数学建模社区-数学中国
标题:
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
[打印本页]
作者:
杨利霞
时间:
2021-12-25 12:02
标题:
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
0 F5 c7 h6 d" W
一、蒙特卡洛算法
6 }& o! R1 A0 s H
二、数据拟合
, n' p4 `' _* z: ^, k5 x
三、数据插值
7 S( O+ ]3 U0 c" J. l
四、图论
) ?- o& ^9 C& v
1、最短路问题
& Z7 t$ T' q) k3 D; K' T* q* d4 Z$ W
（1）Dijkstra算法
; T. ?# M) P; E3 F
（2）Floyd算法
8 \/ k" u4 g s! s* F
' }' R& S0 R2 e( _$ x* M% A& ?, p" \
' ?* I7 [3 U# S& ^! {; ^% E/ [7 }
( ~- C# z& E, |0 O
: k) f+ H0 k& X6 v- l
一、蒙特卡洛算法
7 E0 r- t6 g9 S, U/ D* L, ]
1、定义
3 S1 r- Y# _4 ~! D1 H
' V# @; E& [- K, G) F7 L* S
! K7 R5 @! M. b- Z1 l; H
蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
K0 ^1 i* H& I2 R
! o! g: x% R6 y+ s* G ?. p% k
! K' b1 e# T- g0 l* M1 V' T
! f6 S: Y1 b0 N- D
: Z* K, e4 b J1 ^6 V" w
2、适用范围
% w3 T2 E4 v/ ^8 f+ W! p9 W
: F$ t, w1 [6 m* {5 w+ l& U* ^. b
* A2 I: N1 c/ }* [% I* B
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
q- J; X1 h4 f) g
/ Z: @, M- u% l5 b3 \# G$ J/ s
, G2 T- c5 n' o x( I
& ]* g6 E( n. H# h. T* p
4 h, |/ Q* d# m, ^# ~+ W
3、特点
1 z6 w' n0 k7 o& l; e
8 u% x p6 Q2 N- N$ E
5 F! M1 B5 @2 |3 q: _/ {2 A
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
; |/ D6 H. D! [+ M+ P; q
' T; q1 q3 G( d9 n6 h$ F
8 B: C/ c6 H! ~7 S" F
3 T5 j' U4 U, k. w
, ?/ ?9 X7 V! q+ Q! O
4、举例
: f# m! V7 Q! F4 [1 A6 h
/ R/ p: n, M( s6 N
5 B, S4 s; b ~; K [0 N) e9 b
y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
( }' B! u3 V0 t$ x9 ]2 i" L
1 f$ O. k& u5 M/ x" z0 l) ?
0 h+ Y. O* ^ y# H
2 U! X3 I! `3 P
1 q9 S8 |8 ]1 t: {
（1）作图
1 r; A! W/ I% O
. O9 A7 W) O/ C' s
6 [5 y. D2 G/ k! F6 t8 R
Code：
) C3 t4 t J! D1 ^+ L0 ]
5 n0 r- ]9 P# P3 O- X$ J5 H' F9 {
' @% V0 W7 y& S# f" C0 p. _
%作图
* {1 W Z S: V/ j- s6 C8 W1 i
x = 0:0.25:12;
9 A5 N% k2 L1 z+ Z1 k
y1 = x.^2;
0 K; z4 ^+ e9 G& b3 S
y2 = 12 - x;
8 R$ J/ N. T( X M
plot(x, y1, x, y2)
# Z7 i) G2 ^6 c, G. ^3 }
xlabel('x');ylabel('y');
, o/ v0 z+ s: g( W' X- u- x
%产生图例
) V! c! S# o# a* v. ]
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
: X% Y: p, s- m) j6 t' |
title('蒙特卡洛算法');
/ f' m" H3 \' a9 g* E z& t
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
# r2 Q8 g5 C( e( A& ~! t
axis([0 15 0 15]);
! v3 D% I9 D0 }% S# c# d0 K3 b
text(3, 9, '交点');
! @$ R* j5 ^+ x X
%加上网格线
, X, {5 Z( v6 f6 I
grid on
- z1 B3 u) U1 q6 a1 o1 K) W
1
0 @% a9 Y! t0 U3 w, M/ o
2
7 g4 A1 X+ H2 E: ]4 D( ?& T% r
3
6 v D6 M k" Y* |# a
4
% ]7 i. i7 l0 {' _2 U- D- v+ C
5
! V3 e4 A6 |6 ]2 j1 k- n
6
$ y! Z. \5 t' ~, b! {
7
5 |+ U4 i1 _; s. B* N
8
7 V# r! f6 N4 F4 J' c( r7 l$ g$ |( ~, y
9
+ @& S, ]( D( {& g
10
; V% s7 t9 g3 W3 W1 |
11
V) l1 J& S" [
12
+ t: S! P( V {6 C
13
3 k B, Q8 P+ Y: y/ b; i/ I2 B
14
9 S+ C6 m# D& r) }
) p) h0 Q! H' y6 Z
4 a/ u/ Z+ [8 K$ \5 T$ B
（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
$ ]. R2 v8 {3 F" y
8 v" c( _6 ~# T; Z) O2 q
4 x1 u6 X! t$ `1 A
Code：
8 I* A0 I# e* Z* g
3 o) b$ v8 [, n" m$ _3 n, y! W" m$ g
( U0 b; X4 o' S { b a% {
%蒙特卡洛算法的具体实现
: v3 H3 q" K2 P+ n8 h# g p0 r
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
: T: s8 z0 b; N3 i2 s
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
; w* u# P6 k: F8 E
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
7 i+ L% w( ~, m0 L2 A
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
; v( B7 q' b7 O/ @
area = 12*9*frequency/10^7;
' t0 {# y5 b5 T
disp(area);
6 v0 K& z) R2 S( \" h
1
% S) G! Y: p5 Q. F# z* W* ~
2
; ^( L+ |+ @4 p( U
3
, a+ L& n8 r: H, [& j& `4 I) t
4
" G; H- ~: m( ], m
5
1 R( u' h: j1 B# E @" ~" s' G
6
- \, p, G1 y0 Y
7
3 b- f! g4 q! l, k$ J0 w* v b
所求近似值：
2 ?5 f% k7 k; \, Z! }8 m
- K, z: a0 _, A$ \5 N
7 q) Z# h% P% l) A4 M
; x) i" D0 U* a
9 j3 m- _& E: ]9 x
) w4 k/ v J& R% R9 W: D
" V3 n$ _, ]% }9 y" W. t" A; R- m
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
) i& D$ x' \ Y U9 }% r
/ m. g; h/ F/ r$ ?) S
n4 P) _- p: M x# O
; }% w, Z3 G9 T) O" ]
9 D, f) M4 X6 f0 i
" V$ C7 S @% v, F& A; A
7 o7 R4 T$ d+ D4 D
二、数据拟合
( W+ N$ g$ ?, J- H0 _( A* m! w
1、定义
$ j; q o& S& t- A
, z3 s5 ]9 P1 [) ^. c
7 G2 }2 T) z7 m5 ~: b- ?" F4 a
已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
) h* l6 n. m5 ?+ ?% @ d
8 i* [) G/ H- e: c
0 ]) L- p" l; N, L: k. B; r
: I( o- ~6 @, L# E2 O
4 ^ |. Z) ?! K0 I" A/ H
2、常用方法
% h5 W2 `' j' t
6 q6 r. @; Y: S) z# H- v. W1 y
/ [1 I8 ?+ i! ^+ ~3 \
一般采用最小二乘法。
: O. l, P- ? C/ \( Z8 k3 }4 w
