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标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组） [打印本页]
作者: 1440359316 时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面
& b( ~# v6 s! n# m5 g8 I4 W这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
5 K6 J( W- b! E8 C K6 n- G( G! P
7 S) L, O4 H0 Q3 O9 [) o& ]9 e
1. 求极限问题
! c2 J, D9 I( `7 I& O1.1 洛必达2 S% r" K2 Q2 m7 A
没啥好说的。
! x# ^ c, D# G1 y" J7 }8 S
$ t8 { d. Y$ @1 s5 A1 o9 h
) w' @; I/ C U: ]% I1.2 等价无穷小
) G- I2 E4 E. ~0 H) R
2 {) [8 }! r7 | o: b8 U
+ t4 q# Z8 N6 a- U% K1 b# L1.3 Taylor公式7 s& P( F( W1 f: {, O' M9 S
熟记公式~
6 O/ E, p+ F$ @# M+ u# k+ G. e O% F1 z$ T p
t( \$ N4 V1 \
1.4 两个重要极限
, z7 S1 k& }7 S+ q5 ?. J有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。/ M3 V7 Q% c4 R
1 y3 Z) [, P' X
9 S, \6 C. }- _6 D1.5 利用导数或微分定义
. C0 ?$ X* F7 f2 d* [& M看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
) w1 ]1 b( H4 @# R
- w) G! Y. E8 j, Q! ]1 d/ |" F7 F9 I( k3 h9 R( u
1.6 微分中值定理" e5 B: u! b# e& d5 G% ?) V
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
! k$ u8 w# @; ^+ }
; j3 }0 l5 f6 w% \- ]' m" n遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x; e6 O* L% q* {: ~2 o3 m; A
0 _8 u: v- {. l1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
' A+ y9 e8 U5 @' c; \, @有这个思想就行。# h) M0 C4 ^2 R& O" p
+ |$ l/ `. F: {
7 M5 r4 O$ ~# k5 z: T1.8 利用积分8 O! U! a2 l9 ^; J- ^
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)2 _5 j% z# F: B; d% ^$ ]
0 }+ B2 z+ d& I/ s
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
' m4 n' [9 d4 s, X' u" Q
L$ F1 Q. l9 p+ g. f4 h
" b( ? a/ N: E$ u
, G$ ]1 r& |% p; S& O+ d) ?% ?) g) A
( K% N, J$ \' q% u }2. 导数的计算
, _. w* V+ o) i* y2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义/ s3 O7 {. s; I8 r
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。5 A( b+ @6 E. R
) b& k& [! a& w; B ~7 C, J' j
# N; x, j& ]- Y) h# G
2.2 隐函数求导 对数求导
$ ~+ I+ s' @# [1 J当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
9 k& d8 |% D2 k; ?& {) o" R7 {( U' Z
& N* S9 C' S8 V7 |) s- j
2.3 参数方程确定的函数求导. C+ q+ |3 r: x+ z
理解过程。
4 b. _3 L* d2 j) F2 X& B9 E
+ G' M% P5 ^$ O! k
8 T* e5 ]' ~2 v' ]! o2.4 高阶函数
9 u% H& {( S7 |: U8 {Leibniz公式6 P3 l: c3 N7 N7 F- W, x; E, w0 K
+ J& r# M2 `8 N% n& p. Y8 B
3 X# F3 X1 M2 n% Q$ w& N# g6 }
常见高阶导数
$ K W) N) x( {% A# d3 C% Q
% l: v& r( Z: ~5 H h: }( x) j( C3 x( S" y9 A( l% a! A8 h9 i8 K$ o/ Y
9 H1 E/ ~& i/ X: t" {' ?
* ]6 Q, u \% J1 X* O& V4 p
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。- X# h! v w* ^( H
/ V8 G2 d9 `! J; l5 n$ ~/ v" U' o0 A
3.1.2 不等式的证明- 利用函数的单调性证明' P- s1 O, T8 w- i- ~. b, t! m
: }% T) `) t* V
' h5 p6 D" E1 }7 X- v3 k- W5 N
3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。
- 存在性：零点定理
- 唯一性：单调性/Rolle定理反证' |9 K u, ~; h: s3 {# ?! t
3 z% R# y$ u& a: _; t
4 Q R) N' y' T, S
/ c' q! k; o2 W0 X+ ^: d" N+ h: I5 Y
" o* j. N9 I* [/ H
% l; I* Z1 g8 x; h, W
! r% E- \7 F3 |2 d
+ l4 f6 |* }' y! k8 }
( r. u1 A5 \- d; \# B! `" h; g
: I; u$ P3 P8 i$ H( n
7 ] L1 I, a! v, z6 O
4 p. A) ?2 G6 i4 F0 v3 W1 y- x
6 e9 Q. P4 h# Q, W$ F" u5 i# Y) \* F! j' T! A+ a
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