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标题: 【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总 [打印本页]

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作者: 杨利霞    时间: 2021-12-25 12:02
标题: 【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
2 g+ ?$ x0 _8 N一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
三、数据插值
9 N$ M8 n7 r' ^( t4 A0 v/ \8 D/ c四、图论
1、最短路问题
1 J  X, J' [$ u/ Z) D（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法
( w. j0 [7 U# R6 z/ w+ ?6 j


1 c% O4 z/ w) [) b, T
1 \- {* Q1 F5 h2 X一、蒙特卡洛算法
1、定义

- \6 O5 D( L! v' a
8 v; f, K, f% A# _蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
1 P' C8 k. I3 a

! @0 U& L4 _  t
2 u3 B$ |  @' S; I: j3 d: e4 W2 |. F
$ [1 Q6 t& n/ S0 t: @# p2、适用范围

) n( e7 T1 x5 H; P0 u
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
- ]. D% @; C" F7 i

! p8 @2 o) K! q& y' \

3、特点
( E) k6 m, d3 i- N
, e; I# i6 V4 a7 ]) [
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
& r. E3 Z. A/ w; A

; |8 c$ H& \; `! m7 W

% i6 _5 a  r& b0 a1 [9 b4 l' s4、举例
1 S6 D% ~9 W( G. h' g
- I3 _) F1 `0 E. m/ f" M
, M7 E- E$ z: F% ?8 Cy = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。


* Q- \' H: @! t9 i* ^/ B
" H3 t$ B& @. x! x
7 ~9 y/ O0 D" d' m( w（1）作图

) k/ X$ y0 E( o9 t. a4 T
Code：
$ p, r2 O" k2 Z- B1 @

* c. N% m+ g  y( ]; n1 o2 L%作图
x = 0:0.25:12;
5 s+ z# V7 I7 O: y& K2 h8 s5 Jy1 = x.^2;
0 U# v, M5 S( ^) M9 @+ Wy2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
+ Z- G/ u% M8 F5 E0 ixlabel('x');ylabel('y');
# G4 i4 G  a( q, t, _%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
* i, \2 B6 c, Z3 otitle('蒙特卡洛算法');
; a$ L  S6 z2 o" r%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
' h8 g# I$ L# u0 |- ^6 Naxis([0 15 0 15]);
2 e( W+ ]5 O* gtext(3, 9, '交点');
%加上网格线
# `& P) Q. a$ n; _grid on
1
5 N9 u$ f$ Y2 O2 B9 G( z1 M2
3
# ?: g2 J1 H- ]# u8 R3 n4
( \. N% v; A& [- j( ?6 Z5
. u$ g7 `' I& z9 D: i3 ]& C  e6
7
; a4 g/ u- i4 q! r8
/ \) q4 s* w3 [1 x# G% L- o9
10
11
+ g2 x) n# i, q8 J12
13
14


（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
8 l% e4 Y9 ^, y( T% f: O! x& T

( e9 S6 H$ d. t/ Z/ A- q+ oCode：
& @; c) K+ X: O+ G$ J: T
# r& X  z' ?3 n/ D* G/ ?1 L3 m
%蒙特卡洛算法的具体实现
5 d# s( v/ W% n8 |%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
( E9 t7 A6 Z( C. a! Hy = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
area = 12*9*frequency/10^7;
3 \. P* \0 K; jdisp(area);
2 m  u; \- D2 o# Y/ t, c3 p' ~1
2
+ k; R4 o, X4 ~2 x4 a1 B& t3
/ v: h+ u; Q" k/ x1 g; l4
5
2 t1 l/ ]' y3 V+ `* e: r6
, I6 E5 p, e# ]" s! ~! n7
; x. R% `4 d+ V& d* P所求近似值：

$ b' t  f; C1 g& s, W3 l
: x& H+ d; ]6 k9 w7 |2 ~) `! u



参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
8 b# l0 }7 w. }% H2 w- e7 ~
. E) y. ?/ z1 `



% ?# u; c  H" ?2 I8 }2 c: f
8 I2 T4 j# }9 D/ a. `9 D) ?二、数据拟合
1、定义


+ d+ J: J' l4 |1 Y8 r已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。


/ {3 e- C1 G* v. G- I0 W

6 D# D$ e8 L. R" y/ T) r, z2、常用方法
* A  C. t* p* l5 k5 M. N& R3 N* F

一般采用最小二乘法。
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。


, v( {4 M# F) ?' t, L- J  l3、举例
9 Q, C8 @2 l  _& ]" @
) H. Q$ |5 z& h# u3 s8 |. f7 S
9 |1 g# z( L# N. _$ J3 J, `2 l  V% L0 l(1) 数据如下：


