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标题:
2020全国大学生数学建模A题思路讲解与核心代码
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作者:
杨利霞
时间:
2021-7-16 16:32
标题:
2020全国大学生数学建模A题思路讲解与核心代码
1 `5 y( p! M& k4 x+ R2 V
2020全国大学生数学建模A题思路讲解与核心代码
% ]' J- K) u' Z9 F
" F# @ J8 K* R; ^
2020全国大学生数学建模A题思路讲解与核心代码
4 L$ I( {8 t; G7 g4 n7 o
题目
, u, T3 c4 M0 L7 [$ S
核心方法：
4 S! q4 r7 g V* u5 G: M
问题一
& Y0 f; X7 C" _8 p/ S2 k
问题二
4 F! ?; ]2 p, A. W9 @, S
问题三和问题四
5 s9 Y, }, |1 y& [
答案如下：
4 f' W' j2 e/ {! h7 c) S
题目
% {! U9 l# l% X- a, `" e
5 v1 s2 L4 D; [: L, d5 J9 C: s9 j
% N0 z9 K& T, j7 }% n. [
) T' e6 x7 o: R6 O! Q- u
6 V6 Y* W6 j$ y, H" _ e# @. A6 E
# ]/ J: _$ A+ Y7 l2 ~6 S: b* l
1 l4 E% f& }, L' s( j
核心方法：
, {3 x; H+ u' S- w
热传导
7 k) Z' g3 F% T, m, n
有限差分法
4 H; }0 r6 |! a5 `+ {
遍历法
# O+ D2 `, q' W K% t$ _6 x" S6 `
}: E2 t9 x$ {7 R r. z
# D7 l' P: n8 Y& V0 T
问题一
' Q3 e4 M% i, g
建立焊接区域中心温度变化规律模型，推出焊接区域中心温度与其厚度和PCB 板所走过的时间的关系。查阅相关资料可知，由于自动焊接过程中热量传递复杂，因此对模型进行简化，只考虑一维方向的热量传导，即单侧单方向小温区对PCB 板的热量传导。利用能量守恒定律和 Fourier 热传导定律推出热传导方程，再利用附数据件求出方程中的参数，进而建立了焊接区域中心温度变化规律型，即炉温曲线变化模型。依据建立出的炉温曲线变化模型，根据问题一中所给出的各温区的温度参数T1， T2， T3， T4 及过炉速度v，需要求出过炉曲线，即焊接区中心的温度变化
/ a+ r9 `6 M4 @- }
# m( {+ ?: C% D7 h
% ]( p3 ~" p1 C) ~: D: `! o/ `) d
对于热传导方程的求解，需要先确定热传导方程中的参数—热扩散率，这
$ W' y3 ^8 E9 j* W
可以通过附件提供的炉温曲线数据进行参数估计。热传导方程的求解可以利用差分法进行。
% K( I6 n p+ G* C5 P! J4 _
) P- P l, A) G2 t3 e# D @# K
1 p6 o! q7 B( E! r+ h
// lamda的计算的部分代码
0 b7 I3 O* m$ Q8 I$ Y1 S+ h
array=zeros(76,length(x1));
2 s3 B$ o+ Y0 V }
array(1,
=y;
3 I) l: y/ i# p8 v/ }
array(:,1)=z(:,1);
! u1 m8 j* x F- j* |
for k=1:31
# A: K! W6 S2 U3 s P+ f
for j=1
(1)-1
% z/ N0 s1 q% { G* U. E
for i=2:75
" T0 g1 V+ I% P2 D. P5 k
array(i,j+1)=array(i,j)+u(k)*(array(i-1,j)-2*array(i,j)+array(i+1,j));
2 d& |# R) N$ ?
