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标题:
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
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作者:
杨利霞
时间:
2021-12-25 12:02
标题:
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
, Z* q$ B( b5 t& r
一、蒙特卡洛算法
, j& d/ k; y' x
二、数据拟合
$ t0 Y0 c& D) h! ~& Q( ]
三、数据插值
) f+ o/ c4 `2 o) ?$ a: Y$ a
四、图论
0 P# d* W# h9 R2 | L" e
1、最短路问题
' h5 t- x* n# M) \
（1）Dijkstra算法
2 C: L1 r- r/ V2 K/ Y. |. z4 L
（2）Floyd算法
2 J2 Y5 G& b2 O r
4 e5 M2 o' I7 ]3 I. Q/ [
) k% i1 d- }) P: ~" f% V" o
- H$ U/ k0 V! K+ ?4 W
) D; ], w& N& t4 }# d( @! U
一、蒙特卡洛算法
$ J+ { L. y& ?: U9 X, u
1、定义
. V3 @& @( G; ]; q, f" W
6 S' c P; ?) u( j
' v9 L$ G* Y& a7 B
蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
, u1 m6 A9 L4 N3 `6 v( q
5 x, d: ~1 g2 ~2 h) P0 m4 ?# j$ b# k
8 J! }, H% O( c( W
/ K6 b4 O* H! U+ K5 [$ p
" p% n/ F3 n* E8 I
2、适用范围
9 s# j3 Q- B+ H. U7 f) I
: ?% H/ K0 ?/ i& b5 |9 V* |
/ P; G- ~ R/ W' m7 ]
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
) v4 a! l; n/ }% t
8 P) g* L0 u, n$ B* E
, ^% d1 i) {1 d/ \7 Z" N6 v) k
: }5 H+ b' ]. R0 l" l6 @( O
( ?% p$ i, y r, Z
3、特点
: z. f J: D# S# j2 X0 }- m
+ I) f1 i/ g! y3 @2 ?' }8 S
$ |% r5 M' j, n4 N3 F$ `% U* w4 I
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
5 Y! w; c) v2 @2 I; R7 O' V
( t9 z8 i- e: i% R. i4 l g
( m% P2 V% S$ M; Z
' ]1 S% W2 S- }3 U
" g1 Y/ |2 c J6 W5 i1 h! K
4、举例
3 q% g0 D$ W: H6 v
C8 p- j1 v7 g8 c- J- M) U
! A% @2 `* ]. b4 u3 Q. W
y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
' h/ N0 k& @; o' v5 N, x# F
9 D( E. Z# ?( ]1 i- {4 r
1 r' O% X$ H: I8 @) N
. P! l% @ Q. B" r5 b2 S1 N+ k
2 ]8 q. s! L% V7 W
（1）作图
4 s% U: o4 g f4 f
( [* R1 i7 W% u2 h% u9 B4 |
- p* }9 p& X, C. U! b! H/ F, y
Code：
! O+ @& D2 Z; c: g+ ?- d
$ R- D8 S9 J# y# j- C# {( D
. V6 a8 H. C; B
%作图
! m% k8 e5 g r. l/ ~
x = 0:0.25:12;
4 z8 p. [/ `8 l+ r) n* N! t6 U1 h
y1 = x.^2;
; B' }# _. S2 R; ~
y2 = 12 - x;
5 {3 r) B4 J) v' ~3 \
plot(x, y1, x, y2)
2 f- t% M; f8 F' I# }
xlabel('x');ylabel('y');
7 }+ \5 g+ G4 U( G
%产生图例
" j. a* O8 `- q5 _: `
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
3 v+ X c( S* L2 v
title('蒙特卡洛算法');
/ \0 t% U- i+ W5 ?$ D' j
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
8 k- U* B8 s5 w% _% U; w
axis([0 15 0 15]);
# g& C7 I- n2 A7 q# e# |
text(3, 9, '交点');
+ {' b. q# @* J
%加上网格线
4 t* T& w- J9 ^8 I
grid on
9 ~5 z% D* O/ C, h, a/ }1 ^
1
' L& b+ h: Q8 o) `; j' a1 o
2
$ K# c' P3 u# a+ k6 O' k4 ?
3
$ U. P/ _! I1 Z
4
0 w+ [( m" |$ w. x
5
6 D0 Y* E' p% x( }, v" ]
6
& I8 @4 x, | v4 O' w, Q1 W
7
" i- C- ?( O! v8 C( y7 W5 L
8
. `% h( f! {' [. ]3 A0 f
9
" ?/ N) x( w6 u
10
: N5 P. k/ x4 @% ]
11
W9 _3 v2 j& K% H
12
/ b" U) v# U" |2 V
13
$ ?0 P% _( \. x3 R5 y% c" v
14
3 x: t/ m8 }! L& f4 H* @# y
e( `7 ^/ r; D4 U" j y
6 i2 d, n# y9 Y2 v
（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
" n2 `5 _# q* k5 \8 H
: T Z) o" y- C, E
O! H9 S& q7 v! Z9 |
Code：
( z6 n: G9 m( K, ~0 Q
2 u, l, ^, Q" f6 X9 Y7 `
+ O/ j% C9 f8 Z) k: v$ {) A
%蒙特卡洛算法的具体实现
/ ?! K( M) F( B# l
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
% O2 U* l/ [5 d, Q
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
! N% B$ M1 G. i" r
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
$ J/ E7 \+ t. ]' C( j
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
3 q- |5 Q8 h; ^) l; F1 p9 C9 L
area = 12*9*frequency/10^7;
3 L# c9 m2 K% S. B. T
disp(area);
$ Y0 u9 X0 L4 i s1 ~
1
N* \6 `* L$ l, t' g+ r
2
$ S% a# w5 t8 d) M' f& {- Y1 c
3
& r& s# v- c9 E4 _$ \; S
4
0 C- U& d+ B; B- u$ l4 H
5
& _% t) S- _$ R( N% i( r
6
1 P, X! `& F0 b; z3 C+ B
7
3 ]7 j/ F+ v6 |" o' E7 g
所求近似值：
& c I) I. }( {# O1 ]( i) ~- `8 x5 d
( v: j8 M4 i6 B" h: A
8 v6 j' s2 Z+ ?# P
. Z' ?3 k) e% N
- P l% h5 f3 u' ^
( h# @- u5 k5 E6 t5 F4 Z
5 y ?0 z4 Q. ^3 n( ^
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
, t* y1 [9 K) v* L% K& I- T
0 k6 W! d) J0 M3 `
; D# w2 f1 F! M& G& X
" m4 F: v3 t K7 E- B- z
; y5 u% [- \2 d5 ^
1 ]" m6 q. A$ Y4 X3 v
+ b* K. p- p0 d7 [. [1 ^( U
二、数据拟合
4 v. ~# j. |; \8 U' Q7 v& _
1、定义
4 T6 k$ v1 u; c! g+ g
+ J# ^2 G# G+ t, P9 ~- X1 l8 N
6 ?% r6 p( M7 y! B g+ K7 `4 J
已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
% a7 t! X0 E; Y