2 o* \) O, a7 o5 O2 N/ b! R9 L   序号         x         y       z
+ b( D& a$ }6 D0 c3 q        1        426.6279        0.066        2.897867
  Y. B! K% w' o1 {! \% _        2        465.325            0.123   1.621569
        3        504.0792        0.102        2.429227
        4        419.1864        0.057        3.50554
        5        464.2019        0.103        1.153921
, L1 Q4 E4 P1 v: k/ t- b        6        383.0993        0.057        2.297169
        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
# Y8 F' s  i7 @" Y; C1 V        10        376.9057        0.049        4.047241
7 [1 P9 X7 l$ m  b2 V        11        409.0494        0.045        4.838143
# W* ]! h2 X3 b% a        12        449.4363        0.079        4.120973
        13        372.1432        0.041        3.604795
3 U7 l, I/ Z9 Z0 c; l6 [5 p        14        389.0911        0.085        2.048922
        15        446.7059        0.057        3.372603
        16        347.5848        0.03        4.643016
) K( k  {, G& ]3 s# W& m+ ?        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
        19        388.1694        0.051        2.293532
! d# @7 ~4 l* ~- j9 M        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
5 o+ I5 y0 ]- ^5 n8 I$ v, U2 f7 X        22        408.9602        0.078        2.291967
. x- g% u& R, `" L/ t        23        393.7606        0.059        2.910391
        24        443.1192        0.063        3.080523
        25        514.1963        0.153        1.314749
5 K) o5 H, U1 }9 N/ s        26        377.8119        0.041        3.967584
# S1 }. F! ?1 o7 u/ l, J        27        421.5248        0.063        3.005718
        28        421.5248        0.063        3.005718
  ]4 o$ l3 Z7 ^; O; L        29        421.5248        0.063        3.005718
        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
        32        421.5248        0.063        3.005718
8 F- [  q* Q  L- R$ b        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
        35        421.5248        0.063        3.005718
2 i! u) d: j' p5 V7 C, I! h        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
3 D* g1 o, p  R: X; \' W        38        369.019            0.04        2.861201
$ j; |* U* m, b1 d# S' {4 v        39        362.2008        0.036        3.060995
        40        417.1425        0.038        3.69532
1
* M. Y& F1 r9 x  @0 ^- K2
3
4
* W# M7 b9 }! n% ^5
6
; _, P' p, r; |$ f2 R; |- a7
+ i4 C9 s: b9 H# R6 y4 R* |4 _8
6 p+ }; f3 p9 h# }6 q) y3 }' k9
1 S: I- ^# A' O0 P10
11
" ^' d4 }7 b- M4 Z12
# W5 @6 [& s2 S2 f7 v# r" \& {8 \13
* V+ E# s; i3 B% L, V& h) K14
/ J0 Q7 Y( ^! @. Y& B8 K0 _15
# S% S& w! S" S# K! \16
/ S! t: m' i5 D. V% `2 C* \17
% A& z6 V4 o1 \( E7 C; j18
$ h1 E6 [; ^7 a6 n( \19
20
21
$ y3 [, Q; j& v9 v9 e22
23
24
2 {2 y7 f) {" b2 w4 o. T25
) ~/ n- z! S8 y7 e26
1 D. }) |: r4 W; S! B27
28
1 @% E& {6 R+ L# l29
30
31
32
% c) S) S& v/ l33
* `& \$ `# J* i2 `" A. J34
$ E; |; W2 U& _& C- t, {4 ~* i' k35
36
: @- a! Z6 i; o9 l( u37
38
39
40
41
7 t6 b) g2 b, Z: l
: {# Y, f3 X+ m6 w7 F, F
- L! x4 Q/ O# V' }" ?$ a+ ?(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
( @8 ~5 _0 ~  I
- Z0 _7 V8 X  V2 T3 U/ I/ ^$ d
+ Q+ {+ @+ a1 g4 u+ O! K/ g9 G# y%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
[I, J] = size(B);