end
+ p& u9 a; F$ G# g6 g
array(76,j+1)=array(74,j+1);
! ]: {; H9 c. [! q/ W
end
6 v+ y% K( N- _$ \4 K( u1 m
e1=1
(1);
- N& W Q6 g& d
e2=time(1:5,
;
3 ]. T+ w4 Z' Y' X* @
[C,ia,ib]=intersect(e1,e2*100);
% x7 Y2 ]+ S) O
for i=1:5
( @9 U- N* s; g1 ?8 w
b(i)=array(75,ia(i));
9 y2 \* [+ A Y0 x3 l% ]6 {8 I/ U' Q
end
/ Q! X4 Q; s$ W* V
for i=1:5
" e0 S( m8 y3 j
c(i)=(temperature(i)-b(i))^2;
8 [) b# ~ v+ N e! g5 v% k+ v
end
4 \) \% e2 L$ o7 _: b- |
rss(k)=sum(c(
);
; c, w& X; |9 R: K4 u' R; X
end
$ M! B" }8 V5 \/ V4 Z% l
result=[u;rss];
1 R$ [# W" h9 b* \' z5 K4 w2 X
1
: A+ \8 |+ _8 i' [) C+ h
2
1 v$ d6 \! c4 ]6 L! T7 U9 y+ R
3
9 G% O0 i- D3 l- c0 [6 Z0 N4 m3 h
4
6 L0 {8 a! O& P" ^$ T
5
" v. u+ ]5 [% `1 @; S5 n4 h
6
, Z3 s6 o5 d9 u! C5 z% D
7
$ ?, f/ n* o" I
8
/ k0 H4 B$ t; }) |! c& I- D
9
6 e5 l P+ ?: `/ P% l2 U4 u
10
) U& g2 b! ]% {) m* e9 _- q
11
' l/ C$ u0 h) S, ~6 J1 o1 S
12
+ g( ]2 n5 g+ O
13
: \" }+ b4 p! |9 [
14
; @+ m1 `) H _7 @9 N; u: b. _0 [
15
2 x D$ a( g6 W2 {, y( j/ ?
16
; T- G" K, a' V3 ]% C a* w
17
: T. w& Q3 } D9 l9 r
18
& F& b7 u( L2 d) Z7 d
19
6 C" Z. t( R- m- `+ b8 c" ]
20
c; J: b3 p$ [5 |$ b" G- \9 p
21
0 V; l. T; J- E$ G0 }, w
22
" h7 o! T; M8 T7 q. h" X) F7 q
23
; P* e% o- M# r. }* ~
有限差分的核心代码：
( l) A9 y$ ^# f2 G! Q* T
: s" j, V' q3 u1 b6 e- D! }
/ R$ j+ n) H3 {
//有限差分的核心代码
# P" M7 F1 o2 ?
array=zeros(76,length(x1));
+ p7 W/ t+ X. V
array(1,
=y;
7 P6 ^9 r' o8 B
array(:,1)=z(:,1);
& |$ f8 _9 `# ]+ s: y4 z
for j=1
(1)
1 ^1 ^5 L* x- z- G( i9 Q* ^
for i=2:75
6 K9 v0 b" N, L3 O
array(i,j+1)=array(i,j)+u(1)*(array(i-1,j)-2*array(i,j)+array(i+1,j));
5 H3 P( h. B9 N5 Q3 E+ @0 [# v
end
9 T: J" _- b3 B5 r9 D3 X u
array(76,j+1)=array(74,j+1);
% p0 p* M7 j7 B) G: [
end
. D* `9 T9 {$ h' Q
z(:,2)=array(:,2143);
$ \. K4 k- m2 G' X# ~- M: o" _
for k=1:9
6 I0 D: D/ [$ X2 Y$ V, p3 o
for j=L(k)
(k+1)
4 S2 X( ~9 K$ [" M
for i=2:75
/ p; ^. `" h* Q) g9 H% n
array(i,j+1)=array(i,j)+u(k+1)*(array(i-1,j)-2*array(i,j)+array(i+1,j));
6 ~. H# x2 V& y- I4 H$ C k
end
! O0 u- |. d, {0 q$ F
array(76,j+1)=array(74,j+1);
9 B& O& x9 X( O' g