9 m) E8 C) X6 m7 h7 u0 K
1 g* x6 d6 _! _2 @' t" W
9 s& {4 c0 O p" t
5 W0 V$ E/ Y; h2 h9 d7 K! {
2、常用方法
% a- h' T' m4 U2 l3 a" y' ]7 j$ Y
7 H! C6 D/ O" q) Y$ X
$ X, d' X% q; Z$ j8 ?7 P/ T
一般采用最小二乘法。
1 E; C* U0 J7 D! W/ p
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
, x3 w" I4 C0 M& f* ]
4 U3 }( ]* x# \$ u) {" s
0 D% Q+ y- ]; v% N, O6 F- P# h" I. y
3、举例
1 h7 l7 f2 R. Z7 `
n) L! h4 A, e) M3 A2 F! y( f
6 f* ~! Q, s4 U7 D
(1) 数据如下：
9 q* Z9 ]/ Q" Z2 O$ Z
5 c8 c& V( c( I
: T5 c, J+ r+ b; T
序号 x y z
& M! a! s, J+ K% Z9 E
1 426.6279 0.066 2.897867
6 A+ D' g+ T6 q
2 465.325 0.123 1.621569
3 i) A- [+ K2 u$ J& {& U* d: k9 l
3 504.0792 0.102 2.429227
" x& {) H3 D% o9 k* }
4 419.1864 0.057 3.50554
" x8 o" `1 E& e8 k. C
5 464.2019 0.103 1.153921
! l8 s) Z9 Q2 [; a! q+ z9 R
6 383.0993 0.057 2.297169
3 x3 E& p2 n9 d0 Z
7 416.3144 0.049 3.058917
7 M0 f4 {2 f, H) |! t2 v
8 464.2762 0.088 1.369858
2 }8 X, z F) X" t
9 453.0949 0.09 3.028741
% I$ d+ @: U- `
10 376.9057 0.049 4.047241
& \- G3 d; K4 b8 H
11 409.0494 0.045 4.838143
/ {+ \3 [ i: f* j
12 449.4363 0.079 4.120973
3 y( P- _/ ^% y9 _& m( m! [4 Z
13 372.1432 0.041 3.604795
: \& Y3 B t( h1 F9 ^
14 389.0911 0.085 2.048922
1 a% \" r% y! a( W
15 446.7059 0.057 3.372603
( q) w4 |. K' o5 }# O ]
16 347.5848 0.03 4.643016
2 Q$ \: \. t! v
17 379.3764 0.041 4.74171
6 J4 X Y" j$ n, a7 C0 b
18 453.6719 0.082 1.841441
4 q1 i$ q( Z+ M6 p' U: l1 Z5 T4 J. f- Q7 r
19 388.1694 0.051 2.293532
1 ?3 |7 q" Y8 V7 U R1 H
20 444.9446 0.076 3.541803
' K ~" A0 E3 r/ }8 {, b
21 437.4085 0.056 3.984765
: l2 s4 f* s1 \
22 408.9602 0.078 2.291967
8 Z" N, Y: h' z+ x" ]1 C9 j% K0 R" N
23 393.7606 0.059 2.910391
4 Q- M/ ], v- i4 U- A
24 443.1192 0.063 3.080523
: X1 r7 U$ R7 x' S' @7 x
25 514.1963 0.153 1.314749
8 _' `* a9 A# Q% I% n
26 377.8119 0.041 3.967584
" X4 r- \- [5 I+ U# U
27 421.5248 0.063 3.005718
a; ?5 ^1 z& B
28 421.5248 0.063 3.005718
( Q5 s$ _* ?! g( l+ B! U& J
29 421.5248 0.063 3.005718
$ B x% i% s% Z9 I/ Z: H% x2 h) l n
30 421.5248 0.063 3.005718
) M' U7 ?, T( F! k, U; [! o
31 421.5248 0.063 3.005718
" ~0 u" z: S1 D% N1 Q- t4 t
32 421.5248 0.063 3.005718
" t4 ~/ v8 ^5 b! G3 s' v
33 421.5248 0.063 3.005718
/ x! }% e5 i! [: s. j
34 421.5248 0.063 3.005718
/ f2 U4 b) j4 N
35 421.5248 0.063 3.005718
+ y, `0 e) [, ]% C, X y
36 421.5248 0.063 3.005718
C5 B! ]2 f, Q; s/ K* o: d
37 416.1229 0.111 1.281646
" a0 n4 N- L5 j, ? p2 r% q
38 369.019 0.04 2.861201
3 v& N0 `9 Z; p3 L
39 362.2008 0.036 3.060995
; G y7 R: E* ?6 ?/ }# i2 F7 j
40 417.1425 0.038 3.69532
( `1 a% e+ O% p# n3 N- {
1
6 l! q, w7 O0 x) c
2
" J5 ], e* e# e3 d) F) p8 T
3
3 b5 h4 u1 ]3 u% }# y' R" y
4
. n& V4 F& g) S, [3 `( H% Z
5
3 D% o! H& n* L0 P5 e, U- f6 p$ B! `% @
6
0 [: r. R$ ~ P9 @# a/ W5 x" ^
7
; |5 [& \+ b5 X
8
8 S$ [( @, G" h7 `
9
( |, D$ b1 a8 K V9 D
10
) d8 p4 C ?- k" H% i$ J2 g
11
- X, z/ g) P7 ^2 `* C
12
. g* @% e. v: |" T( p
13
4 K; {2 y2 Q- r C3 J/ y! a- i8 E
14
7 G7 f% U2 V. s% E( \
15
, @8 A; H, x: w
16
+ `8 Y- ~+ v, A0 b/ F) V
17
1 F# F& Y4 M. s2 O0 y5 H
18
1 P' r2 a$ ^4 H/ d" ]0 `4 N
19
$ C. I' r+ ^9 K* G8 Z n5 l) A
20
) U7 L. O( [/ f5 |5 @
21
. Q- H2 e$ a1 h' ~" U6 B
22
+ w% U0 z* j* {, l: ^1 S
23
8 V2 B0 l3 q- l# {; Y( a# A
24
# [ _: I2 \6 E, C/ ]9 F
25
* u q+ i7 t* w9 M P
26
* l) E. I: h+ Q' C8 C
27
* R2 q+ a M4 _! W9 q/ n, C; \
28
7 K: z, }' X1 g9 B2 d, k* ^
29
- ^) E9 f }5 D
30
3 _/ g9 K3 G( t9 G
31
. b H3 E0 f+ y* h* V
32
! E7 Z u( ^' Q8 M, [
33
& o* c, u$ w: i( v" y5 v8 p
34
: g" k- E( c: \
35
' i# Z, r0 [& F3 [; G: W' `
36
9 G7 b$ L, L% t* j
37
8 h z x3 L* _7 m/ @1 Y3 n
38
& j2 y$ o# |: _0 C5 {
39
9 m8 c) }! W: O3 i6 c& p
40
* c( N' P v& A# L) |: `
41
5 B7 m8 o$ y8 Z- n# O5 @
4 v+ H+ w) B, |# M( S* J( D( p
' Q- \( L$ w5 q+ @9 v
(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
0 k4 S. C) S$ B9 T5 H2 e. @
! g, F, p: M/ h( \. X! r, s
! g- N% s+ }9 q9 i0 L# ^
%读取表格
# F- c+ N, j. K4 c2 h
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
& [. o2 j9 e; u8 ?3 U
B = A;
( N+ W- i2 @3 S% C; i5 O1 y. p
[I, J] = size(B);
# B. K1 N& Q: @* B# i L
9 w1 u: r; X4 i" C. @
%数据拟合
$ T, z+ H5 M/ J( _
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
7 R R$ ~$ _2 q M0 V
x = A(1,
;
( r5 T" W3 {8 T& H; g3 K5 F: O8 ?
