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标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组） [打印本页]
作者: 1440359316 时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面4 R- g8 D4 f' R
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
2 e) g3 \% Y' U M- L; m+ y# B1 r# J
% j2 n s3 u& D
1. 求极限问题
% A5 B, z7 N. d" R7 R# R1.1 洛必达
7 H% ^0 \" v8 i& L( {没啥好说的。
0 a. L$ D. C$ N9 x# G7 O5 s* C& }9 l6 h7 H9 E+ \6 H# J& y) @: ^
1 L% r7 g: n7 z( L( a1.2 等价无穷小
% Q7 A( d& k8 M1 X& l, [: g
* f$ E2 Z( G2 c% _$ r U' N+ n/ F. T' n$ r R$ z2 d
1.3 Taylor公式* d- d, Y1 P: t: D5 D* [3 X
熟记公式~
- _9 G9 i2 u u8 X! t. ?8 @
' {) c9 P6 K& ^( E
; F, J7 s3 ^" j* P" g1.4 两个重要极限* w. x& W7 E+ ?9 _- {# {7 e
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
/ I6 a1 h5 j! N+ z, f7 T( E) g1 l7 {
' m' p( a* `. j6 q
1.5 利用导数或微分定义! c% h: [1 J1 J1 \
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
0 a$ [7 D& g0 C
2 Q0 ?% m8 k5 ^$ G1 r& E% z" |7 v6 x) M7 a
1.6 微分中值定理
$ v: ]/ ~9 s6 p( N3 I- j# M遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理5 b$ a2 y7 ~& F+ `5 f; U, P
& t% Y4 H4 \, a
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x- g3 Y1 {( ?; h5 F x$ S
' b9 I. M. j! |7 S T, l: y1 W1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性: u! Y2 C7 ?4 y
有这个思想就行。
2 o/ y+ e4 R4 J4 f" C' d; j* B' Q/ a! ]5 D0 q" Y
6 b7 |8 f! h& M1.8 利用积分) T/ [' o# C& O" P/ i! n$ o! J
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)) D4 E7 G, ]- f+ d# v
% Z* R% g& t0 k! {2 R3 k: m
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：2 O3 M6 H3 }* l% D: D
: r" } ^9 V/ y4 m
4 e5 S; B; ~$ K$ Z2 a# ~; z4 L# v
! E J' T% q5 x7 ^) D
2. 导数的计算
, T) j. d1 O7 I% N' e4 b& u2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
q' L9 G# d4 j/ b F如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。, Q. }; ?9 S0 [8 E( I P6 F# ~
1 O# p9 W' B: y% P$ R+ H
0 n# |6 F1 J, w! ?/ ^# r1 L
2.2 隐函数求导 对数求导6 N# ^0 G: I, ?# H
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)4 E/ z3 {" K8 o% D3 ^
3 C# t5 W8 [$ m, T" a9 X& @( k4 ?9 l6 y1 E) S
2.3 参数方程确定的函数求导
9 a' R: U# f9 `# ^7 C2 r理解过程。: u* i5 }* R& ^; t" Y
- l! N, f- L D, ]% b* I
& m% W/ U0 R m5 H; k
2.4 高阶函数
8 @- \/ Z2 F3 V( Q2 k# Y5 sLeibniz公式
: ~/ q3 U# u$ ]# k! [; }2 R. @$ z9 q6 j7 M3 j5 t
- |2 a9 v8 g6 { s# _, c" {
常见高阶导数
% E0 L$ C2 X0 p! k) b0 ^+ J4 }
; }' {# a2 w7 |, I. l
5 \1 y h# q& W7 h0 j" n+ W8 k
; [) }3 m% g8 y/ k* |5 r4 j
* V1 y3 p. {( t3 ~3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。; o9 @; j8 C! F, Z( C% M
; I% n5 C* N, q! K# W8 m7 Y! x- F
3.1.2 不等式的证明- 利用函数的单调性证明
2 e. @& E& m5 q9 P4 U
5 P# d9 c$ T* e( I* S- {
, Z# S( Q% M6 [; C
3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。
- 存在性：零点定理
- 唯一性：单调性/Rolle定理反证
+ X( I+ m( v7 e7 Q9 k. B% u, l
. A( j1 @; C6 p I# z
5 C' W5 H% m+ m$ e8 [( P7 a. X
& I3 N! z# ~1 \+ y* I/ t
/ t, X5 c$ o$ T; F7 d* v
8 L L. x1 }; Y. ~( }& ^! ]! m
; m4 b) _& I7 X6 f6 G; c2 E" D
" f$ N- i( X- H8 q6 ^$ ]
, |* J& E+ ^+ ^+ D
1 A t3 v# h! A" [7 I0 W% d/ R4 A
/ L1 I- q7 _, h2 Y! d& z O+ S- q [. T& X) ^
# [* Y7 d% C7 y) ~: Y) j
F C8 ~5 h) k) K/ |5 W2 F4 ^5 K
& @; _3 E, H- k5 ]+ S2 V4 _
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