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标题:
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
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作者:
杨利霞
时间:
2021-12-25 12:02
标题:
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
" _& I3 ]9 M. K9 e
一、蒙特卡洛算法
7 s8 U7 Q9 u1 A, f5 l, c* S6 V
二、数据拟合
2 t% ~% j8 m- k I+ Q9 J* C" D4 p
三、数据插值
1 {# M2 \( i3 L+ J4 U
四、图论
' h9 ~% m2 Z7 d# L- G
1、最短路问题
5 V0 [/ ~0 _1 v$ c5 {7 f
（1）Dijkstra算法
; X2 ^7 P7 I+ Z3 T- m" W+ g/ \
（2）Floyd算法
' @" z# R! l/ ]3 Y: \. M
9 U9 y2 E- D. s0 s% S6 G
8 q2 u7 S/ J+ G% L1 Y, m. E# E
7 S, {9 _+ p) J4 B* j+ J& A
3 L2 U+ Y- s5 U `6 l1 O
一、蒙特卡洛算法
5 e7 ?* w z/ ~2 J' ?0 o/ ^
1、定义
0 D* q9 W* Q; g: E
" _8 @' Q& m# J7 e
. W; i2 Y0 A8 A; ^6 ^: Z
蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
6 n5 U/ i2 `, g2 J. @1 N) I. G
$ D& T" b3 I$ w+ O+ l
: ]7 l* ~7 P6 W. X( }/ d
H+ } l( k+ E7 `0 D1 v% j3 r
8 v$ ]9 _( i) h! c1 s+ F
2、适用范围
( b4 c& z- G1 k
- h p j8 y" ]( A2 Y1 M7 n
9 q5 X: C1 y9 k7 I& I
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
% J a9 x5 A- ?8 G
) u) a& D3 d `" F4 B( m
/ H3 i9 _4 c1 y/ D' x: P: s
" l% R; L& f/ ?) o b1 L
9 T, s. o) e' q" u' h0 F; K
3、特点
1 ?% T) X( _2 J
z# V' Q# z2 X `6 `
3 a) A1 \; j2 r }; ?& _4 H
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
7 |9 \. z9 S8 C
7 V1 k1 q7 u1 k7 A1 r
6 Y& u& D/ R4 L2 j
8 I; }4 M3 k) Z
1 g- m2 Q6 t% k6 ^
4、举例
" q& ?; x! X! b, O
' M! b$ K f5 t' w; i) D5 |
( o" |, R; x. b3 _& S5 U0 b& U
y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
1 p# R# T+ Y+ ], W, q
% Y, i# A, v9 Z2 C5 J* q/ x
# e3 B- {1 j" g4 E
K0 _4 D0 ?0 f; D! D: m4 {! [. }
- V6 f, B' r! R1 t9 |* o1 P) P; e
（1）作图
& i2 O0 q3 u0 E+ d) C
" ]9 f# h* y8 D% |
& i1 k3 e, \. h3 ?: @9 U
Code：
0 v3 ~0 x& s0 v- Z3 b' ~( W
, ?. l, E$ R! |) F
1 u9 C. u6 `- v& e4 |. ]
%作图
2 w0 |- @6 r& M* A- M
x = 0:0.25:12;
. q6 `- B/ ^! h0 A6 {
y1 = x.^2;
) h& M9 y6 F2 C9 f7 ~8 b5 E
y2 = 12 - x;
3 u- w% u2 w5 H# S: I( n$ p8 q
plot(x, y1, x, y2)
7 P3 q- w) z! x( P2 N
xlabel('x');ylabel('y');
" A# }" z z6 I+ |% D' b
%产生图例
3 D$ y; P1 w' j3 Y3 V
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
' X% y( U' f; P, r% D
title('蒙特卡洛算法');
' e2 Y8 O) z& L2 K( t0 H& }
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
3 \9 J4 K8 R2 j" @' B- U% \
axis([0 15 0 15]);
+ b8 z0 w3 D3 N( A
text(3, 9, '交点');
) \7 y( A; c9 M
%加上网格线
& w6 ?2 }; _$ |
grid on
! E" g$ m: ?' A# }6 Z1 t
1
- s- G, Q2 I3 {9 n* X* c7 u6 R
2
6 u2 n7 i% B& e0 D
3
$ I9 [1 j9 t% J
4
6 h4 [+ P1 Z4 J% }# P5 E0 U/ j
5
( F* j U7 a" U: @& o/ K2 B
6
( i5 ~: f& a& k0 y; a/ j/ q
7
, r9 b5 m; p5 i$ b
8
- S! g3 s4 B8 t. p
9
4 O6 [& d0 O% ?* L# h W! [
10
: o- v0 Y- _; `9 U% L. [
11
& a2 H. A% j3 ?6 W; g' J
12
* t( d6 C( o! B
13
~2 Z( f: g7 ?; ]7 E+ i( y
14
. l6 @3 M2 E+ I- h/ k. n7 a# S" N
n, d) I$ r) f4 V/ d. a( b
- t p6 b8 h6 v- Q9 B2 S1 `5 u
（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
+ h& s+ r$ P* v* i8 q
, U! ]* T% p& F* D, |+ X& B) A
1 Z5 o- H0 v% i0 H
Code：
3 p* y! N4 e3 T/ o: P3 d X) c
p! v) w8 ]! A2 l9 s+ g
l0 N. \% K5 |8 U; ]7 \
%蒙特卡洛算法的具体实现
# s7 F; T$ t) Y& S* q" Z% [
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
& c* T* G1 L/ r& j) E
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
4 ` M: ^$ ^2 Q3 F- y9 }" G! N
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
# J2 H, O$ g+ @3 M! {
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
; ~3 C+ @4 u/ H8 P9 x1 V# J' j
area = 12*9*frequency/10^7;
; x/ k5 [ y" m6 U5 A/ T. u7 _
disp(area);
3 A# c. s& V( u! M& c( ?! X& ]
1
" G/ V3 M+ s/ K$ Z" B4 \' }
2
3 K" h8 A( s3 C& U, p! K/ i% G4 ~ K/ r
3
/ C* n A2 W& J2 X3 X
4
: |' C/ h' q# w& Q
5
# r( m3 J" E# A9 M8 k# _& W
6
; O& M8 M+ j# B* L' a1 v
7
' E0 J4 w4 S& A+ P% `
所求近似值：
: ?6 n; P4 w! M
/ q5 D: S' x0 j' l4 U. X
# h( V; r" a, v. s
- Y$ h; J4 c! L3 m
5 l2 o1 Z- z6 y
# ~; ^ K# t Q; D- F& F
9 }2 t5 m" j4 Q2 c0 ~6 W B8 P
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
# i* x1 s% }6 H& j
# f; h x) G0 e; U! {
7 g0 ^- X5 ?5 |: T$ \( A+ }