y = A(2,
;
6 P7 ~& \7 e4 z# g- j5 p2 ]: I
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
% E9 O. A; Z. N/ L8 d" l
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
3 ]" a1 S' D& e* r1 b
%返回值p中包含n+1个多项式系数
. [" K, y# w+ Q- N
p = polyfit(x, y, 2);
+ J! b. q* l9 W
disp(p);
! ?7 U7 I/ _5 |. i
%下面是作图的代码
; n( O) C- \. e6 Z: V$ }2 C) U! W
x1 = 300:10:600;
, v. ]) C. D: L/ N5 r
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
0 j$ d4 q \" {2 P0 J9 S0 T
y1 = polyval(p,x1);
8 s# p5 g9 I; Q* D' R6 f+ Y
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
& D% f/ y" J' C, ?; J; K
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
# J! t" m/ r. g% M* R8 u
%figure(gcf);
' t" t c' q5 E4 ]: N
1
$ ]: g/ L2 c4 p4 v; W( V* r; R
2
' r. h+ Q J r& A8 p
3
/ w2 u( p7 B: d) a/ Y
4
5 N1 z$ B5 z- Z
5
$ ] [. |! R6 {
6
; G% G5 x$ K- m8 v# D {
7
3 ], W% e4 R, b! i, K; N8 d: P
8
8 g" q6 V/ A/ o' O
9
' m+ p7 @0 H7 \/ R5 ?' \
10
8 V0 Y( b$ r C
11
$ v: `- K1 ?( P
12
; k# Z6 e& L2 J1 V
13
5 p! ~! y/ F2 C- q. p/ O
14
6 ]4 M/ [; j+ R
15
; R! h- \ J( K
16
- G" k' m& k' i4 ?
17
; N2 x2 R0 K; C( }8 `7 A3 f8 l, I
18
# T6 ?8 K3 }8 x) p8 a4 b
19
|4 [1 A1 w2 t/ {
20
F) R/ I, A/ q4 h v
21
( m2 W! j! F# [
% R2 l Q& m8 a3 b. s
. @) y4 B# _# y. N3 G: j3 M: Z, x
(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
& \/ ] D: @+ A; [9 m6 r
]; \" X0 n/ G" |
. Z& a' u |* X) j6 L! t
# M3 ~2 W, o c8 N3 U( r
5 x n; }, ]1 _, B7 J- `9 G; R
将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
/ d# y( m# ?5 o) u7 V6 Q. Z% e
" n+ {; J" v+ Q! t3 i4 U
7 H3 w9 \2 ~2 }/ m& X
! K O* a, B, d0 i. A( u
7 r' a% D0 W, N& Y# y
选择x、y变量
2 F% i, r2 u6 o& J5 q, m
6 o' c* w5 r, n! _
8 `4 E$ f# R8 W( ]( N7 w
; _/ I0 b5 ]; }) x* p
* r; Z# _2 W2 S7 V/ n7 R# [2 G8 ]1 u
选择拟合方式和最高项次数
- C _. |5 \+ F) ?/ i
- b9 g+ w4 l% n# [0 X( W1 l) t
, n9 r. Z8 ~4 `" W d" I
3 g3 {+ a5 d5 q1 M
7 v" g( U6 @$ e- F
得到拟合结果
* z4 N3 z/ v: P, q: \$ {$ Y
" u2 l6 s( B" E% g8 R
( [' z5 y7 w. N9 h& Q8 P0 O
! k; K8 O+ F9 C% J
: S% V% s* r, E* O& x" K8 s& p1 P
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
# ]! Q4 U$ H; \6 B$ E" R
* y& r$ h8 w# I# ?
/ ~; r& C! _- w2 Z6 b, T8 c$ M0 ~6 O
4 N3 l( c1 V3 V! L
* f* K* Z7 P; [7 n; x
; E" ~* L6 C* B7 J
2 q2 g5 A) l: ]3 J2 c5 ~
三、数据插值
2 y# G& q" A3 R6 `$ A
1、定义
' t# F( ]7 `7 N; P9 Z3 @. b: x1 R
) G3 x% P5 o* R; v0 f
7 Z8 N+ n- L4 D3 Y- |1 S. }- A
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
' |2 ^& |3 s5 v8 {7 P& {+ a& D+ ?
1 |- `8 K1 b2 U0 w0 K; f1 G( ?
