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标题: 【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总 [打印本页]

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作者: 杨利霞    时间: 2021-12-25 12:02
标题: 【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
一、蒙特卡洛算法
  P# \, ^3 q# T6 [二、数据拟合
+ H. G  a' o2 n$ F& c" D7 B' B三、数据插值
0 |3 u, f- f" X2 X" k7 ]四、图论
# m3 n& G7 k4 l8 a, ]; c& N5 m1、最短路问题
（1）Dijkstra算法
6 M( E- h! b5 n2 v% c* k（2）Floyd算法

8 {+ E( T  M" {7 K* o/ H
# W+ S6 b+ u! D' L. T' [) P

" R2 Y0 Q" g. L: p. C6 b* j4 B0 x一、蒙特卡洛算法
& E  i. e/ G# Z, T* e% z1、定义
2 K+ U) |" X5 @- }
1 z# R4 i  i! E+ m' y0 A/ T# h
蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
1 p+ a' X2 O0 H8 G+ \
' `: X$ E8 p; l) M


2、适用范围


可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。


; G- Q' r$ c4 p' z: l
$ T7 B  Q7 o9 V
3、特点
' e) ~$ o. q5 w" L& V. c6 Y
+ G" y) Q; m6 `
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
1 V" F1 l- T; b2 Z, v

3 g3 a' d4 L4 C) ~. k
! t: X7 d' s" ^+ O- m
4、举例

0 K5 G5 N5 A5 P! x
1 @- {$ C; x( |  {. b% e$ _. Fy = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
' `% y5 f/ p  I- ?% y% \


, \) d$ I. Y% K( O3 W; d
（1）作图
5 A, K# y: E$ F  J' R1 c
2 W/ ~* j; {, ~# t# Q0 p& z1 H  u
Code：

* E/ m/ D- _4 d
%作图
" x- r6 b) q" r9 A& W" C# G7 V; dx = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
xlabel('x');ylabel('y');
%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
: N- s" E+ Q3 s0 _/ x1 Ttitle('蒙特卡洛算法');
) f7 Z* z/ n, ~2 j' a) O! b%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
& E- s8 m! T9 t# X%加上网格线
) c* r/ y' h7 {) ]; j* agrid on
3 p5 v! E* j* J- [/ w- h1
( N) Q! _+ W8 q& j2
# ~9 h, w9 G; f1 h/ O# H! p2 L/ C6 i3
4
5
+ z- u2 R& \% P5 o6
7
7 C! R! B( V  F0 E5 P- d8
9
2 P, b# n2 o1 t$ l- A0 B5 j10
11
12
13
2 P9 Y2 L4 o! Q' J14

  ^* A, x; L$ W
! X3 W; [! i/ b5 z( }, ~（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。


Code：

& T2 O( R: a# |
0 ^1 W5 }1 N% n' B/ O%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
1 T: T+ f0 l+ V" J7 e9 W0 u' Tx = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
9 e+ I6 j- w4 l2 R+ G9 ^area = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
5 l6 J; L. c6 H( R1
2
# x+ d0 V& {& q$ z' q3
' J" Z- [* O9 ?4
5
% f; S+ }( m! D, a4 U7 u6
, Q# N2 b/ o! z7 }) P) Q7
- P' K& n" B' u" W% G! V所求近似值：
$ Q, `: j5 F) a5 B$ S, r" [
. ~+ n) Z. P0 S( W- a1 [7 |& r


; P+ m9 ~, `1 ?  x2 d1 }  p
0 b; R6 e9 x; I& z0 m: c
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898






二、数据拟合
1、定义
2 Q/ q8 b+ W2 a3 O  S# `
/ ^( [% U2 F7 p# A2 F
% t. b8 A0 V! s0 H( J1 R已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
- R" H0 Y7 S2 i5 Y1 e2 y/ s
' z; F  V$ q  Y. ], i5 {$ l3 p" E


2、常用方法
! g; V( }) S& p# B! y
0 H! V/ E* a1 K; [) n0 v6 X5 F
一般采用最小二乘法。
$ \5 A6 A* ]! C, P6 C- u/ i; q" E拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。