: e. \6 c: G6 M4 k; l1 p7 r: X6 \
, I( v- p ^& B& P
, f8 I+ P. @: {% o- Y6 G) N" F
0 L: P* V2 [5 u' s3 t5 P6 Z; V
二、数据拟合
1 s! N2 Z# z# n& T
1、定义
L- r/ }) W' ~3 e, u9 ~" W
* A# j0 `- {0 t3 g: M
: O" {/ n6 X! `) n: @( _: j
已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
+ y9 \+ J' Q7 J: n: z- ?- d
5 p: q4 m4 O( Q; g9 T* L
- S# K# g4 S% U3 l- d
, U( G- y$ Y4 a- Z
+ @5 n2 @6 I9 X
2、常用方法
$ g3 c! k+ N5 j1 S
. ^0 {4 }) N& W! i
+ o3 E4 H- o: m: ?5 a0 Q
一般采用最小二乘法。
. F; N+ P6 B) S0 O* i2 V
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
) a9 p% C& t7 r, ~0 g. S, ^7 X
3 i2 R& h1 R' I; w4 j# \+ t
J' s% x/ n0 i" K( c
3、举例
. }6 K6 c8 O% x. ~3 }: n3 [) G
$ J& g) J5 |- p6 |. ?- l# M& u
. H, m" m& ^ _' @
(1) 数据如下：
8 L5 h/ y( t3 o. I/ G5 g i& h6 [
" s! [5 p; |0 A5 \- l
. O1 R. e6 I: ` Q6 }2 l
序号 x y z
' X( O& e# g5 V9 I
1 426.6279 0.066 2.897867
! ]) G* E) {, t/ c" [* g
2 465.325 0.123 1.621569
7 l% k) S0 p7 _( d8 j3 i
3 504.0792 0.102 2.429227
& F7 [% l! G) ]* S
4 419.1864 0.057 3.50554
# o" z; Z$ t& f
5 464.2019 0.103 1.153921
/ R' k0 k$ j* D5 k8 k4 G
6 383.0993 0.057 2.297169
0 i9 I) ~' J7 O& K$ u5 p+ {
7 416.3144 0.049 3.058917
( m- E0 y+ E# O0 e
8 464.2762 0.088 1.369858
8 P6 l# ^& W( o" T. H% `' I4 t
9 453.0949 0.09 3.028741
~' C, G R6 |* b' w
10 376.9057 0.049 4.047241
4 A4 H, \6 @ y8 T
11 409.0494 0.045 4.838143
9 Y2 c& _ G% y; W/ s: k( V
12 449.4363 0.079 4.120973
4 f! V+ s4 K. j) S4 U; y* U
13 372.1432 0.041 3.604795
/ j0 F0 K; j& `9 d& g- q
14 389.0911 0.085 2.048922
4 U9 O) D$ c7 R& ^4 G: G# @
15 446.7059 0.057 3.372603
8 W* Q! |4 _( w8 c% x% x+ f
16 347.5848 0.03 4.643016
$ H; j5 b3 p) ?& E8 @
17 379.3764 0.041 4.74171
$ b. e; W e3 n! U% u @# ^
18 453.6719 0.082 1.841441
5 s8 P( n! Z: ]) L
19 388.1694 0.051 2.293532
( u0 L: ~" Y0 Q/ _
20 444.9446 0.076 3.541803
% `+ z1 s' H7 J3 ^) F
21 437.4085 0.056 3.984765
+ Y. L' q+ ?. b& d f
22 408.9602 0.078 2.291967
* l7 y8 J1 r* ^
23 393.7606 0.059 2.910391
, J8 A" ^ P# O V* P# |% L0 m# ~
24 443.1192 0.063 3.080523
( m4 R# t) n2 ?6 _6 P3 I
25 514.1963 0.153 1.314749
& F3 i7 b% D7 y4 t
26 377.8119 0.041 3.967584
" t3 ~; l! E% ]% f
27 421.5248 0.063 3.005718
/ s6 }4 b" |7 _, q2 e
28 421.5248 0.063 3.005718
$ P- T) b4 i5 i' K2 g. Q
29 421.5248 0.063 3.005718
4 k6 {2 N/ y9 ^& \4 c' ~
30 421.5248 0.063 3.005718
+ f* g3 A! j3 G5 F
31 421.5248 0.063 3.005718
1 Q. J9 ^2 H2 R* F: R- r
32 421.5248 0.063 3.005718
1 a& G. L, e% Q- l3 k- G8 G; x* X
33 421.5248 0.063 3.005718
) L! g( }% b3 f- [( X( U
34 421.5248 0.063 3.005718
4 g/ E! r1 A. v: P) E
35 421.5248 0.063 3.005718
O5 s# W2 V+ ?/ H* n! g
36 421.5248 0.063 3.005718
5 c9 B! G3 F% |& q
37 416.1229 0.111 1.281646
9 {2 n3 B5 |* @$ V" a; Z! g
38 369.019 0.04 2.861201
1 m. @& |- W: ^0 Q& W- {
39 362.2008 0.036 3.060995
% A+ F: }, M8 }8 ~5 A8 |
40 417.1425 0.038 3.69532
- U) u7 q' V8 T+ J# Y Z
1
4 c! t1 R& b1 v: L- k4 _0 U& K
2
! U# R) z7 T5 Q3 W% J- V& S
3
7 E! |2 `& B& I |3 C& o
4
! r5 C. V/ Q l" q c4 c
5
7 W( X* ^' y! {% X3 ?- R3 e
6
' ]7 m$ G! E6 N
7
5 w' l" b9 t! y
8
1 U* c* n$ p2 Q$ z) e/ ]9 O
9
+ W9 K, `. A6 o/ @$ n9 M4 L
10
2 ~) x0 d Y9 o* h+ w$ U1 n! _( U) ?" G
11
5 e% l: y2 T# _, Z. o3 J2 h
12
3 h% x9 v. @3 P5 Z/ |( V' K, N
13
4 ?6 K" S2 x( G) H/ X
14
9 M ]7 _/ _ e/ Y9 U. B) z1 g" W
15
' y9 ~* [! g0 f& J
16
5 }7 t2 L% S0 A( S3 A9 t3 z; b9 o
17
) ^5 [' U. V7 r
18
2 P' b" z) A* n0 d2 i
19
" t2 h( g1 D0 H! V. |- G) |& C
20
$ \+ Z0 y( V7 L$ a( `7 |
21
B6 k* D2 D& Y8 c6 I2 _! D& z
22
' @' A) Z3 J' ]. ]' d
23
9 ~, S' |* b" \0 @/ o/ w
24
3 `4 Y8 R4 W+ {
25
* g+ d/ b) k N5 A% L1 }
26
" r4 P1 l9 l/ }. ^& z. g/ y
27
; }( I* y& f! {) |/ E6 t
28
; v* Y! } |6 J3 l: s; F9 G
29
4 Y! f1 u$ n7 `( S" J2 o3 m4 {. N
30
, E- S+ j9 r$ E
31
+ }) b5 M! a3 F4 j7 \7 b/ ~
32
! [; N1 L, S1 L
33
: F" k1 H' Q) |$ ~* i
34
# d) Q8 J7 g7 e$ s# G+ G
35
+ n9 Q0 x. G- Z+ F8 S+ P3 z: s
36
& P: q r5 u8 r# e( a5 s
37
0 Z6 A9 M2 y3 ^% L
38
9 @) d( P0 }: I7 P3 M8 }" R
39
( Z/ v3 ?/ T/ L
40