* [# d _) f1 N* o
从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
# w. `( \ Y3 C3 q$ V9 O- n/ o
: {8 Q% A8 P5 Z: T8 g% A
% r7 {+ `- [9 g' F+ s( A
6 x5 i( z+ V; b; j4 x
5 A7 U6 F" k: m0 f% |- U! v
2、作用
/ t' D: Y& C& t6 Y2 V" M5 O
) f1 i. D' |! c" B9 ?2 ^
4 ^3 v4 E8 V+ l) T+ K: Y
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
# R% N* b, M4 b
$ Q- z" N* i8 H; d& R; X, b
+ g9 j2 L. N: P- `, n3 Y; V
: Z1 C3 r( G& U( g ^* K
" X( H: v6 _6 N3 u
3、举例
% G7 |6 i# |( c) m5 V6 T
/ a7 S! p/ n/ c% ^0 _
; t- x4 H2 i: z$ P: h7 l
%years、service和wage是原始数据
; K7 E& p, N( v, o5 Y" o+ B! Z- w
years = 1950:10:1990;
& x! L7 m2 i: |4 h$ n/ G) B: C! L
service = 10:10:30;
* Y/ k/ ?8 }0 |
wage = [ 150.697 199.592 187.625 179.323 195.072; 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505;153.706 426.730 249.633 120.281 598.243];
/ V/ _$ D/ T3 _# D# D) X! ^* d
[X, Y] = meshgrid(years, service);
6 F& Q v: ^5 V* w
% % 三维曲线
: G/ ^8 d# C! O# W/ W
% plot3(X, Y, wage)
* B8 \& }7 V+ m0 T5 y- b8 u* t: u
% 三维曲面
/ E( T) b' A4 U8 E: Y
figure
$ h5 r3 R) }6 m
surf(X, Y, wage)
/ T: r2 S# n/ u& N3 X3 Y( w& n
%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
" k6 u" Q2 F8 {6 q9 y1 f9 D* c/ Q
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
, O" m" l* `2 w# k% }$ k
1
7 i# r7 A$ `6 S
2
9 X9 X) v# \) J; J( A) |; o
3
, O* S! X3 B% s
4
0 ^" q2 j N+ ^6 ^$ K4 B: i
5
* I' d1 b2 F2 Q5 h# r( V3 k0 }
6
1 i* o3 s' z+ [. l# o3 r( g
7
" ~. ?- {& [, F
8
0 ^, R$ |3 t0 G1 S5 s
9
& z' e* j' d& v2 l( N2 }
10
/ I6 v% b* J4 }8 D
11
9 @# M( L1 _( m; w1 J! K8 O8 S
12
! c6 {) L$ l9 o& |
8 Y) S/ o% @2 E% B
$ L8 a9 R& Q A4 R! Q
% t" M4 }) f! |$ J
% S" b. w A4 Z' e: k9 p/ i2 a
可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
; g; [! C. }( u F: M
9 w$ H$ N9 ?' @) U0 Q# L
9 `$ r) Y" Q1 _
p6 X; Z# K+ g* r+ l9 G' V
' [; O$ f0 d7 U9 I
; }0 l @3 [! ~/ [$ a- W0 U
4 W: W( A$ i8 Q! y
四、图论
* h* o# _! h0 m$ i% D2 A/ D+ F
1、最短路问题
# f' E3 {( \- A# P3 a" J/ e" j
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
; J$ @) m" {- v
) H9 _+ h O1 Q$ C* F
* o1 M7 q# F& A* B
例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
3 q. I* ^' W1 h2 W! n
9 C* \9 P$ |7 X2 S! `& F1 M) k; F' U
( Y( B$ W3 U# k
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
3 Z1 q3 _. m3 |# _
3 A: k1 U' g, m, d
8 P# m6 I$ H3 B( {2 y1 F7 h6 n
% D& d( M! J) Z* }# f9 ^
6 M7 H! l' J$ h4 q$ [7 A1 I5 \" }
（1）Dijkstra算法
& z2 |, [7 z, M9 f4 S
先给出一个无向图
9 S+ Q5 r3 s; t; K4 j
2 Q/ J4 F: e0 w: a8 x4 \* V
1 S. I9 l/ ^/ [5 N! x, ?
& }5 p' C9 d) {
! o/ W8 P& Z) i! ~0 i3 ]' L
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
8 z+ y; {( X! h7 D/ l: C0 ?
1 Q" A# a) x! Y4 Z- H' W
* l, |7 f2 t$ D5 _/ x9 N
1 I% }& d' V8 @3 g
+ } B& B7 p! i3 Q, q$ i
, }0 V* A8 g& J9 c8 x0 ?, |# W
+ ~8 l+ d$ q* ^& ^
代码模板：
0 g) T# W9 b& m2 u/ w; f7 B1 F
/ z3 X( i$ {& y: d! l
; j" p( f6 Q& T0 c* D9 d
#include<iostream>
2 `" g6 o! Z6 r$ S
#include<cstdio>
# B4 W6 D5 b ]" N
#include<cstdlib>
9 h' _6 L) O7 n! f
#include<cmath>
. P% Q& w: K4 K, G$ h3 `! C
#include<cstring>
- X$ G" m; h+ N- A7 n
#include<algorithm>
/ \! u, [; S) D6 v
#include<vector>
9 l8 E+ X4 o# n" a0 i+ `3 k
#include<fstream>
8 c0 s7 `& ^: ~
using namespace std;
! ?# w. s0 ]. z
: h0 L* K" q: |0 s: S t4 i
const int maxnum = 100;
& c1 ? Q" A, e' Y( k
const int maxint = 2147483647;
$ Z; ^4 V% T/ i' v! s( ]4 W
int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度
' d$ Z4 o1 v3 E" V
int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点
7 p8 B6 H; k- C8 w
int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度
2 Q, E+ n0 O. Z# H3 b5 a
int n, line; // n表示图的结点数，line表示路径个数
' C# |' v6 ^. l5 D" {3 V' `, K. M
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
% P4 ^' X% k' |0 ^& @, m
{
1 _4 x1 _; M, z y9 a! j
bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中
! N' ~2 K' Y7 @$ Y
for(int i=1; i<=n; ++i)
+ V: h9 _2 O7 ]! G' j! P# k, o
{
+ A- T. k3 n$ c) A# @
dist
= c[v]
;
. F. ] O: p" T" N: |1 v" U7 e
s
= 0; // 初始都未用过该点
( b9 q' |+ f1 W( \0 d+ X
if(dist
== maxint)
- t% u) n4 ?! o. n( Z7 O' u
prev
= 0;
7 |' E+ y, S- S- P5 j
else
6 k: |6 r, y+ Z3 i0 H4 |, V* v
prev
= v;
" R" {- ]' b- l& r! P8 s; s
}
7 ]0 [* O: ]- k p k& A% p3 C4 t
dist[v] = 0;
6 Q( w/ e- q0 Y2 ~- e4 ^" l
s[v] = 1;
+ P, ]# @: g3 z( m4 d
4 o# H2 Y9 i* |3 v/ R
// 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
6 o, ` z% F7 T' n6 K
// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
- F8 \7 J X8 x C/ g8 O+ n
for(int i=2; i<=n; ++i)
) Y. n$ z# R: I
{
5 S0 I( B, Q R1 C& n
int tmp = maxint;
, _+ o; c7 k+ F- s& N# e4 W5 W# A
int u = v;
5 @$ C* r9 B0 U' p" j# P+ H
// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
9 F" L" h4 m" G7 B. l$ _3 i0 z( p9 a0 [
for(int j=1; j<=n; ++j)
$ v" ~! u0 a, I( \) w" j
if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
+ F* { ~( b$ ^( ]" a1 y) _9 w
{
' s4 b: h6 J$ w; S. F# f& _9 @
u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
7 g/ u2 F( b7 I0 A" ^5 h9 |
tmp = dist[j];
7 o5 L6 { x( S& g8 M1 y2 ~% Y
}
, ^* q( D! j, O0 F* T* {
s
= 1; // 表示u点已存入S集合中
3 {6 C' [/ e0 l K# M
. z3 l) S0 X1 Z5 Y" C
// 更新dist
9 r$ f! I3 ]$ a6 ~$ V6 i2 B2 K0 F% y
for(int j=1; j<=n; ++j)
7 _9 _3 [) x+ L0 c# ?
