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标题: 如何在数学建模比赛中稳拿奖——个人100%获奖经历分享 [打印本页]

作者: 杨利霞    时间: 2021-11-9 11:44
标题: 如何在数学建模比赛中稳拿奖——个人100%获奖经历分享
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如何在数学建模比赛中稳拿奖——个人100%获奖经历分享
4 A# i+ h/ B4 j; [一 赛前准备和资源分享2 e2 e6 r  `4 N
1. 和谁组队:8 d) H: o% J- N5 E# E  E* T2 `
2. 负责算法的赛前准备:
+ U" y( c. l  C" L4 _; S+ ^2.1.算法分类! l- V8 A+ K2 T0 K4 w) r' j
2.2. 书籍推荐
0 Q3 c) X/ F2 {2.3.找程序网站推荐
' Y* W5 d/ W: n+ B! g( v3. 负责数据分析的赛前准备:
2 ]5 r% |& d3 |' \  m2 Q  `/ N3.1 分析数据- z* B; _+ d/ W0 g! A
3.2 EXCEL、SPSS、Lingo软件
" D* a! @5 x8 A. |' w+ v8 G3.3 数据分类与查找, V# r; @+ t# Z/ N. G( l
4. 负责论文的赛前准备:
. \" o' v2 p+ `' `, |4.1. 查文献途径:! Z. d6 u& l* F: L
4.2. 优秀论文下载
; Y! z5 K* o' G' i5 M4.3. 数学公式编辑器的使用
- S! I& q9 U1 O3 X1 K" i5 N4.4 VISIO绘制流程图$ X' Y% K# l. L
4.5 论文排版
8 H# f& }. b* i7 g二 稳拿奖的论文几个关键点9 W9 B9 \! @. d1 k# i
1. 有必要讲一下评委的评分套路!2 Y$ p' T9 `8 B% z- }- c
2.优秀论文特点:$ {  c% ?. ~  w& b

- ~9 W1 Q9 V" n4 _/ W
5 B/ V; e! d/ J
获奖经历:题主自2014年(大一结束)暑期入门数学建模比赛,分别获得2015年全国大学生数学建模比赛安徽赛区二等奖、2015年网络挑战赛全国二等奖、2016年五一数学建模联赛全国二等奖、2017年数学建模美国赛一等奖(9%)。1 ?* G: Y  X4 g: j! p
挑战赛:
% P6 A: f+ g6 w. w, K  b4 J7 Z: y1 G7 T) [8 h8 l
& F' r8 n; L# s. r' l1 S! s
美赛:0 g6 f& c1 z. A( J2 C; h
- l/ h( A  V% Z5 s

! h( r6 y0 f/ g6 Y) T% E6 @3 H# \. _参考一下2018年美赛的获奖比例:
& ^+ j& ~+ t2 w) r/ [8 X1 t$ a; j# f) b9 P8 H: u2 o, ^

) K/ {+ P" j$ E& W) [2 x
% g- Y4 Z- l7 Z6 z+ G+ g1 h! E
0 w2 C6 I; y7 k; z% p/ k
另外在2017获得 全国大学生生物医学工程创新设计大赛全国二等奖
5 F2 Q) I6 e  M2 M5 ]1 e建模经历:曾担任过数学建模副会长,主要负责协会(900多人,你可能不信)的数学建模培训工作,辅导的学生中获得美赛一等奖两个,全国赛国家二等奖一个;负责过C919飞机(真飞机)的液压、动力等报警系统建模;制作过《MATLAB数字图像处理教学软件》3 N/ y1 ]' s/ r% h% z( z1 ]/ i6 U
成果转换:申请了软件著作权《心电心率检测装置前台软件》、《心电心率检测装置后台软件》;发表论文《基于Logistics回归模型的****分析》(成果转化对于想保研的学生很重要,后面因为太忙就申请了一篇)
; d. W" t$ o! D5 F' e2 g* V
5 P4 j6 O* W0 J& l2 O# c
' D9 f; [; m1 g0 n' @8 G
一 赛前准备和资源分享
- i! E+ F: i" T) b8 q3 Q& P/ w题主除了第一次参赛准备了一个月左右,前面所有的比赛都是比赛当天现学现用,这是因为比赛题型都差不多那几类,大部分模型都有所了解。**敲黑板!!!记下来,要考的:都,有所了解,这也是第一次参赛的选手,要做到的点,到底“有所了解”到什么程度,后面会讲…6 ^. T6 s" g% D/ h' A  |: m8 U
针对第一次参赛要做到以下思考,这里主要针对负责编程的选手:3 l5 n" K# ?% a6 R# k

