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标题: Python小白的数学建模课---选址问题 [打印本页]
作者: 1047521767 时间: 2021-10-28 18:29
标题: Python小白的数学建模课---选址问题
Python小白的数学建模课---选址问题7 b+ v, X1 j- Q7 G! T
选址问题是要选择设施位置使目标达到最优，是数模竞赛中的常见题型。
小白不一定要掌握所有的选址问题，但要能判断是哪一类问题，用哪个模型。
进一步学习 PuLP工具包中处理复杂问题的字典格式快捷建模方法。
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1. 选址问题4 M4 x, Y- R" F
选址问题是指在某个区域内选择设施的位置使所需的目标达到最优。选址问题也是一种互斥的计划问题。
( M! w# s3 q& d5 e" S4 B$ `9 g0 q, O, Q) [3 O
例如投资场所的选址：企业要在 m 个候选位置选择若干个建厂，已知建厂费用、运输费及 n 个地区的产品需求量，应如何进行选址。
- u, S" s8 i" v1 p7 ~2 c2 j# j) R2 e8 z9 f% a/ B4 q
选址问题是运筹学中经典的问题之一，选址问题在生产生活、物流、甚至军事中都有着非常广泛的应用，如工厂、仓库、急救中心、消防站、垃圾处理中心、物流中心、导弹仓库的选址等。更重要的，选址问题也是数模竞赛的热点问题。
+ Q( o( ]( ]3 ?( U, c2 G
, e1 ^3 [1 v9 O) c选址是重要的长期决策，选址的好坏直接影响到服务方式、服务质量、服务效率、服务成本等，从而影响到利润和市场竞争力，选址问题的研究有着重大的经济、社会和军事意义。
# U% O1 I( z4 S5 m" a8 H
) n' w8 s$ u2 z& D$ q选址问题有四个基本要素：设施、区域、距离和优化目标。
; Z; p! |3 c9 D# R7 e1 j. D1.1 设施
9 y- m. a: ~3 [0 t5 Z e" M! j选址问题加粗样式中所说的设施，在具体题目中可以是工厂、仓库、服务站等形式。
# i1 A" Q" t* D% \3 N
1 U0 Q! Z( d5 ^1.2 区域7 C6 T* ~" K, y) d6 o! v* }$ K1 Y' M
选址问题中所说的区域，在具体题目中可以是工厂、车间的内部布局，也可以是给定的某个地区、甚至空间范围。
/ X0 m! {# r: I3 K按照规划区域的特征，可以分为连续选址问题和离散选址问题。连续选址问题，设施可以布局在区域内的任意位置，就要求出最优选址的坐标；离散选址问题，只能从若干候选位置中进行选择，运筹学中的选址问题通常是这类离散选址问题。( f1 m0 V- ^& h5 ^( g9 |" C5 [9 y/ ~* M
9 |, x* y3 j$ @( ^7 C' ^1.3 距离, z. i) e/ z6 G/ M4 M( \$ T5 c
选址问题中所说的距离，是指设施到服务对象之间的距离，在具体题目中也可以是某个选址位置的服务时间、成本、覆盖范围。如果用图论方法求解，通常就是连接顶点的边的权值。2 M- N% Q& F' V/ c; v
当问题所关注的是设施到服务对象之间的距离时，如果问题给出的不是顶点之间的距离，而是设施的位置坐标，要注意不是只有欧式距离，对于不同问题也可能是球面距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离。9 p8 N& O3 M4 _
0 ~4 L5 L8 K- o6 E4 ]2 H5 p5 P
1.4 优化目标; F7 k8 D8 s9 ^+ J( V/ i4 h
选址问题要求选择最好的选址位置，但选址位置只是决策变量，选择的最终目的通常是实现加权距离最短、费用最小、利润最大、时间最短，这才是优化问题的目标函数。
3 |4 B4 b, ?' G: b& Q+ i7 ?按照目标函数的特点，可以分为：中位问题，要求总成本最小；中心问题，服务于每个客户的最大成本最小；反中心问题：服务于每个客户的最小成本最大。6 P, W7 ~8 g: ?# `2 n5 {
; }/ `, y4 _/ G# X, t. q6 b, _
3 I5 M3 K' c! s- x( g J; q( A& J3 Z+ {+ I2 O8 h3 d1 \0 n
2. 常见选址问题及建模3 h1 m. B8 p) j6 K( r7 t- H* U
2.1 P-中位问题（P-median problem）
. Z% X- J$ H& u. w+ Z% iP-中位问题，假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点，要从 N 个候选服务站中选择 P 个，使所有需求点到最近的服务站的加权距离 dij的总和最小。需求点 i 的权值，通常是指该需求点的需求量。
$ c/ g5 s( j. e' m7 f, N. d) [, ? s U5 `, k3 O* ~2 K
这是一个 MinSum 问题，定义决策变量 xj为选中的服务站，yij将各需求点匹配到最近的服务站：
1 A$ u6 m- |- `9 g! W1 [1 K; Zx j = { 1 ， 服务站 j 被 选 中 0 ，服 务 站 j 未 被 选 中
( n8 K6 V/ c5 U2 u) b' Nyij={1，需要点i由服务站j服务 0，需要点i不由服务站j服务
* D; C8 H1 g/ q可以建立数学模型如下：
; K" s4 c8 j) e" l+ JminDs.t.:⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∑j∈Nwidijyij≤D,∀i∑j∈Nxj=P∑j∈Nyij=1,∀iyij−xj≤0,∀i,jxj∈{0,1},yij∈{0,1}% U" X0 \7 E" t
5 p- r0 f+ _9 _- [ k f
U4 R/ j' P+ r* J+ x
9 l6 X" @7 p8 {4 h其中：j 为服务站，i 为需求点，dij为需求点 i 到服务站 j 的距离。如果只求需求点到最近的服务站的最大距离，则wi=1;如果要求任一需求点到最近的服务站的最大运费，则wi为需求点 i 的需求量，即加权最大距离。
( n% _# a, S7 J2 |" C8 R) O( [2 ^" B0 Q5 q. G
' V5 @; z* ^/ |2 N
2 `/ j2 ?& Q: u- [8 w# \. |
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* t& ^+ T& ?; d- J: f: |9 s) o
作者: sjlxdn 时间: 2021-10-31 21:35
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