if((!s[j]) && c
[j]<maxint)
) C0 U; N: B' X& R8 {. H1 g% R
{
, d# }! `) t' M
int newdist = dist
+ c
[j];
+ Y' f2 r4 G6 \* v
if(newdist < dist[j])
% y$ M# i6 |, h
{
' G" N8 n% ~# j# _, U k- k
dist[j] = newdist;
* n- v% ~( t# O; C$ J( Z# S6 Y' @& |" |
prev[j] = u;
8 B% }" U. L0 u; f6 @" H
}
. ^$ l, Y1 I, L7 X( R |
}
4 |& Q3 o+ O4 A4 Z) {% c9 G
}
. C$ x; V% L1 E3 @8 h( k& H1 w
}
3 F+ p. f1 m/ K) h' D
void searchPath(int *prev,int v, int u)
8 i8 }( g v5 n3 u! L( b0 K
{
" y) f9 x& p& h) M' N# f1 x
int que[maxnum];
3 a7 h/ ?. ^( `
int tot = 1;
8 V( E( J- b( n: t7 f6 w9 H! K
que[tot] = u;
' S K5 o3 a6 \
tot++;
( d3 X1 g" A7 Q0 \ b8 g- Q
int tmp = prev
;
/ s' x/ \* E) |# }8 P: |
while(tmp != v)
0 q& ?: ^$ ]- l' u# o7 h
{
5 ~. @! a% O6 L1 w7 k2 r3 x( D
que[tot] = tmp;
' Q7 D2 K0 X5 e$ U' C2 X5 V
tot++;
a- z# u+ H' L3 x0 `2 B
tmp = prev[tmp];
: L6 F# k8 B3 Z& A4 u
}
- S j9 ?! X+ V8 o H% t
que[tot] = v;
$ w3 a0 n$ M& d
for(int i=tot; i>=1; --i)
+ e* w; m# }/ Z' T
if(i != 1)
" }# h8 \; K1 X) p0 n3 c
cout << que
<< " -> ";
& t5 K' e" U! P# k: J2 ~
else
) e0 J& C) Q3 A6 O+ {' H3 S
cout << que
<< endl;
9 I% S# K8 a' |' i. p
}
* @5 Q8 D$ w; U1 @4 F
$ W7 U6 j \1 a- Q- G& K8 k
int main()
; V4 p/ r" z6 R. [4 H0 w
{
2 j7 `2 A% g( T, M6 H' y2 T
//freopen("input.txt", "r", stdin);
0 g% v- S) x! p$ J: `! a
// 各数组都从下标1开始
. S6 E* L+ ?8 y* u6 T
// 输入结点数
) v( V; g/ y$ L5 s
cin >> n;
2 _3 {: d+ @7 W) D3 e# z5 J" _ ~
// 输入路径数
$ S, A1 O1 e) N4 K( d
cin >> line;
% O3 _) T6 r, `8 A) a p
int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度
1 B7 b, F7 b7 E3 l: J# e7 n4 b
// 初始化c[][]为maxint
/ |4 c4 e( S& }9 d" N) s p
for(int i=1; i<=n; ++i)
- V% s( G2 n4 R% r
for(int j=1; j<=n; ++j)
4 A/ h8 H/ M6 }1 P! c
c
[j] = maxint;
/ D" `, n. h3 I; k
for(int i=1; i<=line; ++i)
" _+ g9 d& O; i5 F
{
4 ^% m( U; w1 K% p" F
cin >> p >> q >> len;
1 n6 _9 J- K+ n0 B& K- T+ ^( a+ b
if(len < c[p][q]) // 有重边
) m7 n* s" C' n5 g8 t' B
{
) c, F+ S- A$ x1 R
c[p][q] = len; // p指向q
4 N# Y3 W$ F& V: G- S1 @
c[q][p] = len; // q指向p，这样表示无向图
$ `# n2 S9 g& y- [/ I7 ~3 p; r
}
2 y0 x3 G% p E- z
}
. d1 s+ L- F# O
for(int i=1; i<=n; ++i)
g( k; z) c" q1 Z4 G2 f$ e
dist
= maxint;
: ~" v% e, {! W1 ?
for(int i=1; i<=n; ++i)
; k. _% i2 ^2 d. {5 j$ z0 ]
{
% W0 N& c8 [9 G: R0 f" J4 e
for(int j=1; j<=n; ++j)
A/ s% u/ d% }! x- x( Q1 e
printf("%-16d", c
[j]);
6 C8 K( J+ e4 l( l
printf("\n");
- L& e2 \; p o# K0 T" `$ ~& }
}
' @. q2 x( o9 J5 S% ^
Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法
ijkstra(n, x, dist, prev, c); 其中x=1,2,3,4,...,n
! j' {5 o1 v+ x
9 l7 c, N, ^% N+ Y5 N* K. |. N
// for(int i=1; i<=n; ++i) //dist存储了源点到其他点的距离情况
1 ]: u; }; P$ d* C' W& N% @: K
// {
2 ?8 v9 {6 b# z3 [# ?+ [
// printf("%-16d", dist
);
5 ?, z x( I4 e! N( r# I x
// }
3 C3 j* `+ m% r C2 X
printf("\n");
/ K2 l. g* I6 D2 |
// 最短路径长度
7 S4 l H/ s# N% V7 R: z' w5 b6 S& \
cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;
4 U6 F0 Z! K. u1 o
// 路径
; _% N+ Q1 S- G5 A3 a1 L: P
cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
% c9 k; ~. P9 X6 a7 B/ t
searchPath(prev, 1, n);
/ F: f5 M' \: z6 F! M: I( }8 x
return 0;
( t5 W* o# {) K* r; c
}
1 F! f b4 n4 |& ]9 w; u, m
! k! p' X$ _: c' b: f1 D
* s+ s5 n+ I, I6 ^4 Q( h
/*
5 e+ Q1 o- M9 z& m* x) y0 j
输入数据:
2 L5 U5 }# W- O& ^0 K7 O) W5 j
5
# P$ ]8 _* [3 E' ]/ ~) v
7
N+ Q& y- B1 d$ h! h) t1 W/ i
1 2 10
+ } i- m/ O3 v5 l
1 4 30
5 H% w' G7 ^- {. [
1 5 100
) G# I( y ]) \ C; Y5 f! G
2 3 50
7 n6 G& k) u: z; w
3 5 10
/ l: Y6 W. T5 v! x- B/ o6 L/ D5 g
4 3 20
' [( d" x$ v: J4 ]4 m) G
4 5 60
& s, M* p8 V% ]! U* w) q- k
输出数据:
* M2 x) G B7 d3 K
999999 10 999999 30 100
1 o7 O o, W* V4 d, @0 m% _" H
10 999999 50 999999 999999
) s( [3 M6 \& o" `4 Z+ X
999999 50 999999 20 10
$ \6 \6 Q/ p+ ?. m# A
30 999999 20 999999 60
! C( K. p7 r# v+ y
100 999999 10 60 999999
6 D$ V( r0 _$ v
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
4 i' H0 F4 J0 J# E
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
4 f2 r* u& T1 J6 y* ?