1 B9 U& l3 V$ R; x, _* I
41
- T( V5 a% b4 _8 \
! S4 |' G: m! C+ Q$ }
2 l4 S2 U1 j' l! r0 Z$ B
(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
: a1 e; ~- d" j) f; z; ~0 _9 i+ O7 M
9 g' ~$ c* z8 f& A$ y
* ?" K% C: l8 m7 {0 X: U$ t
%读取表格
% [( {) [" B7 {+ i
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
" |. N8 ]5 D: T% E1 Z; h
B = A;
/ {9 u. L, M8 a6 O/ p8 m
[I, J] = size(B);
3 N! i) i0 E5 Z J( O% k
) R! |; Q' r6 t1 v% T& b
%数据拟合
2 O5 n8 [/ I! [/ N& v2 T
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
) m `' f. X# A0 F" i! z
x = A(1,
;
# Q; s A; u+ R% K5 |" N4 ~
y = A(2,
;
4 K ^+ \ Z/ v8 y. M1 K
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
' b( m ^$ V* w" i; {5 \
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
/ n5 J" B% n4 l* U$ E- J
%返回值p中包含n+1个多项式系数
H! |. E, l7 }
p = polyfit(x, y, 2);
( z' K1 }- d: t2 t* X0 k1 M
disp(p);
. z7 j& X0 c6 f- {' O, U) [
%下面是作图的代码
% S0 [; d: V9 c( o
x1 = 300:10:600;
. F; X' n5 A1 H" Y' j9 d
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
/ }0 m7 W5 _, a d4 K5 F3 M' X
y1 = polyval(p,x1);
, B+ l U5 e' |$ V
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
$ s8 z8 O: d; G9 _% s
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
) T& B5 N2 B: a- ~$ t
%figure(gcf);
4 @& ~( e; s9 d
1
& S% N& W% I7 n* X1 B9 ]
2
' N. {4 d! n8 K: t) W0 C) Y X6 w
3
2 G5 z- U- z$ L/ R+ B5 W
4
5 h/ g8 ~7 h1 B U+ u2 _/ t
5
$ o1 Q# I' Z% ^) w1 |
6
4 y2 o9 @; q6 T+ w* w% n
7
* n% v! O9 b$ ]( o" S5 Z1 F( W
8
1 ~ p: j# d% Z" Q& z
9
2 e5 K& N& p i) b5 g
10
j1 c6 ?, y; J- U; y1 A
11
5 f s; p+ n5 I0 p& Q
12
9 b$ N' {5 v4 @: @% N; R
13
V& h! S. b6 J
14
; R% k1 d% o4 o/ }6 r
15
( y) G' X% L0 x5 |
16
9 W7 q& k5 h+ `7 V- g. z* x9 n
17
; k6 R* V/ e$ \8 p' `, b/ B% a/ v
18
$ D5 n& f4 l k u* ]* R
19
: m9 C4 J" d3 h
20
! a4 B% J# D7 d3 H& h4 ?+ Y
21
/ H/ Y2 k Z$ d2 ^
, J/ g }/ y) K3 g* L8 R
! j7 O. H2 l2 z' ]. x5 j, A/ H4 R
(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
% t. l% O6 C; f% x v |
! O0 @/ g5 e# y! ^5 M- N% c
( G* y- d. O- ~3 }
3 e$ h( M! C3 Q4 K C
5 L" I2 r" T% O# @
将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
0 z; `9 @1 c' d3 L
T+ E8 [+ o( \, t
; m" h2 Q0 q# G* a
8 V4 y+ ]7 A8 z6 J# S
m7 Z8 ]" j( q2 `1 ^% [, ~& x: n
选择x、y变量
# \! k' N5 d! l/ {2 P$ L
' P) ~' I( f% }0 p/ ?
% K! {& N% L* D) C5 h
' ?) V; j& ~2 B
% P5 T# {" s, F& C$ ^* \
选择拟合方式和最高项次数
% m( \& }! W0 g4 I) A1 a
# w' D- d7 S# B( i6 Z0 P2 [
9 L1 u; H- t; e+ ^/ E. C% y6 H/ a
b+ I: u9 d" H2 j' [6 @
) r3 B% |. u6 a
得到拟合结果
. U+ d9 J6 `8 ^$ P: h
1 }# D' t: w9 X4 P8 w8 w
8 S% W) j4 V3 T* I
# h/ h) [4 a$ r0 P
5 _4 _; d! S; f: V
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
/ j0 `$ C0 q5 }- ^) N2 Y, P* {
4 `. C4 t7 N8 e$ o$ F: X, k, ~
5 l$ E8 O- [* E; ?7 \( u: z
2 L. C. }8 U* Q9 h$ B9 V" ?: \
& Z. l" _1 W- U' D Q3 d
. r& n t" G4 b% z8 b9 o$ [
V/ o s1 I' T; \
三、数据插值
2 t/ V& ]3 o2 u/ ?" n
1、定义
8 T8 D1 H) U9 ~9 Y$ T, g
. P! E) y# @! R. @
2 \$ S: r1 |6 y- \4 q
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
- J7 W& T$ v5 ?/ X, G: U
' T( L7 P! |! e) D4 ?% V% @9 Y
7 s6 U4 }3 l; u3 |
从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
. W# \4 F8 p. L0 X8 ^% O% @
9 d' X/ U* \2 ^
% y8 ?$ b6 E5 c/ ?
+ a }8 x( J' x3 ^
: p& E/ v1 O8 U. L1 G- D
2、作用
4 @1 N& Z9 P7 V" Y7 F( e
: }8 S0 n" |7 P0 u1 C# b
5 A6 w* r5 ]1 Y6 E
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
" T! c4 j3 \# z- A( K; h
% g. T7 W/ c4 T1 d1 v% e2 Y' X
4 {6 W. M7 Y- `: c
: g* v% m+ z+ `+ S! c2 d0 o0 l
! e. a" i6 Z+ Y; b! a( V
3、举例
% S/ V7 L- c2 ]. i9 m
* E/ D* q/ n6 H' J; e
- S/ x: t$ s5 ]+ G, k5 ~
%years、service和wage是原始数据
' |% f, \, [8 K! m; `) i
years = 1950:10:1990;
0 \ e; g& i' k$ j' e( ?
service = 10:10:30;
. t' ?" K. C/ C& v; d% w
wage = [ 150.697 199.592 187.625 179.323 195.072; 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505;153.706 426.730 249.633 120.281 598.243];
& x# |3 \! R; f
[X, Y] = meshgrid(years, service);
6 [% f; @& v) o. w: Y
% % 三维曲线
3 @( Q, ~. n: s( h) i5 ]' l2 b1 ?