  N* F: n/ e0 S
3、举例


(1) 数据如下：
! ]+ ~6 k; M3 t# J& W- k+ d

+ n) K" u5 U4 W' N3 e) A   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
$ C! R3 _7 C" j5 P7 K% F. t        2        465.325            0.123   1.621569
* {. K+ D9 A6 [' O        3        504.0792        0.102        2.429227
/ v' C% H# x! Y) ?        4        419.1864        0.057        3.50554
, _( M, {; o& X! M5 u        5        464.2019        0.103        1.153921
% J) N' k/ Z. w; w        6        383.0993        0.057        2.297169
' U8 M5 d% [4 s  M$ a        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
0 X: `2 e5 S0 T3 c        12        449.4363        0.079        4.120973
        13        372.1432        0.041        3.604795
. J9 S( L" B& y4 h; j+ N        14        389.0911        0.085        2.048922
        15        446.7059        0.057        3.372603
0 q) q2 X& ~, p  m2 H$ [6 |$ J& w$ ]        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
6 y" c8 |2 D) c+ K0 c        18        453.6719        0.082        1.841441
( g" U4 Y* _5 \" d7 W1 G        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
1 |4 S" `. e: ]5 Y        21        437.4085        0.056        3.984765
" P+ \0 A  g# f$ E; _        22        408.9602        0.078        2.291967
) A/ {4 r1 [6 T* r( }# A        23        393.7606        0.059        2.910391
        24        443.1192        0.063        3.080523
        25        514.1963        0.153        1.314749
        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
' O7 w6 [7 R$ I( _, S        28        421.5248        0.063        3.005718
# a7 S# [0 z& a: {& E* i* ?( S        29        421.5248        0.063        3.005718
7 O% n  A) D; h9 e        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
' V# `) D# E9 i        32        421.5248        0.063        3.005718
        33        421.5248        0.063        3.005718
5 \0 D, Y; D0 b        34        421.5248        0.063        3.005718
        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
. P3 i2 F3 H) ^7 [        38        369.019            0.04        2.861201
. M5 V0 m9 x5 |6 |; \% i! ?        39        362.2008        0.036        3.060995
7 [6 ~, M2 E5 ?# H. }  y        40        417.1425        0.038        3.69532
9 `0 N4 M2 f) u9 t# l- G" g1
2
: T+ F, ?2 f! I! R- r% j6 y3
& P1 B5 @% t! M, [  r8 m4
5
6
7
8
. q# C% h5 d& \) L/ k9
6 w- Y& L9 m5 G10
" x9 \4 z' H/ N11
# }* v2 q6 b) `4 h/ L12
+ P, \* j4 U' X2 S8 f% B13
! P, p3 F+ d' Y! n1 @2 Z% N$ N$ w14
: U* r- @5 E, X0 `3 w9 q9 X15
16
' Q, e9 K- K& _; S% ?/ p* C17
18
19
20
2 ^- c  u6 g7 K% A% x: j7 S* x) S21
22
23
24
25
- B6 Z" e( _. w  g26
27
2 q/ L8 R1 }! x) a8 F* a28
29
30
31
3 R- o& n# }' {3 l4 y, x# |32
33
34
# Y4 a: k" ~; \35
0 m# N& t* o) N8 L) E7 g36
37
# ~+ u9 V, U8 X38
; w8 s: w* g' j6 ~39
40
41
& Z" a. ^) V# v
8 w8 \2 L' Y4 n5 T
9 O0 n% B; \" B& c+ d5 k(2) 方法一：使用MATLAB编写代码

/ b7 \, h6 M8 ]: n6 G
3 q+ P: e: f. W9 u% o& b/ M%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
[I, J] = size(B);
' T9 ^& y1 ]3 C! X* j1 y* v6 _
%数据拟合
. g; C. `) B+ z/ {1 U( R& S%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
: s1 s8 u+ {0 O! w0 py = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
, K) \+ [& d* X8 c* N/ L8 b( [%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
%返回值p中包含n+1个多项式系数
) G0 B5 Y7 @- O- Z& M$ Fp = polyfit(x, y, 2);
" S- y7 T, c( W' V( Gdisp(p);
%下面是作图的代码
x1 = 300:10:600;
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
9 {2 F% q# w. R7 ^# Ky1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
9 l9 e# g, L- a%figure(gcf);
7 [" I% q8 u- J  T4 b3 G* ]) n$ s1
2
: j  o; G0 l9 s6 W. g2 y: [3
  x* J& E; n+ _. p6 z4 R4
7 I8 Q  ?$ [" m5
6
  {# `  g4 t4 g+ a; V* d/ h7
' ]' E$ p6 t9 E- P- f: C$ G4 a( u8
9
9 |$ W: e! j' L$ U6 W. _, C8 H10
+ l. B$ z$ r# ~11
12
. z" g+ {+ D5 b' p13
14
; w" D/ F4 U" O; n; m' ~) J15
16
. N# Y, G, g& _- n, ~4 t17
6 J, A; t( x1 B4 B4 c) A9 G18
19
20
21
" F9 l3 \% |/ H, \) \