%数据拟合
/ L! ?& ^' M- b( `0 i- V8 }%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
' E, T3 Z$ z, ky = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
7 V6 K) @! T# s* ~%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
" A4 Z$ V6 ?, F; P$ z" Vdisp(p);
+ |8 h6 `  |* Y9 L2 ^%下面是作图的代码
( e& q: _& G$ B0 t' h/ C$ Mx1 = 300:10:600;
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
1 `+ a8 p/ n! g) i; C4 v& w' fy1 = polyval(p,x1);
& z" v8 ?( v0 J6 H7 h' g+ j9 v# zplot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
4 s; l! e  C& Z. E+ O0 x1
2
% g7 V" ?6 M: r3
! w4 Z5 B, x/ W4
' Y5 {2 A0 q) L: j; P/ s5
6
7
; N  ?# r! P$ F) u' k5 a* A8
9
* a9 O0 Z* J1 h( d10
11
12
13
14
$ |! g7 ^! }+ H+ S15
16
# R1 C- K5 d% w% T17
18
! M8 r$ T, ~9 L, b6 l19
20
* z3 }6 s0 i; d9 K! D/ J21


9 K  w2 {5 R9 r+ t% C3 Y/ {(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）




将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包



4 {1 L, [* ^  r; |+ y2 T* L( x0 P
选择x、y变量

) Q4 ?4 B7 @8 q) ?


% o/ }2 ^. g0 `% j) F  k% I选择拟合方式和最高项次数
3 L& a  c9 y7 _/ K3 Y+ P



$ ?7 J. Z+ v! P" b得到拟合结果
3 A" V' Z! ^+ ], O5 d2 ?. h. f

9 B, v/ z( g; f5 {; J
" g$ \) g4 i- w2 J# z) @
0 T8 K9 C. ~( o- W使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
$ m0 w# P9 o7 U, y
4 v2 y7 M: [4 D) \# Y
, Z/ t  h6 }9 L( w  D, @7 a: `



* D. ~: P# ^: s5 m三、数据插值
1、定义

/ v1 H4 [7 C; V+ f& C/ g2 G8 I
/ S! H$ p( E$ Q; m7 |  Q: ?在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。

0 O$ _6 w, K; S, ^/ L. ~* N5 f, s' s
从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
( O+ i+ b5 K8 U' j4 T9 g5 z

2 N  M# K* |6 Y. k: I
( C8 u" _6 o3 x
- t+ c; O6 {& r5 z2 [2、作用
# y' Z9 b! U% k; t
4 F* q2 J/ I; t& J
' @' X+ q5 e; j( x. y插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。

8 a" M6 g6 I) w, |/ W
+ f8 l7 S3 h- c7 I# k/ b+ C; N

3、举例

0 y1 f# p6 o: ^
%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
: x5 E9 |. M7 X( Aservice = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
( t6 K1 S' a$ q1 X; d& m7 j& J7 b[X, Y] = meshgrid(years, service);
% c% a7 }# v( G% % 三维曲线
6 h% \8 K' }' N% plot3(X, Y, wage)
$ M* F* [) z  V* r  I- N% 三维曲面
% z  M( ?! _1 e4 {figure
+ A0 B& m8 T$ J( u" K* m* w' b5 ]surf(X, Y, wage)
4 g' _$ \) D' P# B%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
. C- x4 N6 n  r: j# F! m  rw = interp2(service,years,wage,15,1975);
2 L2 ~8 ?  M2 G$ W1
2
* e+ H" y5 J" D! V3
- a4 k, j* I9 U; L# }4
5
6
7
8
* O7 C. D9 K& v9
10
11
12

5 I8 a9 ?2 c6 ~, L7 Z& Y. ~
3 f! w0 m. _% E$ F
, t; V; G+ n4 R& j% `! b. E, j
- X( ?  U/ O5 Z0 Y9 X9 d可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
/ S3 a: h0 R1 m3 ?5 N" R# g


4 n2 b1 ^  r' @  C


; l1 ]% I" n' z+ n四、图论
! m& d  }$ a# n6 n1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
  a5 D6 O6 Y: w, K: q* D- c2 I) p

例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
5 @/ k4 _/ y- ^) a: c: {2 ~
) ^# J9 ~, F+ p
, C# `0 d) s! q具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法