% plot3(X, Y, wage)
0 u8 w7 [) f9 B" @! L
% 三维曲面
4 {9 u5 P4 H* \6 c/ I
figure
4 Q o3 m- J" U9 s3 S5 |4 H1 b8 ^
surf(X, Y, wage)
H& ~7 a" r; [. b6 }+ O
%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
U( b5 c2 ]1 v
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
- f! U C7 n" W4 s) c5 B
1
- h: W/ o# T O. b$ {* j
2
- }+ w; C% S$ N' _: T! ?
3
5 V" }( ?! y5 {* @) C, _
4
7 Z0 l$ C7 p% Q, S {9 s
5
5 h( k0 I) {- s( B4 X
6
, H' D( t% A2 c& J
7
* k9 u* l; e2 ?6 |
8
; c) j. v$ J \ I5 J
9
) G0 g5 D4 Y" L# e
10
, k" O) p+ R$ U ?
11
2 h8 H; x' v* U; D" ~: d6 D! u" N
12
5 G4 I1 n5 J2 B; c# H; |
p7 h3 q( X! ~. W" n
2 Y: k- e' D4 M- H( Y5 p
) S4 t% _8 f6 v' r$ I; `
! d1 i' ~: w) c) ]) ~( {
可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
+ n" `/ L/ ]6 m) ~/ }( m! @- p2 z$ U6 a
. D) a( k$ |: z. F' P
. C- c3 p/ s% i4 j0 x4 `# @
* w6 S1 i- u; L* c- I% w: I9 U
/ @ t8 ?( Z- E* K9 q# Y
5 t: C0 t- M+ ^: V
( V5 F* V" Q# I* g1 O$ E
四、图论
1 \+ O4 z4 |( g, q9 [
1、最短路问题
5 z8 _% x/ M8 O0 k
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
! G, u& L6 W+ V; d
* ~( v' e0 N( n4 M! i: ^: T
; M4 P- K2 P& c2 [% K) W$ u
例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
' I' t) \' E+ \1 k9 \# w
3 s) {4 F- t3 H9 F7 X( l4 g
! v( k6 B4 s- N" g) L5 |
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
/ m* D* X& C o1 p3 `0 S0 d
8 q8 ~6 h: C2 ^. P0 j' E
, B' C. i3 O2 n; H0 {
8 I2 z( `4 y* j! q7 u* w
% w: B8 [3 p# o# {; N
（1）Dijkstra算法
4 ^% Z- u1 c6 W/ r a0 F
先给出一个无向图
/ R- u" R: D% ?5 ^! ?7 a1 O( o# L! k
5 H8 f' k) K" v. ?& T9 s
" a/ w2 ~+ x% t& t% ~
6 `% U8 K! f# o: v
. S# n- E" Q) O, r/ X8 @4 R- E/ C
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
: I( Q; A* u* m% h; @% h" K+ |
$ f [/ ?2 w4 Y2 D4 G }
8 D, a- S; u' \. J. e# H+ B
& h; F4 M% |2 o: R
' s" I) z" O c5 i6 ~( s
U7 w3 e7 P; P/ Z
. e0 h4 U; k, s! [1 z) r* g" Z0 b
代码模板：
$ `* m2 R o( ]+ N, {4 l
3 a$ ]4 }* r" t T" \
" T6 Y5 T& m# r9 r6 u& O: `2 o/ z
#include<iostream>
8 g" _; Y+ U3 @- C3 Q+ ~
#include<cstdio>
, x, e2 U. W4 G/ v% R
#include<cstdlib>
% n1 S* L; O8 z8 ]+ U2 }; K
#include<cmath>
5 X: ~/ x" t! W( r. {$ a# X
#include<cstring>
$ h5 a2 I7 a. u: F. Q
#include<algorithm>
9 l) G* n1 g, Y/ d
#include<vector>
6 i: U% n& u2 I+ o3 O0 ?& q9 D$ Q3 ?
#include<fstream>
4 W6 J. D9 i: W0 D
using namespace std;
! U. f. _1 u7 ]- G
9 D1 L& K2 j' M
const int maxnum = 100;
$ j3 t1 ^$ A# N6 \+ w$ m \
const int maxint = 2147483647;
, p0 T) q* f2 n9 y w+ H
int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度
+ u1 {+ b* {! w! Z, u
int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点
* ^; u* S t/ ^$ W2 e0 B
int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度
V* ]- e$ f/ y7 }5 T5 c: ~
int n, line; // n表示图的结点数，line表示路径个数
8 E& N7 {. P* Q( \$ X7 p
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
( o/ n" u5 H2 `/ R
{
8 A; a+ \' f6 u; J
bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中
4 W! `# N" W& c7 c( |. r* X
for(int i=1; i<=n; ++i)
" x0 d5 O2 N B; h$ P- | i% N' `
{
' {" b; w8 @3 ?* H
dist
= c[v]
;
: A' r$ A8 E) i# b. I
s
= 0; // 初始都未用过该点
/ j# R* U a4 t7 p2 j
if(dist
== maxint)
. x% |; Y- o% z. i+ ?% s* W) O4 f
prev
= 0;
8 f- G7 k5 q! X$ c7 c/ g
else
" I. c2 V P0 |: k% C
prev
= v;
; N2 x* L1 P4 u" e" A& f( U9 B6 v
}
& J* g$ D- S( ~ b0 Q
dist[v] = 0;
/ \, Q; [0 B- G9 I
s[v] = 1;
0 n! O: U& i9 ~- T+ ~
# d2 C$ [- I7 ~% n8 n9 |
// 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
9 \9 Y' J( \: A8 n
// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
7 G- K- Y( p" ^( d' l# S/ e0 |& w
for(int i=2; i<=n; ++i)
# o4 z4 W: | ?: p. A5 C& ^7 @1 f
{
" @& M# c: Q0 N0 @4 y4 o r+ a
int tmp = maxint;
+ q# r0 o) u0 \
int u = v;
8 T3 L3 |- Q& T2 [4 A! J1 n
// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
; s& o: Q* x( v# }- I9 V ^
for(int j=1; j<=n; ++j)
$ v% G6 |6 A$ {/ z/ `9 W
if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
3 z, v1 K- ?, q$ J1 w' T: h
{
+ X( G( A1 V+ [- `
u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
' g. B0 O* I/ O- ^4 [$ l3 z
tmp = dist[j];
. c' C5 G( }9 C2 p
}
* x2 r( x, P! W# l! ?: D
s
= 1; // 表示u点已存入S集合中
9 u/ _" w( U1 s& f. v! m
& X3 z( J3 E6 d0 b q8 e( N5 W9 X
// 更新dist
2 W5 U) e# ]& T
for(int j=1; j<=n; ++j)
G& M- _. v7 D- c$ M9 g
if((!s[j]) && c
[j]<maxint)
6 Y# ^& d( |. D$ L* y
{
9 c7 n- b6 E/ \( t& @ u
int newdist = dist
+ c
[j];
! q: X6 o: b1 w" \1 F
if(newdist < dist[j])
% a4 r7 Y& I; u$ i# i6 B3 S
{
$ r5 H9 i1 V5 I- T8 j: f$ x# d: m5 K
dist[j] = newdist;
3 \- v4 F* \* g* D8 g, Z$ ~
prev[j] = u;
9 \9 E! x& D& t0 @
}
' I+ M$ Y4 D4 I8 j3 G( g+ a3 A
}
, l9 l& F1 A7 R& H
}
6 k6 A* w9 Z. g
}
# o0 b4 g' Y# r8 S/ q. ~! W
void searchPath(int *prev,int v, int u)
b& e; G4 _7 H3 Q( C. l# e: |. M8 w* Y
{
9 y2 C: L$ i2 s. \9 x. ?! w
int que[maxnum];
+ f6 p' A: h+ k
int tot = 1;
7 @4 P. B/ \- i" N4 E1 @7 p
que[tot] = u;
. ~! J. ~1 U. I. X4 d
tot++;
/ [0 J& T4 e* s( O
int tmp = prev
;
: ^& \; O1 L6 `; ^
while(tmp != v)
% n$ X3 U: F) A$ _# c' F- r- A' w8 ]8 m
{
1 v% e1 X, G/ Y5 k; ]
que[tot] = tmp;
! R# a" H8 y! h* W1 b# t
tot++;
. W5 f( h+ W. g$ s2 _
tmp = prev[tmp];
0 L V8 [/ X1 @% O, V, _
}
8 x3 Z0 ^. D0 F, \% X
que[tot] = v;
& V W) x" O. d. H
for(int i=tot; i>=1; --i)
) | z! S* m6 W2 k" j1 F3 v
if(i != 1)
8 u# J* G' H5 r+ h
cout << que
<< " -> ";
" H$ E/ m' T% u: Y; L) e
else
, H+ ]. m" ]: s" _/ Q4 ]4 g
cout << que
<< endl;
( _1 a( K/ \7 _% d) h
}
5 u7 H" {3 G# ]/ o7 l6 \. f
1 Z: _% B, C: _+ [
int main()
% y6 M0 d5 t! |
{
# @0 U) F' c. i0 @+ c: o6 o7 a( q# w
//freopen("input.txt", "r", stdin);
6 K+ x4 C- n1 `2 |1 t
// 各数组都从下标1开始
/ l+ C5 N5 o, _4 ~3 U3 H2 M
// 输入结点数
5 `2 _; R! W2 E9 B! {' V
cin >> n;
6 z8 Y5 n8 Y/ x
// 输入路径数
8 t3 d5 [( u8 e# a% I2 P( {
cin >> line;
; n3 T0 ~0 K: {" }# e
int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度
; }$ @9 z( q8 E/ V: l( n3 o- }
// 初始化c[][]为maxint
+ y" F2 I0 ]5 H) M) s0 X( v
for(int i=1; i<=n; ++i)
: \: x% p6 F6 Q! }7 a7 y$ U; Z
for(int j=1; j<=n; ++j)
( ]1 @. Q) x" k# m2 `
c
[j] = maxint;
1 a. n& ? m) L e
for(int i=1; i<=line; ++i)
/ X* @ E* T7 L. f
{
4 F+ n# H* m6 z+ r
cin >> p >> q >> len;
+ [% a5 V7 e; J6 H6 }1 `$ r' U+ A' a
if(len < c[p][q]) // 有重边
2 R7 }, [3 u7 r! n
{
$ i ?, A/ E, c2 \: h
c[p][q] = len; // p指向q
) E" n L7 A/ f9 ]; G, K
c[q][p] = len; // q指向p，这样表示无向图
# W0 V! Y) H& O1 B) Q0 k% i
}
' {# o5 v! G2 o; j
}
7 g; _* w$ k2 f) |2 ~
for(int i=1; i<=n; ++i)
: ]. M* ?5 u0 h( s. |/ v
dist
= maxint;
2 v2 `9 Q) v, z8 t- a& R2 y
for(int i=1; i<=n; ++i)
1 c4 l1 \; @# j, k6 T' t, m8 D
{
8 m8 Q6 V2 c3 L7 s
for(int j=1; j<=n; ++j)
! M3 O. B8 e' u' m2 e" ?; t9 K
printf("%-16d", c
[j]);
& B# |2 M( N7 s/ e
printf("\n");
8 V8 v" R v; ~/ |& A
}
: q& B& E8 B; Q. T
Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法
ijkstra(n, x, dist, prev, c); 其中x=1,2,3,4,...,n
( x- {' ?' L, s- N7 e* u @3 w
+ T" C8 c0 v F
// for(int i=1; i<=n; ++i) //dist存储了源点到其他点的距离情况
; ]' j* Y7 F. v8 v" n: _
// {
; Y( I7 I# z& J0 M% [ [
// printf("%-16d", dist
);
# [& U) u) Z- `4 T2 D
// }
7 p) C: |- r" J1 n7 j
printf("\n");
! `+ y: c$ y# a8 v0 P! T; G
// 最短路径长度
3 }2 _( c- [' N' G
cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;
- U! n! f+ N) d9 V5 n" ]" W1 M
// 路径
( o% v! V9 U- u' K! e! T" k3 Q+ a
cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
+ K6 y! U6 g' s! X, |
searchPath(prev, 1, n);
2 Q3 ]$ U. Q( I( ~* U& Q0 m
return 0;
[% f5 t. |0 y2 u6 K1 h% j
}
