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标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组） [打印本页]
作者: 1440359316 时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面$ [) X h9 v$ E7 m
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。 @# ]4 s6 C. S% r1 l
$ d- Z- Y9 r5 h$ p' H( B6 ]7 G4 G
* {( f( v# p. j, {6 a1. 求极限问题+ w3 k4 W, p6 q! Z; i: H- a
1.1 洛必达
c% c4 W- Y B* F' x0 x. l没啥好说的。
. t" G. Z3 z' h% N) v
+ q9 `! _! G6 X" t0 ?1 D0 k; L/ j' S4 W: N) M
1.2 等价无穷小. H( J1 q3 g4 N, B; B4 P8 ]5 D
3 E) {: ]" D. E0 A
k8 G3 P9 M& ~0 L. K5 j( {' t1.3 Taylor公式% L$ V! Q( v# @+ q5 w
熟记公式~/ {1 N( N9 L5 U
) m. A" w! A. I# P1 b& W" s3 e* p, |6 f! ?
1.4 两个重要极限
9 [) q8 `" k6 D3 k9 b- P有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。0 Z$ [- ?3 T0 z' \, D7 S$ Q
, p' Q) W$ x3 b- d: t# ]$ `& j1 T! J" O# D
1.5 利用导数或微分定义& \$ x$ K7 ^ _5 D& H" {
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。0 q/ _4 ~& j3 X! U8 [
& K6 d5 \, Q/ N/ F) k+ c
# P% U$ L* w0 S! ]; C- u1.6 微分中值定理, f5 ]7 c* j p% a. M) Y; S4 U. C/ R
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理2 {+ w4 m1 B$ B Q7 ^4 b' K
" u9 H, f' A3 {( O( l* @
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x( B$ y; o/ c' F- G" s* d
. g5 n4 D- N9 M/ T6 w b1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性' M6 [1 n6 S5 w3 I- W
有这个思想就行。# m% {. f \" G) x' U* N( S
" `8 {: R! U6 [
$ E6 y n- k6 v8 N. ]1.8 利用积分
/ j. N* o8 ~2 Q9 p3 `' K* a+ H* \: v看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
& u, X1 X4 Y8 Y$ m1 X0 @1 w3 p4 a; ^1 e3 {# E. B8 q
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：6 T- U {8 d/ d
. j0 ^' v& f; i- x; d
6 d( m" _& J+ n# F2 U
. _9 T9 H% e: m9 u, K
% Z% P8 A z0 ^7 m8 y1 W1 M3 E2. 导数的计算
& t: A% V G- [! t* J, d1 F- q$ Q2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
2 ~. k4 J2 k4 Y) B; N9 v如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。. R# i" ]5 k+ f, m/ S* j) M
* H- o( Q" U$ i! o Y3 l
3 C1 ?9 k0 ]/ _' [: y2.2 隐函数求导 对数求导
. t8 b* A$ `0 V! e6 H- w3 ?) t当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
' [: y2 ^* g8 r( R% h3 B# o K( O9 ]9 g! r: ^8 @1 ?
# ]; B3 z& H7 F$ J; f2.3 参数方程确定的函数求导
$ d! |* W( ]2 R理解过程。2 D* V+ d3 Z r% g0 [7 U
; n' ]9 V( C/ ~1 o# s5 @# k8 p$ B" W5 y& A1 n
2.4 高阶函数; _* X0 c: f4 p* p: a
Leibniz公式
# O( Y ?" T A6 e
& g$ m8 r$ W3 g! x( _: V. o2 F
6 T( e! G! M7 N, u5 B常见高阶导数. F2 B4 P' G7 X c
0 D$ N! C, l( t: a6 C. b* ~
0 \8 H/ L+ V" ^1 g$ J9 m
) L: m. m6 N# f6 e1 o% ?
2 [! Z& v9 {1 }* R% }6 Q o3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。
$ e' F3 a- G8 Q- J5 @5 l
2 i" w) ^. i! x/ _
3.1.2 不等式的证明- 利用函数的单调性证明 ]$ R! v a% J e% y
& g4 K& @4 W, R7 I* A. `8 @
( e' L8 T! P% s6 ~
3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。
- 存在性：零点定理
- 唯一性：单调性/Rolle定理反证
- F4 ^5 U$ Z. H1 t2 N
# B) H1 a5 k: g( @) { G. l& @
7 C6 K' B- B* V& y7 ~
$ n5 W; k0 t% G/ \' o4 s
9 ]& r; r& c& M8 Y
+ m- W W) \5 B$ g J5 w2 T& `6 b
$ W+ B. w8 E- w; s
& A( v/ M% } s
" q, `3 T4 M+ @8 ]' d9 R
5 _/ @7 x5 L/ X/ J, Z
( S0 _3 {8 _+ W+ @) F9 b: \* K( x2 G8 C, l( H5 s' y
' c1 z# F- q2 I& K8 W7 a
5 A8 J7 k% ~" E! C( B& v: e6 q; Y, ?- t# |. E
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