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标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组） [打印本页]
作者: 1440359316 时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面
1 X# m8 e- k& N9 e' J" g这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
$ o# {5 w- R" f! H
" s% e% ?7 Z, e5 K, h& Q9 D( r* `! ~+ y. o
1. 求极限问题
3 D' ` n5 n+ g- Q* h& V1.1 洛必达
, @# y4 J2 ~1 B没啥好说的。
$ B2 w. t, {$ S# u& v: ]* x! o1 [' R& _5 z4 T0 r3 e* t7 F
7 z" u6 `) _+ l+ i# m7 R7 t
1.2 等价无穷小3 e' X1 s8 E( O3 U3 v# S4 f+ O
% x, V: {4 ]: w k' Q; {
; R5 M9 Y& |5 l$ p1.3 Taylor公式: A0 R+ t( G. `) v
熟记公式~
. M8 S/ w8 Z9 X/ W
$ V& O$ f+ `4 @: {8 f# X. f9 h8 l' D0 M1 @
1.4 两个重要极限, Z/ o( ^$ P4 d. S) a3 v1 S
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。' `2 [; i. u; W. A2 M+ t
: l6 p" b: s2 t3 }
% r! G' A/ G8 S n0 N0 |
1.5 利用导数或微分定义
7 d2 x9 V/ C" l% k1 Z z* X) m看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
. o' t1 T% b- @; e5 g
$ \/ P; n% p4 J
5 j. e2 o: P5 l# ]8 ?/ \, l% c1.6 微分中值定理1 o* @( }( e6 F' C! t
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理! _2 G/ E* |' X* s
4 D t5 B& `3 f z7 z h; _
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x, |% O+ i6 A# c/ {0 x
u0 N6 ^4 \) K& J3 f3 A1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性8 D7 ~0 f6 z) Y% x! o
有这个思想就行。, J/ R# p5 L. t; j# e2 `& o+ d
* M" ^/ |, m: }6 N* u- ]- U, M" p9 V
8 X* }- Y/ E0 j$ D3 S9 r1.8 利用积分
% T$ i& W8 L, _, L, K7 F& O6 R# Y看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)" b# f/ O' |, E- w& x7 F
* Q8 Y( V# Q+ h/ Y: i' a把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
% b$ e, l+ q. k, F' I
, C! _) O# W3 v$ I
+ b! [+ y% o0 P6 e8 a* E$ O) e4 Z
3 \9 N8 ?, S: f @5 P5 M% ]
$ w7 M- u4 r2 [+ H1 j: E; i* C
2. 导数的计算2 ]' Q! X, N! P$ |/ Q# g
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
7 @) k) i" T: R$ d0 j$ @如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
1 C* G4 i5 R' \- }% J2 M; f9 I
; q6 {' {3 V$ l. v: {. C$ F/ X; }$ O6 y4 g5 M
2.2 隐函数求导 对数求导
+ }% l/ x9 _+ F3 F E- c- R3 S当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)8 ]0 C+ ]# I; [
! I" i, n$ O1 A. j5 b. \
K8 r' G6 |2 j! s$ A# B
2.3 参数方程确定的函数求导
* i; ], f3 t. _. D R理解过程。
$ b) x( E, d; E, o$ K9 j" D5 B+ T. Q
- M6 c) s: _" }
) k, N) P8 k, h2.4 高阶函数
) B0 F$ N, f! v4 J9 vLeibniz公式
# N4 O& s9 `5 o+ ]( T1 M) K4 |9 n( [% h( }/ B
' N! B' O' q; u. C* _常见高阶导数
2 T* J$ s* o7 m% p$ f; [; ^- ^ D
5 C1 Q- X& _) Q% X
; f- f3 w- [ k0 X, T% `
+ {3 m- I8 r! T6 e- A6 J# D
. I/ e8 e6 r D. g" L3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。1 A7 k% J- Q9 B2 N9 }
; @ d$ @/ M4 T# P' K' ~' t
3.1.2 不等式的证明- 利用函数的单调性证明; O# `1 N4 J: T( v
* z4 ]& M8 J! t: D z& j+ L
# v* J. x+ g6 w3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。
- 存在性：零点定理
- 唯一性：单调性/Rolle定理反证) T$ L% z) Z8 \% _
% ?" U+ }7 u7 U, X
: N6 E$ w; |( j, u
0 g) v4 v% e9 f( h) C) a
8 w" _, Z" I! T' B8 V4 x
, i q2 g7 {, b5 v
/ h) C1 ?) P/ V; \+ W: a& [! \3 Z
1 B2 d: I' i( x O
1 ]% C; u3 {$ h7 t+ u
+ w7 A7 p0 v1 l! l% C6 O ?7 g( r4 ~. P: o
! H1 }! ~& F2 Y" J2 T, k7 F' `4 G/ T( P& `; v* _8 ]' L
: k# \" y1 }; x, |% I3 P' ^, v
# _) K9 L: {( {4 e3 p" v' d! B A
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