. v2 Y% C* y% |* O" R
0 H* i( U# ~/ C+ l' D) C" R7 n
; B6 `% ^) h/ Z9 i: D
/*
0 J2 V5 V, s. V$ L$ q
输入数据:
# g7 m0 D* U/ q/ u/ [* s& M3 k
5
- J; B4 n2 @" L4 |
7
7 C4 O, B$ E& F9 v& E( ]
1 2 10
( a6 a4 u* T6 Z
1 4 30
& A7 {1 L3 V$ w o2 O# O! c& K9 _
1 5 100
2 ?3 w/ F0 Q! T! [$ [* H6 H# ?( Z
2 3 50
' K2 H, q: m& G7 P, V
3 5 10
6 J# z B: S; u7 i d* f% o' a
4 3 20
( n+ f0 l6 k7 J1 D9 U) ~" f
4 5 60
^3 D7 Z& U! H5 V k! P: ^
输出数据:
4 a$ Z5 h( `/ Y0 \* z* k3 x, v8 R
999999 10 999999 30 100
! k( W+ m, m% i1 T# z# v" n
10 999999 50 999999 999999
: p4 S2 R0 ]& ?1 N* ?" U4 M$ G
999999 50 999999 20 10
* e7 V1 Q8 f: v& a1 f& u
30 999999 20 999999 60
9 y1 w$ b0 p* F/ r8 T
100 999999 10 60 999999
, m7 R u" G+ S; D, R3 F' S
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
" \- B9 E" z. O/ }* a9 H
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
' i9 ^7 J2 C( l; B" T9 q
*/
0 s* f9 V$ p( ^
1
9 {- {1 b/ u/ C7 ~
2
" _" F" g& W$ K) Z/ m7 `" v
3
- I9 |% n8 L' I) w5 R- h
4
, C& Y7 c6 f' ?: c: u
5
# W0 N' x8 C- q6 m0 @
6
; B6 v9 G/ h' }+ G: i" x6 ^6 `+ s
7
; o8 z5 e8 q! o% L( w
8
) N( V4 _% \* Y
9
2 a! z1 Y" F1 _6 Q
10
" f4 v+ o3 `0 }# ]. f Q7 j+ H5 X8 k
11
" j) k8 d5 ^# a |, Z
12
4 Q1 \" ?* e- W8 `, o
13
" Z& @ F2 r! a
14
6 `7 W$ A, e: Q. a( O6 [( V; w
15
) x* y5 W; X8 t+ M( j
16
; N$ _3 Y4 T. C& `3 X
17
$ G6 g" A# _' o
18
- a0 |4 G' ?2 H1 g6 W9 ^/ h5 z' n
19
7 g9 `2 x7 P: |8 C+ g
20
7 N* w1 ~: W/ g! p- m
21
2 @2 S, M3 L$ X6 r
22
& r0 R! X% Z: v3 [9 P3 i3 C
23
: E1 \* F! F( W% [ [+ L
24
! p: v6 C& q) B5 M: T
25
, @7 a" ^/ ^, ~3 q+ K; a9 T
26
, w$ t! H: N8 W! [$ g: u+ Q3 W+ x
27
: O ]' Q6 O7 ~$ ~2 H" M5 `
28
3 _, Y3 U. C8 I
29
* ^& f) D5 t* M* B" B' `
30
+ x+ {+ V1 s7 s7 A6 h# X
31
" H7 w6 O+ H/ Z' ^# ] |# ?% t0 a
32
2 m! i6 y* C5 `+ ?; W, X
33
) P- u5 H* x3 J i/ a, X
34
* p7 J( x! e3 H; d
35
8 w8 A# Q# O5 _! h z) K7 Q0 l1 N
36
9 m+ _$ g6 }& c, L: E* g4 t
37
0 R( b4 J! |3 C
38
" ~" V9 ~% k! o8 N. `7 B; N
39
$ N" @+ Y, \$ ]% a {5 M* k
40
C$ G/ h7 ], ]3 x$ ]
41
7 m$ T% |4 D1 z9 d0 K1 n
42
% V# G8 ?) `* a3 r+ O, n
43
1 K4 u3 J8 P' ~: o6 l
44
: l5 @* G3 m( x. @! S
45
* V8 m E7 w* c: D. X- L" Z
46
. ~% U+ }9 ~% F* A4 N/ g! e0 S
47
% ?# l; `& o4 E* J# ~5 _0 @
48
" R5 t5 J$ ^: ?; X; ~" Z/ ]% p
49
2 Z: u; D" i* w, [
50
; x& _9 F5 `* z6 F$ j! E+ x6 @2 t
51
5 t: J0 A* ^* h Z3 v
52
! z7 f7 d3 c) b7 j6 Y
53
6 l( V1 g E5 c# W$ D# t/ B
54
2 h( W7 P5 ], ?4 |& s" O1 h; A
55
- H6 ?+ G7 u' ?( t( U; X2 e$ b
56
% S+ W" |% r% l C' H2 \) B1 e. w
57
! V" V2 ?2 j$ k
58
7 [7 U" {7 P) c9 E2 ]
59
: @% `) i' U( A3 U, e' f
60
+ H4 s1 X7 G. M! n3 Y4 K2 }
61
. C% T& J1 A6 v3 e# Q+ \( Y
62
- S. W% Q9 i; k# M8 C) K7 V
63
0 j$ S6 h7 n2 }, L7 v
64
( A" p; s3 c7 s0 T7 H; i
65
* }! U6 J7 @* [: L* ?
66
$ ]4 a$ M: P$ \
67
, S! m8 W' S: j/ Q
68
9 u% v' Z6 t V7 S; i: i5 j# v
69
7 r* Y H) Q/ Y) \& n
70
7 I) [; T( J+ l+ T2 R
71
; R' L) X ^; W0 w# E
72
; e3 y9 {/ ~/ Q1 f- @) r0 M0 h, h
73
! _, i: e& g5 t
74
" W: H: z& A( h1 M- B* P5 Z; A
75
/ x$ z9 v3 Q) s. e
76
! h- ^, z2 G+ [+ n, S+ ?! [$ u
77
! q# E/ x: x# r! S( \& k
78
' R9 R* C. f2 D- K) }& C
79
' C# k- q. g7 Q
80
, b8 I8 a( u. S1 D2 R
81
( o- c ]/ Z; D4 H8 M v3 M
82
; S+ m2 X, v* U, R6 B' \2 G1 k: L
83
* z9 c" p5 h4 h
84
4 ], C0 }8 g+ m
85
. g# \! s! F( J
86
4 i8 Y3 h' k7 v& C7 T
87
, Y( n* y' K* c) N& E
88
$ F3 J+ I' j0 U5 E
89
" J L9 d c' ]
90
0 q) P$ _8 u$ M; u; E/ n
91
( J: x! {0 q. ?, Y5 M& g& E2 \" l7 n
92
9 t) K: v+ J7 n% M1 t9 }8 O, b! j
93
, f( z$ B) I- J4 V. m8 M- a1 y/ o, b
94
7 B+ Z, Y- e% ~
95
2 h' `/ s' t- p( S
96
! b9 d% q. [9 z! f8 L' ^
97
6 y t3 F t6 H/ q& _
98
: R7 y/ P8 R* _$ {" E/ Q3 [
99
M2 l- |7 K/ [# Z: j
100
1 O7 m& u: N0 A, _7 R/ \
101
0 \. O& N; ]4 O, E# H
102
: u6 ?; W" F/ ?
