4 I) T3 }) m3 D" ^, p* E; u 7 u2 X# X# `8 b8 Q# k' o7 t8 }三、模型建立8 w- r7 D% n: G I5 s
1. 数学模型 5 |% a5 g0 j) b& d4 T# O9 {【5】线性规划$ M9 `4 V& `2 U. g# a) K
线性规划问题的目标函数及约束条件均为线性函数，求解方法有单纯形法，matlab 中可用linprog函数求解。 # F6 i8 O% _; |& k7 c& S6 h4 M. W X* L; P
, q7 A1 e$ G z8 l' f【博文链接】 ( G$ Z k3 l; A D. C
4 U! d$ f* U4 M) r; p : `: s |; n' n. Z) u线性规划（一）：基本概念：可行解、可行域、图解法、超平面、多胞形、多面体1 U# Y# G3 `9 K' ?
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" E1 Z: J$ N9 S B7 ~$ T% X
线性规划（二）：运输问题 (产销平衡) & 指派问题、将非线性规划转化为线性规划" w. B: f' I. V3 t a- V2 H
" ^. t$ C" I6 u* M' ]3 G0 U
% R6 e5 O) v. z7 k) p' Y4 d线性规划（三）： 对偶理论与灵敏度分析5 }! f1 N0 I4 R1 D
$ p% ?# L4 D# P5 T# T, v) c5 l+ f; q# n % z/ O2 l- f' K4 e线性规划（四）： 投资的收益和风险、线性规划习题集 0 F2 b8 L |( S , g8 U1 P: n8 z$ u% H9 d7 a( }! p. V! h" O u
【6】图与网络模型及方法* \6 B0 r, c" N/ _% O9 r
图是指某类具体事物和这些事物之间的联系，最短路径问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。图论对建模和解决实际问题都用处极大，数学专业的《数据结构》《离散数学》《运筹学》课程都会重点介绍它。 8 O4 h0 G5 i- h! v4 O, r9 ]( q: H' n2 ]* [5 J# G2 V
( U* J% S2 B* t, o, c【博文链接】( M- @+ A1 m( ~! E: [
N, Z, e$ o) W: \ 3 }3 r( E# K7 i8 s. N Y& t【1】图与网络模型及方法：图与网络的基本概念& .图在数据结构中的多种表示法：描述了图论中的常见问题eg最短路径问题、指派问题、中国邮递员问题、旅行商问题... ! Q( J- N9 p( N8 S6 i# S; b/ h 9 B, I5 Z2 P+ Z! G b" n' Z. J $ i3 |; W5 j6 T: T+ \' z0 N- Z& q【2】图&网络模型应用—最短路径问题： 给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线。【就是从一个路线网络中，找出两个点之间的最短路径。】 S( `6 R R' `# y& B5 R% v " \2 p! i% t, O& f( [5 g+ I* g! j* `; ~- z0 f+ Q8 k5 y$ g
【3】树：基本概念与最小生成树 ： 欲修筑连接 n 个城市的铁路，已知i 城与 j 城之间的铁路造价为Cij ，设计一个线 路图，使总造价最低。这种 连线问题的数学模型是在连通赋权图上求权最小的生成树。; ^2 ^; u+ e6 I1 q" P( l$ C
2 ^+ C; }! z& u* C- C# g2 V- H( |6 e% S) S9 p6 t4 X* Y
【4】匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法： 用于解决【人员分派问题】：给n个工作人员分配不同的n件工作，每个人都适合做其中的一件或几件，那么请问是否每人都有一份合适的工作？ 8 n2 m& D2 p6 p7 u9 V4 K$ W9 A% r6 K
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这里面提到了一个【婚配定理：每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。】 ) |7 t- ^7 P! f1 A+ I( K. u f9 \; Y6 K* B/ x
+ j9 [' }% X& b& }9 n: F, l【5】Euler 图和 Hamilton 图、求解旅行商问题的 改良圈算法 ： 9 t" a: {$ x& {
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Euler 图就是从一顶点出发【每条边】恰通过一次能回到出发点的那种图，【中国邮递员问题】的数学模型是：在一个赋权连通图上求一个含所有边的回路， 且使此回路的权最小。 显然，若此连通赋权图是 Euler 图，则可用 Fleury 算法求 Euler 回路，此回路即为 所求。 9 p6 i" g; M3 B 4 N2 C$ s8 a) n4 x% ?0 g. ~% g% r+ @* J) p9 x1 ^
Hamilton 图就是从一顶点出发【每个顶点】恰通过一次能回到出发点的那种图。【旅行商问题描述】一名推销员准备前往若干城市推销产品，然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？。用图论的术语说，就是在一个赋权完全图中，找出一个有最小权的 Hamilton 圈。称这种圈为最优圈。- ` I% e$ ^# E& q8 N' {
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【6】计划评审方法和关键路线法【统筹方法】：广泛地用于系统分析和项 目管理 ' N8 f& D) r( d* m6 N% A / r* S. J1 v9 F# `8 |9 ^; r% I) F% q* g/ E1 B6 M2 s
【7】最小费用流及其求法 ：eg。在运输问题中希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。 X) S2 d- n# ~8 g! c 3 Y) s' ]( C" D& Q+ Z9 N- U( l3 B& \, o
【8】最大流问题 用来求解流量给定的网络中的可行流。 * N* D# u. \" s t4 v % Q$ J) n# u/ T# ^ * `' `+ X) ~" C) R 分享一个教程里面有讲图论：王铮的《数据结构与算法》-极客时间--音频+pdf教程： ； & Z8 I4 [ B$ [ : [- P7 n# b2 g3 S, q* r# ?2 G* b, s0 U# {# E
见百度网盘【链接: https://pan.baidu.com/s/1kS0qeGIQgtb0hfHOm3bdmg 提取码: t2y8】 1 a h' u' a4 O" i7 F7 |9 h0 X8 ?9 D
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5 g. v' a. T3 H+ |6 ~灰色系统理论及其应用 (六) ：SARS 疫情对某些经济指标影响问题 4 C6 g% R* |# C! v/ F, w W1 [* F5 @! e" f [; O' \8 Q b0 \- q5 I
