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标题: Python小白的数学建模课---选址问题 [打印本页]
作者: 1047521767 时间: 2021-10-28 18:29
标题: Python小白的数学建模课---选址问题
Python小白的数学建模课---选址问题
& ]- H. v6 A" j5 C5 H! `4 `" j选址问题是要选择设施位置使目标达到最优，是数模竞赛中的常见题型。
小白不一定要掌握所有的选址问题，但要能判断是哪一类问题，用哪个模型。
进一步学习 PuLP工具包中处理复杂问题的字典格式快捷建模方法。
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1. 选址问题& @4 s7 W( L% p9 D
选址问题是指在某个区域内选择设施的位置使所需的目标达到最优。选址问题也是一种互斥的计划问题。
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例如投资场所的选址：企业要在 m 个候选位置选择若干个建厂，已知建厂费用、运输费及 n 个地区的产品需求量，应如何进行选址。
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选址问题是运筹学中经典的问题之一，选址问题在生产生活、物流、甚至军事中都有着非常广泛的应用，如工厂、仓库、急救中心、消防站、垃圾处理中心、物流中心、导弹仓库的选址等。更重要的，选址问题也是数模竞赛的热点问题。9 p& g: C+ C6 O6 V V9 j
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选址是重要的长期决策，选址的好坏直接影响到服务方式、服务质量、服务效率、服务成本等，从而影响到利润和市场竞争力，选址问题的研究有着重大的经济、社会和军事意义。
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选址问题有四个基本要素：设施、区域、距离和优化目标。
* q- _8 f# E8 b1.1 设施! w2 i' h$ m7 q1 F1 V5 j7 _* ^5 Z
选址问题加粗样式中所说的设施，在具体题目中可以是工厂、仓库、服务站等形式。
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* Q) C6 p" J$ S1.2 区域
; P: k. J9 b4 h* @2 p7 j+ z* O选址问题中所说的区域，在具体题目中可以是工厂、车间的内部布局，也可以是给定的某个地区、甚至空间范围。
) u/ {2 i G) A7 g+ ]按照规划区域的特征，可以分为连续选址问题和离散选址问题。连续选址问题，设施可以布局在区域内的任意位置，就要求出最优选址的坐标；离散选址问题，只能从若干候选位置中进行选择，运筹学中的选址问题通常是这类离散选址问题。. m1 x% o! H6 |. V( s7 u! l
2 ]$ n( \" [6 N( q1.3 距离
: l* R i0 Y! P* j& W, F" v9 j选址问题中所说的距离，是指设施到服务对象之间的距离，在具体题目中也可以是某个选址位置的服务时间、成本、覆盖范围。如果用图论方法求解，通常就是连接顶点的边的权值。8 k8 r$ ^, r T% i& r& R x, T
当问题所关注的是设施到服务对象之间的距离时，如果问题给出的不是顶点之间的距离，而是设施的位置坐标，要注意不是只有欧式距离，对于不同问题也可能是球面距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离。
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2 Z6 Q F( z- v. ]1.4 优化目标! i2 m, O- @- A5 h5 F! }
选址问题要求选择最好的选址位置，但选址位置只是决策变量，选择的最终目的通常是实现加权距离最短、费用最小、利润最大、时间最短，这才是优化问题的目标函数。
/ c- x" x% e6 O9 r1 N; I0 G* F按照目标函数的特点，可以分为：中位问题，要求总成本最小；中心问题，服务于每个客户的最大成本最小；反中心问题：服务于每个客户的最小成本最大。% H6 z# L* o4 r- k2 g) l9 X8 F" z. C+ h
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7 u* v" w. s V/ R; N" l) M/ z4 H9 ?& {1 l( K. W; Z$ p$ z
2. 常见选址问题及建模
* O) z8 I `! u3 s. E" }0 p% T0 e2.1 P-中位问题（P-median problem）
+ Z1 X( Q# S: N: _P-中位问题，假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点，要从 N 个候选服务站中选择 P 个，使所有需求点到最近的服务站的加权距离 dij的总和最小。需求点 i 的权值，通常是指该需求点的需求量。+ ?1 B! e' H2 Z! Q* Y% p1 r
" j' @0 \: W H. G这是一个 MinSum 问题，定义决策变量 xj为选中的服务站，yij将各需求点匹配到最近的服务站：* ?2 T% a, H$ I* u a" {
x j = { 1 ， 服务站 j 被 选 中 0 ，服 务 站 j 未 被 选 中
# t4 e- j( A9 H2 j3 K2 z; Hyij={1，需要点i由服务站j服务 0，需要点i不由服务站j服务/ S+ r0 E8 t2 H1 [
可以建立数学模型如下：: O4 h9 @" o" P9 r0 X/ ^/ T
minDs.t.:⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∑j∈Nwidijyij≤D,∀i∑j∈Nxj=P∑j∈Nyij=1,∀iyij−xj≤0,∀i,jxj∈{0,1},yij∈{0,1}
0 U# c" K' I/ S0 h& ~
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& T/ y+ [* @3 y7 V! Z, K其中：j 为服务站，i 为需求点，dij为需求点 i 到服务站 j 的距离。如果只求需求点到最近的服务站的最大距离，则wi=1;如果要求任一需求点到最近的服务站的最大运费，则wi为需求点 i 的需求量，即加权最大距离。
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; t& c/ i; j2 T2 z/ |- F3 e, L: V/ U; H$ z3 K) F
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作者: sjlxdn 时间: 2021-10-31 21:35
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