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
8 E- b9 O# }! I% A* _: o' v+ O3 z
# ]! m; [# p; p
* {& P9 A: U- T: K% M, q! R
3、举例
# b; j5 y" I- H: `( s, |
/ D% [; m1 U- C' ~
% w0 a) H) E! W, A$ t) r
(1) 数据如下：
5 O% n& h& C' Z, B$ [1 H* I* _
3 O, R& N. J$ p' |
8 e+ Y: g7 [! n: Z z
序号 x y z
7 D6 `7 F: f) {! L% N# E; w6 q
1 426.6279 0.066 2.897867
: |2 m; U! e9 x: u0 j5 Z0 m3 f
2 465.325 0.123 1.621569
* s( o9 m0 V; M) ~9 N: O
3 504.0792 0.102 2.429227
6 ?% F1 }% `% U2 U
4 419.1864 0.057 3.50554
. x3 m) Y1 v% p" u7 e
5 464.2019 0.103 1.153921
" W: T$ r- m8 T$ [8 n# R
6 383.0993 0.057 2.297169
# c2 c8 x* ~ M) T! E3 t! u
7 416.3144 0.049 3.058917
. C% y6 o2 y' \+ `& x
8 464.2762 0.088 1.369858
4 X2 Y4 R# i J1 j; ^( h! J6 J
9 453.0949 0.09 3.028741
4 `; Y6 S& h, F9 v$ t" V
10 376.9057 0.049 4.047241
1 q5 i+ |, \6 {7 r9 X; W
11 409.0494 0.045 4.838143
, j: ]6 Q- D# K
12 449.4363 0.079 4.120973
+ W; ?( {: Q2 Y8 K# u2 w4 r- d
13 372.1432 0.041 3.604795
+ c# Z. r d8 S& n& L
14 389.0911 0.085 2.048922
6 l1 N! w; [! q4 v# T: }9 i" m
15 446.7059 0.057 3.372603
& S7 n; @! q+ g* Z
16 347.5848 0.03 4.643016
0 c. s) T& }9 u7 N% M
17 379.3764 0.041 4.74171
! {% L) C, Y, p; b8 L; r
18 453.6719 0.082 1.841441
+ L& e9 @3 O. d8 A) b. t: W+ C
19 388.1694 0.051 2.293532
3 e- R6 ]$ L, H. V
20 444.9446 0.076 3.541803
+ N5 @+ Z0 N: |5 q; u/ `, c
21 437.4085 0.056 3.984765
# |! r+ D4 ~6 r4 S+ J
22 408.9602 0.078 2.291967
" e6 ~- b2 m% I' n$ F0 B( x* \% `
23 393.7606 0.059 2.910391
M1 d; S8 ` l) c0 c& a
24 443.1192 0.063 3.080523
' ~( ?, C, u( X& V+ }) N# }
25 514.1963 0.153 1.314749
9 C2 |+ _/ f% h
26 377.8119 0.041 3.967584
$ Z% x% T# n$ ]% p
27 421.5248 0.063 3.005718
: P! a& j$ u7 G
28 421.5248 0.063 3.005718
. G/ _. g3 s5 e+ r$ `: ^- U
29 421.5248 0.063 3.005718
+ ?# @0 f, \& h3 K3 ~
30 421.5248 0.063 3.005718
7 v; E: `4 {+ Y) B. x
31 421.5248 0.063 3.005718
/ B8 _9 e% K1 e! d% `' G5 K% i) P! J- s
32 421.5248 0.063 3.005718
* X+ U# s% d! `. P: @, r( C
33 421.5248 0.063 3.005718
1 n3 c* @. }8 K' s
34 421.5248 0.063 3.005718
3 M1 q' ?$ f: \' s
35 421.5248 0.063 3.005718
, y4 J) h- |& K X6 z( [: {9 u. j
36 421.5248 0.063 3.005718
* j2 v/ r% K* C# q9 ^7 s# y4 }' o% T
37 416.1229 0.111 1.281646
% U( f$ D( t: S, W
38 369.019 0.04 2.861201
8 a. U6 j3 } Z7 p8 B3 p6 S# Q" l5 R
39 362.2008 0.036 3.060995
: E& `& L: Q! h V# C
40 417.1425 0.038 3.69532
c& ]2 k: |2 a+ u
1
! B5 ]. g9 U6 [2 _' e# M% v8 x; S
2
% D+ }: m* b/ N& v, e8 E1 `
3
6 o3 l8 ^4 [$ s s9 k2 J8 D
4
2 l# ~8 ~7 r% _$ b5 J3 N7 L4 P: N
5
6 m: W1 O2 K6 D6 R5 X
6
. K; p0 |& F2 }) v4 p
7
. d3 F- @+ r! f( P7 l- R4 i" f$ U
8
: U, f- }; Q& e% d
9
. A; ?( v& O% d$ T& M
10
0 [5 z& F9 b, ?; Q( z! R
11
* O# N" `6 G: R5 D
12
" {7 ~# q( x4 |) J. c
13
+ K( {* b: r# q' W; e+ p s, d9 e
14
- m' Z+ |' e. Z
15
: Y" G+ O9 W+ |+ T% M
16
/ I9 q! h# o2 L* S" z e
17
3 F6 d8 x6 f! N
18
) f4 _8 n$ `) K5 U% L1 m5 R
19
1 Q3 h. w. {& N! S; S- ^
20
9 Y" `8 y' g/ K# ^! ~2 l
21
- r7 ^) i" a9 w* c Q! K
22
/ u6 p- X: ?. _- x3 i3 `. F) _, u
23
! K; M* U( b' v4 E7 L
24
0 m( D* \* I2 ^1 r8 Q" N2 F; A
25
- g0 c0 l1 ]9 W/ c3 `, I( X
26
. x. n# J6 r1 f/ o
27
: B" s9 U9 c E6 v% `
28
D- H0 |6 F+ M Q
29
; P, u# r y' w: s
30
w: s! g2 Q/ u Y3 x8 `) T1 w
31
C l4 J1 Q& L5 \1 X
32
, N3 X( c$ Q- u
33
+ I: y2 t4 d: F, {. }
34
' o: I s n# q: M" @' m) B
35
1 t' S* A/ z* S" c
36
X& J5 k4 E* f! C. ~" y
37
' `" y5 l' J$ x' E# ^$ Z3 _
38
- u$ h7 H1 l9 T+ o
39
! F# C3 l9 O+ U$ p( D6 {
40
- e1 u. Y! m' p; t$ J
41
$ Y( i! t6 n" U K; ^' }* f
5 O6 C: Z# @% b& ^6 M i! c/ H. B3 N
, Z' V& G$ _+ p5 q1 Q& W( A
(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
& Y, R4 z+ A9 A& `; J
) M1 J9 x' y/ ~9 x+ \6 g# _, `* [. P
2 T: x$ L) @; C
%读取表格
' p# u: O0 v5 X: y( g2 W
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
/ ~0 g4 n1 @9 p$ [( n2 o3 {; J
B = A;
! ^! e! R6 ^! j9 D3 A
[I, J] = size(B);
& n7 X- r$ q8 V% p! j" F% s9 r( n
2 K- J7 i1 p6 b D
%数据拟合
1 P% t$ o" i0 x/ ?7 T* D* Z, _
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
+ F0 ^! ~& i6 q( }
x = A(1,
;
( N+ K, Z6 T$ ]' K/ @0 g
y = A(2,
;
9 I+ o W% t" f/ `* ?* X! f
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
) t& n; v+ ]$ f8 J3 C7 K
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
$ x' I! ~5 {- G; @1 u
%返回值p中包含n+1个多项式系数
8 i B+ i3 _9 n: f3 M
p = polyfit(x, y, 2);
. g9 A" q& E' S+ U5 M9 w9 I
disp(p);
/ U1 |: a. e8 r0 ?