, N, E" |- X" a) X- C/ v0 d灰色系统理论及其应用 (七) ：道路交通事故灰色 Verhulst 预测模型 : P+ N l" j& N6 @8 }0 q; {- K 3 n8 ^ F" O1 N ' ^1 M9 _$ `, R; Q+ e 4 e6 H& I9 m, |, g J
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【9】动态规划 ! X: T8 `, }+ q* l把多阶段过程转化为一系列单阶段问题再逐个求解；一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解，但是要必须对具体问题进行具体分析处理。可用于求解最短路线问题、 生产计划问题、资源分配问题等多阶段决策的优化问题； $ L4 j$ o5 Z" H2 e7 j F/ b4 m/ ?. \0 r
/ x3 Y7 ]3 Z7 w9 F3 a. Z+ P【博文链接】 6 N1 D3 @$ u; Q$ H& n2 K$ {: n 7 i! B) B- [% D5 v! ~' G/ ~7 O& U2 P1 t8 s3 t
动态规划 动态规划的具体应用实例% i+ ?* E) i ~- k8 z
4 _9 h' G% h# \- s3 Z3 G ' ?! |. K- |& R+ r. v2 b! H a& e2 K【10】层次分析法 AHP! [0 Q& N5 p# I8 t& H& T4 F
特别适用于那些难于完全定量分析的问题，作出决策时又涉及许多相互关联、相互制约的众多因素，是一种简便、灵活而又实用的 多准则决策方法。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分【目标层、准则层、方案层】。" K8 j7 b6 W: e* B: a( x( u B
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【博文链接】 层次分析法 AHP 5 P7 O- q/ K7 R+ n # X/ W; a. A, H7 F4 {* s+ z : ~" \9 f' Z. S3 H6 U 【4】模糊决策分析方法 ! p# @+ {, P0 C7 h3 F2 p) R . Y1 v) B& y q, A: v& r4 d! B" z
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, N7 K! v* w7 |9 J6 g ! \" N' R' i& Q- g【11】整数规划: |: b5 x! w) m
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中， 变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 求解方法有分枝定界法、割平面法、隐枚举法、匈牙利法(解决指派问题) 、蒙特卡洛法... 6 F2 q9 t( M2 _: N- O3 @+ ]$ J1 ^* Q% c
, A; g* H0 S/ Q8 c 【博文链接】 整数规划. {$ J# q$ [4 x. U
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【12】目标规划模型- D8 a, R% i6 C9 j5 E }4 h* X
线性规划只能解决一组线性约束条件下，某一目标只能是一个目标的最大或最小值的问题，而实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标；这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的， 也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的.....求解目标规划可用序贯式算法。9 c0 m6 j1 L- {. T
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【博文链接】 ! h% h$ C+ G% A7 X 8 z+ o3 u5 h6 t' _$ v2 @0 Q; Y. O3 J0 z5 T
目标规划模型：求解思路、序贯式算法 : Z. c* L& v2 k1 r9 R& q. d ( o* ]' Z$ e1 m: \" ^9 @/ y% {" Q' c; M7 ?1 ?
目标规划模型的实例：生产计划安排、运费最小的调配方案、根据某产品在各地的供需量安排调运方案、数据包络分析2 j9 ?" { |3 Z& l" m! ~0 p* q
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【13】偏最小二乘回归 9 [& n1 k0 t% M0 t1 E研究两组多重相关变量间的相互依赖关系，并研究用 一组变量（常称为自变量或预测变量）去预测另一组变量（常称为因变量或响应变量）；是一种多对多线性回归建模，特别当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而观测数据的数量（样本量）又较少时，用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。 偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点。 2 b7 U, k# b4 Y! Z# v8 ?# K, m 0 [' k: f( p5 V* X* v; x3 M" i; L! {; s
【博文链接】 + D$ O$ K$ t5 k V. I( ?! h( O5 i3 r9 O- h
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偏最小二乘回归（一）：模型介绍 6 L+ y, p1 z, {: ~0 J* s: I. I3 p: I* Z0 Q0 c' E
' t4 m; L' K# m! `6 W* p. P偏最小二乘回归（二）：一种更简洁的计算方法1 j' [0 _, M8 d! S& i5 \
* @ a2 |6 ~: X- R 9 X3 p# ^/ S9 W偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析 8 ?0 L( Y0 Q7 R# S5 b! J! L- i: ?, I1 c0 j, r) X5 C
5 Y; w. |) E9 Y5 o5 X
【14】微分方程模型 7 L: |: Y2 B; A4 s. U. Z由微分方程可以描述数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律，如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。也可根据大量数据提出简化实际问题的微分方程模型，eg人口模型【Malthus 模型、阻滞增长模型（Logistic 模型）】、战争模型【正规战模型、游击战模型、混合战模型】。 . ?1 R% k# |& X- _- |) `7 I# @ 1 ` ~8 p, @3 _! j/ S: y - h9 s* c1 O- B/ n1 ]9 ?【博文链接】微分方程模型' P G/ `; G) v# W