6 g; a2 c% P) h( o9 }/ N2 g7 p
) }& D/ N$ ]& C  @  V（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图
6 I8 Z* w) d0 I, u1 T4 j9 C9 T


. N' F- G* R: {3 B' Q3 C$ a8 P" `* ]
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
3 R& Q0 M3 }& s1 R; [+ l
) I# L2 t$ @/ T' O( M! B& m- ^0 f" _
7 t# c- T+ B$ J



, O4 X0 z/ [0 x代码模板：


#include<iostream>  
#include<cstdio>  
: K& u3 `: e: l" S2 v* ?. _% y#include<cstdlib>  
1 ]- E# t- S5 Y, P#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<fstream>  
3 z0 S; H4 q" r0 d! l+ jusing namespace std;  
  
) }' n7 f* K6 C4 Gconst int maxnum = 100;  
const int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
1 M+ X5 u6 u" _, `int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
int n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
1 `! X8 S' k  J5 a- [8 Evoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
$ J0 ^3 w+ V+ J! o. }  P{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        dist = c[v];  
0 H6 Z3 M; P, f4 |' V        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
- t: _+ T; @0 r$ f            prev = 0;  
        else  
- e/ i3 c$ ~- A' @1 u' @/ M" N- Z            prev = v;  
    }  
$ A7 @6 d2 ?9 d$ x' Q+ u    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
8 m* m# Z8 y9 o/ K7 X' {- a  
    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
7 V  u2 j7 h4 \. \+ j' x& @) k    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
( w3 w* v0 {; c$ U7 [6 m5 j% z& X    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
& g& `4 [; v% z1 a        int tmp = maxint;  
1 x0 I1 Z4 |$ ], v, v. E        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
1 G+ z3 o$ k6 o5 h        for(int j=1; j<=n; ++j)  
2 @- F5 [* ]% s( T0 E            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
, t: a2 W( B, b+ R" Y            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
                tmp = dist[j];  
            }  
        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
# ~  [) j" P( ~1 g4 m  
+ p3 V8 G! [8 Z6 n/ N# F9 ]; ?: F. m        // 更新dist  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
4 w& I8 M0 K9 x  o2 Q            {  
                int newdist = dist + c[j];  
' y7 u3 b/ R4 G; ?* X( {$ {                if(newdist < dist[j])  
) a1 r+ h  C* A! d" b                {  
                    dist[j] = newdist;  
3 K: U) F' d; N' R) C2 G                    prev[j] = u;  
# U$ d1 f+ U" W' E6 k2 j. j. f# e                }  
* s) P% B7 n4 S! B: X            }  
    }  
}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
/ O: o- T, V( a{  
    int que[maxnum];  
    int tot = 1;  
, n/ q& a' Y$ O8 H1 o0 ^    que[tot] = u;  
+ f+ ?/ R7 g* ]4 X, J, Y' V    tot++;  
8 T) S, e  r4 Q" m  Z' _: j    int tmp = prev;  
- F: \# `& R$ x    while(tmp != v)  
( {& F# r* d0 A* F/ [    {  
+ T! V, R' [% w" w; j7 p0 }        que[tot] = tmp;  
2 J; p1 U& H1 N        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
+ H9 ^0 Q4 y) S/ }    }  
# [9 B9 l8 q/ m5 _8 }+ v* P7 M    que[tot] = v;  
5 D3 c9 Q/ ?1 l! |    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
3 L. B: D! T* w9 z! E4 A        else  
            cout << que << endl;  
2 o+ d' n6 L) w5 ~8 {' m}  
2 b) e+ N8 k6 t8 C6 P  
2 O$ E8 I5 R+ jint main()  
  }. X  z( D$ {; d{  
1 D2 Y1 s; e. u    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
" l% b# {& h$ a; o- g4 G1 `* F    // 各数组都从下标1开始  
  ]& H- [( O; ?& Y1 P1 W9 y3 ^6 x5 z    // 输入结点数  
* n: I6 t; W$ S2 x/ w    cin >> n;  
) r) Y" G! h4 ~2 t    // 输入路径数  
  T' ~& K# j0 p8 f! ~9 [    cin >> line;  
5 k0 w1 w/ R+ O7 a1 t, W; t7 b# g    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
; r- W5 [9 v# a/ \% z& Q5 O    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
        cin >> p >> q >> len;  
        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
; ?7 ]  k6 d* p* r. @; j5 O4 _( z            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
9 ]; E8 Z( Y! k0 f$ ^+ o( Q+ j        }  
    }  
2 q: H% x9 I) I" d/ K0 \   for(int i=1; i<=n; ++i)  
        dist = maxint;  
( x& W: J3 Z7 T* z    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
/ E5 j) ?. _- ?9 }8 `" J8 a' Z        for(int j=1; j<=n; ++j)  
3 Z' ]9 T: ~* |3 w9 y            printf("%-16d", c[j]);  
! k/ \$ B& A$ A( ~        printf("\n");  
- P* |. ]. b* A    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
. b# H% n6 ~  V% D) V: [//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
//    {  
$ J' f6 Y# O1 ?! ~4 c//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
8 N/ d: z& o" c8 {    printf("\n");  
9 E( R( R2 x* S0 z1 W     // 最短路径长度  
. R# ~& k! _% w& p0 G. Q    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
6 n0 A4 W- ?" k; [# T+ }5 G6 r    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
+ _4 n# X# J9 `8 s    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
1 J* ^* o* A. G) k+ r}  
& x' |6 {/ J( g2 T' h$ _1 \. Q  
  