%下面是作图的代码
# e7 x/ T; Z* G5 f" {4 I
x1 = 300:10:600;
5 f$ w' z, Y* g" f+ W
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
1 s# D+ R/ O7 i& j
y1 = polyval(p,x1);
% T2 {' L2 ^5 o2 b" ~) ~) L
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
" v$ H7 d8 q( B4 s9 R/ g0 ^7 \5 g
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
: z- h/ W( U* g; e7 L, g* [
%figure(gcf);
( l B3 s5 ^+ ~
1
$ Z( j- ]) x1 u! R
2
0 @& R1 i. }* t+ L; i# b4 Z
3
+ m5 `7 g) Z' z& J6 h: U
4
. G8 t1 O6 @1 P+ [0 z
5
# {; ]6 ?3 U5 g, s
6
J' x _4 C2 s/ ~; w
7
( U. G/ M+ L/ m% C0 |
8
9 |' Q4 o. E, Y, T" p
9
. q: F' O+ D8 X' X0 M; v1 o
10
! ~* i& v4 k2 G# M+ A% C9 ^
11
& X# ?. ~* J6 o% ]
12
; H5 `. k0 s: b0 _5 Y
13
2 e; e2 N- k$ g! \0 V& F0 _
14
- E, a7 X! N4 c. ?" ^ r8 w
15
% z2 ?4 u9 s5 m: V
16
: U/ N/ w, F6 Y) K, F& T8 L$ E
17
5 ~" d' q0 \ d- L& T" A4 i
18
, ^- E5 J$ d! N7 V+ U2 F
19
- w/ F8 g) B8 P$ j
20
+ S6 V: T+ y& v( ^1 `: R. ]
21
9 _6 U* h* v& G5 }. Z7 Q2 a
& r$ b/ Z8 ^, G- `. {$ s% V7 F% Z6 D
- z: N) B- j/ `, t$ A
(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
0 A% C! E) h: V# Y. d) k8 i
8 d) ^+ v4 m# T* l- p4 R* c! C
4 Q% d3 `! }' o
3 \5 ]0 Q' M; a: a: t; M
2 Q1 ]% V* y; d2 r& A
将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
! _7 g! f9 F. E+ e* V1 _
1 q% |& d. X3 B7 t& k, Y
! g( E6 d% n1 A
+ D( C3 |. D# @7 w" U0 v4 d
' g0 y+ Y, C( C: D! I/ d6 Q1 }
选择x、y变量
$ K% \' k& H% V3 m; ?# I
1 B( x8 V( f' _8 N6 N
! E; f" t* {, [/ f" {+ R9 M8 G
; O" N( u& D! i( _5 A
) K% ^' N) S& O5 \
选择拟合方式和最高项次数
( J% G- {0 v9 R
$ b3 O( O8 c' P/ b7 M4 @
4 H% {0 k: W, @9 c# f
6 d4 u @/ Q! P: p; j
i% x, v% A; W; M* g3 ^' x3 @) p
得到拟合结果
/ l8 V) a$ a4 G/ D F* l
: T8 B1 K& n/ A6 Z
! n% P/ k5 N% Z% d/ n1 z, r
! X) |6 z2 a8 c; M
! p5 t8 I* o- f) y; j
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
) T m4 L. A8 E: ~% O; o
* I1 x9 E9 T+ I; u! G1 f
5 b# u& S3 ?) [( B0 w+ x, ]2 I
- b1 P: }, K. M$ u4 p
6 [) L r( J& Q/ Y# L/ b* J
9 R- y8 H3 a5 l5 u% L
9 H: s1 g# b" f) X
三、数据插值
/ g0 S7 n9 ` p: ^* f. u$ w
1、定义
+ q( k/ t( H# N# I- Q0 ?
& N5 `0 H7 M1 M% C) ^
: E% j# Z! s( X ]2 g- [% J
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
. Y; G3 e( |7 A* L8 r# b
! I3 c" U! C9 b2 q3 W
$ F1 U1 b0 b+ t: w/ l
从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
& H2 M$ a) P. J1 i$ _3 `, u1 L
" A P+ x/ n c0 B
# D8 e# K% a5 o' ^" W
* l7 s9 T- R9 v' h" e
9 N1 o8 J: q7 |5 d
2、作用
! X$ N& ^& f# w c+ |7 k
; `" D: y1 r6 H# y! a' ^0 M4 K
( S& v' M. @( L0 M4 q
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
]/ R3 \, |9 o9 Q" ?" a2 w
7 s5 Y9 S8 [/ H2 ~; c" j' c
9 ^/ A1 f0 T _. K
5 d9 c" B+ j! c7 i9 C
. J) G0 F# ~9 Y# M, C" q4 o
3、举例
1 S. g$ @3 m f' }! o: L+ b, U
8 S/ C/ B) b9 |/ A) d$ Y. B. l3 D
0 z( x# i$ r" n O
%years、service和wage是原始数据
. p' t1 P. ^4 L
years = 1950:10:1990;
/ }: N, q& e, }! K/ u! @0 A0 s
service = 10:10:30;
3 T4 K; b! \* B3 `% I
wage = [ 150.697 199.592 187.625 179.323 195.072; 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505;153.706 426.730 249.633 120.281 598.243];
/ ^. K. X( Q& F1 H" J5 L
[X, Y] = meshgrid(years, service);
+ ]7 s* E, {# u: Q [$ v
% % 三维曲线
. d4 `& h; y# G$ h0 ?