3 x) n/ I+ k! |6 E. \
" l" O9 Y2 a. F# ^4 o
1.什么是数学建模, K- h" {% ^' f
这里我先不累述了,第一次了解到数学建模的小伙伴看一下:什么是「数学建模」?
2 }& B5 H0 M2 ~: a" F0 \: K数学建模竞赛的一些心得体会(关于每年的比赛): n) L- \3 h0 V1 P1 O. L2 H; s
后期我会补充  z6 q9 f. d! o; z; x+ v
! e! c8 u) t, H$ s4 b
- i5 z8 q0 z* Q; K" h0 ]
1. 和谁组队:. Q* A- w% h3 h& A/ @# Y
一般来说,三个人组队,一个负责编程、一个负责建模、一个负责论文;但是据我多年经验,最好的组队方式是:两个编程(一个负责算法,一个负责数据分析,当然都懂最好),一个论文(论文不能少,千万别三个编程的,负责论文的工作量也不小,不然题主就完全可以一个人参赛了,三项都会,特别是美赛,论文往往决定了能不能获一等奖)。(注:如果组队遇到说自己负责建模的,多半是混子,不要问我为什么,因为算法某种意义上就是模型,只知道模型的人多半做不出结果,而结果是获奖的关键!), p6 a& w- j$ ]& w) R  W
2 S0 Y+ u7 t4 I, d

( m4 ]! }  E& t5 Y8 M' ?7 T- G* c4 j2. 负责算法的赛前准备:3 L/ V$ T+ e- Z) O+ ]+ B, p: d
做到:会编MATLAB程序和改错(BUG),了解现有的所有算法并且会使用程序% ?2 s7 S! V! N7 t& A# z, S
, q& u7 ^/ `; L) h3 B& b
0 C! n# K: K; S6 F3 b0 b
2.1.算法分类% J' `. y; E. C' A" w

9 X1 z, `  ~8 ]2 G- Q

4 S5 @5 z( s4 V简单了解上图的名词:数学建模算法汇总1 H2 ?! I% k+ N0 T

; i* G, l8 y2 @& ^; n2 ]4 |
/ I0 w1 M5 v: G, C( [# _9 U- V
2.2. 书籍推荐- N$ _/ t! a+ T' S
(1)《MATLAB应用大全》———类似这样介绍MATLAB所有基础操作的书,最好买一本方便查阅,代码不用全记住,但要熟悉,前面几章的程序自己敲一遍,现在还没到复杂copy的时候,打好基础,不然给你完好的程序你都不会改!8 x; b2 S& b( G9 S2 g
2 @: R! Y9 `1 U6 n) f: e9 S- L
; i( L/ F) N- p2 h4 k
PDF链接:https://pan.baidu.com/s/12bl1VX0yaQOXR4Z1skSV7g 提取码:bcxe: \2 |# k) V3 K
2 @  X: L5 f. [  e2 ^3 `8 G
7 k8 N# d( Y/ O) ?
(2)《MATLAB数学建模方法与实践 第3版》卓金武 ————强推的一本书,因为书中的程序基本上都拿来改改就能用。: G9 s# ^( s6 c% Q4 X
程序链接:https://pan.baidu.com/s/1B4UsrKdvOEMpwD_HQCHdOw 提取码:ike4) U, l# q8 n# r& Z' e8 N
4 F1 N- U( {2 A2 \/ V

9 G* ~" {  o( S3 S; `/ e6 w( N(3)《算法导论 》————有编程基础,对算法感兴趣的可以看看,不推荐初学者看
) V: {# _. k9 h; o& x% _9 _; x$ Q
8 N: Q3 Y( [8 I" S4 j; q. w- s
还有很多算法的书,我就不一一列列举了,我也没怎么看。基本上够用了
: }! z$ b) R0 |% V0 ]8 R& w- F: B  {2.3.找程序网站推荐
; T+ c$ E5 m) X前面两本书要细看,理解透,起码有印象某个用法在哪一页,其他的做到有所了解:
/ T4 R$ h1 P1 F5 V) v; Q0 u<1>模型/函数的输入是什么
+ w" K+ c7 B2 h<2>结果/输出是什么) f+ R2 [0 X+ ]
<3>实现的是什么功能* d8 [" r' i& j% X
前面两步是找到程序跑通代码,会把输入和一些参数修改运行即可,推荐找程序的网站:
2 D* R: |: F- ]9 r3 F3 g/ i2 e+ ^. z: }+ h5 ?1 x5 \3 w