103
) l5 p1 w' x5 I1 }1 }/ b" t
104
9 H( T) i: |, R% u) \
105
P1 ~4 j4 P* \- \3 W/ d+ @
106
1 j8 ]8 l2 W X/ ]& u" C. X$ U. e
107
# A7 W$ z# _: V! S) P' v
108
7 T' O- R6 x- W
109
! f9 Y+ S( O0 B/ [
110
2 N3 i& {# x J
111
5 E2 d- m) \- S+ T) |% f, S; \
112
$ D1 [3 A' w0 o; v
113
3 A! u. N6 ^( V" k* Z g& B5 `( N
114
* c/ s. A& p( _+ N$ |
115
2 s) I4 ?: y' D( D2 K+ _1 ~2 H
116
# Z; j! f0 s) j3 ]; ], N1 l
117
- ]; y/ I* o" i
118
$ Z% J1 Q; R+ y( ?: h
119
# b7 ^4 z$ q: d- ^6 c
120
$ [5 x1 G" `$ l8 z4 p& u# D: z' z
121
( Q4 N$ G4 z' X9 ~+ R+ Z( c
122
+ u3 S0 E. j, x! u/ M
123
7 i3 o# G' _/ H1 j, V. f
124
" U; {- Z) k; f2 O; q5 V9 w# l$ W
125
: J6 h4 O" d. j( p+ D5 K9 w- w/ M6 s$ t
126
) B# l% ^) e' v6 u8 F& o6 u
127
* `- y6 v; ^/ J, o+ \8 l$ c* C
128
4 W& @6 G* k9 K8 X
129
7 m; r! w) N+ E4 f' P: N
130
+ s6 d( c- e4 a) T
131
, d7 X2 P" ?7 H# i( |4 e
132
- d$ p# o1 I" P
133
/ O- c5 c+ ]" z$ }9 u" w9 L" ]
134
# G5 z/ D- R# ? Y5 z4 c
135
- P& B% f. n2 \* a+ P) l- Y
136
: Y! `6 i5 `0 _2 s- y% k
137
. `! ~7 w# Q( j# l+ b% t+ `( g
138
4 W! l, n7 F! B8 @
139
0 r& z+ v+ h- P" Z: S
140
* S3 x+ | y# r/ Y' a
141
7 m# j2 l4 L9 F% O2 E% u" l w }
142
/ E1 q7 \5 N- v
143
3 e' D8 c$ r* n
144
5 N* Z8 \- o( }( O* R
145
; p. }0 L6 v$ J- f- |
146
! i5 }3 D" K c. c$ u/ N
9 ^: i& s& P: b8 Z% ]6 S
; J4 T( N' I5 f2 r7 T9 {
（2）Floyd算法
: {- P7 |! H4 H! N: E$ m% v6 d
#include<iostream>
/ h2 E6 \' [6 d
#include<cstdio>
. o; p+ X" r. ~1 a8 y; X
#include<cstdlib>
7 G6 A; } @+ y7 l; ?: L
#include<cmath>
4 y. y @, P; H: z8 `! x5 S
#include<cstring>
" k& @- ]* S# c3 y2 }
#include<algorithm>
4 P# ~' f' F% k' \7 [) u: R9 x
#include<vector>
# z" {4 }* B( A7 x" p/ {" S; \
#include<fstream>
3 M9 Y" C" k9 V
using namespace std;
6 m4 [4 C) s+ J! i' z" M3 R
* p7 A' P, j! @3 v, d& P E
//设点与点之间的距离均为double型
2 u0 p8 k1 h% \2 w
double INFTY=2147483647;
% C# L5 H) a$ A8 p
const int MAX=1000;
+ H/ m* O/ _7 m0 o8 L
double dis[MAX][MAX];
- @6 G; V& p* v! u0 M* F9 y2 J
double a[MAX][MAX];
# _- s& Z$ N' b( t6 C4 s0 t t* J
int path[MAX][MAX];
9 u$ Z' t6 \, \* P O1 ]" w
int n,m; //结点个数
* v6 i; M# D W. P! e# M
! {1 P7 v. \' l8 c9 b; ]
void Floyd()
9 l6 O: B. s0 @! ?- F
{
4 N! X& t$ S ?* N
int i,j,k;
$ }; P1 h. z B q
for(i=1;i<=n;i++)
' f+ ^5 o* F# E4 J" N* e
{
. a' H* U' K0 Z$ U7 ~
for(j=1;j<=n;j++)
e' X6 e3 D* B
{
T# X4 N7 ^; A+ G% Z8 f
dis
[j]=a
[j];
$ Q7 i4 G3 q3 W0 }, h9 R: o
if(i!=j&&a
[j]<INFTY)
* g; j9 E9 {7 p
{
5 }& p& t7 s8 U
path
[j]=i;
6 x- w5 F5 P( ]# b: p
}
r9 x8 f2 d& A/ [! ` Y, L
else
& A; z- E' y( e6 p
path
[j]=-1;
- L$ O" D A$ t( U7 X
}
! H* f* W1 x" _8 A, Q) W F6 d, v
}
4 |( {# C" e1 w \. k8 |9 F6 \
4 T7 Q6 b1 T8 K0 Y3 ~# f' Q
for(k=1;k<=n;k++)
$ ?0 K+ V5 ]1 |& g0 T/ G: J. H
{
% {; \1 `& w% W( {$ ] G
for(i=1;i<=n;i++)
8 j T' t( H ~& ~ }: u3 X/ n
{
% b% e3 G8 i5 d6 h8 J9 k
for(j=1;j<=n;j++)
# t& U0 A$ B8 t& x+ S
{
+ _4 E7 j' ]- [. W- v. F7 R) ?