% plot3(X, Y, wage)
2 ^" `& E# R; z: Y( Y2 Y b
% 三维曲面
& N3 e3 ^, F Z$ N. J% K6 }( k
figure
` W- b: k- \7 P2 |- c
surf(X, Y, wage)
' H% g3 [( ~4 x) A- d
%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
6 O4 O# S( j3 \; {5 w8 v% x/ ?
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
* x7 \' m( P- @& L3 w) G
1
$ q& C9 m9 K+ `# d& s5 U
2
# y! O8 ]( P7 e$ I( u1 l# ~
3
" E8 f# Y8 X' j1 d- W) T$ ?& }
4
; w- u* U3 l$ G+ f
5
! x( ?- {) R8 v: M- ]* o: x* d7 i1 O
6
+ ~; k2 y. K( @' t% ^$ i
7
' q" N7 ^/ R7 G) c# p8 v8 V7 t
8
5 Y% ]) Z7 K4 X2 a; ]; l8 o, t
9
( f2 S- W% h7 \7 r" V+ ^- O
10
9 Y& ^3 P, ]% f4 S
11
9 V0 t/ Y9 L3 ^# m5 y" E
12
0 Q+ ]' J# N% D2 G j+ f
! v3 N" p0 R& f) U& d, d
% A7 [9 y: _# D5 }- ~8 ]+ X
1 x5 t3 n; N6 `! R& V' i3 I
" y \ P( P* B
可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
! Z% o D' j L& D. ?) B
6 D- x. q0 n1 ]8 R$ F+ v
+ \' s7 E4 z! }, q: `, f
1 l) }9 R" [9 \( M- a7 ~- w5 `
) |: H- t9 H) P! D% ]/ X2 D
+ b4 i! @( V' _+ S. ^+ s
) [# o& P8 T% ~* W. r
四、图论
8 I0 r+ ]2 A$ L0 R
1、最短路问题
3 S% y4 b) c2 N/ |' z5 X
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
& T) S7 n$ h+ z8 ~) B/ G
! q2 ~. w: H& r- v
* s2 X: K1 q j0 r" \
例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
4 S: U+ {7 ?7 d$ @' g
. v$ B! X' Y2 U2 D
: \) Z4 v3 w$ G6 ^. w* e
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
) H1 I6 ~/ i8 V9 F4 V0 X, N
) G$ _+ `2 x# ^' m8 j( m
- o0 m8 q& T- W5 Y% ?" m) @3 Y" O& A
9 a( ^2 S4 T# N) w: a* U% j
1 d9 |" ~, d! ~! r; i/ W
（1）Dijkstra算法
3 R' i* C9 L* _
先给出一个无向图
7 @. R8 w9 T* Z6 h+ H
0 Y1 T4 A Y$ h
2 K7 S) t8 [ L- U% u9 h2 j
) p) N6 d c3 T0 @
4 N2 t, u- @2 [( D
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
/ T ?# ^5 M& i. N( W
$ O1 f: a2 u6 m" d8 W
7 w3 y) s3 o! ^8 k5 ?; Y H
+ i/ v* i1 P% |* r' y
3 i& c/ s- x4 w+ i" j I* B' O5 S
3 p: e2 O) ~# X
& |" r+ w& G/ R' c6 C- R
代码模板：
0 K9 f9 r, I B) m
7 T* `* l E* H; _$ N
& k0 B! w) `0 _8 k- K# o+ p7 m" k
#include<iostream>
& j5 H. }& i' F) q! r$ ?
#include<cstdio>
0 {2 H9 ` _* O2 p7 X
#include<cstdlib>
; p, L8 i" y$ K6 b9 ?+ ^
#include<cmath>
' j- h) S7 q) V
#include<cstring>
8 B/ I$ o8 V$ w5 ~6 Q
#include<algorithm>
+ w/ d1 d/ R- ?
#include<vector>
0 @4 ^# n# _: P
#include<fstream>
+ w8 ]9 P% ^( O5 y
using namespace std;
1 B) i) S! m; s4 m/ C. H8 A
% }8 M8 b+ K+ O a, ?% E* v) q
const int maxnum = 100;
( b1 w5 m J& _) W1 o* s6 w5 n
const int maxint = 2147483647;
1 a/ B& |8 M8 N% [ ?
int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度
$ M, @% z6 r- k2 q4 O
int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点
/ y) F% ~# ~8 g
int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度
, i0 \- \ {5 s
int n, line; // n表示图的结点数，line表示路径个数
6 L3 }7 u8 l5 M/ t
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
- z& f" q0 ?4 h. k
{
7 `! Z/ P; t7 N5 i! @& x9 v: r D
bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中
4 c0 c) e; q& Z; C/ ?3 R4 w
for(int i=1; i<=n; ++i)
/ Z! z# S% ]+ O( G) n
{
+ i# g& V2 I6 ?$ ~' R& S! ^; a% W
dist
= c[v]
;
. Z' t* y- c1 }+ f; `( t/ T/ f% \
s
= 0; // 初始都未用过该点
" Y4 F8 v. L8 l- |
if(dist
== maxint)
, \3 ]- h6 d- F5 k; Q
prev
= 0;
" f9 ]9 T1 Q( J/ y ~0 ^9 Q" P
else
$ h ?2 g2 Z, `$ m2 m
prev
= v;
# b2 k! [ M5 p, K, r
}
1 G6 f) L7 U. i* w
dist[v] = 0;
7 @" x7 _! W5 O+ }
s[v] = 1;
1 b3 _1 P5 K- i. w. I! k
5 I& q/ D8 n6 b+ z+ ^4 }, W
// 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
" q+ Z0 {; `# @; C3 A* q
// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
2 _! R) h Q. d2 y
for(int i=2; i<=n; ++i)
! K7 _+ C3 l7 x" U4 n2 b- y" g1 v
{
7 E4 ^0 R5 d. f, H7 [ d9 b
int tmp = maxint;
& x6 W2 B& r" Q D, C
int u = v;
( V7 g P. K& g C# z
// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
9 B( P, d# h2 V& X
for(int j=1; j<=n; ++j)
- r7 [, T' A( j7 B& B5 d, `# q( M
if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
0 D! k, M# A5 o! Y
{
. P# m( x* t5 u5 k( Q
u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
3 H3 r! Z/ H1 Y4 Z1 m% c
tmp = dist[j];