0 _4 c. T1 {) Z, D6 ~. U(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）

/ M5 t( l6 v6 R+ s3 ~0 i; ?7 e
8 B6 p2 l. Y6 S2 n- u
" x* m8 f) }! n% ]2 Y8 c- l3 I
将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
" Y) A" u  R; ^9 \: C
7 ?# V& C3 X( A

7 B$ Y1 c0 X$ i
# m; u- k. j+ Y( \4 g选择x、y变量

$ g2 y! K4 a+ O6 _
: C& ~7 E% f$ }; S
" [. K) v: H: t  v
, I. G0 s+ W& j2 X( v. l选择拟合方式和最高项次数
2 t* _! f6 F& p1 O- B8 V% |2 A
3 _6 J' P& K5 l# c' a, K6 h$ s
  U0 ]$ }5 n0 d( Y& L" e
! h" e6 L/ n  y: i; I/ G/ q* F
% Z1 R! }/ [9 ^8 S9 y" a# F/ H得到拟合结果



# e* `, Y' K' s! u
4 @2 u) {8 F/ i5 z; Y使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
, o% q# L. P0 m3 S& C9 s

) b' M3 g$ Y$ k1 l: C( T

" `# e8 M' v& ~6 {  [. q; u
- p0 ~% n( C4 N1 E
三、数据插值
! [) Q+ [: b$ m0 f, D+ d1、定义

& ~! }0 c. @# j: x* a! c! _
# V# j, F+ w3 t/ y  z8 m6 C在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。


* j, P' ~( T" e* P从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。

4 y* f, A( h4 `: t0 o
7 d5 ~+ X, F! H3 W0 f& X: H

2、作用
' [* e. w# }; R0 I# ?' v, C
4 t3 k' t6 O* X
" G, m5 {: V5 k# w1 x7 T0 B插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
, B; p/ v2 t7 ^



$ H5 p, M; t3 S' C2 \0 ?3、举例
0 H$ X/ {' h/ U# B% L
  s6 M8 }2 P  O. @3 `
%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
2 j2 J4 a+ A, Y, Xservice = 10:10:30;
& V/ g4 n, {2 `8 h( y7 ~1 Ewage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
" m( l! f+ y2 r% % 三维曲线
8 |8 ^: Z2 Q" f9 D" I* a- `' `. G% plot3(X, Y, wage)
1 X% S7 L& F( z4 P: @! z% 三维曲面
figure
) n$ X, N8 ~/ w6 r; y7 M/ t( jsurf(X, Y, wage)
%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
! q; J  s/ d/ Q1
2
. F0 W; ~1 C6 W9 b! K& g3 s3
4
! |$ e3 f! h! i$ K$ I  t5
8 s* a  |. }+ u  m6
: l/ @+ t0 H/ n* ]7
8
9
: R! K3 j; u5 P: C' ]/ Z10
11
1 M) `/ }% ]2 j12
  \0 X% f; d6 }% L. e
8 G& |4 X+ B; v2 k/ L0 {
3 y$ D" M) e$ J# ]! U

; _9 c! W7 I) |可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合

- o5 \# j, o6 p  ?/ [) L, j



( T. t: U' c: L, p6 T+ ^+ L
% d5 r& I  f5 y7 b% W. P3 r四、图论
& _1 y) }2 G  \& \$ J% r1、最短路问题
5 B1 `! O/ c4 U3 X3 c最短路问题就是选择一条距离最短的路线。

