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标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组） [打印本页]

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作者: 1440359316    时间: 2021-11-13 18:18
标题: 全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
5 E4 \) n( x5 u. G
7 o2 i. _& g0 t7 H
1. 求极限问题
4 h5 [# f- q+ Z, B1.1 洛必达
没啥好说的。
  L* h/ X3 N' }, D( w2 n
. L: p9 A0 N3 M: G
) I0 s. u/ ]& b* j/ j, e% @0 b1.2 等价无穷小


1.3 Taylor公式
0 z+ y4 o; F' q6 d6 O8 K熟记公式~
+ k4 c) S; p" i* e: x4 [% ?
5 J$ K7 B1 E3 r3 x/ u9 R
+ |5 |4 M7 o* V) m8 k( m1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
) B) |: x+ p) e1 r. {$ H

5 L- P/ g8 u0 T8 \$ T1.5 利用导数或微分定义
0 f3 u7 E8 R+ m6 @1 C看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

9 j$ A5 m' \4 e3 }, c
1.6 微分中值定理
6 g! o  j" Z3 W9 {/ ]遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
# z7 \8 k: B0 N- B# B
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
; z/ p) Y6 U; o$ p. {- z) }" m
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
4 T. O! ]1 f* \) [1 J) y有这个思想就行。

2 z! n6 U2 o& q
1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

/ q! F3 c- G0 C9 E把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
  ]3 A4 Y) p% ?# L
4 b4 F+ a* o1 R7 \' ~* a( M
$ F; j* u/ J$ ?( _( |

2. 导数的计算
# u. t! [- n8 A2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


2.2 隐函数求导 对数求导
* I% x5 ?2 W0 v" G1 @: n当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
: r' V$ J' @3 E) q  F
$ m, x% h+ Y. h, g. j; u1 B
& U! H. `2 H5 h6 G- F+ a7 x2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。
; k1 B: y) Z8 V1 c) r
% R  {( W* I  x1 I- c
2.4 高阶函数
Leibniz公式


# L" G- L6 E$ R9 v  }3 x常见高阶导数

$ m6 ]! s; F$ ^( `8 I


3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
+ c$ I/ s" V3 a5 @
7 u5 f2 k) ^% X

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  ! H8 r, c0 H: q+ i

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

- u) q7 S" Y& L8 W8 n


- x. m: C! K9 M0 c

* I" R1 u: ~' W3 \$ _

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