*/
2 P( Y, m8 t! r; o: g4 m/ F& ~
1
9 p0 P& |+ }0 m6 J
2
* ~2 B6 U6 n+ n3 l H$ j
3
6 y! v( T$ D+ i2 W
4
7 U9 j0 y* }$ Z4 a9 i
5
}' F) V" b4 m$ K3 r* c
6
9 H- o. C2 ]) T7 `* V a
7
5 M* a( }& o1 L) k' ]7 P
8
4 ^. C/ a5 ?7 p h
9
. ~" G: j, |8 F- i
10
( M- @. {* t3 x9 R( O# t
11
! W1 Z) `4 I) R3 U# j4 `
12
0 W6 P! s7 A$ N, S, I# E g4 ~% z
13
* v" C3 K5 O4 m1 a+ I9 n) H
14
6 _5 X. ]! U& U8 t/ |, l: r
15
, z* h1 H" l( [, g g; w) V
16
4 H g) J2 T8 H
17
) E4 ^1 n. {# }( b" }7 j- R
18
b/ q- u$ [, b
19
. ]4 x3 G2 S6 i* t
20
8 P0 J% p" C; g; r. s$ {) s- Z
21
! T' E9 V- k: k! `5 f- n
22
. I8 P7 [. j8 N
23
, |% x: x% }# Y, c
24
6 R* W! q e2 C) b! w7 D0 [
25
2 v" c5 \8 |6 K
26
! u! D6 e" x4 S6 _" B( D
27
0 B# ~/ ^1 `: G$ u) k J. \ H
28
7 ]6 _! E) \, q4 O8 b" ]
29
3 h* o# D4 j/ D8 I
30
# f2 j/ p) r# Y$ z8 X9 J/ \
31
' Q+ B4 R* V2 X. ~; F, c% X0 k* O
32
( s# p9 m( O+ Q7 \. F( D$ q
33
0 P' r2 P, e' P% s4 a+ w
34
% q- w8 \5 W, c0 Z4 B' [
35
! c3 H. X* l* I" C6 ~4 _
36
- `& T3 y/ m- b
37
" M* A4 c. b, k# m4 Z0 `# [. j
38
+ ?( j8 P2 R, [3 [. \7 q" {: z
39
) ?8 c8 s/ M6 X. m+ t7 J ~) v
40
. M y6 \% u o0 R( X7 Q* z
41
1 N# v) h# v, c( b$ ~. L
42
! e' ^$ ^3 V$ {$ R( m6 ?/ H0 H( U" h8 i
43
& E7 m; ?/ @! i
44
, h+ B2 l! g$ @. n9 ^ \
45
- G/ j0 a6 z3 e1 b& d: U
46
8 u; u* z& O s
47
! f3 t9 P" D6 }5 L
48
' w- N7 ~$ o' W9 b( Q3 H+ T* l1 C
49
6 j8 I. j7 w! }" l
50
s a4 \: j1 q% G2 ^0 G7 P2 u
51
1 M6 v3 K. C, `
52
* V2 B/ t& h3 O
53
* ?% C: _, ?' O$ P
54
^8 M. n$ P9 X% f% j; ~
55
* f+ A4 E0 T% _: ~
56
9 t+ m2 w% h. M6 u
57
; |- Q# Y& L+ p" o5 L# h1 B5 d' x, i, N
58
7 I) U9 M9 Z8 Z7 |% Q3 E
59
0 Y1 Y8 f: ?2 m5 K- y; _' y" `
60
" D8 x* e Y+ o% X, ]0 @# k
61
, B! ~/ t1 L9 s. A& j4 b v- `
62
+ C5 e- D- Z& K( F! y% Z I
63
. `; Z* `- [2 G7 A
64
h. p8 Y u' G5 H
65
0 v. _2 a, ^# \: X. D/ d5 }
66
3 m5 c9 ~0 |+ ^8 M
67
. Q: v9 [3 w8 P# o
68
3 u; k! f! A/ J7 Y
69
& W5 w2 T3 z6 N o& g% N- a
70
: I" l$ D, s6 X6 y2 c& \
71
* z# @7 b: D/ w8 b
72
. G8 i7 Y* t- B) K7 {
73
8 C K- ~7 d; A
74
$ y' g/ K( k5 J. G2 C
75
7 w( R. G; J* N2 F" i( V
76
0 r1 W) N R' J, d
77
3 @7 C( R* a& i- N$ Y
78
2 J: k8 r# k& L% U2 y3 r0 p4 v
79
$ b% B' e& ]1 N: I, H9 g5 X) Z
80
7 @; [6 W! M& T4 {: I8 |
81
& N4 n$ O9 u* F* Z# p
82
2 d4 p% b' Y; n2 h4 t# f
83
. }- h1 ?- W. [6 n
84
$ q! f' y U x1 C6 B2 V' L& V
85
* A! G+ {& |/ U% o: b
86
, t+ H5 h; x" @( c- w: S1 z
87
d8 C) B' m! f. B
88
7 r! N, Z4 {9 `% f- }0 J
89
2 ?! z7 |( E* v! ?