/ Z8 u. m5 J3 _
3 E8 Z; r5 s/ R% y5 Y例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）

( P& [8 u4 H( t2 X" q; g
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
8 q+ t# H% V8 h8 F
3 y! g5 J6 N  z7 M6 t3 O
2 q9 h9 Y+ [4 I8 D
( k$ ?8 g7 b, F" [* I: `( }
（1）Dijkstra算法
; v& ~& @5 Y9 J' W4 b; i先给出一个无向图




用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
+ e6 p' L* G7 h; p


4 s" A$ ]# n/ A& b$ C/ j- f


1 a" Y0 T2 k' p6 g4 O. _: j代码模板：
+ d, ^5 u& V$ h

#include<iostream>  
' n- `2 U8 L# c% V( d#include<cstdio>  
( {$ v/ j' N" I- T" O#include<cstdlib>  
. C+ q) j4 L+ L2 g/ @# j# s#include<cmath>  
' }$ I' t9 |5 H9 J: }9 S7 _8 @7 u; I#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
$ p) o+ o9 {9 P, h: h# Z& R+ N9 T7 [#include<fstream>  
using namespace std;  
  
, B) C+ z! k5 O( t  ?; [const int maxnum = 100;  
& e" n" J1 {( o0 I: t2 ~# Rconst int maxint = 2147483647;  
8 a4 B/ U0 R- v. u1 {$ y# a7 }* @( f5 hint dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
4 c# T" O) _$ [$ w7 Eint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
; }1 x$ o0 A- k$ F& j{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
/ [& d! |" s" [    for(int i=1; i<=n; ++i)  
" n' j& r! A! Y; h7 U* W    {  
        dist = c[v];  
        s = 0;     // 初始都未用过该点  
$ z8 b* ?. |0 D5 r5 c: ^        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
: v% V6 L& S% }3 t# g6 g. O        else  
8 x2 S& t3 N1 M            prev = v;  
# o3 `. C- c% Y7 `. J    }  
0 D2 T- F5 |+ R/ @3 }    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
  