/ m6 `* T, D$ l1 x! Q/*
输入数据:
5
* Z9 r- P1 W4 J( I0 o 7
- W2 y4 D7 O% u- t! k 1 2 10
) i: ]3 {' D) \0 }# @ 1 4 30
( @' r# f5 d& J0 t 1 5 100
2 3 50
) g4 `3 x" L1 Y6 F- ~( i. f4 a 3 5 10
# P/ @8 x+ b7 w$ i6 R$ Y: q2 l 4 3 20
0 |2 I0 {% j/ V% x+ Z( D# o3 _/ W 4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
  c: F  y- }" U* ]! x3 Q- ^! ]0 W3 n9 [ 10 999999 50 999999 999999
9 i3 i+ n, ~$ J. _  a$ ~ 999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
' f  u+ z" A! P5 }2 }' f 100 999999 10 60 999999
/ e% L! h% ~8 x4 g% `2 t 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
) K0 q3 L$ k" K0 j0 i% {- O0 h 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
1
& l7 b  C% X9 ?, B; H2
: D0 [; \& z) X3
4
5
6
7
( ^( d  j6 k$ }' b5 Z7 C4 n8
- b7 P( ^4 `% U- R7 q1 n9
10
11
12
$ C/ Y, L$ k" H+ |, u, v13
14
& E) B3 `4 F7 J( \/ N15
16
17
0 N# Z7 }  I9 m! Y18
19
20
: t6 f6 [5 o+ J$ f, P( b% v' l21
$ \" p6 ?# s% t: h/ m! b& U) b22
23
24
25
' ~  O' n9 e4 h) A2 l4 Q& W26
27
7 d- f( {4 h' Q3 c' u4 v6 ]28
/ V0 ^2 P% z& U8 e, h% E/ J1 z5 `29
* A+ I: u4 e: J" S1 L& E1 ~30
. P, b- Q4 \- {5 L31
32
33
- O7 }& l/ |# C; _6 ?34
35
  V) K9 x* l: @; `% p+ ^; q36
37
' \$ K9 n+ ?' ~& X+ @' [& `38
; |. _- `- O/ I6 w/ _& ]5 G7 m39
40
41
* f; M4 R1 |) y9 F$ U+ ^' q4 H/ |  V42
43
4 I+ v1 S; v8 M& i# ~44
% c& I, L2 n3 a, V) x$ {6 O6 U45
46
47
: `0 |& @; e! e48
49
50
- e7 U3 ^+ }' ]8 L# J51
/ U7 [6 N- x) l# @0 d. t) G& `52
53
  X7 z9 T, G( ~9 o+ _' }54
55
  p% f) F9 Q, }9 `$ E9 y! m56
57
58
59
60
) A* \' O- n. P, B" x: Z61
62
& D3 Z$ D7 m2 v5 m' G& \; m63
64
, n: I3 G: s/ h. s65
66
67
68
69
) j1 t. |6 j9 E3 H7 p70
# D4 Z+ n+ \% c3 @71
72
73
7 h) f' w- ^$ l% K9 Q+ L! A' u, s74
) v, X& i3 E' G- a7 d9 F- |75
5 P$ e+ ?8 R! r4 Y" c6 }! }5 @76