$ P+ n* w- O9 |4 m3 A0 Z1 f联合开发网:http://www.pudn.com/$ [& ?! Q: O. ^, ?2 N1 I
CSDN专业开发者社区:https://www.csdn.net/
" ~$ B% D) J9 A( s- B% X当码网:http://www.downma.com/$ U1 F+ ^& e- S6 S: [; D
MATALAB中文论坛:https://www.ilovematlab.cn/
) ~1 K; n5 o# d. }& z: V7 c1 \电子发烧会论坛:https://bbs.elecfans.com/jishu_286991_1_1.html
8 D& G9 A- P/ G7 H推荐MATLAB教学视频:
! c- u+ t0 ?! x, i7 K1 K4 l, j6 j! X/ P& v4 M
! l# c) w) a- r9 U+ h
数学建模比赛MATLAB从入门到精通教程:https://www.bilibili.com/video/BV19J411W7Ta?p=1
! M: M0 C/ G9 A' S% p3. 负责数据分析的赛前准备:
' a: r+ m: r2 K+ f3 I做到:会EXCEL、SPSS、Lingo软件,会查找数据、分析数据( Q  M" H$ W" e1 L

% h, B2 J  @# X7 x$ f

8 U, F2 }6 f+ |7 M3.1 分析数据
7 U# F( \1 L, d1 ]) _* G% @自变量X和因变量Y,结合X与Y的数据类型,选择对应的分析方法。* t+ v2 @' S; i- ?! t4 Q
1 e  v$ G- `& n' ~. ]" V$ ^
; ^# [; d" |5 Q. k
分析方法        功能介绍        一句话说明        数据类型4 b9 W5 A8 u0 \: ?3 x
频数        百分比        男女比例分别多少        定类
) ?& r, B7 D; J6 c3 K0 L交叉(卡方)        差异关系        不同性别【 X 】人群是否抽烟【 Y 】的差异情况        X(定类)Y(定类)6 z9 S. b# y6 S7 ]2 g9 k* Q
描述        平均值        平均身高,量表数据平均得分等        定量
9 _; X, T2 X+ r) [: o$ f3 i6 i- A相关        相关关系        身高【 X 】和体重【 Y 】有没有关系        X(定量)【 可选 】Y(定量)【 可选 】3 M1 D/ ^6 m; y( ]: n, o' e& I& U
回归        影响关系        身高【 X 】影响体重【 Y 】吗?        Y(定量)X(定量/定类)% b6 l, D$ Q  W; n
分类汇总        差异关系        不同城市的销售额情况        X(定类)【 可选 】Y(定量/定类)" y( m8 R0 e- D: J7 a) g# B9 h
聚类        人群分类        300个人分成几类?        定量
0 C! l/ Q& v: T8 u3 K* N2 x/ l' o因子        浓缩权重        30句话概述成5个关键词(因子)5个关键词(因子)分别代表30句话的信息比重?        定量
, \6 ]5 x% {+ v0 |主成分        浓缩权重        30句话概述成5个关键词(成分)5个关键词(主成分)分别代表30句话的信息比重?        定量
3 N: `  [! M5 O, f9 o" O( I: `信度        可靠性        数据真实吗?        定量
- b, [2 |9 C; V# _效度        有效性        数据有效吗?        定量
. \/ ]- |7 `( g9 W7 ?) z项目分析        区分度        设计的量表题目是否有区分度?        定量(量表题)
- W/ X" q" B7 o& ~. P/ U; c熵值法        权重        研究项的权重比例如何?        定量  X; I/ l8 H$ @7 S( o
配对t 检验        差异关系        注射新药和没有注射的两组老鼠,血压一样吗?        配对1(定量)配对1(定量), Z6 x' n. v7 J# s% P  k5 D
逐步回归        影响关系        帮我自动找出影响身高 Y的因素 X        Y(定量)X(定量/定类)3 D# t: |6 V6 Z$ d4 ?7 z  w0 y
分层回归        影响关系        身高【 X,分层1】对于体重【 Y】的影响,再加入饮食习惯【 X,分层2】,看看饮食习惯对体重的影响有多严重        Y(定量)分层1(定量/定类)分层2(定量/定类)分层3(定量/定类)分层4(定量/定类)