    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    for(int i=2; i<=n; ++i)  
  {9 T3 r# F& s, h% Q$ o1 _    {  
        int tmp = maxint;  
        int u = v;  
( \% v% G3 y. O+ t9 c        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
) A( t( m! t2 D: H  _3 q  [; ~1 S        for(int j=1; j<=n; ++j)  
# p" W* f$ p7 L$ l            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
" }/ ~8 @0 W3 |% Z' b) b4 ]                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
                tmp = dist[j];  
  F8 V  i4 N, i/ {            }  
2 g9 \* {9 Z4 [0 o( @) X$ e        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  P" X1 s" r+ Q  
        // 更新dist  
+ x! c1 f; e( i( p        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
: s4 |+ T( u6 {8 k6 y: E1 Q1 j                if(newdist < dist[j])  
- [; `) S) j% L1 b+ B                {  
- s7 ]3 ]7 e2 R& ^                    dist[j] = newdist;  
! o- N% V/ x; O; ]3 O1 H/ e                    prev[j] = u;  
5 J$ t/ _; i$ H                }  
& b- S8 D# t- y' \2 X5 r            }  
    }  
2 I4 I, W5 o' `/ k. Z  L( s# P0 P}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
0 r# O- C; L% b& z' }# I{  
. O  J; N$ F" |3 L7 L    int que[maxnum];  
    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
    tot++;  
( s, S! N  E+ _2 k; v' S* }, j$ o2 b    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
    {  
        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
" D! g- {" i( Z0 Z! q; `/ `' I2 k: J    }  
    que[tot] = v;  
2 f5 U* s" _$ l$ @! i0 Z% i7 s- W) X    for(int i=tot; i>=1; --i)  
2 J3 O/ W/ q' q) }) P# d        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
( G' A. E5 O9 P$ S        else  
6 s8 b9 O, V) ]# y: [! f            cout << que << endl;  
}  
* P* D. P) l; X& q  
int main()  
, r% Q  x1 ~0 v2 N$ \. @{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
1 |1 A) W* \0 i8 h, _    cin >> n;  
    // 输入路径数  
2 N: Y# @& F2 S5 ^7 U    cin >> line;  
- h# i1 f" P5 |, W3 Y' L  p    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
; r3 \0 x1 V& M  D    for(int i=1; i<=n; ++i)  
2 y+ `2 ?5 n7 m( X: k        for(int j=1; j<=n; ++j)  
9 ^( T; z/ M7 Q9 ~            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
        cin >> p >> q >> len;  
+ F( k& a$ g5 z2 J; Q+ f        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
" E' ^9 l6 Z1 _            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
4 K. I0 T' t! o3 U        }  
# U3 W  v' l$ C    }  
' O/ S: i  n/ T   for(int i=1; i<=n; ++i)  
7 \  l) ]$ p: ]* g' c3 s# V        dist = maxint;  
" R0 B. Z# J% ]% H7 y    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
* b$ ?. J2 P3 ]/ f0 `, o1 e        printf("\n");  
    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
8 |- @4 l0 Q8 t" D  S//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
4 i) b4 o  F( n$ ^$ m( @//    {  
