ad[j]=opt(d[i−1][j]+x
" u1 Y. e7 M; G3 H! ]( X* Xi2 q1 v6 x  J( Q
8 _# k+ C( m5 ]" B8 D' q
,d[j−1]+y
; G& p) v8 O3 p+ P: `4 w( zj
' z, u. J6 q) P; w* q+ b
9 U' G# d+ M! H' L- }. T5 E4 E8 R ,d[i−1][j−1]+z 4 G8 ~" K# t, j' q  e
ij" W9 z; b+ R# Z3 N) @" a+ e

8 y9 m2 R/ O8 _; C) M# ]( n3 ^9 `4 R )
' M. Q* Z9 B/ W% v0 w状态转移如图四所示：2 H# Q- ^9 r% r4 c8 i) Y" c

$ H5 H/ R4 _& z% Z7 `- Z! M! L) E) R% o5 L* G
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。8 e. C$ w4 O2 m
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
  S: b/ a! g. C+ @有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离0 a: t3 A: N9 B- n
3、2D/1D
% }7 P/ n! p9 Z. N1 _d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
( K4 w8 ^6 x3 v; {5 xd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
3 J  D, r: z  A. C. d. Y+ U8 C5 j区间模型常用方程，如图所示：' j, i0 T9 B8 I5 S* U8 P

+ p- K; _* {5 _/ v+ T& \5 E
9 k' ?. ]/ m5 R4 I+ X; f另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
2 W% s' b# n/ p" m& ?d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )( D3 {: b' d% A, |& v9 ~/ `# `
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j). @0 N" w2 s: X" G$ d+ I
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
5 @! f& I$ T. [4、2D/2D
3 n- z/ ]3 g1 j$ C+ V' Q7 q2 Hd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)! V1 q3 D* U% Q$ ]  o" n
d[j]=opt(d[i
9 w. a/ u; ?) J. ?1 p′
. E) s% u  V; ?& h, N ][j 7 R1 i. A$ L+ C' e9 _$ E9 v/ y
′  U) H5 \+ p7 j$ a
]+w(i # U6 W* p" u0 H! e
′/ u+ t. O! K1 X- y7 L8 i% J' }
,j % ^7 p2 H+ N2 K; P. c
′
" Q/ k, j) B! Z- f+ D" a' y ,i,j)∣0<=i   D! Y1 L& \0 N
′4 H% O- x' R9 `) X% X7 a
<i,0<=j
7 I9 d: q) W6 d′
1 E9 z& U) c( d- O <j)/ r- T. l# c* w& o/ @- g% @9 J
如图所示：' R) D& D, j, |3 p1 S. r8 o