+ ]4 P% {' b$ y9 l/ p s! d
}
) ~: n3 U: h* ~* @$ H( M/ k, q
s
= 1; // 表示u点已存入S集合中
" S* V4 ?' p6 z, T& c$ Z
6 X ^: F) ^8 {3 N1 F3 D, j: s& p# j
// 更新dist
3 G6 N/ J# j3 p/ N& ?
for(int j=1; j<=n; ++j)
/ E: x4 x9 ~$ I* o# U
if((!s[j]) && c
[j]<maxint)
1 V+ O* B% v: C' s2 I6 T
{
/ v8 a% v2 S$ C# Y' [( y
int newdist = dist
+ c
[j];
! k$ E d t I* r0 V0 s
if(newdist < dist[j])
. n# }( S) C! n8 b5 Q
{
. m, F" M! _# S" r+ O+ t
dist[j] = newdist;
2 A, c' H' a0 n% i5 b* L: Z
prev[j] = u;
* u# z3 b) @2 w' i
}
5 Y o4 J7 g+ k/ `- W% @4 U
}
" D0 }) G" `# d9 P0 ]5 G( Q" t0 o
}
] H8 z6 w2 @+ X- t7 p1 b
}
6 p& e6 W2 ~6 s5 c, u
void searchPath(int *prev,int v, int u)
' H u3 v) N5 C) P7 C/ Q" | L# A
{
: o" o; _& V! |0 W A0 d1 H, o
int que[maxnum];
3 ^# q- s# i% G$ m7 ^
int tot = 1;
( l- [5 x5 G) a( W" |1 ]
que[tot] = u;
, |2 M# m( S/ l3 z
tot++;
5 e& ~! L4 m; w6 q, l& `
int tmp = prev
;
! [. J" `1 b Z/ f' x
while(tmp != v)
0 P z7 w) g) p- w
{
1 v* ~* w* d: w
que[tot] = tmp;
: C) E2 B# Y' t- h
tot++;
) k% e7 L; B: Y z3 s
tmp = prev[tmp];
0 d0 `1 |/ e* z# g
}
' s% s5 h% [! I! o, x$ I
que[tot] = v;
, S; n3 V/ {* K* t
for(int i=tot; i>=1; --i)
0 d9 N) t3 j% d$ Y* V( p
if(i != 1)
# }3 A4 T M3 Y0 P; ?, o! B9 x
cout << que
<< " -> ";
$ D1 Y6 ^2 b. c8 D# f, q
else
7 ^' U% Y: D/ P% Z
cout << que
<< endl;
6 \# v4 J8 D' ?) p6 z
}
9 @" m h3 c/ I( ^* Q& q4 h
q) h9 p# y( @ {: i `
int main()
" Y) N% x9 j5 n5 C. L
{
. c/ G3 }5 d- [+ o' N+ M* Z8 F
//freopen("input.txt", "r", stdin);
7 U7 O3 ?6 B$ f/ ~
// 各数组都从下标1开始
* u" K" V; V2 k$ k
// 输入结点数
( C, {0 K" k1 T9 d
cin >> n;
0 O% k. \+ h y. C* F: L
// 输入路径数
# c4 j" u) [$ }! K, i
cin >> line;
0 J0 O. d1 G; ?& j' e
int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度
. }% g+ |. X9 u, ^5 u
// 初始化c[][]为maxint
( w3 B" F5 [9 E4 h; `7 u
for(int i=1; i<=n; ++i)
% ?0 s) K$ n$ o/ O9 C
for(int j=1; j<=n; ++j)
- A/ M# d) B% w' A6 h" {8 u
c
[j] = maxint;
9 P7 B% ^3 f* _3 T2 I; ?
for(int i=1; i<=line; ++i)
) u) P# [, U2 C8 O5 E4 i* G
{
% A+ f7 h5 Z8 Y) k @/ ]
cin >> p >> q >> len;
9 C+ l4 @3 b% ?
if(len < c[p][q]) // 有重边
, q' o9 C1 E% U' S4 n
{
$ X( ~" @! V3 e. d
c[p][q] = len; // p指向q
) k. X+ x5 @- P2 ]% N
c[q][p] = len; // q指向p，这样表示无向图
6 K8 e8 I# F( C' [% \5 `/ K
}
+ D9 ?4 Z( D- T1 N# T$ J: ~- Q
}
- Q n" ^; ^1 ? m( A# x* M2 [
for(int i=1; i<=n; ++i)
, n; @ p8 S( t, `, Z1 Q& Q6 ~0 m
dist
= maxint;
8 m% B# H3 l. G$ q
for(int i=1; i<=n; ++i)
" I% p8 p' J6 P' ~9 C4 A. m
{
9 N7 S, ^1 B" K; d# T% L* J! x# z
for(int j=1; j<=n; ++j)
; ?+ n& ]( `% ]0 ^; }$ a7 N; `3 z
printf("%-16d", c
[j]);
: P! J0 Y& s5 u+ q |
printf("\n");
& @1 o1 T* z7 K. r; v
}
6 Q$ Z. P5 k+ F* |1 K" g7 |
Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法
ijkstra(n, x, dist, prev, c); 其中x=1,2,3,4,...,n
9 A* i& X7 E1 W2 z q
# V1 ]: `6 ?& j. L
// for(int i=1; i<=n; ++i) //dist存储了源点到其他点的距离情况
- |0 Q! d/ s7 G0 w3 ]
// {
) W3 S! a: U; M7 J- t5 x3 ]
// printf("%-16d", dist
);
C' t' r% E7 q: b h0 r& K* N
// }
3 w" |4 F2 Z% n0 L; o+ D3 E
printf("\n");
: `! d/ P; E, d* c6 j7 X
// 最短路径长度
! F" o7 z% `8 ^) l
cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;
1 o$ u+ O3 p" E' g; A
// 路径
7 D% U( C6 g' b
cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
`' ^/ a' H# t% b% G0 a4 p4 G8 o
searchPath(prev, 1, n);
( J& {; v9 K5 U1 F% D0 g; I' m# c
return 0;
M; p# T; Z1 V9 i: J2 M! h8 g
}
0 u2 e$ {7 H$ q: R6 L( c0 |( c
- o$ a0 Q: s" V. P1 ^" m
1 A/ D& F4 i3 X# G
/*
8 X( r0 ?1 S8 p2 g
输入数据:
2 e! U, H2 _9 c @4 t0 w1 m/ c
5
0 x# B2 E) w! Z- e2 y