) u+ y9 @* K8 A+ F5 Q5 F正态性检验        正态检验        数据正态吗?        定量+ E4 ?% S- d/ ~
非参数检验        差异关系        身高数据不正态时,我想研究收入【 X 】与身高【 Y 】的差异关系 、Y(定类)X(定量)       
. x! T  L6 ~& _双因素方差        差异关系        性别【 X 】和地区【 X 】对于身高【 Y 】的差异        Y(定量)X(定类,2个)
! X1 a9 j" {( o/ W2 y6 a+ s二元Logit        影响关系        哪些因素【 X 】影响人们是否购买电影票【 Y 】        Y(定类,2项)X(定量/定类)
5 K8 P  T/ t+ a/ t! W7 Z多分类Logit        影响关系        哪些因素【 X 】影响人们购买不同类型电影票【 Y 】        Y(定类,2+项)X(定量/定类)" O$ Y3 `% q; N: R! U" k9 T" {
散点图        数据关系        身高【 X 】和体重【 Y 】的关系情况,并且区分性别【颜色区分】        Y(定量)X(定量)颜色区分(定类)7 i! X- q: Q( t* G6 }
直方图        正态性        身高数据是否正态分布        X(定量); @% J/ ?% r- `* ]+ N2 R% B
箱线图        数据分布        身高数据的分布情况        X(定量)
5 n8 g4 j' ~( f! f; m7 ]词云图        数据展示        热点城市房价指数展示        X(定量)加权项(可选)7 A( y3 O  m- e- _" e
3.2 EXCEL、SPSS、Lingo软件
' [: C& K4 H7 u* i$ \7 Q* I- JEXCEL:数学建模清风第三次直播:excel在数学建模中的应用
% _& o% f; l1 ^- s( {/ [SPSS:知乎:你学spss的时候是怎么入门的?$ S6 x! C( ]- i* }
Lingo:lingo的大部分功能可以被matlab和spss取代,只有少数是不能被取代的(比如求非线性回归问题、一致性分析),而上手和普适性的话spss和matlab更适合
6 c' O! G3 S8 b2 e+ g& Z3.3 数据分类与查找
6 U$ S) h9 k/ F" r需要一个会数据分析的,因为本科数学建模比赛基本都有大数据题,或者一致性分析和非线性规划会用到。数据题多分为两种:
) u; y% B% W, Q2 w. c<1>一种是题目给数据(接近一万行的excel),需要处理数据缺失的问题(剔除或预测弥补);8 P  k: [0 `+ F: M6 |2 b% |: h
连续值数据预处理方法:数学建模 数据预处理
/ P. L3 }/ ?: d% y4 T离散值数据处理方法:EM算法(Expectation-Maximization)
' d7 w5 a4 l+ |% J8 M& c1 p( h! ^<2>一种是需要自己找数据,这就需要会找数据了
1 E  `) Z2 }+ K7 S0 W. m
0 y. W# |8 Y6 n8 \; y$ D$ R; b$ Z

; A/ {, B- f# \0 b- J0 _推荐找数据网站:
1 e3 z. s( t. \+ V- _( }1、政府数据
. t7 n+ {! }6 T1 U) ~+ D& N% B( U, V/ `" g' E3 h% V* F7 x& [

9 m  t+ q& i" H4 p: s1 s) J% W+ s国家统计局:http://www.stats.gov.cn//. f, f0 ?- y& w
国家统计局>>中国统计年鉴:http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/
$ d  G/ _" W/ V" J. o美国政府公开数据:https://www.data.gov/
" _& ~0 ~+ w- H0 R1 q! a/ x8 _新加坡公开数据:https://data.gov.sg/8 ~4 T2 r* w2 b6 w& Y7 S3 U$ J
2.财经数据
* h3 ^) r6 M9 V. Z2 [+ h  a/ J' a/ k$ U4 J
8 [4 F3 A7 h. g! k- h
英为财情:https://cn.investing.com/
2 G: C% A+ F8 X2 W; @东方财富网:https://www.eastmoney.com/
( B% i4 N* N1 s! L. r% v9 _3 _同花顺数据:http://data.10jqka.com.cn/
0 g, Q9 L7 P3 R  q# e3.各类指数
7 l* |) f) }9 s$ k4 Y& w6 j# S: B- t; K& z9 j# ]& U