4 A; T4 w8 k& X' D* T, x
8 [9 t" O8 c- N( B1 h- g; B7 X6 F常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
2 z# J* A- f* i" j对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n # o8 L7 m6 S+ E) z0 L; @
t+e# E. M4 g7 j5 F8 b5 }2 H
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n + Q7 c8 z7 c  m8 y0 N
t
; W1 G7 N. I$ o$ O  P ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
, |: b9 p2 Q2 U) C0 B5 ?" z$ X3）计算几何) T* f4 z5 [/ Y) X5 H% w7 `4 q
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
: n. |$ ~6 m8 R) R/ ?$ X+ _如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。, `" z) ]' m4 u( E4 u1 M0 g
1、double 代替 float
8 y& X1 f) n6 L, k3 tc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；8 r9 O' O2 l* |( g
2、浮点数判定+ h, X0 {: s  k0 F( q. {4 j
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
8 s1 j6 n  R9 V3 X% {两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
9 i5 j# i0 s+ h7 i* N" z: ]) H4 b' Q4 Kconst double eps = 1e-8;
, O; x7 b6 a: dbool EQ(double a, double b) {; y$ k4 Y6 _% Y$ d
return fabs(a - b) < eps;% I% D) i5 k+ Y( M9 J
}3 z, e" B( v8 [+ ]3 P
1
& ]0 ^8 F. x3 S2; k7 p9 I) V( m
3; _- e7 R' E1 f/ D3 I& |- x* z
43 u# }" a- ]+ C  C
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：% q# w$ E; u7 i4 J0 d- q) Q
int threeValue(double d) {
5 [' L& h! h4 W) z' H) @1 w6 R if (fabs(d) < eps)
- u6 f: p. P" Q- q& C, N       return 0;: v  ^& s0 ~+ W  O
return d > 0 ? 1 : -1;
- b" m* P' A+ w5 R% L}( S3 x9 s* n' S# Y5 |
1
7 S" z1 u) T/ R, E  d* |2
3 U" L: x* Q1 f  m* _3, P4 z: A. b* G( V8 B0 o2 Y
4
, j1 A* ?2 n: r7 |' Y0 |  E5
( n8 w1 a" M3 Q0 S7 y9 k3、负零判定) K& }+ u: k, |" G( d; ~# A
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
! O. E3 t3 e* ]8 }# A. K4 q# B* V double v = -0.0000000001;
9 N+ N3 V5 ^1 l& X1 l( e7 a* ~1 v6 { printf("%.2lf\n", v);  H9 g' V. m  S* K: u
1. p) I; w2 u0 K6 ?5 }
2
& g% H! x) a  i- l4 t  j避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
: A4 E# V* I* q double v = -0.0000000001;1 ~9 X& {2 D+ U' W
if(threeValue(v) == 0) {
; [. C$ E7 f+ ^9 a       v = fabs(v);
0 a0 ~; `0 y+ ~ }+ C" z* G) ?+ C9 d9 O  a
printf("%.2lf\n", v);; h1 d/ |7 A. a8 I
1. J4 K1 [2 i/ K) d7 ~; M/ h+ Y
20 T/ w3 x" V( y0 ~
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5
2 D& y1 c1 d/ a0 c6 }4、避免三角函数、对数、开方、除法等
' i$ ?- S7 U6 R" s' k' P' b* mc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
- V) [' i, V! p: }. M# ~( g除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。/ e: v3 w3 ?. K( L' F0 {
5、系统性的学习
* _- Y/ G) d! M  E2 s. N6 ~基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
" h& c& m( L( s% s$ V进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；, ~( |8 L0 v& [( f5 {
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
5 |( q) L( t/ E9 M2 a3 J2 x8 L: S( G+ L2 K9 ~& ]% B. p- L! U

, f8 x% c% S2 G8 S* C3 z学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
2 Y" [2 P- m% i" A* _8 T+ @+ P; X4）数论( k2 `) Q% ]% D7 P, |
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
; \' y% g) D1 x. [数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
9 f/ b/ D2 C9 t$ }8 j" s当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
! g! C# x" ^( u& |. V1、数论入门
* i' F  k3 S+ Q: z1 s1 x' s主要是一些基本概念，诸如：
6 k" i3 o4 E; P  [* a5 a9 A# P整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；7 p# S0 [7 a- A/ B! t; O8 T6 N6 y
2、数论四大定理
4 s& U6 U- G) d7 V- @9 ]这四个定理学完，可以KO很多题：6 C7 i" V; e' j& f2 Y) ~8 ]
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
0 x4 i# u4 [# @3、数论进阶' z& ~3 x: t) B
系统性的学习，基本也就这些内容了：9 c# J4 ~8 ^5 Z- Z# H
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。( o1 w0 k# F% a# i7 a
5）字符串匹配: @% g# K  L: p  {' i1 j/ E- d
字符串匹配学习路线比较明确。
  `  Z1 z) N6 h2 ]: P先学习前缀匹配：字典树。) B% @! M; s* X; f& ^& i
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
; |8 y$ [$ j+ D6 \7 _- Z; w以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
. G6 P5 M) E% F% y4 l1 d实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
4 K2 L) h9 n" A1 ~( B+ E) ~然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
6 @: y) U2 n0 b6 \* w* U! X关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
7 A1 L  ?+ d+ X5 X3 e4 P如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。& I# s5 \5 H+ m
参考资料7 O- ^1 z% \: m
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
  o8 g9 ~6 |* K* l+ `【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）: R, C  j4 f% i3 G2 b9 {* P9 l" p  j
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）8 o* y7 P) _& v- D0 T7 r2 T% q) V
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）( a0 B& ~( G9 l9 g* d! }1 ^% U+ C
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作者: 1051373629 时间: 2021-8-17 17:14
太难得了
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