7
/ i7 g# L) q6 x5 ]
1 2 10
: `( ^! {7 V( f
1 4 30
; s3 O0 F! U5 r; ?+ X1 r, O
1 5 100
, [* I: l" K; i/ B
2 3 50
5 y, X D2 q! q5 j* m
3 5 10
. W, A6 B3 d1 v) s, ]
4 3 20
2 Z3 R* Q8 l2 g1 A5 Z( {4 G2 z
4 5 60
- d/ h" z" {$ Y0 Y/ V# x
输出数据:
1 G8 n4 [7 d+ P- K
999999 10 999999 30 100
1 e3 J3 { j( v* R; x
10 999999 50 999999 999999
1 S* q6 I& y2 r+ F7 f, Q$ o0 |
999999 50 999999 20 10
" N8 v) J( ?; |3 ]6 A& e
30 999999 20 999999 60
5 W/ W2 u: p6 g5 v
100 999999 10 60 999999
- C+ N& D9 f X& }1 Y. m
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
7 p. a$ ^. w# r6 U' y; d
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
3 C# V# G9 I/ j
*/
3 F; d# a4 x0 v/ t: q! k. c
1
g' C6 B' T J5 O3 g' x" a8 D
2
$ W0 k% m# @- i
3
. U3 Y$ z9 B9 E9 P$ a2 d
4
. B* R3 `) G1 f& q* [
5
0 l6 v+ ]! x5 g8 ~( m* R
6
+ P4 r8 m% r! o j' {0 s
7
& l4 g) z& l: K/ A
8
3 N& d6 }8 X( J, X2 l/ J8 r
9
3 R$ U$ F6 @2 U/ |# u6 ^
10
- B. F$ a' }$ K% @* v ~% F9 e0 @& ]
11
$ a* u4 J+ a- G0 n% d1 u& g
12
6 W; s4 H( G' M: S `& S( x
13
- |6 Y _/ n- v/ ]. ]0 t1 T9 S6 ~
14
- K8 `% f0 g# Y" J& C
15
! N' b* {: K& y" g' l9 V
16
5 t; B# J2 P* A9 I
17
3 I R w/ n; F; p1 T3 p
18
& z; j0 Y+ S- V
19
3 X0 w0 S7 a0 e B
20
$ G. o" F2 B& R3 r0 F& n7 {% o( S
21
2 x& v1 y6 h4 n2 m) P3 R$ F O0 C
22
% J1 p1 e. a6 C6 u
23
, W' }3 G5 W! v
24
. K' f3 a& _" Z* I8 ?
25
7 B& c% p& A( b0 u! m. \% ?
26
( u N; {3 M+ G9 I. `9 T
27
7 o, S! w9 o; C- ]
28
, g) [1 ^, P; a8 i0 {! L2 P
29
) j6 i- L* |8 r5 H: @' |
30
4 Y6 o- f5 X! I3 J( z2 \
31
* N. f- _9 _5 {; F$ E) u5 A
32
& z4 O" e! d' \ l
33
+ l9 F3 }0 w: Q/ m0 r. z
34
3 |/ K# e: ?# p* W
35
$ r' Q. T$ O n- Y' X: t( P3 V
36
# q+ c) t! x- e! G. F
37
# P3 k8 h' U2 [, i' {, h2 O
38
# E8 j. \9 H, t( q5 G! w
39
5 o& ]9 U" a9 Q: R+ h1 y% o! T; d+ X
40
" U; b; p! G/ M+ N7 J- e
41
' D0 k8 \! x- H. N5 g
42
5 m, `. r1 e4 s! ]/ ?8 R
43
% g% e+ b# W$ X# }1 y, J! y
44
% J6 I0 J- n) t- V m
45
# ]! z: d" L- q3 y! S4 F
46
9 i+ K" K# J$ @2 t
47
: d% }# Z, G( B$ C' L4 q
48
) f/ `* S4 G8 g) R7 J# r
49
# Q5 G/ U* M' F& \
50
2 o8 V. w% f! \8 ?+ ^) f; Q
51
, Z8 J, f2 j" L
52
/ B1 o$ ]5 d& Q5 D+ Y. v" N' b
53
d5 I. }6 w/ x! q! A
54
- U* s6 X4 f( Y) l3 w' C9 m! ?4 r
55
6 x1 D1 s& s+ ^0 n2 X# M! I3 R
56
4 H, e1 a1 Y' l, b$ E
57
$ a4 x2 Q- O2 b, ?: \
58
/ f" Z$ d: @9 C" f" z8 Q+ p
59
' s( M; p9 ~8 G: O4 B
60
8 i3 r8 v6 n! N- y- k$ O+ I# }
61
: ~6 M: }- X! S: \
62
) K4 e* D4 q n d
63
; o t( t/ X' o! P9 c
64
$ y' c0 ? p% v% q2 c
65
5 L' Z! D1 i4 Q5 j3 W
66
5 {/ r) |+ I: j i8 X( Z0 D& {" U) O
67
I( p% z1 \( ?. E1 J% m h; Q# H
68
7 z l. B4 C% `, S# S
69
4 r) U- \0 w) o7 ]6 ]
70
2 V( z% q2 x, k: k' {! Y
71
8 U3 m$ I( ?& ]
72
( F7 K; D& P, C0 ?. J# i6 Y
73
5 J* w d- f9 [
74
$ |" x b( A+ `; g
75
# k- b4 \' s9 Q' s
76
+ ]2 ]2 E" R- K+ z
77
, L. R# u1 z2 f6 `9 e: M; S
78
5 \/ Q4 `3 q% e% z# E X" T" p! _% K
79
4 W1 _8 ^+ R) M$ q0 K, b1 U
80
: T; X' e- N( A, X( ~
81
( O8 l7 O+ B b# |' p; Q
82
# u' c+ R9 T/ V+ C2 d
83
. g' l3 L. ]1 j3 [2 V7 S3 m. `
84
( ^7 c1 @% g) ~* [5 I% _
85
* e! v: V) u- k b5 i
86
* P4 u& c& w/ i# Z; R
87
0 A1 J/ O! b3 E- J# P
88
2 p8 B9 r& ?4 c5 @
89
# p% d; U4 v3 f( v7 V
90
8 N9 S, t, ?1 i$ f8 y6 X
91
. l3 @+ B3 M. a0 c& Q; O
92
# e# U5 ?& ^& @& ~3 E y
93
# C1 I5 A1 o8 K5 Q. ?4 |
94
2 e% W4 m; c6 {" x1 z
95
5 u# a4 S8 i1 z1 y6 H- e
96
5 M3 _& V4 N( G s0 s
97
# D9 ~) L9 _* @; _/ C0 B5 Y
98
1 A" g+ A- P) S* C2 }" F, J; a! _9 ~1 E
99
' K, S$ L& Q# ~
100
' R8 d( e+ c0 R: _* C! o' T! ^2 H
101
% f/ Q6 S# U* p/ o) H6 l% x5 ?
