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标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组） [打印本页]
作者: 1440359316 时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面
[, W1 J. {2 ?这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
7 g- k1 O5 X0 E1 D4 x9 o1 h9 V) z5 ^# g+ ~. ?2 M0 U' O
& z s( N0 a5 }" r* y1. 求极限问题
% c( F# h3 @, S+ g1.1 洛必达5 r, K4 H" d3 s3 _
没啥好说的。
- `" O* @2 T+ @0 Y2 e w/ I# R7 ~2 X# [$ s3 J: J* b n. x
- j" X/ ]! X8 W1.2 等价无穷小
. F0 A7 D8 R# [8 I
% v6 s% r* X8 A3 n& [1 E0 K
# `9 i' I0 C5 ~' C0 j h' m1.3 Taylor公式
, T1 \2 z$ Y( e, s' X熟记公式~3 I1 x: T" r8 J3 r" P1 ?& b
1 w' I0 {% M7 R( ]
. J B- A/ U3 q9 R
1.4 两个重要极限
, [9 ^- y9 Q- Z' A, L% d* K$ P有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
" U- T, b/ Y; O' [
6 R" b) L- e# g! Q+ Y( m
4 ^: a0 j# S: N6 s1 Z9 U$ k1.5 利用导数或微分定义- b6 g/ O7 M3 b0 B. E0 G( W8 `
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。+ H9 D) O# u) z
) [. e" o/ I2 }' ^( ?3 `( u6 [3 Z
0 n! O# ^! c$ e7 N! b
1.6 微分中值定理$ k- O0 |9 D- N) ^
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理9 {+ T' N4 v& |% b- l3 I+ }+ x
" p0 a; h" Z$ S: ^3 w遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x. a5 A0 j4 f( H2 m2 h! K) D0 I
6 v3 Z* D: k! \! r& B6 T- j3 A
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
- }$ U2 W' o5 j. B: e$ V4 ~有这个思想就行。
- m$ C6 {; X2 f
( J+ N: D* F' `7 g& c# W+ N0 D' |! d2 a. F
1.8 利用积分
2 m4 o) S6 ~; D& t; y# v看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)8 Y( V/ l; `3 I6 A; T+ {7 }
' ]- r( R8 _0 f3 ~" E6 w把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
0 h$ }* f4 Y, S4 x& k8 x& J, T, C; G3 [7 k3 D" {
' u- t: d$ H( `3 w: X* v; @
* I% c& F( M \% S' B" X
/ L. G; u3 f, X, S: ~
2. 导数的计算
7 B6 a, g2 N6 U. S2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
0 _/ {3 x& Z8 m$ h* b# a' h) g如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
8 G+ T2 M4 |) t! e. h2 |/ J
# ^) F1 L6 ~' k4 p& S1 v6 n
! O" {/ M+ }* `2.2 隐函数求导 对数求导
( ^3 M8 `& c# L, f! X. t% u4 U当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)& X# c5 m, M' U9 q) u' d) {
) k- l$ V: d* k$ ?/ i% M! R9 ^3 v( O, K, }4 f
2.3 参数方程确定的函数求导
8 i: R! n- Q9 L. Y4 z理解过程。* _' M7 n5 N" i
# a" S6 f( [. X X; w" I. x' n. P& T# R! \+ K. @, W
2.4 高阶函数
9 h3 `2 o8 c) D0 a2 j F3 s, cLeibniz公式
4 |( z( f6 y7 p: S( ~; c0 N
' e; h& t& E; V) f1 q- U l2 K0 S4 U: J: z- z* J; e4 j2 y" B
常见高阶导数
2 \" t9 P- b6 @2 C; e
+ }' m/ c! f' ~3 ]1 ?
0 _$ f8 R1 i& I9 [$ ]+ u
4 T8 W) ^: a3 k' F0 q
$ z! X2 F9 A: u2 c# |1 _/ ~0 R
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。- p$ [. K+ g9 {0 @0 B5 d0 [( X; K
& G g% L6 b- z2 }& S/ a
3.1.2 不等式的证明- 利用函数的单调性证明
1 h& {$ R( X7 O2 @
* h' e9 ?, p5 V8 Y' {- C: `1 g1 h
3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。
- 存在性：零点定理
- 唯一性：单调性/Rolle定理反证
9 U5 m) u# ^6 r- C& R& y
+ J6 x3 e+ L1 E
_ T0 C6 \$ E+ ^% {1 z6 C, A
$ q6 g# l J2 [7 x1 g" _
+ H8 X9 N; w* i) j
7 r, }1 E' g5 {- S9 `1 {& X; p
) d/ W2 E# l' p8 w
% \6 |5 T" c- g5 O* r0 t! H
1 d; w, v0 t4 _) b7 f
1 Q9 l0 {% s/ f1 E6 z, a4 J- f
+ u* ?: N; Z+ ]* U) c
7 b$ J8 B! k: W
- O) B( M' S) b0 }. u/ [+ q+ M3 Z
* g& f& p3 e4 z
7 O1 o. ~( X9 k# y4 w# u( G8 ?" _0 T, i
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