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标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组） [打印本页]
作者: 1440359316 时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面- s0 ]6 d' ?) o" X s1 H4 I: N1 e. q
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。# b+ U) F# }, l! ?7 d1 s
' s; ?/ B6 L/ o: S9 ?0 d8 T
# ^. \ |# S1 S: O8 l
1. 求极限问题
7 m" [. f9 X& m, c0 r1.1 洛必达
; Q3 k2 _+ e* r7 T" ]9 Z+ ?# `, Q! q没啥好说的。6 k2 |3 g9 g+ k0 f& X
, K0 r0 \2 H+ T% V* Z4 C# h1 q) z, h
1.2 等价无穷小; g+ B$ _9 j( p) Y4 _
' R6 g0 Y+ |+ ]. F) ~5 s, y$ T- B( ^- V6 D
1.3 Taylor公式
9 m" `; s! T- Z$ V& D熟记公式~: g: N1 t( M& z3 `4 A9 b! f7 C
# w* a- s( l2 e+ e7 n2 B
+ F7 u5 T' l: j. b- Y1.4 两个重要极限
; b0 [! `6 J5 p1 { W% O- s有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
1 E" e& H/ R) n+ I5 y i5 ?1 o& Q* A9 h/ y* E7 R2 a8 F, M- F* P: [
* t* D% K7 D: H9 e3 u1.5 利用导数或微分定义! v: f* L3 ?9 a+ [
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。- Z8 u8 _* u/ e$ ?$ ?" G
" E. p* i6 K4 b2 S1 A, C
4 S. A' A( a4 t$ W& O# K, B* B& s1.6 微分中值定理
5 t: ~8 C; A" ^1 r遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理8 D# u) g L0 |# D2 a: O7 {8 R
7 r* z; Z- P/ }4 b遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x0 ]1 t" Z" J, ~' p7 e
6 [: [) o4 b2 F
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
* t4 k6 ?7 v* D有这个思想就行。) a& ?3 D$ V& x6 y8 B0 D: }
; m% T9 [5 I5 T& M# p% h! U V/ B' w
1.8 利用积分
6 N" N; ^6 k L1 c' o$ p看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
) y, T3 d' j4 p. [% A# E& L$ j1 V$ y/ ? x2 w6 w! k- _" F5 o
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
6 i2 | P! k0 j, {, w* h, [6 P' O8 R. e# V2 _9 z" D6 C7 v
) @9 H* Z# C" a. X7 s$ X$ J- z. h* \' d+ [0 f5 k
* h5 U3 J! N' T6 I* D- C" m1 J" g+ U3 @2. 导数的计算7 n/ `2 q# P v5 ?" H! \( V6 \. I; _
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
. {" l. t" `( a" ]如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
$ Z/ n( D3 l9 W7 O
) Y8 T+ ?: v+ e' J: i# E- F. c2 c/ T
2.2 隐函数求导 对数求导" R; x6 {$ G" t3 d) Z3 @
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)8 ?9 _1 |4 ` m' Z* n3 y0 R) q' Y
- J# k) j7 ]7 }" S
# I# ], u$ E6 K2.3 参数方程确定的函数求导
" E0 G0 v( u7 v# D3 i理解过程。4 o$ O/ _6 B1 l& U
6 @ m- H: S; i3 | l5 t, U0 |% L/ z1 [3 E0 b' Z) h
2.4 高阶函数1 j8 [1 @0 I) w/ d% d
Leibniz公式
' a. R; J. W" ^0 z$ {; h8 p2 h) U, \! \2 `5 N
3 T) G9 q# E, o7 w常见高阶导数7 e. C' G- `% ~
$ }3 E6 Q( W3 {: K. e4 O
3 x2 W( G* z$ j9 ~$ i, h! y
1 Q# h% k, }) G# Y; M4 n( I
" {, G/ d2 |- M9 s B$ U3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。
7 n1 B# u; ]3 j6 T% b) M6 b
) s" E3 Y, j% `0 j' X* H; t/ h
3.1.2 不等式的证明- 利用函数的单调性证明
% [- t) b6 B! {6 W9 S
9 i, C# b% C+ b% m
+ k) r: W( K0 _( B6 d2 t3 v9 v( @3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。
- 存在性：零点定理
- 唯一性：单调性/Rolle定理反证
% Z; }5 [" d1 p% q
- s/ q7 w+ j4 ]: i- S+ P1 A
" G, X% ]: S$ H% ?, c. ^
) I7 ~: u9 H7 w
! E5 U4 o3 q! n* O! e2 G; d/ M
& b* g% T4 F' A0 v9 n0 d) b
/ Y g0 Z5 ?& |1 W
6 p5 O0 Y7 G4 h2 U
+ U- Q9 ~. T! }* h2 z' x& z, ? Y, | g0 Z9 P- Q& C% b) k
' [! h- [3 @+ h" p6 f
" r8 w' q, ~ i, p w2 y6 R
( B( e4 l/ v/ C4 |: v7 j- D& U6 Q5 {3 ?' \& E/ w& B
, ^3 U& j6 v0 q# N' q% I
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