90
, g n k; U% h9 W* \1 h5 ~4 \3 C
91
q. a' {# Z* _% C
92
( z m- X% { F, S% f1 f
93
; g7 F# G7 U0 X" K& N
94
9 l: B" z0 d9 N1 [! V0 G
95
2 j) `! x3 [% e# V2 R
96
d3 P9 j7 [0 [ r
97
- \* n* M, i/ V$ e/ u
98
, o. J4 j; g: `% y: S
99
$ @1 |1 f$ i4 @
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$ a0 v, x/ E5 X( V& `: C% v
101
5 @: a1 B4 M) f/ u+ P
102
# Q7 S5 R! @( j& T1 T
103
Z, ?/ W" q" H! e7 T7 \
104
% e5 R5 y7 R8 |' B
105
9 F9 j1 T( r" J W% O" Z. L
106
. Z+ K) ?( X w; k
107
& G4 ]- }; ^2 s B6 p- i3 h
108
( H( K/ S* F' Y' \' m% H
109
, M( K, `- F" n
110
& W1 X/ s2 \0 r/ U9 Z1 n
111
1 U) V+ s( N n
112
& r; `! l* M7 e! b" k: D( A
113
" G/ j$ y4 {2 C/ v- i. e
114
0 x% x% i8 {* |. c+ ]6 v# S
115
- ^3 Q' v% X: a g( z% M& `; _
116
& p% |6 F: K4 E5 s- ]* n* j3 o
117
# ^0 E, X% W% O' }" e+ M u
118
% k" X8 h- o1 o. Q: J* p
119
' O% L; k! C' K, G$ J- u' [
120
9 [5 M; C' G- C, m
121
) U8 \% Z/ M+ B1 d+ m- Y
122
/ [# b4 @/ c3 s0 n
123
7 j' }: u9 O$ y4 k2 f4 ~* Y$ Y
124
! y8 i+ h, ~" v9 l% T1 d! @8 b
125
7 \+ L( _7 z5 A5 x2 W2 \1 O
126
; ^: ?0 F6 ]8 T3 `
127
; L L+ q: s9 _+ F/ Q" @
128
8 o7 M( V( h9 f, I
129
/ C, R" ^( |* j' B5 b% K' i
130
" f+ Y* H2 ]; G: d$ n
131
( j6 f6 n" P, J" ]9 n" c2 X! O
132
1 a& r5 l5 ]+ _3 }6 v
133
; ^) \6 E6 T, t0 u9 x2 N
134
9 M/ Y! d4 l3 T" p1 P: {
135
1 n! {$ p& N* o: t
136
; g0 N1 w+ N# _
137
# \; X2 M# P+ V( Z
138
( c0 ?, Z0 R% _; K" J; x( G1 r
139
5 x) Y4 t4 E/ E/ z
140
2 U0 z* z( B# K$ J: e5 y
141
2 Q( B) g1 o1 c& O: a8 S( k3 H* z
142
! L( l7 ~( W% ?
143
/ v% H! s3 g% U
144
/ F5 a7 t$ f$ Y: v( M
145
3 s* I% v V$ {+ @8 b5 j
146
/ h `& N& S% N
4 |, d) O3 u* D
9 Y4 f7 a! e" @+ E
（2）Floyd算法
: p% o: s' @5 j- i
#include<iostream>
* q' W) x5 {, Z. p
#include<cstdio>
3 O. d0 S! c( Y
#include<cstdlib>
( Q4 [ I7 l# L) v2 Z* r) N! z6 @
#include<cmath>
, D, s( f6 R- e* |3 ^, ]
#include<cstring>
; d" i# ~4 q- h. \
#include<algorithm>
6 X# }3 F6 x4 n1 q4 C6 R3 a1 p( J
#include<vector>
( x: B/ A7 L9 a: Z/ o
#include<fstream>
0 u. I# f/ N5 b6 J3 E( d2 f
using namespace std;
- E6 a0 l6 n. D. i* X
; ~' c8 n$ z5 F1 B& [* t, \3 q
//设点与点之间的距离均为double型
6 Z, _9 Q- R' A
double INFTY=2147483647;
3 O" i3 y! M9 S" J) X% C7 Q1 x
const int MAX=1000;
3 W! K6 ?1 k1 D* P
double dis[MAX][MAX];
8 [0 a) W7 @5 @6 Q
double a[MAX][MAX];
: Q# N- {( L0 G+ b+ D
int path[MAX][MAX];
. d0 d/ _+ K/ O* G0 z! G+ |
int n,m; //结点个数
4 ]& ^3 w2 i5 P0 y1 @) \
( R( d1 r- {: }2 }' r$ H
void Floyd()
. R, @+ ?' J9 Y4 W8 I
{
% g; H8 y7 z. Y2 Z# u
int i,j,k;
( A6 ?1 G. `8 A) ]9 B, f+ K+ v$ H
for(i=1;i<=n;i++)
) P2 v4 ] B& O# a. U) M2 d: ~
{
& W. T3 [( G# w; L+ L
for(j=1;j<=n;j++)
1 D8 n! `& ]+ G* G! F
{
) V/ X, Z7 z* m( ?/ C" O4 M
dis
[j]=a
[j];
7 c5 R+ Q0 J0 }0 k+ p
if(i!=j&&a
[j]<INFTY)
; n+ b! ?: n) i/ E* Z% ?; w5 d
{
* |8 r' s* Y+ W; O" C+ u: |
path
[j]=i;
- D5 z1 I0 W4 D+ e" P+ C
}
5 r- a' w5 @% g; f& Q) i' \
else
6 ~$ v9 V8 v1 K+ J' O
path
[j]=-1;
2 }. p+ @; t2 o. Q# x
}
5 X0 [3 G8 L; u" K. J3 ^; }% V" N2 F
}
9 x) w0 g2 V( M' `& V2 N8 i
" R; u' r( I: v
for(k=1;k<=n;k++)
5 ?* S2 r' n+ P: ^
{
% g$ @1 j2 Z+ K' }, T& \
for(i=1;i<=n;i++)
3 e8 X9 v! ?* u5 N8 ?- w: \, {" ^ @
{
8 }4 i! F2 O2 H: [& c
for(j=1;j<=n;j++)
- Q( g, Y4 u! J& y& N$ E" X0 D) r
{
! r9 w& f( a u2 P7 i
if(dis
[k]+dis[k][j]<dis
[j])
& ]4 b6 q$ D0 d. b4 B0 @! r- f) ^
{
# y$ I& H1 ^4 F2 F- r& `
dis
[j]=dis
[k]+dis[k][j];
7 j5 Z8 h0 O0 t6 _. P* F
path
[j]=path[k][j];
. K; W; d/ H: V, t4 Q0 S- G, ]% Z
}
" o/ [+ ~6 s6 G+ z. o: Q! ~7 d& c
}
% I! q4 J7 n! f$ \& x( C' D) Y
}
6 h' U5 l2 D2 T# p3 s
}
. U# q. F- E: S1 l7 T( I
}
C0 j1 [% H/ R/ X0 ~$ `
6 x$ \) j2 D) S1 x8 y
