数学建模社区-数学中国

标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组） [打印本页]

---

作者: 1440359316    时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面
4 d/ T" F8 ]/ w- w这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

1 o( I5 L$ q  r6 ^
( i, H3 d0 w: n9 j7 r' C8 L  V" F1. 求极限问题
" a7 u! K1 {, c4 A1 y1.1 洛必达
没啥好说的。
) ]1 y9 [% C2 G( P  r$ c2 Q

4 U) I& p* a+ B1.2 等价无穷小


+ W7 k. P% S! r+ S+ Z. K1.3 Taylor公式
; L4 F: C, r! ~1 a+ I( X; q' A# E' K: }5 Y熟记公式~


1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

  {- |8 p! ]& o8 X3 m
1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

8 n! n7 X* E5 m
1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

" Q/ z) W) N3 Y7 w3 f: g遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
( D  [6 S9 R' I' r# ~% X- H; H0 f
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
- s# l# K+ w; K& Q6 G; X" A; `有这个思想就行。

  Z$ \3 {* ]- k, z# X
8 O0 j' q5 Q2 `  X) g5 `1.8 利用积分
# o/ o% t, O$ W# Z" z看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
7 |' i0 Y  m6 Y8 C, @2 q
' P. A- V( Y% ^* C把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
8 v% e9 p$ _; p3 a; O2 x

# U' k$ X, @- T0 _7 K9 ^

2. 导数的计算
4 M+ Z0 }- Z* H0 F4 Q2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
# n& o4 r5 e8 _5 `7 R7 o: D

2.2 隐函数求导 对数求导
; I4 e, _1 M  t" ^" M! _当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
, c. [2 \2 W: n1 U# |! N% Z
5 S# I: z2 _; w; H- ]$ g6 s
2.3 参数方程确定的函数求导
) h# \) j5 H- Q8 T理解过程。


2.4 高阶函数
' I' J! p+ ^4 g7 M2 w5 y; S) pLeibniz公式
* P: b4 A" A3 g8 n7 X% A8 w
9 @% x8 }' Q6 Z+ \) I
: \1 b# n. ?2 W, D常见高阶导数

7 o" n6 ~# m: }/ W! ]  R( W! i3 S4 R
( c) G' S% ~0 k- M2 G9 }" H

! a5 s* K/ G' `8 n$ q( Q/ v. P3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
; s& S2 D1 x7 s" q# |

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

6 j) N1 n5 n9 x4 s) ^  _- Q6 P5 V3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  : q5 \7 L4 S/ Q, R( V7 o

' U( Z  @6 S) Q# u1 _
) i, j; P/ i$ R) d! Y% g% `





9 [$ g8 o) O* h2 e
+ e+ E0 u5 V' q% r" _2 q3 a/ k! Z3 A* u
+ o# R8 n& O) H! ]8 U


# h% \  z2 J8 @
# E# x; {( _) c9 H

---

欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)

Powered by Discuz! X2.5