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标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记(非数学专业组) [打印本页]

作者: 1440359316    时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记(非数学专业组)
0. 写在前面
4 d/ T" F8 ]/ w- w这次参加全国大学生数学竞赛(非数学专业组),本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧,挺仓促的,好在学校竞赛培训的老师很负责,做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖,算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记(参考我校培训老师的课件)分享出来,大家可以对照着查缺补漏,希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。(文中截图出自我校数竞培训老师的课件)整体竞赛难度怎么说呢,还是看运气 年份,今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧,掌握好基础的知识点,才能应变越来越花里胡哨的题目。3 v9 g2 _. V4 g7 Q  i- U5 A

1 o( I5 L$ q  r6 ^
( i, H3 d0 w: n9 j7 r' C8 L  V" F1. 求极限问题
" a7 u! K1 {, c4 A1 y1.1 洛必达2 L1 b2 J! a4 ?" m- A: h$ k; `5 _
没啥好说的。
) ]1 y9 [% C2 G( P  r$ c2 Q$ G" }7 e2 j2 H2 J' g

4 U) I& p* a+ B1.2 等价无穷小: [3 {& q" U( u0 d
1.png ' M, [8 K4 w% Z: r& T

+ W7 k. P% S! r+ S+ Z. K1.3 Taylor公式
; L4 F: C, r! ~1 a+ I( X; q' A# E' K: }5 Y熟记公式~* m) \: w  u3 }# w
7 `( B1 z3 e. Z8 _8 y" b# G3 B2 }2 j
6 x  p- j4 ?- F7 X: g: [
1.4 两个重要极限; s- }! Y0 @6 ^
有关ln和e的极限,背下几个常见极限就好。" V( ]; ~; I4 c8 U) h

  {- |8 p! ]& o8 X3 m2 h8 A$ a! h9 b4 ~  `! ^
1.5 利用导数或微分定义$ _8 u( O; n2 i- Q
看到函数题干中有f’(a)的值(不为0常数)和f(a)的值(为0),就联想到是否可以联系导数定义解题。0 f+ i; @( ]- A- M4 k4 n2 x

8 n! n7 X* E5 m7 \: x5 ]; D1 h- w) {' U
1.6 微分中值定理2 i2 B9 a+ m: \5 d
遇到求f(a)=a的a存在性证明,考虑零点定理, U8 S8 U( K; v; _

" Q/ z) W) N3 Y7 w3 f: g遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明,考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
( D  [6 S9 R' I' r# ~% X- H; H0 f1 A5 J6 d; d. @+ Z# @/ ^
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
- s# l# K+ w; K& Q6 G; X" A; `有这个思想就行。- X" \' B$ @( b7 ]

  Z$ \3 {* ]- k, z# X
8 O0 j' q5 Q2 `  X) g5 `1.8 利用积分
# o/ o% t, O$ W# Z" z看到含f’(x) 的不等式,就要想到对两边积分,这样一边可以得到f(x)
7 |' i0 Y  m6 Y8 C, @2 q
' P. A- V( Y% ^* C把不等式的一边先等价无穷小化简,再不等式通过两边取积分,化简的一边化为这样的形式(另一边是导数积分完为f(x)),方便判断收敛性:
8 v% e9 p$ _; p3 a; O2 x' E$ {8 U3 x9 N* \. h' S
2.png
# U' k$ X, @- T0 _7 K9 ^1 M6 [- X9 Y/ \
3.png 2 R% |" a' }& y
2. 导数的计算
4 M+ Z0 }- Z* H0 F4 Q2.1 分段点或特殊点处求导:直接利用定义6 m' O* q9 l- j/ n' X6 z4 E. ]: l
如有x值使得函数f(x)=0,求该点导数。
# n& o4 r5 e8 _5 `7 R7 o: D& L. F7 e  N- R, P/ f
9 Z  w" ], W: r- b: f
2.2 隐函数求导 对数求导
; I4 e, _1 M  t" ^" M! _当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导,消除幂数中的f(x)
, c. [2 \2 W: n1 U# |! N% Z
5 S# I: z2 _; w; H- ]$ g6 s8 N+ K* h% O! y5 s4 v
2.3 参数方程确定的函数求导
) h# \) j5 H- Q8 T理解过程。; a7 l  T6 L; o
. ~! X/ X0 m) `6 ?
6 w1 e/ K- m- u& v
2.4 高阶函数
' I' J! p+ ^4 g7 M2 w5 y; S) pLeibniz公式
* P: b4 A" A3 g8 n7 X% A8 w
9 @% x8 }' Q6 Z+ \) I
: \1 b# n. ?2 W, D常见高阶导数3 s1 F3 C! ~: ^6 C. g
4.png
7 o" n6 ~# m: }/ W! ]  R( W! i3 S4 R
( c) G' S% ~0 k- M2 G9 }" H 5.png # w( Q4 }% q3 J+ B2 K* \
6.png
! a5 s* K/ G' `8 n$ q( Q/ v. P3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
; s& S2 D1 x7 s" q# |9 q9 i4 W, y- ]( T: p3 ?' M

3.1.2 不等式的证明 7.png ) C1 B% I- m2 _, t

6 j) N1 n5 n9 x4 s) ^  _- Q6 P5 V3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理(至少有一个零点)+单调性(导数)(至多一个零点)来确定方程实根个数。

8.png
' U( Z  @6 S) Q# u1 _ 9.png
) i, j; P/ i$ R) d! Y% g% ` 10.png ( U, a9 N6 q2 h
11.png 2 i4 d% p( q, @1 j
12.png ! O7 L( P' P& ^. q+ g) q3 G
13.png 0 G0 i4 F) L9 [
14.png , T* S8 l2 ^# e
15.png
9 [$ g8 o) O* h2 e
+ e+ E0 u5 V' q% r" _2 q3 a/ k! Z3 A* u
+ o# R8 n& O) H! ]8 U! i5 Y* `& M  Z; u; d) W
1 g6 B- z6 B1 C8 `) Q; t

# h% \  z2 J8 @
# E# x; {( _) c9 H




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