& ~8 p; n& k4 d- f77
78
8 a6 S  V* S/ p2 G79
3 H! T) e8 j, _( C( q  b80
2 J2 x' X. Z% x; f- T81
, Y% H8 w5 k" ]* M5 U82
83
84
85
$ o) C) {5 s& }6 ]* V86
* Z: W) k# g( K. x2 P87
. F1 |! ^* N: i, Q88
89
' t  h. g* [; [9 s3 S4 `90
91
92
93
94
- a, ?( S' |! I: m95
: r' `! Y1 N/ E& Q9 C+ j- m96
97
98
- J. O) U1 _& }$ R' B99
3 m; i4 k! X8 s6 n' Y100
101
102
* J5 x1 F* Q9 B/ a, h( a103
9 `/ {; [3 B  n0 r1 @104
" V4 w! @* M* a# @. Y2 E; ?105
106
107
6 a5 F/ p2 [# j2 y# B: c* A& v; Y' H108
# W/ ?( k8 o$ e* m/ g109
110
6 Z- ?3 p6 ~% L111
112
; j6 a' x" g  V: ?113
114
& c: u9 c: c) H+ a* e1 W115
116
$ s& {) H( z5 P  u- K  ^117
% F$ B; @# d3 l118
4 }: |) f# X/ t3 A- @/ t8 Z119
0 u  v2 q2 I% u! c5 V9 q  ^6 z120
121
: |7 E( l' P: W3 @1 j122
. y/ \" H5 t5 f2 L" j123
124
2 a2 h/ |: m4 S5 T# i125
( k! D* F! e1 [  m1 r126
127
; [- p& O6 ]5 v- w9 ^128
# k# h6 a" y6 f* P. B129
1 Q! \' L1 I: Y- o" \* O130
' Q8 i6 [4 ]# O8 P/ i' O' F131
; a: Y0 d, b% w8 U( t132
133
134
8 x) J; q8 A  g6 H135
6 S8 J8 T5 e3 r. j136
! ?9 K% d: v3 R: a# P137
% `! |/ c3 W" ^' r138
; l2 v" u8 L% N# [139
9 |1 V' K2 ?9 `8 a140
141
" k9 Q- A9 ^; G! m142
. d3 `9 C0 e# j- M" I143
144
145
% q+ H& Y3 h' w5 W! I146
! `0 T' e5 s% V2 j6 R! G
3 w- l+ w) D# G3 n* f* {
3 I0 a& G: h( N  h（2）Floyd算法
1 W5 P$ c* m8 h! _! C; e8 |#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
7 }  a  X* G/ ]# p9 D2 a3 `8 R#include<fstream>  
using namespace std;  
2 X5 [" F3 k5 H8 C/ e; w( _& _8 v  
1 M& h4 I) O+ `: v, @//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
const int MAX=1000;  
) J8 l0 T9 L9 c/ |/ r: qdouble dis[MAX][MAX];  
; K( t% c3 a0 Y/ k7 e. D  b* Fdouble a[MAX][MAX];  
$ F9 ^% X! m( H9 g- j9 W' V3 Fint path[MAX][MAX];  
int n,m; //结点个数  
  