if(dis
[k]+dis[k][j]<dis
[j])
2 d9 v9 R' @, X. Y- ~
{
) {; ]* `" j' v
dis
[j]=dis
[k]+dis[k][j];
K$ g& o: W. j! s' L$ M
path
[j]=path[k][j];
2 G; w' R! N9 r' P R1 \
}
$ R0 T% R. ~# b! r
}
9 r4 ]( B" B- B9 d- L
}
, y0 r5 g1 l( i2 v; W
}
( z" T( m, b& i4 y
}
4 X2 [1 Z! E; u/ l6 n8 v
; k2 `# U% I6 P7 j
int main()
$ B& x: l" U) J3 C0 t/ `
{
# n! V/ Z+ M& p# O" G' D1 p
//freopen("datain.txt","r",stdin);
; ]( p; r2 Z- n4 }
int beg,enda;
$ |. r% L( M% p0 Z5 K2 H+ m1 t
double dist;
9 g( _" p. o, m
scanf("%d%d",&n,&m);
" U7 n. K* Z- g% p! G8 y
for(int i=1;i<=n;i++)
l: h0 b& b6 @4 }8 v
{
N$ j4 u) q% |0 Q
for(int j=1;j<=n;j++)
" ?* ^ ~+ n z" Z* J+ d
{
7 y/ b q0 \+ c) Y9 R) g0 ]) f
if(i==j)
* H; o1 j* c4 a- s
a
[j]=0;
7 Y! f- k* q6 O3 M
else
- Z+ a4 a5 [- X
a
[j]=INFTY;
- R3 t% o5 n( b$ T4 ^) Y
}
7 k, j" t# b* z4 J
}
5 _; H$ j4 J- q8 f. c
for(int i=1;i<=m;i++)
2 P4 x7 D1 d' m( z- p; F
{
. ^0 ~% \2 \3 V
scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);
2 @7 u' F P( C
a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;
2 C: ?- s `) O
}
" u/ e' r' l- L8 f5 v* j2 f
Floyd();
" O; Z( G: T# O
for(int i=1;i<=n;i++)
4 u1 R0 ], m: T1 L- _
{
! b& A$ b% O6 h; @! ^) M) u& G! c
for(int j=1;j<=n;j++)
+ i6 K2 `9 o$ Q
{
+ L; v* M& Q9 ?6 P
printf("%-12lf",dis
[j]);
! X5 }5 b. @! ^6 ?! J+ R
}
+ M& C! b- e t, R. B; k/ S
printf("\n");
4 a5 L8 O$ ?, U; Y7 K( d
}
$ r6 |; S0 x4 p% }( L6 R2 a
return 0;
& h# L2 u8 B" r; m( ?
}
* U/ f7 g( [$ R3 C- O8 i
1
u+ Z+ C4 i- v+ y% D( V; ^' y7 H
2
8 ~8 q+ J! b' Y% t$ F8 w
3
6 b; Z0 Q2 `0 j1 _4 i: y! p
4
7 X- C/ [3 r0 z- ]2 ~
5
r" [& j3 b) z- ]- T
6
) ]5 r* Z, X: z8 l
7
9 u; B2 F6 P/ F' {
8
4 s3 D2 j3 j9 Y
9
5 {# v* ~; P; v
10
4 x' K" ?- ]8 K$ v, X$ R' s' f$ D
11
: t1 O8 M& e! M( H1 i( C- W. \) }
12
8 q) d1 G1 b" S( ~, Q6 ~: q
13
) q! t' U0 j6 j* F! B `& b' W
14
6 _; F0 ~5 O& b' V% a+ z
15
* [* l6 K' i( [) w- [ q
16
- `" a* V0 u9 @- y' R
17
6 m; G8 S" m# K. m- }
18
' F: w7 s$ E* r% P. S+ X# W: T7 u4 R7 |
19
9 o/ B/ Y% {! f
20
. e% N; a: K9 I1 M: q) u
21
# N$ Q5 Q- K0 ]
22
! x9 Q' R) _" C8 a' v
23
0 |+ M: q4 c4 d- p, @1 t, d/ @( S% X
24
4 }* G, s2 @( z5 ~$ y
25
; R* |2 g n5 {' @& f
26
' U) n, P, S& j6 {6 [. r' g! J
27
. @, A. @# Y1 X% v: d4 f! f+ G
28
0 [! P; e: q" y7 x* s7 D- g& k$ u4 Q
29
) K# r3 H/ ] B* ]$ ]
30
: X. A' ~" n7 p
31
' t, ~& x5 |2 R
32
g$ @ A3 ^: s( c
33
: j0 v) v z' e, J9 d% ]# ^3 y
34
" a3 F. G) ?0 ^% V
35
* o3 \1 ^/ s% v1 n8 I
36
! j& Z% [& t5 x# [1 R
37
! ]0 ]6 z! D, J# u+ O( S- a1 W' A
38
# X2 t4 b t6 o4 f3 l
39
. u7 a; P. q/ V
40
6 H% ?( \( s% ^
41
. h7 r# o# |) i! ^; a
42
( D, \! p# i$ \
43
& E' o* R/ I8 d; m
44
. Z" t! v' m0 S+ u! p
45
# m2 i( |; ]; l9 z" }" m" t( p6 p
46
/ x* z8 b2 \* H
47
. n8 I1 q8 X& Y8 t g( ?
48
# p5 q8 @, `7 }9 _( q9 t! o0 ^& t
49
6 t8 l1 @' s8 I" [
50
% t* _0 t; D4 W+ s4 D1 A8 ]' ]) y9 k
51
+ J% p+ E$ D4 x( n* H% n, I) w
52
/ V9 h0 J6 j, Z/ H" s
53
0 N3 t C" S: d. P; d* ]% i( l
54
- P9 R& c+ P/ G7 n7 n0 F& ?& P v' w) c
55
$ J) p5 B, s( B! C& u, J
56
_* J% \9 [8 K4 O, t
57
) n: q- i8 e9 V; s/ D6 ?
58
7 O: l9 x* p& B: D
59
. e ^! j6 E0 z
60
8 d+ Y5 l8 `( }0 ^$ m7 C0 j5 w: \2 b
61
" p9 ^0 b/ ]3 h- M O, H
62
' E5 b; B; }3 H3 Q* Y! X& s
63
P0 N W/ q1 E/ J# \/ L7 A
64
& y+ A: l0 f, k
65
n9 Z# P! s6 k) V4 U
66
4 h5 G, w/ F$ ^
67
, j7 J% Z: M& B5 l' |& r
68
4 m( s. ^/ E1 C" R4 z. q I+ X6 C
69
# m: `. Q+ o( m' X
70
) H9 B+ Z C2 W: j) T4 q" n, s
71
2 S$ R3 \7 q) G1 F: i2 A# ~
72
4 O/ b7 |& a- |5 J; F1 H
73
' B7 W- ]' ]' O# U4 W2 w; _ F
74
: y! F. R1 W) N$ \* M/ i5 V% x3 Q
75
; R2 m9 m! U e9 X
76
+ f2 Z6 H* C7 X g; j* j$ R
77
: O! `8 Z6 C0 K& [) s% F
78
, s7 @5 b% N9 t& ~% y8 }
79
3 _6 ~- j; P9 z+ i W
80
$ R* ^/ [3 M/ |, M; n2 ]- ]/ n
81
4 {% F7 @. Z3 V9 _2 t0 i
82
) u5 m0 S1 H' }5 t y, l
83
1 o6 Y$ Z5 O: P* D8 j
& U" ^2 z; V9 L' W: }; E
2 _- q5 S- x4 z0 R# ]. U8 w
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* n5 z# E' x% H: h# u
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