数学建模社区-数学中国

标题: 还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法 [打印本页]

---

作者: 杨利霞    时间: 2021-7-9 17:26
标题: 还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法
还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法
: I6 {  p1 d, `4 _! J
前言
数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一，包括全国大学生数学建模竞赛（俗称“国赛”）和美国大学生数学建模竞赛（俗称“美赛”）。在这些比赛中取得好成绩，不仅有助于保研、有助于找工作，更重要的是形成科学的思维模式。以下是博主精心整理的两个matlab专栏，包含入门到精通及实战内容，需要的小伙伴可根据自己需求自行订阅。
8 f4 j! N/ Y& Z. Z) K

: \$ \' w! \3 A6 W6 y; A! b  w* ~MATLAB-30天带你从入门到精通


https://blog.csdn.net/wenyusuran/category_10614422.html
) N) t- W9 d( C% N

MATLAB深入理解高级教程（附源码）
0 E# W4 M6 L! c/ o" X3 x

/ U+ N' Z& }2 o3 Whttps://blog.csdn.net/wenyusuran/category_2239265.html

1 m2 X- ~! [' M3 k
在博主的资源中也有各种算法的应用实例源代码，需要的小伙伴自取哟。
  {5 Y  p& b; t& O



' K" E# q" |( z: U! l4 {
% j2 N8 j: i: ?) J4 D/ g! z
4 Z% i6 l) r- P: H% h' n

! L. m, y! H; p0 {* k7 `* j* L9 U

  n; \0 h5 ^  Q- ]  b* U$ _% M) s- x
3 F- L' R  {$ M& C# y
  O; Q) i! U. q* H% I# o9 E2 K/ ^ 01  蒙特卡罗算法
7 t' W0 n" s) ]0 k2 X1946 年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。
* c7 L+ `& U1 H( H% i

+ |9 Y+ m$ H9 O8 @* Z蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
/ T* q& l" Q( D+ e4 g$ ~
5 J) `7 m$ J. F9 ^
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

# s2 Y+ l9 w# ~' ~, u0 u
5 U6 v5 J6 @" ~9 v5 ~% H  c. B蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
8 I2 J1 }. x: B8 x6 ]/ y

当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。


" ^6 T" c+ O( A# ]7 {. C% _1 w举个栗子，直观了解蒙特卡洛方法：
" U& i; ]% J# @# m

% f: T! O& U, Z3 Y; J假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如：积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。





- j6 b* z9 g- {+ ~" c, _
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

5 D  U7 b. ~- ~
+ \+ U: a, I# a, |, M* n/ M蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
' e, u2 N7 \+ |9 x: @' p
% b/ p! B/ ^- g1 z1 _+ H
% v4 N1 b! U5 v1 B0 R1 Fa、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解；


$ y- Y  x% W4 xb、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律；
5 i$ G3 Z7 r7 K: v; s
0 Q( w! s( ~4 P; w
c、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法
( G: q2 m. g' p! ], }1 c, X9 A

2 ?" Q) h+ d, F4 i2 d& r  e: l等等
" J% l3 m3 a; b# N7 [8 Y9 J
* N) P+ ~# {- H# J) b% j
8 d& H7 A, s" U 02  数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用 Matlab 作为工具。


/ ^# s& o/ l( ?8 d! `. p数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年 A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
- M7 [& z& [- T4 Z5 M
, U! k5 p, O; H! X; n" B4 a




: F/ ~5 q, H5 K+ A+ Q此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉 MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。


03 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
+ z/ {1 a: L# s. F数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。
( S2 b9 p+ a' }) n$ j
6 |- U7 i5 _- a/ l' _
遇到这类问题，求解就是关键了，比如 98 年 B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。

/ D- Z$ Z4 ~% L& G& r
  k$ s( g( O! {8 S2 w* d 04  图论算法
这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。
% t# W4 G. ~( |7 M& Q

关于此类图论算法，可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。

7 W0 `$ D. v& n



  G9 U+ B% h3 M7 p; }6 z9 i
) v( O1 l: A* u2 j! N4 @ 05  动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
* i: }0 d  g3 i在数学建模竞赛中，如：92 年 B 题用分枝定界法，97年 B 题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。
+ f7 Q) T. m4 G- b2 R
/ p' J5 O9 R- C8 h1 F% }



& O, Z) P4 J  ]; O1 z- U
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
. n, ^' U" t/ i9 j* Z+ l1 `
# u/ Q; R! v# q6 K* Y
& h  B: X; W+ h" i1 U: G 06  最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
: _; S3 ^- S" C0 w$ N9 q2 X0 O( G4 x
- a3 [% ]6 e- p7 \  Z
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题的模拟退火算法，00 年 B 题的神经网络分类算法，01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。

3 D$ w+ z. M5 y3 p6 w+ ^
% q' C# I% Z) K- C3 {* Q还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系，当时是 86 年刚提出 BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
9 D4 C0 e1 e8 ?: i) J
  E' T6 j# Q! o# E# i5 z2 H2 h2 r
. z. O5 k+ a! ^03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。



# Y: q" Y  X) D. K/ T! y( ^! S+ g
) N" a0 a( d) \1 a7 l4 A
; X* E' V" |% K' a+ `



7 c0 W, ~( k" U; ?! ~8 w: o& g 07  网格算法和穷举法
2 l. J& F" X' ?' V& a$ N网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
8 L2 M# Z/ Q* c6 Q

8 G# u8 C' e5 U' [; t7 Q比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点，那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算，所以计算量很大。


在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久。

- U1 g) `; E. T$ G) Z- w5 K7 ~
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。
8 I& a9 L. [5 O' m! L! I' W
$ ?2 h, x: X! X9 q. g
08 一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


5 @. C/ p+ H0 w) f% i( a这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

# x' N3 \: T% G& X* _
7 o$ [5 C& ~) v" X# H 09 数值分析算法
数值分析（numericalanalysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的算法。


如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
) r0 L& X2 T: v2 y/ q# m7 h. F

- S  I/ p; d* b. s) W+ }' B这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。


10  图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算，03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把 MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。


! ~  X  n% e# z, o9 U" F

————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「文宇肃然」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/wenyusuran/article/details/114093268
8 z' ^2 F2 ~. |3 b# L

! Z2 F) x( Z" t* B, O

---

欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)

Powered by Discuz! X2.5