void Floyd()  
{  
( Z8 r' j% y' a4 P    int i,j,k;  
2 S7 l4 f" b. X7 |    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
; m( l# |0 {6 H: H' A: C+ Z        for(j=1;j<=n;j++)  
9 }7 I5 I8 u" O% F! Z- }9 j0 \        {  
            dis[j]=a[j];  
3 z4 ^+ k6 t/ [/ U: o) x            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
1 \3 _$ h8 U& a! O' W7 |5 q2 [                path[j]=i;  
            }  
) W- p/ @: |- F' p$ i            else  
5 }  k  D) l0 K5 Q                path[j]=-1;  
1 `+ ^( o% e2 ^% a4 {& Z5 y        }  
. M$ R8 P: b- k8 G; j$ _    }  
  
    for(k=1;k<=n;k++)  
    {  
% w  m& X) d0 h; U7 v8 N$ Q        for(i=1;i<=n;i++)  
/ \1 q5 h; C' y) ~        {  
! E% }5 }( d0 W8 ]% o/ _( j) ?6 e( z5 v            for(j=1;j<=n;j++)  
            {  
                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
- L: F4 m2 H/ k                {  
                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
                }  
* q: Q2 O. K9 n# d/ H$ f9 g            }  
4 V* F9 u# ~3 e1 z        }  
    }  
) M* Z* D) I; F% _6 P/ J}  
' h6 f" g8 w2 w6 {  
% H9 S& i9 Y% x# y6 uint main()  
{  
7 o$ \8 U4 H; e$ ^    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
& ^4 R7 z3 h% [+ v( x8 m! j    int beg,enda;  
    double dist;  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
# C. D: {* V4 a" B+ W+ N7 i    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
8 v5 ~$ l- \* s       for(int j=1;j<=n;j++)  
# ]) a4 ^, u) k: H- N0 r       {  
+ s- w, _% D$ D4 D            if(i==j)  
5 j/ l. |0 R4 d  N8 w                a[j]=0;  
' |% h2 j# M8 j& B; t            else  
2 ?- E5 z+ [' \) ^, t2 M: Q                a[j]=INFTY;  
; T* Z6 j% B$ \' i       }  
    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
1 {2 C4 Q& v7 D+ t7 D1 A& X9 Z    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
1 s- b- F5 s  N4 |  r3 e( i+ d9 S    }  
    Floyd();  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
. \& O1 u0 D% C6 Q            printf("%-12lf",dis[j]);  
- B6 P, h: M  p' y( C! J0 O       }  
       printf("\n");  
    }  
    return 0;  
6 D/ S; V; z! x}  
- V/ y$ K" G4 Z" \, Y9 }( u1
- L9 v0 e0 l: y3 x# u. S1 E  }, m; K2
3
4
5
0 S# j+ r* l6 |/ B6
7
5 ~2 O  e# c# L+ p6 o' [8
9 q0 M# ^! }2 w9
10
% e& b- ~' _) p5 X; M4 |% S5 e11
12
& k2 ?' j9 W/ G% k- z) v1 }13
14
* r# Y3 r0 ~% F5 y15
: b2 Q7 J' v) N3 C0 Y/ I% D16
17
18
19
, V* [) h  g; I+ N; L6 C20
8 O5 p+ o8 a& u; Z# h21
22
23
/ R) g. l- a2 \3 f24
" f. }# i1 [+ V/ |; D25
" S" r( B- |2 y7 x26
27
9 H+ B# l/ C, z& s: k28
29
30
31
32
33
) \9 g3 u: j# ]. S, {8 M1 |9 Z! h34
, ~3 e% B* S3 e- ]* a& i5 n& c35
36
3 Z' H2 g0 a# Y9 s$ A+ `0 r37
8 m1 p% [3 ^$ n0 V  o38
' g* y' T& j4 m% h8 @39
40
41
3 \  G, L9 [& N42
. _  U5 V  _2 K43
44
45
5 z5 |+ j2 l" D46
47
- Y2 ~$ c$ H6 V' o+ ~3 Y7 E48
9 V9 M6 V7 J. l8 q49
! h7 b7 l) a# k+ n2 h+ ]50
51
" W0 O# Q, K& z: ?52
; x! c( Q4 _+ Z# f5 \53
9 @- ]0 z( P) v. X54
55
56
57
58
+ k9 N6 g- ~3 [4 i3 F6 y59
60
61
62
+ f2 p! V) r* Q, i63
64
) m2 Z) G6 U% V: ?% V9 S# q4 _65
% E6 x* N" l+ D3 ?66
67
68
9 _  H, _5 c! b  s' d# S6 D5 y9 y69
8 T" i& v2 I1 }/ s70
  u% I" b- v& m4 t# b8 g. F; |9 w71
3 r" t5 n: s. a; s2 f( \( K72
  e1 d2 C* P' e' C73
74
75
: y, m2 E- X* ^) ~76
* l% K0 E4 K1 h- G$ _" f77
" ?" I+ R% D- o& n0 |3 f78
( b( ~4 Z; [3 `5 @8 J7 u79
80
81
82
83

: r/ _2 _+ S7 F( K% P' f
————————————————
5 |" Q6 B0 I* j- n7 `' c版权声明：本文为CSDN博主「跑起来要带风！」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44668898/article/details/106607288
$ A, a5 S0 b1 s7 K6 q5 U$ N+ i
" j* J* C0 l1 A: d0 g
2 a3 U* @& f& y! h

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