102
4 d5 F4 i# D# o/ j
103
% ?1 w& q0 z% C( |8 E4 t
104
. ^1 a" ~+ Y* B1 `" i
105
3 y8 ~0 N! i- l& X7 T
106
; Q* b$ ]+ \/ ]
107
9 A" _- B7 b9 L( X' |: \8 H U
108
k( z+ Y" t1 c
109
. ]4 h$ u0 g9 k
110
( N4 i9 a% `. S
111
) E4 k$ N. T" C
112
4 @3 A' x7 Z9 S" R& V
113
6 J z Y; ^* ]& V; ^
114
. Y6 Y9 R* M" E' `) Q! M
115
# d# K, T" ?% M- l/ I
116
, l* d! H+ }: X' L, J/ ?" D
117
( b* Y7 Y& L+ m! p. c
118
8 c/ |' I" I3 Z* f; u
119
- H8 I& w U7 {3 T. s2 s8 G+ p
120
: m( N+ s8 ?% T. P
121
$ k2 E+ B% p+ v% Z$ A8 U2 @; R( m# B
122
4 P2 U# t2 N5 U) t; `) b
123
: Q% y9 T# |3 @3 X
124
5 z4 d" Q4 f" @' T" Y, Z$ {
125
) i: l5 F. T& @) v5 `
126
8 u! G' j) J& @4 r# r; A
127
' W8 z) t8 l) y
128
: [- }2 P' S3 ^6 w* u& ~
129
! @' t3 d& v+ @4 @/ ^: Z) R* T% v
130
9 }% N8 ^9 {1 p/ p! X# y
131
2 v( D) @; P; M, U( G6 D
132
" N' N8 y- Y2 s7 e
133
' d' e4 q- B# n$ G( w+ f
134
$ C, U) x1 N( D/ L" z: P
135
F$ ?( H) H, D& T) P; t
136
4 Z+ \' {0 K+ K
137
0 c' `) p3 a' ]
138
- Z7 N& m2 N* F* A( ]! n! y
139
' p. q9 l. m' p/ ~" I
140
' |# j4 i% W) u/ d. G% P
141
" ~* G) D8 e' ]* M- L# P, g3 g, @/ {
142
3 u! q/ [) G$ j3 ?9 d
143
+ k9 ]0 C# o0 h. u1 A+ U* A2 E8 {
144
v+ y" P q1 k, c' e6 i
145
9 n7 A# b1 |& v k: ~' j
146
7 v9 F# o {) V; |9 f0 z7 B) @
( z3 T# ]8 S8 N! w0 [5 T4 Q
7 e' f _. H w) ^* p& P
（2）Floyd算法
4 `% p' x! V8 c( a3 q& a
#include<iostream>
! n! m* }: [4 P2 R2 w
#include<cstdio>
' m: t) w# g/ [: W7 Z
#include<cstdlib>
& V) t5 ]) G# ~, c! e+ _& E' X7 ]* U
#include<cmath>
: ^; @7 s/ @! r
#include<cstring>
+ T1 V, h, d8 M4 W+ v. H% m
#include<algorithm>
% E- w2 M& o+ x q. \/ h. n
#include<vector>
. x6 ~5 r2 @0 \! u
#include<fstream>
3 I w) Z! M" q) O/ g, c
using namespace std;
6 e7 v" F" Y6 J4 M: Y, O; n6 \. P6 ~- l
0 V0 o% G; b: P O
//设点与点之间的距离均为double型
7 ?; c) ^# { ]. K
double INFTY=2147483647;
% \1 G- Z) F9 \8 b/ ^, l
const int MAX=1000;
. \1 U0 B8 B m4 A
double dis[MAX][MAX];
' w$ Z& P8 v8 H) g# |: w4 `% P+ a$ ]
double a[MAX][MAX];
( c& R1 J; C- c' R
int path[MAX][MAX];
2 @* P7 l# J8 `- S$ f
int n,m; //结点个数
! x& w4 h: @, r* Q1 z
6 i4 {0 T1 c1 \. Z- W p
void Floyd()
0 N4 p6 I5 b8 Q0 v% t- t
{
6 O$ m/ t, ?( M2 W* U! V
int i,j,k;
% Q) I. l* D# ]. r
for(i=1;i<=n;i++)
3 F6 I6 V4 a7 L- n5 b$ p% p
{
+ a9 I1 a3 C2 a. _1 J$ z+ U4 l
for(j=1;j<=n;j++)
! @' Y, f, s1 I3 g s% T( ^, U
{
' n! P! v- D) a' s
dis
[j]=a
[j];
3 T" T! W3 g6 n$ C
if(i!=j&&a
[j]<INFTY)
1 G {& _$ }& \9 r' J! P4 N
{
8 O+ B8 }2 Y: m: K9 r- W: a; O( ~
path
[j]=i;
+ I( M* l M* K1 l+ _
}
! R5 f+ g* {, X" n6 S, q7 L
else
9 l& E# J3 v/ e! e* Z. H
path
[j]=-1;
) h) r$ A2 _4 O. I8 x! C b
}
3 }. J9 ^; W7 S. Q
}
- Z$ J+ b! ` L3 e4 x5 `
$ y% T* j N; I7 @' d
for(k=1;k<=n;k++)
& a) `% z7 ]7 t% E
{
0 v5 G: K, N) W- k
for(i=1;i<=n;i++)
# y' B, J& R" ^5 H
{
& @3 n9 u: ]; n1 v
for(j=1;j<=n;j++)
0 u2 h- K" j: V5 e, X
{
" t t0 g7 F# p) V' E. [' G6 k6 P* v
if(dis
[k]+dis[k][j]<dis
[j])
w, [8 Y v+ y- H1 l4 y4 R9 \+ o
{
( V2 Z; H" i E. c% O/ I* n7 j1 H
dis
[j]=dis
[k]+dis[k][j];
: \* M$ u7 J6 z& \; @. [
path
[j]=path[k][j];
0 Y: e$ z: R7 i3 r
}
; c Y4 g+ U9 J3 T
}
; a/ Q% ~$ H9 G: l$ X
}
! B6 G8 Q( [. K( ^" O8 E3 b
}
0 Q& j4 j5 S8 e" }3 p9 \! r& j6 Y. \
}
% k6 ^: M- H9 t7 W7 [" v
, y2 Y/ D, j/ E0 n
int main()
/ S0 r3 n. e4 @. f' ]
{
* v' B6 Z" W& @( d( c$ H; O
//freopen("datain.txt","r",stdin);
) V$ D) C' C T# ?