- g+ Q2 x/ ?' E; O$ u; W% E- y//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
    printf("\n");  
     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
' e4 p3 E0 {/ A  p  h  l     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    searchPath(prev, 1, n);  
  S8 G# n; _) z$ ]    return 0;  
}  
3 k# |/ T* d! Z6 b  
! O( B3 ^: D) e9 _9 I4 v  I* p  
/*
输入数据:
: }0 T, [) S9 }9 y0 r; [ 5
7
+ h# i$ v( s- M/ ` 1 2 10
1 4 30
, A4 `$ Z  E# a3 g# b' o( W 1 5 100
2 3 50
) s" ]0 [$ y0 N: z& c: j 3 5 10
4 3 20
& x! w# B* k+ `$ g8 L; G' G" z$ k! r7 W 4 5 60
% l  I( n2 K2 p" l) J 输出数据:
999999 10 999999 30 100
4 ^2 f6 c  V- ?; S, ]8 _ 10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
1
) w4 P- o+ [9 c, Z8 }& o& s4 T2
3
4
5
7 s+ S0 t, R$ ?" ^# z6
4 A  u% U5 \8 l" G* _  S4 K; i7
8
! C" P$ p% C) l3 ^" ~9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
, Q  d+ x. f) }' m$ [. A1 b19
$ X+ H2 Z# {8 @8 c20
21
22
23
+ c5 V& Y0 C3 S4 P% E) T' U7 ^24
25
26
27
28
29
30
) E' t3 G/ z( }) I9 A- r, Z31
32
33
9 d5 P; a! |- \+ D5 W34
; r# @( b; i' @9 B35
36
( d9 v) y  A6 Q& A8 w/ ]37
. j. d0 O( g' l. f# G; b3 t" `4 S38
39
) O9 q/ F0 n7 U! G  U. ^40
41
# k9 d# D$ l' [! t* c! b  `42
$ R  F% s4 J! T6 O* I/ I43
: l& o! E' C" Y44
45
0 G  q. W# v+ |7 u+ n46
47
8 e# n3 a2 D3 N  A/ s$ m9 P) Z3 A48
( W4 X9 `( T8 b' P' W# |( U" g49
$ v6 C' N# E6 P* L50
51
52
53
# \& d7 |0 Q- |2 V6 [: r) P54
5 [  d/ b: m) a/ b/ B55
56
( C: ]' r8 x: j, d4 Y57
9 B$ W+ _/ T) k. c$ _# W58
+ P4 G+ S% B3 a1 U59
60
3 o2 w. _6 }5 m6 K2 e61
* h" g) b+ L9 L, B. M62
63
9 ?  ~+ L8 ?/ H* \# e8 S4 O64
65
# S' D- C9 {. L! ?- t66
67
68
69
70
5 F0 D- b, ]7 A  ]# m* D! ?* J1 o71
72
73
! p" f! |# N8 |6 l( _/ Q" q6 W74
1 ~4 |! x; C5 y: a: h- Z) w75
76
- r" W" n, H7 J3 x8 h4 q77
) E: q$ l/ u: f78
79
( d( z$ {; k' @. X$ s+ Q80
81
, [7 w7 c/ y$ g82
83
84
# i3 p. w4 s( G85
6 a- ~" X2 y7 M9 T" x86
2 V" t4 Y" P% ~3 K4 ^: }87
, q3 Y# O4 t# b" M9 }, j* G$ D88
89
' g* _' W7 b7 ?90
1 |0 v/ s; E' m) D6 m91
# [5 d( x$ k) R" r* D0 W; k92
- Q. G1 _$ \& o; z- A- p" u93
94
5 }: `6 ]" ]" m  B* ]95
96
4 [) ?  E$ i  m/ b# c' U1 I97
98
) D% k9 Y3 u1 }& |; H( W! U99
100
/ p) e" U- C0 T+ O, x; h& \101
2 H0 s5 P4 v5 o102
103
/ l# Q8 G) X1 o9 F. T( A104
+ s  U( K7 c% O8 h! S105
106
107
108
# G- T  Q7 V3 B& J9 Q! m109
2 X! \2 b! q* D110
* F7 O- c/ Z, H4 U+ C3 A6 h& e3 V0 Y111
112
113
114
115
116
3 Q' B# ^# I' F$ ~! E117
- D8 f' l; Z4 b118
119
  A9 \5 f& g! v120
121
122
8 w& h! \2 `- ^' m# c6 a6 V123
3 ~7 f7 i1 P2 h124
% ^  f3 R0 C! ^3 c0 R125
$ a' p+ N. L4 t: Y126
0 x$ K( _9 L9 R' ]127
; V& T: T$ E" P$ m' b( B128
, J: C9 W1 H( G6 T129
6 r7 Z5 s! Y; W130
131
132
3 X. a7 \" m- n5 I4 S6 p! l* Q# P/ l133
134
135
136
137
& m7 L" i5 X" g! s6 ~. O! X138
4 e0 ]+ v7 |/ x139
: S& I9 t7 ]* R7 b! y6 b4 w140
141
6 j) U$ {- T$ l. ?142
+ ~- l" s$ ?. V' y! D! v143
% n, p# V& B' R% `2 y+ B144
145
146
9 r$ U  Q/ C. T7 ]8 |% y- _- V* j