* y! k% M# q# K( ?) G% O百度指数:http://index.baidu.com/
% a! T' i9 G8 h( S阿里指数:https://index.1688.com/
' ^/ N1 U9 ~7 [: F( q; E360趋势:https://trends.so.com/! a. N$ g. J$ c( c4 e% u1 l) L
4.数据汇总网站/ H; L0 d, W6 ^

% R/ @# {$ a$ N. Q
1 n. j6 A6 D# u# F
大数据工具导航工具:http://hao.199it.com/5 g3 B  p. `- [8 c7 }( Q6 t; d
数据平台:http://www.hippter.com/data.html
. _5 |, L$ {" V* ]# `4 t! O8 L4 t; Z# A(参考博客:数学建模之找数据网站)' W$ N, h! b7 `, V
5.美国大学生数学建模比赛数据6 v6 G' m* P0 J! B9 T5 ^& \. T
$ V7 B! }# ]3 W) l

, `( I% G; W9 }( c9 w& L1 V美赛数据(各国统计数据网站大全):https://zhuanlan.zhihu.com/p/1003108168 b7 p( @' j# e- [
美赛必用的数据来源网站-美国统计网站:https://max.book118.com/html/2019/0204/6232125043002005.shtm
) G7 R1 ]; `9 Z. w4 }- q' `  j: A) l世界卫生组织数据集:https://www.who.int/data/gho$ R8 [. S$ _& Q. R0 m" s9 ?+ M
美国农业部数据集:https://www.usda.gov/topics/data
2 H+ O, f8 R7 v% A! D( `$ [美国政府官网:https://www.usa.gov/
0 p# i* G( e. P; S8 |5 ?4. 负责论文的赛前准备:
7 m: Q9 R' Y1 C: @做到:会查文献,会用word(页眉、页脚、公式编辑器、绘图和表等操作)、VISIO(工程流程图软件);想有挑战性的可以学习LaTeX(排版软件,比较美观,但是麻烦且耗时间)、Xmind(画思维导图)软件和一些photoshop、CAD画图软件,学会优秀论文的论文布局。比如:+ V4 S9 X- i7 k/ w6 Q) W- v
3 O6 r- b& ~7 G4 i& I, ]" c9 E" n

# O; O6 W; Y, L
8 p2 ]# a3 ?+ |; G7 r7 `
- \) [$ V. x& e- r4 v$ t
4.1. 查文献途径:
- R  g4 C; K; ~/ X* ^# V9 f百度文库、知网、道巴,但是要收费,这里推荐免费进知网的方式:
7 Z$ e7 d, ^% z1 F<1>在校学生登陆学校图书馆,登陆账号,就可以查找文献了。
2 r# ]% x: t' B& r( \可以在搜索框直接输入要查找的文献名:
, F; F0 a; i5 M! G4 I9 X% C" s4 n+ O( K0 g

