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标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组） [打印本页]
作者: 1440359316 时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面' ]. W$ [# e( s5 |- b
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
6 N! [8 g5 a; j D) D; T$ i4 f9 J) P0 G. `
$ z5 k8 s D% R, h, ?4 B$ Z; y
1. 求极限问题' o1 _; e$ f8 [3 O+ q& |
1.1 洛必达$ k& p# u; f7 b. a
没啥好说的。' @7 d( u% f2 }0 I) W' W8 V$ G
2 G. s& F7 E5 G7 K
$ P) u+ U/ B; }2 s& r
1.2 等价无穷小6 S- V9 J3 l+ x- R: B
7 h; L: r' o; N7 `8 _
$ [- t- L+ e* ]% s1.3 Taylor公式! v; S1 I/ l$ v7 V* H- `& y! y
熟记公式~
) n, t7 p- W; a, u- \" d% `2 F+ L$ d' u: Q/ ]7 A
+ e2 u5 M7 s1 y' b1.4 两个重要极限
/ C, W( T* G+ m- r2 b- M, [有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
5 F7 q% g$ w3 T9 s! q$ r
$ i9 M' E9 X* b. J6 h
/ E/ e: l' Y2 }2 Q' V% e1.5 利用导数或微分定义# l: N" j0 k: W% N1 V' n+ I
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
$ |2 j# g7 h! a9 i. ]
2 I" B" g9 x( l [; E/ D; n3 W! r1 C, T: F% z8 P
1.6 微分中值定理
( ?' Z9 e) n# u# \遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理. X6 y! K: r4 J, p2 M+ c
6 X9 C1 L$ C! x/ F
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x$ ^( I- N7 E" M( j
4 o% L3 ?, U k( i7 G1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
0 K8 j2 R+ U" L5 _* h# \2 |& O4 B有这个思想就行。: G: t& y- W% d! s8 ]
) X& y* Q8 D X5 _% l$ i
6 R* a! @3 y+ R/ i9 X$ |1.8 利用积分
9 p+ [ {! X# J看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
7 c0 E& s* ]! W! n: n) \8 V8 k3 }7 \
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
- h8 i z+ v% w2 Q! S& b% |4 \: B* b
- m( J" f) ]* p- o
8 a1 r% i* G$ H% s3 N5 P
9 }; s" q2 \7 v5 f
- i0 Y- z4 m h* m/ |
2. 导数的计算3 O) z' r" w9 l+ j3 u m5 R3 X
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义% H \# O) H* j" O
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
+ ^: C( h% A* E. `2 C$ \0 H2 N1 a( D) K P9 n! f
' h4 \( |* _* _6 s3 Z
2.2 隐函数求导 对数求导
: O4 v |; G' ?. e+ L7 V1 a6 o当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)4 m& C" f/ B" i$ J
6 @. f5 r/ `5 p' M @; Y
: A/ E/ H% o( u* j* n7 ]2.3 参数方程确定的函数求导' N/ q/ ~# G! }2 \9 B" c
理解过程。
: V# m) h5 B5 W- Q7 s4 P2 E% q# _( }, Q& j
3 o4 ]) x: {2 P* t2.4 高阶函数# e& m% {) B n* O
Leibniz公式% `" }& d. X& t/ o0 y2 V
2 g N* v- v/ \% E+ Q% x6 n" ?+ C
8 O( ]) s4 S% f+ I
常见高阶导数
$ e7 M8 c" O# S1 O7 M4 n
( D* ?) O( g. m" R9 m9 ?% k5 q
# r! W( Q2 `) | V2 {9 P
t' \/ c8 g4 F1 g# d$ _( ]6 I
% B+ f W5 e2 p3 L% {6 j# p+ t3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。
4 H4 w6 o( v5 i7 Y2 b+ s, H6 R7 K' ? {
3.1.2 不等式的证明- 利用函数的单调性证明
0 f2 X+ X% ?1 o# w
$ m; w* l+ _% Y
# ~( Z# b8 ?, [% b5 w9 }5 z
3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。
- 存在性：零点定理
- 唯一性：单调性/Rolle定理反证
9 l u" R' h$ s; u; L
- _/ k2 E- i7 l2 E( u7 y- x+ H' W
! f6 ~9 m) g+ x1 p( {. p0 E5 E
/ |' y0 V/ k4 p! ^6 h8 x; u
/ }+ X: P2 ?2 T' f
/ _. d6 [3 _( X! v/ J! o% l
: z$ [1 h7 X* g+ a
2 N8 q ? L* @) a5 e5 b
# a8 B, |- c0 h% u6 m! P
# R% d: o9 `, y2 @
# X' d. n; @+ Y( x4 u: V- P0 h/ Y: N
8 d! L5 A `$ O& X; e8 K
& e: h" I* J3 c5 r/ `* t5 a" x; K/ A5 S. ~; d0 G4 \
' Q2 U5 B( C; B; [1 e8 c5 u
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