end
c" L' B* J6 ^+ P
end
' D* {: x* c& u* s
array(:,length(array))=[];
. F% G# ]1 Q- g. m
# s/ f* g5 x4 {
) u; S; T- I" F- e2 G# o
1
2 {+ n+ x5 k" y7 O! a- ?, J$ L3 ]% K5 s
2
6 }, |& y: D. i! K- q# h
3
/ ^# C& z8 {0 v. w. B
4
% u7 a, a5 D8 D4 C
5
- N! Q5 Y0 l! c
6
7 Q- D( ^4 j+ d3 R5 E" F
7
v! z+ E6 _; b% U- \6 M+ o
8
, l# d; i0 |( R1 o/ y& `2 r9 [
9
2 N/ v: ^& c, F( ]4 W
10
5 P' M5 Y8 `# }3 z% A
11
' l: v4 y3 ]0 n3 T* B: i
12
+ J/ `8 S( I. n$ ^1 g/ Y1 ^& t1 W L
13
9 W: e7 e* p; }" L% J" i
14
# n3 C% K+ `( o
15
$ k m+ O7 Z! t4 d3 L
16
; S4 t# P7 M6 c
17
% ^( F$ ~! H2 d; J5 B* w
18
. m* b+ L1 n; e2 P$ N. {3 N7 O
19
* p6 C+ f( j) [' t
20
1 j# e0 D, F3 B, A$ Y
21
7 |' T7 ^3 _; d8 Q
得模拟数据和真实数据对比得炉温曲线：
) v4 g+ {6 _4 J. p1 l$ `' K) X/ _0 V
, J9 ^/ a7 @6 u2 t' j1 c z
: I$ B) N- V0 x1 \2 B/ e
1 g) i/ E% T$ N- C5 A c, ~- m
- v$ q1 z/ R% Q% `1 k% w% j% {( w
问题二
# }/ I9 g( z# b9 I
问题二中，基于问题一中所建立的炉温曲线模型，在四个温度参数给定的条件求取传送带的最大过炉速度为优化问题。此问题可以看做是问题一所建立模型的反问题，即在温度分布
$ C1 `. Q& p% ]3 i# h
已知的条件下，要求通过该分布计算最大过炉速度v。在具体求解该反问题时，可以利用遍历法对过炉速度进行遍历搜索，这样就将反问题转化为了正问题的求解，从而问题一中模型方法都可以继续使用。
% y; N, Y: h5 ]: v8 O y5 {
) W$ Z Y' Z- H5 |, {5 [
0 Z: E; v2 o* N0 W- }/ c; Z/ Q
问题三和问题四
9 i/ H6 L- z* w. e+ H7 B
问题三和问题四仍然和问题二类似，也是对过炉曲线提出了不同的要求，进而在这些要求之下确定影响炉温曲线的 5 个参数 T1， T2， T3， T4， v ，求解也可以采用与问题二相同的遍历法进行，但由于此时遍历的变量个数增多，如果遍历步长较小，必然会使得计算量增大，因而必要情况下，可采用分阶段的遍历，即：大范围，大步长，小范围，小步长。需要考虑的就是对于面积和对称性的数学描述，面积可以采用积分的离散化表示，对称性可以采用以最大峰值温度两侧取对称点，使对称点的温度差值尽可能小来实现。
8 X# M- l! h6 H/ o2 L& @/ z. S
. q1 e+ H4 g& i3 w+ h) C" \5 L5 E9 z
8 J% z) L; y1 d4 g- ~
答案如下：
2 ~5 L; C* T% m* A, Y( p8 M. L
/ w w- B* f3 [4 q
7 m, I. V# Y6 P. J- b& b7 Y
注：用以上方法算出的结果均在最优解范围内，详细解读请待下次，困了该sleep了
+ V; }8 K9 }, o
————————————————
: e; L o$ g% U
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3 @& j1 Z9 y. f7 j
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: `9 s0 k+ p7 E" W4 I
0 b! z5 \6 x4 M* Z9 F
* d" T, K: S4 P+ }
作者:
1051373629
时间:
2021-8-9 13:04
谢谢分享！
5 ^) z! E1 ~) g0 j
作者:
1051373629
时间:
2021-8-9 19:17
谢谢谢谢！
8 ?! s! n4 l; ^, v
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