6 j7 s8 d. \( s  d1 h) x或者点击上图中的“数据库快捷访问”进入与学校合作的论文检索平台(下图蓝色字体都可以点进去),以这种方式进入下载文献是不收费的:9 H4 D4 x/ y: U, S
9 E3 e5 r* i5 R1 |
1 j. ]4 |+ ]  u$ X  t2 z
9 w- J0 X* [  j1 l% w
0 q3 k* ~% {3 _% x+ O3 j
<2>这里推荐一个免费的网站:广西壮族自治区图书馆:http://www.gxlib.org.cn/0 T# i& S+ ~" q: ^0 ~6 w
) Z) r5 a$ Z+ b/ C: r0 {% _3 V
; p0 y/ `) T1 G2 K$ R$ Q) D
进入”数字资源导航“,实名注册,就可以使用了,感谢广西壮族自治区图书馆!
; K9 f' R& d; e% R+ E/ i5 c: @( L! e  O& S/ y2 J
8 {9 B: v" h6 |5 y
4.2. 优秀论文下载1 Z6 W6 Z, W* A8 i8 o; {
【数学建模】——1992~2019国赛优秀论文5 o* N4 Z. _0 O0 Y
美国大学生数学建模竞赛往年优秀论文.rar
0 F, X- N; Z# h9 i3 ?- }) H  Z美赛各题常用算法程序与参考代码.rarr
+ G; D2 V' v3 O/ L* n4.3. 数学公式编辑器的使用& l" {  a$ l2 O! b
可以用word里面自带的公式编辑器,或者使用AxMath(可以看一下:AxMath介绍回答、AxMath&AxGlyph官网:http://www.amyxun.com/)、Mathpix(Mathpix官网https://mathpix.com/)
+ H( E1 Z' T) h" w: f$ P8 n# CWord+AxMath+AxGlyph排版注意事项https://zhuanlan.zhihu.com/p/100310816
5 }% i0 k1 ]4 W1 E: n9 ]5 ]3 P; C3 F7 ]
; h& w/ E& ]8 U' ]
4.4 VISIO绘制流程图# R4 J3 t  t7 I7 j) T2 |  Y* E( {
看一下这个:VISIO绘制流程图教程
* O& Z6 _- c, E! h: Y
  G* ]- g/ [3 H5 G9 N
3 h0 k% ]# K* r1 [) f
4.5 论文排版8 J3 r% m/ H; v! k" b; f
如何用Word绘制三线表: https://jingyan.baidu.com/article/e75aca85351bb6142edac622.html
2 a5 K5 }7 P& s8 H# @LaTeX基本表格绘制https://blog.csdn.net/JueChenYi/article/details/77116011
' T& @5 M& @; N/ q9 X; i9 u  g: d二 稳拿奖的论文几个关键点
" B; y5 ]+ y( A4 S9 D0 H. {4 Y1. 有必要讲一下评委的评分套路!9 I/ l0 ~3 L7 J
一审:摘要,论文浏览,并且评级,比如评为二等奖。看用什么方法(如果你不做模型对比,评估,并不知道你的方法好坏),大致过程,所以其实是看结果,过程或结果图。- }6 y3 N- ]+ J  d
二审:针对摘要看论文主体,看看模型具体做法,如果不如一审期望值,评为三等奖;如果完全符合预期,可能升为一等奖。. Y: t1 Y+ F2 W0 e0 p
可见,一审的重要性!如果一审为一等奖,怎么也不会降为三等,所以摘要有多重要,就不用说了吧,给大家看一个优秀论文摘要:
7 z# U% x7 S, {. q5 l5 c. S, b
; [, ?2 X: j3 U% `

6 T6 L/ _7 c' G8 h* o一定要简明扼要,三个部分:怎么分析问题、用什么方法、得到什么结果! e! z2 g& ~, c6 a

. |9 k# C+ e* r8 V8 I
3 V2 m+ U) z5 ]  l5 [0 R
2.优秀论文特点:
' U% `. _1 ]2 ~' E(1)必须要有结果:不管模型多复杂,想法多独特,没结果都白搭!总之,要有结果,做不出来怎么办:简化模型!(剔除非关键的影响因素)直到可以出结果,出不了结果又觉得很好的模型放在”模型优化“里面。
8 K6 ]& _# B1 F% O3 W0 l* A( P( _- E+ N: B( e$ y: d% Y

: {; b0 G- Y. l3 `8 e" z+ k; ~(2)图尽量多且高大上:图是能让评委很快理解你的论文,例如:建模图、输出结果图、行走路径路;2 D  D6 T' B6 j1 a
4 K1 G( M, R& y/ d/ Q
! m4 C3 I- O9 f  m& x

8 s0 J0 o8 R. w% ~& b# d
, @) U: z2 w* z  d) d
8 Q2 r; g( E! b
( w) [& n/ s2 E' q
(3)模型对比:证明自己模型的先进性,告诉别人你的模型是最棒的!可以是本题的不同方法对比,也可以与其他论文模型的准确率对比,比如后者案例:. L) y( F! k. {; Y

) e  Z+ \& J" V9 `2 _: ]% V& e

% @/ Y6 ]+ K" V# V————————————————
# [6 x( W- v/ _, w  C4 w版权声明:本文为CSDN博主「凌青羽」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。. a" U8 U! u% M
原文链接:https://blog.csdn.net/qq_35759272/article/details/109179105! r  t, H  i& j+ X
4 [6 q  p8 b5 l* [, W+ ~8 B
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