& ], {5 I/ c5 z' l& j（2）Floyd算法
) w; z' ~0 l1 X7 O+ o7 U& ~#include<iostream>  
8 b$ v7 v5 H. d' u0 P5 c#include<cstdio>  
. q3 p1 n9 |: \5 x. C9 E#include<cstdlib>  
$ s) j5 I# [5 o  l#include<cmath>  
/ m; ~$ J0 ?( M% J#include<cstring>  
#include<algorithm>  
. p/ o. E+ s) ?1 b2 i$ i8 _# L#include<vector>  
#include<fstream>  
/ C) s" M: h1 Lusing namespace std;  
  
* U3 K0 Q/ |8 s% R; ^' N//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
, R2 M+ t7 U/ a$ |0 Lconst int MAX=1000;  
double dis[MAX][MAX];  
$ C, t  B4 ]- A& ?6 Bdouble a[MAX][MAX];  
& i) M( x7 ^- {& iint path[MAX][MAX];  
  Y7 f4 p5 a  c) N1 w. F0 Xint n,m; //结点个数  
6 ?5 T$ o. e: F: F' C  
+ k( k, X# n& U- c4 Y# pvoid Floyd()  
{  
    int i,j,k;  
4 b: k/ h* S3 W; h2 z$ g    for(i=1;i<=n;i++)  
+ {0 j" M. R' M/ |* u    {  
        for(j=1;j<=n;j++)  
$ @: t/ P4 v  P9 a- l! I& C7 }        {  
            dis[j]=a[j];  
$ g# B9 @- N4 C9 O. W) s( K  m            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
                path[j]=i;  
            }  
            else  
0 x9 N- A3 @/ ?3 H+ a$ ~9 N                path[j]=-1;  
( s' p7 ?6 E' X        }  
    }  
7 b0 O% s( Z' h3 W! G0 _  
" q5 P& D, i5 Q& b1 i6 ]4 G  @. ^; R    for(k=1;k<=n;k++)  
    {  
$ G1 S# }7 H0 t9 r: ?        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
* V# h2 w' \8 n  R            for(j=1;j<=n;j++)  
            {  
5 P9 [9 B, _/ X                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
; f: O3 P3 r* T) b4 ^                }  
! i2 h% y/ m% ~7 Q            }  
4 T! ^- v4 y8 n        }  
    }  
- [' J1 u- j& [  j3 d* h" Z6 [6 l}  
+ N. r1 y8 b. v3 k% C9 u# O  
* d& z4 |2 ~* `# x5 Y+ R4 K" u- a# iint main()  
{  
6 M9 _: o$ {3 ]& x" [( Q    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
    double dist;  
; {5 H6 S7 k7 n; B0 ~0 R( n/ B% m    scanf("%d%d",&n,&m);  
; h2 E7 z/ p" p% i    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
# O+ d4 I/ J- ]" y       for(int j=1;j<=n;j++)  
  z1 ]1 U( T& W. ]' R       {  
            if(i==j)  
                a[j]=0;  
            else  
4 S$ r* r3 n: R" t                a[j]=INFTY;  
       }  
    }  
4 u# v) m: |* p4 ]    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
8 v( a: H2 K2 K! b/ y# N        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
! G6 ~9 A+ u' U5 U( ]0 R2 g$ d        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
    Floyd();  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
8 M3 _0 }# j6 p! G1 l8 g2 Q    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
3 I) @3 `! t) g( w9 }! b4 F            printf("%-12lf",dis[j]);  
       }  
5 N4 `0 V/ Z) _3 N. W" W1 V       printf("\n");  
    }  
    return 0;  
}  
5 ~$ S+ E7 F( S5 b1
2
3
% f. k  E' j, h' P4
5
/ D7 c" \$ H' a# H7 [6
& l1 K3 b3 r* ]7
8
9
# X% S& F5 r( f10
11
12
7 E; _( B  n* C5 G( m7 v13
/ `: X4 |% G2 C( v/ C: b14
15
16
7 e% \, y0 A, N% f, {+ ]17
18
19
5 N- R) B$ h/ [9 {% F. Y20
5 Q6 G5 V% j$ U+ P* k* ]# Z21
; w* p! x2 Q( _2 ^5 F; S8 T- ?- ?22
23
24
. Z8 r% ]& N  s  }! q) i! t25
26
27
28
29
& k, N5 t8 p' u$ r6 B30
$ |  G& d1 ?" }; W0 A31
32
33
8 d  E* k( f/ t/ ^- q34
35
" \+ m* ^7 Q3 H) y! r* \7 ?) X36
37
38
39
& i9 w7 m7 {" b40
, ?+ N$ y2 O3 v  [0 [41
* {- a! o) t$ G# |0 g42
43
/ b  z- j7 P5 Z7 F: a- G7 Y8 B# {44
: x7 J- i# W* o% T45
8 f% R/ w7 o& L' P7 Z46
4 O: b: z$ \: R; _6 h) {: T47
" _3 U' A1 ~% v# X48
3 x9 @& ~7 I3 f! v  R49
5 T. T- k: r( x( J8 S50
# Y% ^8 {* X' l) T+ Z51
5 d+ z3 i( y% R2 C52
53
. S# ~+ A" i' T: B54
: e& s' V! p3 m55
56
57
58
59
" I# U8 ~  H3 E# N9 j* \60
! U* k0 ~: i1 @- O+ V5 J. E& z61
62
63
64
+ V8 ^$ s8 d8 H- S$ [3 N6 P! L0 b65
& s1 ~1 I/ b  `( C66
67
7 j  [. p& j2 z# ?68
69
/ U$ ^! i: t- i% u  C70
71
, Y' E7 r+ F: g3 k( W72
, n4 k- k  g$ n2 |: e73
74
1 o6 Q' o) P" N75
% |8 t7 E' |% p/ ~" p( b) ?76
6 w8 }+ T! v6 M. Z0 ]$ }9 H77
+ W5 k# k0 o1 P78
" ]% V  U3 {1 a! \- R* C79
80
) [: R* I+ R6 q! j81
* P: C% z; i2 E1 N' X82
83
+ y9 o6 N  J( n& t9 V8 U

' @& ~' n5 M/ @0 s/ z& {————————————————
, n, x  X+ C) e& j( e; r' p版权声明：本文为CSDN博主「跑起来要带风！」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
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/ l" o& M9 `3 q7 P( K! r

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