int beg,enda;
q' Z) p( e* ]4 Q$ o* g! O
double dist;
. A" ?2 X- l2 y9 k- U# i+ S) `3 F
scanf("%d%d",&n,&m);
- M& }/ O' D% l! H
for(int i=1;i<=n;i++)
$ s" [& z7 o8 Q
{
6 p& T% ~4 O3 q, Q$ @4 |! d
for(int j=1;j<=n;j++)
9 {8 x( U/ D8 L4 |! _: A4 i" ^1 r/ Y
{
$ w* T/ Q7 l7 w6 ~
if(i==j)
% W! N3 a3 }; W# B
a
[j]=0;
! C' N m( e7 P: E, i
else
1 @" c1 X8 b& K
a
[j]=INFTY;
+ L+ q; c) A3 o0 I9 M
}
, P9 p2 j0 q6 I
}
?" v/ [8 b6 q/ y, L6 S
for(int i=1;i<=m;i++)
& _' B4 v$ r. v2 t3 |
{
7 L* K, j( L! p& i: S9 i
scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);
# V! P2 G. x+ X6 }, @
a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;
2 v6 I- D0 h | X; z
}
2 t0 t6 K4 s( O, P% |
Floyd();
1 W p( E" |3 N' G0 N# b6 p
for(int i=1;i<=n;i++)
( o. O' U; C% s; F
{
6 ~# G y5 |$ `0 Z+ u* T6 O* e2 H
for(int j=1;j<=n;j++)
5 l6 @, |5 c9 f5 y1 C. N
{
6 y& ]; M# }- @# Z
printf("%-12lf",dis
[j]);
B% f; `: b0 Q, O
}
- Y0 A* z% |4 P$ |. V
printf("\n");
9 f: p8 P0 r9 c* ~
}
- p+ S! O4 l$ C" K" S7 i
return 0;
9 t% R/ ]- y+ m" ]
}
' l6 M$ O/ Z9 J) e; c
1
$ V% P7 I' k; ?* c- Z2 O
2
( y7 z$ q7 u. x) w+ I. [) v
3
1 k$ n- H. ?9 v9 K! f
4
3 j& G& J! m; `' s' y M
5
- c; j1 v7 p( ~ w; ]2 P" c% }9 v
6
7 o7 s5 O+ c# V# A
7
& H) w1 S2 T8 d
8
0 d7 l3 K; j# a* k/ [+ l* Z8 ]7 X
9
( X6 l" Y) z9 N
10
4 { v- ]+ K1 v8 g
11
) c' F; ~% m$ |; H" y. f4 Y
12
! T" G$ m$ Q3 f: b
13
1 q0 k2 ] S& E9 a; K+ i- d* b8 \2 R9 S
14
5 y: S1 q) }3 K5 S0 k+ ~
15
! R1 B) z' q: s- O
16
# j3 ?, d# x( G P9 O; }
17
8 c5 W y& F3 |4 ~* \ f
18
# d1 e0 [/ F; L( K) T/ i7 V5 A
19
; L: O- r% v. [
20
( C; S- x5 I( g( |. Q$ H! Z
21
2 f4 b% d8 ~, f# d1 ?5 f1 z4 B
22
( U3 Y/ j8 q# l9 v4 _0 |
23
9 ]3 n6 s5 g: I4 h T
24
[# E1 [4 z/ h9 t
25
' I) K4 L9 r1 J4 ^$ I& X
26
N! n( `' q2 j) \: i r, f) G
27
& \% O( g" S- }
28
: r1 {7 t- _2 Y
29
* R( Y8 e* {2 s$ V& A; H' A- e9 i
30
& r% U# e* H! t+ |( }9 Z! D
31
8 s, ^6 P& C0 `$ t
32
) o7 z2 z3 v6 K4 G! K1 f
33
/ T* p( ~0 v/ r- Q
34
( t6 ^- n0 ? I' l* x [
35
. Q% |8 k. T) c' W/ D* y8 m
36
, r. ?; b A- d
37
# v2 P# o/ ~+ D. s' Q
38
& I8 }4 U. T. O' V' K/ ?+ g3 K
39
: W/ q$ R: }7 H. U; D0 E! p0 k
40
4 q" |/ M0 x8 h" W1 b
41
5 W. |( g3 l+ ]% |& F3 t8 b
42
9 c7 |! z1 G5 b* F. H
43
% P; M2 j( o8 G1 f) ^
44
R6 f) j' U l7 {
45
) y* M6 l4 |& e- P- ^
46
# W' o8 V* n2 G+ N) c
47
8 a$ f# I0 j% r; ]
48
, U% t7 K$ K$ F' Q2 c
49
- [; s% c+ g' C: D
50
) u4 C1 Z. S8 h Y+ ~! g) l8 a5 q
51
: u* p Y9 t4 ?: H, E
52
4 B1 D' e) Z1 r/ E$ J$ @+ [$ I
53
) x" `+ m9 f( M. ]: J, u
54
/ X2 r3 _7 p& D1 j
55
S& @; p! j* e- D" k
56
% Q5 U0 X0 _8 r0 Y! I ~
57
7 ]# P ?# P1 t9 U- k2 b' u
58
}; x4 p4 z# M( R8 v
59
" S1 O7 ]/ O ]2 W- {0 Z: Q9 W
60
* S1 d7 Y ~6 O' J, z ?
61
* z- `# b1 N# o; q3 ]: `% q5 C" M
62
0 S" r! s1 w. Z+ A* n4 Z
63
1 C; d5 p) R1 U) Z
64
5 x5 T+ O5 E4 }. K
65
6 P8 h" x4 G7 r. c4 F# `# B
66
) r" ]: o" g6 O; Z8 H( ]* [
67
8 B0 t) W0 ?* {9 V: j+ ~3 y
68
! G& v1 @( C2 b$ y( G* S% p9 m
69
$ J/ f' I0 ]# ~+ r% e
70
, G/ T) Z/ P6 `/ M; q
71
4 p. Z4 G c8 D' q. d
72
- X# W+ u- m) t* I7 N
73
' p0 Z$ G' T) d( F/ D4 d) r" y
74
9 j, u' v N {7 _ z
75
: X6 M1 q, W" K: U7 p1 V2 w" Z
76
2 e( Q& i% H( S
77
7 A/ v* j3 p ^: L2 g4 I
78
: F8 z5 s' x/ X. _
79
7 a& b3 Q/ ~$ ~3 @. ~7 q
80
) ?% E. j+ W. G+ e
81
( g, {! u$ p, m6 o; c7 I5 l
82
- u, B+ h6 M1 T! F0 o D; J# F2 H2 {8 m
83
/ v( M+ l9 P7 U8 z; P
- e; D' c# {! W" f
+ [+ d) X- j& K7 Y0 u" v2 {
————————————————
, [$ ~# V) j: c7 F0 _: R ?
版权声明：本文为CSDN博主「跑起来要带风！」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
6 }! e/ x5 ?. u, N
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44668898/article/details/106607288
8 m# ~2 U3 m. h6 t- N; X; `4 p. D
! S+ e# T/ i% R- Q5 h
- x% v$ T) f3 ^9 ]; d
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5
;( N+ K, Z6 T$ ]' K/ @0 g;9 I+ o W% t" f/ `* ?* X! f
ijkstra(n, x, dist, prev, c); 其中x=1,2,3,4,...,n 9 A* i& X7 E1 W2 z q