int main()
8 D- x% a2 Y6 w9 J
{
8 S: f) K1 ], l0 V+ N
//freopen("datain.txt","r",stdin);
" p& u* x9 N' ?+ N. ]
int beg,enda;
+ k6 j$ G. x% B: b
double dist;
; Q# }& n- q# K9 z3 v* A8 U
scanf("%d%d",&n,&m);
" R$ g7 M( k- s3 Y: e( k
for(int i=1;i<=n;i++)
5 S; \8 M# ?) B+ u" S' f
{
8 y4 l5 A5 q6 Z" u3 }$ u
for(int j=1;j<=n;j++)
1 v+ g3 ^/ o1 x3 M' a7 m1 R9 b
{
1 r% p3 W! W" b
if(i==j)
$ R3 ~$ j- s0 g6 E# L9 V, {
a
[j]=0;
. |3 f9 Z& M, O0 g1 Y% s. \+ y8 H
else
& L6 _0 H3 g! y C- z7 w
a
[j]=INFTY;
* A0 U: E) c8 T# K% v; E1 a7 a
}
, ^+ j% g# T v$ x4 H
}
! n4 z# _* ^8 }( r3 J7 W- ^/ U
for(int i=1;i<=m;i++)
; D4 u0 @9 Y9 h
{
- D+ d# ?5 _) r! ~* o' R
scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);
- V% Q" d8 B% J, \
a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;
; e. @/ ?- z% u& E3 t3 l
}
6 x& n# A6 s! m: y' [" @9 O) P4 h
Floyd();
4 c/ P( q( Q" H2 h
for(int i=1;i<=n;i++)
( L& I$ F+ n' z2 M1 p9 P3 _, I
{
. f: G# x( ]1 Z& U/ _
for(int j=1;j<=n;j++)
3 b3 k; s3 u9 S/ ]2 v& k
{
: C% }+ `0 T7 y
printf("%-12lf",dis
[j]);
9 {5 z( V* Z0 \% }$ V
}
# A. c4 j# w" p& y
printf("\n");
7 P9 ^/ O7 Q3 T! L' `
}
6 D! q" A5 P8 D: t
return 0;
' K% H% k! G; W9 M# p0 z
}
5 f6 f2 O& W L2 j" [4 Z
1
" n/ _5 ]$ R, W/ ^. q7 f
2
, f# l3 |+ ]* M- b& z* \
3
$ |: E+ B, h3 I) P
4
7 W* T& T* e2 J1 T
5
% C6 y. {8 D$ U
6
) H7 I1 [$ K! U, K, J9 n( K
7
! v) C! Y; T& W+ v; g* @/ r
8
/ h( r2 w4 B) g( E$ P1 I
9
" ~" x9 G! h) L1 C/ R4 p" G
10
- k% b/ h7 q0 j. V: Y
11
# K) ?; j t# P$ E1 s7 U
12
/ C9 h* r7 {) V3 `: h
13
: P9 e/ i x: I" G1 Y
14
$ K; k* L3 ?) n) u, E, z
15
9 n9 S. @% {$ j5 O0 \. x4 B( F
16
p% M0 \6 f$ [/ u g0 q3 R' _
17
" M, H4 o# t) ^ G8 [! P
18
5 m* x6 n q0 R
19
- t1 ?8 v) C+ k: O7 [
20
/ c- c5 r c, G
21
" a" j, @0 I Y! F
22
" s. _- a6 u9 f7 f- A
23
# i8 ]" ]; d& ~$ L! B7 o6 N+ W/ `/ |
24
; G+ z7 c& `4 C( b, w; E/ W/ Y
25
: D) Q* I U3 Q- B$ K
26
" g& | `/ b' A; V- O
27
& h# r8 d) r0 ^
28
M) w9 Y: b, w7 P- U& ~
29
* N( U: ?" W; B' `! l, b
30
; t5 ~ r* M& e/ J
31
0 I2 t* G, @$ }( k7 }
32
) X+ [; n3 [( i+ X+ f( H' M+ P
33
3 p3 U8 Q8 P) B
34
1 T& ~: \- g" a) s0 i, q: |
35
' B& q2 n1 L w" u n {3 l2 n
36
2 T3 ?: L- c$ e7 L$ l: Y; f% b
37
2 a+ S( l2 B2 F& ]3 a
38
7 Z8 {* k. t& X: I3 B! Q
39
, U$ i: l/ d) t. Y8 E& k' ^5 J
40
* U4 f! F J- g
41
. z2 `4 a' r6 W* |& B
42
( u! D+ M0 _8 A
43
/ f G* U& V( h( a6 M" y
44
' ]& z% W! s6 j+ o0 ~, G
45
- w/ }8 E5 f1 J, \( F
46
& n+ u4 S: g0 B
47
% _3 m" ^; {, ~( j3 O. I
48
4 t+ D7 S9 F8 U2 ~* |
49
. q. k+ F m! T+ ~
50
8 N+ c8 J% H. m5 X0 c: p
51
' n) u5 }4 O% S" Y5 X8 U/ @4 |
52
V/ @6 U, r( D+ W2 s# m
53
8 q1 C4 [) F4 J% x* ?% |+ d
54
3 o b0 _' G5 c7 _" M: g( h
55
+ H2 t% g% d; @1 u3 w9 S4 b8 G
56
* P7 W4 e& r$ h5 }
57
+ S j3 _7 m1 O+ {- ~+ @
58
: U& o, a: ~! w }) _5 l3 m7 o
59
6 _# v5 i5 G8 ^- @
60
+ C6 _ m7 M* P, g# d
61
" [! p- }! l% Q& K- i8 i" t) H/ D
62
" _* ? o- E5 |8 Q+ z8 T1 K$ p% i
63
+ M% ~, R4 f1 s* m* k5 f# x2 ~; D y
64
0 z& S$ E/ w( n; B4 @' X
65
) B6 Q% s( K2 z& W6 }
66
6 a; b! X+ J4 V" S/ ~
67
6 G% G2 E, a2 P1 b6 }
68
. x' N6 m! z' d8 y$ p, P
69
1 r# j- G! c( `, L) O& I
70
( t4 y( c- I) u% S+ Q4 a( r
71
$ I7 f$ i- Z2 I8 h; V
72
# V, D% P7 B/ Q
73
% d- p/ Z/ U$ q- D0 [
74
9 @! w, [% |: M6 Q! Q
75
7 I; @" B, ^+ m: g3 ?2 a
76
4 E2 B) A/ q; i8 ?; k5 c$ I9 h
77
0 r/ ~ Y7 x# N; G3 b" k3 P2 V
78
/ y; F8 E( U2 ^7 O
79
+ q* t% [2 w! W I8 u( u+ u
80
8 r& y# i5 d" E: P5 T B$ L9 _5 S0 l; s
81
; l$ s3 Z* X, X9 j
82
: R7 H$ ~" {8 _
83
3 K$ c; H) I7 G8 q$ q4 q3 b6 ]
! R o+ m# S9 d
+ j( @) s& y w
————————————————
( J) G6 y; X8 ~& U/ A/ Q
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